CC BY
9УДК 517.518.43
ОБ ОДНОМ КЛАССЕ МНОЖЕСТВ ЕДИНСТВЕННОСТИ ДЛЯ КРАТНЫХ РЯДОВ УОЛША Т. А. Жеребьева1
Рассматривается проблема единственности для кратных рядов по ортогональным системам функций. Получен класс множеств единственности для кратных рядов Уолша и для кратных рядов по смешанной системе функций, расширяющий известные классы множеств единственности. Установлен многомерный аналог теоремы И.И. Привалова.
Ключевые слова: множества единственности, кратные функциональные ряды, сходимость по прямоугольникам, теорема Привалова.
The uniqueness problem for multiple series over orthogonal systems of functions is considered. Classes of sets of uniqueness for multiple Walsh series and for multiple series over a mixed system of functions, which extends known classes of sets of uniqueness, are obtained. A many-dimensional analogue of Privalov's theorem is established.
Key words: sets of uniqueness, multiple functional series, convergence over rectangles, Privalov's theorem.
В настоящей работе продолжается начатое в [1] изучение множеств единственности для кратных рядов Уолша, сходящихся по прямоугольникам. Напомним, что в [1] получен новый класс и множеств единственности для двумерных рядов Уолша в случае прямоугольной сходимости. Каждое множество из этого класса задается совокупностью одномерных множеств единственности {и, {иу}у/и} по следующему правилу: пусть Ру = {(х,у) £ [0,1)2 : х £ [0,1)} , у £ и, и Ку = {(х,у) £ [0,1)2 : х £ иу} , у £ и,
тогда Е = I и Ру Ш и Яу) £ и. Мы обобщим данный результат, вновь применяя разработанный \е и ' \/и '
Ш.Т. Тетунашвили (см. [2, 3]) метод сведения прямоугольной сходимости к повторной, на й-мерные ряды Уолша, сходящиеся по прямоугольникам. Построим класс множеств единственности ис, в котором каждое множество Е задается набором множеств {и, {и^Х2...,.ХЛ)}(Х2.....Ха)/и}, где и — (й — 1)-мерное множество единственности для системы Уолша в случае сходимости по прямоугольникам, {и(Х2...,ХЛ) }(Х2.....Ха)еи — одномерные множества единственности для системы Уолша. Если обозначить Р(Х2...,ХЛ) = {(х1,х2, • • • ,хс) £ [0,1)с : х1 Л [0,1)} , (х2, •••,хЛ) £ и, и Я(Х2.....ХЛ) = {(х1 х •••,хЛ) £ [0,1)с : х1 £ и(Х2...,ХЛ)} , (х2, •••,хс1) £ и, то Е = ( и Р(Х2.....ХЛ)) и( и Щх2.....хл)) £ ис.
(х2 .....ХЛ) е и 7 К(Х2.....ХЛ)/и 7
Основные результаты в теории кратных рядов Уолша для сходимости по прямоугольникам можно найти в работах [4-7]. Наиболее общий результат для й-мерных рядов был получен в работе [6], где построены континуальные множества единственности. В частности, доказана
Теорема. Множества Е из класса ис, задаваемые наборами {и, {и(Х2.....Ха)}(Х2.....Ха)/и}, где и — (й — 1) -мерное множество единственности для системы Уолша в случае сходимости по прямоугольникам, {и(х2....ХЛ)}(Х2.....Ха)еи — произвольные одномерные не более чем счетные множества, являются й-мер-ными множествами единственности для системы Уолша в случае сходимости по прямоугольникам.
