CC BY
22
Евразийский Союз Ученых (ЕСУ) # 10 (19), 2015 | ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
57
ОБ ОДНОМ НЕРАВЕНСТВЕ ДЛЯ НЕСОБСТВЕННОГО ИНТЕГРАЛА С ПЕРЕМЕННЫМ НИЖНИМ ПРЕДЕЛОМ
Швец Юлия Владимировна
Канд. пед. наук, доцент кафедры высшей математики Сибирский государственный университет путей сообщения, г. Новосибирск
Миллер Наталья Владимировна
Канд. пед. наук, доцент кафедры высшей математики Сибирский государственный университет путей сообщения, г. Новосибирск
Пунин Роман Вячеславович
Канд. тех. наук, доцент кафедры высшей математики Сибирский государственный университет путей сообщения, г. Новосибирск
АННОТАЦИЯ
В работе рассматривается несобственный интеграл первого рода с переменным нижним пределом
Зад
Г -/6
S(x) = ДЛ J e dt, где A (k) — гамма- функция Эйлера. Показано, что для
Vx е R и m еГг^З 1 выполняется интегральное неравенство S3(x) <S(тх). Дополнительно установлено, что это неравенство сохраняется для 0 < т < 1 при положительных значениях х.
ABSTRACT
The paper deals with the improper integral of the first kind with variable lower limit 3
S(x) = —f e ,t dt 7\ 1 V
A(k) — Euler gamma function. It is shown that for Vx е R and m е у^З integral inequality S3(x) < S (mx) is done. In addition, it is found out that this inequality is retained for 0 < m < 1 with positive values of x.
Ключевые слова: несобственный интеграл первого рода, гамма-функция, степенные оценки, интегральные неравенства.
Keywords: improper integral of the first kind, gamma function, degree evaluations, integral inequalities.
Введение
В математическом анализе важную роль играют специальные функции, которые применяются в различных приложениях и теоретических исследованиях. Среди них особую роль играет гамма-функция Эйлера, которая при x > 0 задается формулой
ад
A(x) = J tx-1e—1dt.
0
Важность этой функции определяется тем, что через неё выражается большое число определенных интегралов, бесконечных произведений и сумм рядов.
Усилия многих авторов были направлены на получение различных оценок для гамма-функции.
Так, A. Alsina и M.S Tomas в работе [1] показали,
что
1 A (1 + x)n A! и(>1 + )
для всех x е [0;1] и неотрицательных целых n .
A. Sh. Shabani в работе [6], используя разложение функ-
ции A'(x) в ряд, получил двойное неравенство
А(x)
A (a)c А (a + bx)c A (a + b)c ,
A(b)d < A(b + ax)d < A(a+ b)d ’
где x е [0;1] , a > 0, С и d - положительные числа, такие
что bc > ad и A'(b + ax) > 0.
A(b + ax)
Другие интересные оценки можно найти в работах [2], [3], [5].
Многие авторы рассматривают аналогичные результаты для неполной гамма-функции, которая имеет вид:
A (a, x) = f ta~le~1dt.
A ( a )Jx
Так P. Natalini и B. Palumbo в работе [4] установили,
что
Aa-ie-x <| Bx , e)| < a-1 -x,
где a > 1, B > 1 и x >-B_(a-1).
B — 1
58
Евразийский Союз Ученых (ЕСУ) # 10 (19), 2015 | ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
В работе [7] Xiao-Li Hu рассматривал неполную функцию
По правилу дифференцирования несобственного интеграла по параметру, получаем:
ад _у_
вида Q(x) = -= f e 2 dt,
^ x
которая естественно возникает во многих приложениях. Он установил, что
Q2 (x) < Q(ax) С1)
-5 w
S(x) = —f e_ dt
3 r _,< , , где a (1 ) = ft6e_dt = 5,5663.
Пусть
B(x) = S 3(x) _ S (63 x),
тогда
B(0)=8 _ 2=_ I < °,
lim B(x) = lim (S3(x) _ S(63 x)) = 1-1 = 0. lim B(x) = lim (B3(x)_B(63x)) = 0_0 = 0.
x—+ад x—+ад \ ' f!
(3)
S'(x) =
V
1 f —fv
-p- f e dt 12 J
' x
3 e_ x6
Аналогично
Для всех x и a е|~1;б2 ].
В [8] было показано, что интервал для параметра а не может быть расширен. В [9] получены оценки для произволь- s '(63 x ) =
ной четной степени функции Q(x).
Цель нашей работы состоит в том, чтобы получить степенную оценку более высокого порядка типа (1) для функции
Л'
I ад _ 16,
(1- f e dt
л (6 ) 63
з63
_ Ix 6
л
Тогда
B'(x) = _3S2М*e_x6 + e_3*6 = e_*6 (e^ _6243s2(x)2 = e_x%(x)
ЛЫ ЛЪ) Л'Ы
Л (6
Теорема 1.1. Пусть m - произвольное число из интервала
|^1; -63]. Тогда для любого действительного x справедливо неравенство
S3 (x) < S (mx). (2)
Полученная степенная оценка может быть использована в экономических исследованиях, в эконометрике, в статистике при получении точечных и интервальных оценок неизвестных параметров распределений.
