Об одном классе операторных уравнений Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.988.6

ОБ ОДНОМ КЛАССЕ ОПЕРАТОРНЫХ УРАВНЕНИЙ

© С.С. Рыданова

Ключевые слова: квазиобратимый оператор; еюрьективный оператор; топологическая степень отображения.

В настоящей статье изучается операторное уравнение с линейным сюрьективным оператором Л, который может быть не замкнутым, но обладает непрерывным правым обратным отображением. Нас интересует существование решений и топологическая размерность множества решений.

Пусть Е\,Е2 — банаховы пространства, Л : О(Л) С Е\ —► Е2 — линейный сюръек-тивный оператор.

Л

если существует непрерывное отображение р : Е2 ^ Е\ такое, что Л(р(у)) = у для любого у € Е2. В этом случае отображение р будем называть квазиобратным к отображению.

Пусть V — ограниченное открытое множество в Е[ , / : V ^ Е2 — непрерывное отображение.

Рассмотрим уравнение:

Л(х) = / (х).

Пусть N (Л,/) —множество решений этого уравнения.

Л

жение р, что отображение д = р о / : V —► Е1 является вполне непрерывным и не имеет, неподвижных точек на дV. Если топологическая степень 7(г — д, дУ) = 0, то N (Л, /) = 0.

Если же кроме этого йгш(Кет(Л)) > 0, то N (Л,/) П дV = 0 и (Л,/)) ^

^ йгш(Кет(Л)).

При доказательстве этой теоремы используются свойства топологической степени вполне непрерывных отображений [1] и теоремы о топологической размерности множества неподвижных точек многозначных отображений, доказанные в работе [2].

Рассмотрим некоторые следствия этой теоремы.

Пусть Л : Е(Л) С Е1 ^ Е2 — замкнутый еюрьективный линейный оператор. Определение 2. Число

,,,-1,, „„„ (гп/{Их11 I х € Е1,Л(х)= у}

11Л 11 = эир гул

уеЕ2 \ иуи

называется нормой многозначного отображения Л-1.

Пусть Е1, Е2, ...Еп+1 —банаховы пространства, Л^ : О(Лг) С Е^ ^ Е^+1, г = 1, 2, ...п, — замкнутые сюрьективные линейные операторы. Рассмотрим оператор С = ЛпоЛп-1о...оЛ1.

Пусть хо € 0(С) — некоторая точка, Вд[хо] — замкнутый шар радпуса К с центром в хо, / : Вд[хо] ^ Е2 — вполне непрерывное отображение.

Нас будет интересовать уравнение:

С (х) = / (х).

Как и раньше, обозначим N (С, /) — множество решений этого уравнения.

Теорема 2. Если существует такое число к > Н^1!! • \\4-1|| • ... • |\4-1\\, что для любой точки х Є Ви[х0] справедливо неравенство

ТУ

\\С(хо) - /(х)\\ <-,

то N (С,/) = 0. Если же кроме этого (іш(Кег(С)) > 0, то N (С,/) П дВи [х0] = 0 и йіш^(С,/)) ^ (іш(Кег(С)).

Доказательство данной теоремы основывается на теореме 1. Из теоремы 2 вытекают следующие утверждения.

Следствие!.. Пусть С : Б(С) С Е1 ^ Еп+1 — линейный сюръективный оператор, удовлетворяющий условиям теоремы 2, и / : Е1 ^ Еп+1 — вполне непрерывное отображение. Если существуют числа а ^ 0 и в ^ 0 такие, что:

1) \\/(х)|| ^ а\\х\\ + в для любого х Є Е1;

2) а •НА-11| • ||А-1|| • ... • ЦА-^ < 1.

Тогда уравнение С(х) = /(х) имеет решение. Если же кроме этого (іш(Кег(С)) > 0, то (іш^(С,/)) ^ (іш(Кег(С)) и для любого

я> вк

1 — к • а где

| а-1 | | • і | а-1 11 •... ||,4-ч|<к<а,

существует точка х Є N (С,/) такая, что \ \ х \ \ = К.

Следствие 2. Пусть С : Б(С) С Е1 ^ Еп+1 — линейный сюръективный оператор, удовлетворяющий условиям теоремы 2, и В : Е1 ^ Еп+1 — линейный вполне непрерывный оператор. Если

\\В\\ • \ А-1 \\ • \ А-1 \\ •... -| \ А-1 \\ < 1,

то (іш(Кег(С + В) ^ (іш(Кег(С)).

Доказательство этого следствия вытекает из следствия 1.

ЛИТЕРАТУРА

1.Красносельский М.А., Забрейко П.П. Геометрические методы нелинейного анализа. М: Наук, 1975.

2.Гельман Б.Д. Топологические свойства множества неподвижных точек многозначных отображений // Математический сборник. 1997. Т. 188, № 12. С. 33-56.

Поступила в редакцию 10 апреля 2011 г.

Rydanova S. S. On one class of operator equations. In this paper we study the operator equation with a linear surjective operator A, which may be not closed, but posesses continuous mapping of right inverse mapping. We are interested in the existence of solutions and topological dimension of the set of solutions.

Key words: quasireversible operator; surjective operator; topological degree of maps.

Рыданова Светлана Сергеевна, Воронежский государственный педагогический университет, г. Воронеж, Российская Федерация, аспирант кафедры высшей математики, e-mail: [email protected].