Теорема 1.2. Неравенство (2) остается справедливым при 0 < m < 1 для любого x > 0.
2. Доказательство теоремы 1.2
При данных значениях m и x выполняется неравенство 0 < mx < x. Отсюда, так как подынтегральная функ-
_ 16
ция z(t) = e положительна и S (x) < 1, получаем
S (mx) > S (x) > S3 (x).
Теорема 1.2 доказана.
3. Доказательство основного результата Доказательство теоремы 1.1 проводятся по схеме, близкой к схеме, рассмотренной в работах [8], [10].
При m = 1 неравенство (2) справедливо в силу того, что для любого действительного х выполняется соотношение
0 < S (x) < 1.
Очевидно, что функция
3 ад /
S(x) = ^ j e_t dt
Л I 1 ) x
(6 2 убывает, так как подынтегральная
функция z(t) = e_t6 положительна. Поэтому достаточно доказать неравенство (2) для m = 63.
где п(x) = e~2"6 _ 6243 S2 (x). Имеем
П(0) = 1 J^243 >0,
4
lim n(x) = _6243 < 0.
(6)
(7)
На отрицательной полуоси функция f (x) = e 2x6 возрастает, а функция S2 (x) убывает. Отсюда, используя соотношения (6), (7), на интервале (_ад;0] функция n( x) возрастает и один раз меняет знак минус на плюс. Поэтому функция
B(x) имеет один минимум при x < 0. Ближайшая цель заключается в том, чтобы доказать положительность ц(x) при
x е (0; ад). Дальнейшие выкладки проводим при этом ограничении.
Очевидно, что
S« =
А (6
ад _»^ 3 г _»• 6t5 , 1
-гг-1 e dt <---т—г-1 e —— dt =-----р—
1V , r( 1V x5 „ r( 1
6 A (6
2A| 2- | x3
2A| 2- | x3
Отсюда,
_2x6
2 ( 1 I,,10
S 2 (x) < e
4A2
Следовательно,
(8)
П(x) = e~2x‘ _ ^243 S2 (x) > e^6 _ -
‘6243
4 A21 11 x10
1 —
6666
4 A21 11 x10
(4)
(5)
. (9)
Неравенство (9) показывает, что функция n( x) положитель-
6024l
x >-
на при
04 5л (6 2
2
2x
Евразийский Союз Ученых (ЕСУ) # 10 (19), 2015 | ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
59
/
Осталось показать, что
П(х) > 0
на
0;
V
6^243
Так как функция f (х)
-2 x6
на этом интервале убывает, а
S(Х) <1 при положительных х, то:
-2-
1°24э
n(х) = е“2х6 - ^243 S2 (x) > e
(10)
543 5а611
624з
> 0
В итоге показано, что функция B'(x) один раз меняет знак минус на плюс на всей числовой оси. Поэтому при всех
действительных х функция B(x) имеет единственный минимум. Вместе с (3) - (5) это показывает, что В( х) < 0 при любом х.
Теорема 1.1 доказана.
Список литературы:
1. Alsina A., Tomas M.S. A geometric proof of a new inequality for the gamma function. J. Ineq Pure Appl. Math.6 (2005).
2. Alzer H. On some inequalities for the incomplete gamma function, Math. Comp. 66 (1997), no 218, 771-778.
3. Baricz A. A functional inequality for the survival function of the Gamma distribution, J. Inequal. Pure and Appl. Math., 9, 1 (2008), Article 13.
4. Natalini P. and Palumbo B. Inequalities for the incomplete gamma function, Math. Inequal. Appl. 3 (2000), no. 1, 69-77.
5. Qi F. Monotonicity results and inequalities for the gamma and incomplete gamma functions, Math. Inequal. Appl. 5 (2002), no. 1, 61-77.
6. Shabani A. Sh. Some inequalities for the gamma function, J. Ineq Pure Appl.Math.8(2007).
7. Xiao-Li Hu. Two new inequalities for Gaussian and gamma distributions, Journal of mathematical inequalities. Volume 4, Number 4 (2010), 609 - 613.
8. Пекельник Н.М., Хаустова О.И., Трефилова И.А. Замечания об одном интегральном неравенстве. Х международная научно-практическая конференция: «Научные перспективы XXI века. Достижения и перспективы нового столетия» №3(10) 2015, часть 9, 72 - 74.
9. Пожидаев А.В., Пекельник Н.М., Хаустова О.И., Трефилова И.А. Об оценке четных степеней срезок некоторых интегралов, Наука и мир Международный научный журнал, №1 (17), 2015, том 1, 29 - 34.