Напомним основные определения. В нумерации Пэли функции Уолша определяются следующим образом [8, определение (1.2.12)]: Wo(x) = 1,
к
У ] £>гхг
Wn(x) = (—1)^° ,п = 1,2,3,...,х£ [0,1),
к
где числа е% берутся из двоичного разложения номера функции Уолша п = ^ е%2%, £к = 1, е% £ {0,1}
%=0
ж
(г < к), а числа Хг задаются двоичным разложением числа х в виде х = ^ ^т, € {0,1}. При этом для
%=0
1 Жеребьева Татьяна Александровна — асп. каф. теории функций и функционального анализа мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail:
двоично-рациональных точек берется разложение с конечным числом единиц, т.е. функции Уолша непрерывны справа в двоично-рациональных точках. Под двоичными интервалами к-го ранга понимаются интервалы вида А$ = [Щ, , 0 ^ т ^ 2к - 1.
Мы будем рассматривать на единичном кубе [0,1)а кратный ряд Уолша
^ аП1...пЛ(х\) ...'Шпд(ха), под сходимостью которого понимается стремление его частичных
п1,...,пЛ=0
сумм Бп1,..,пл(х\,...,х4) к пределу, когда тш(п1,...,п) ^ то; такая сходимость называется сходимостью по прямоугольникам.
Определение 1. Множество Е на интервале [0,1) называется множеством единственности
те
(и-множеством,) для системы функций Уолша, если из сходимости ряда ^ ат'Шт(х) к нулю вне мно-
т=0
жества Е следует, что все его коэффициенты равны нулю.
Определение 2. Множество Е С [0,1)а называется .множеством единственности (и-м,но-
те
жеством) для системы функций ^п1 (х1) ■.. (х^)}, если из сходимости ряда ^ ап1...,пли!п1 (х1) х
п1,...,пЛ=0
... х wnd(ха) к нулю по прямоугольникам вне множества Е следует, что все его коэффициенты равны нулю. Далее для удобства мы будем опускать знак умножения " ■" в записи рассматриваемой системы функций и писать ^п1 (х1).. ^ПЛ(х^)}.
Для доказательства основной теоремы нам понадобится вспомогательная лемма.
(к)
Лемма 1. Фиксируем натуральное число к и отметим в каждом двоичном интервале Дг , 0 ^ I ^ 2к — 1, точку хг. Пусть существуют постоянные А > 0 и N > 0, такие, что при ш1п(^2 ,..., ) > N имеет место оценка
32 jd 2к -1
*пЛ п2 ...nd^ (хг) ^ А.
■■■ ™п1 п2 п1 п2 =0 nd=0п1=0
Тогда для любого п1 = 0,...,2к — 1 и любого набора (]2,...,]а), удовлетворяющего условию ш1п(^2 ,..., ) > N, последовательность сумм
п2=0 nd=0
3d
п
п1 п2 ...nd
ограничена той же величиной А.
Доказательство. Фиксируем произвольный набор (]2 , удовлетворяющий условию
32 jd
ш1п(^2 ,...,]<!) > N. Обозначим Ап13 = ^ ... *п1 п,2 ■■■nd. Тогда, согласно условию леммы,
п2=0 nd=0
2к-1
модуль полинома по системе Уолша ^ Ап13 wn (х) в точках хг, 0 ^ I ^ 2к — 1, ограничен величиной
п1 =0 12 1
А. Но для функций Уолша с номерами от 0 до 2к — 1 двоичные интервалы Дг(к), 0 ^ I ^ 2к — 1, являются интервалами постоянства, поэтому указанный полином ограничен постоянной А на всем интервале [0,1). В то же время полином является своим рядом Фурье, а его коэффициенты есть коэффициенты Фурье, поэтому \Ап1 з2 ...зЛ | ^ А для каждого п = 0,..., 2к — 1. Набор (^ , . .,]й) с условием тт^,. ..,]й) > N фиксировался произвольно, что и завершает доказательство леммы. □
Теорема 1. Пусть Е и ряд
те
Е *п1.. (х1) (хсд (1)
п1 .....nd=0
сходится по прямоугольникам к нулю вне множества Е. Тогда все коэффициенты ряда (1) равны нулю.
Доказательство. Множеству Е, согласно определению класса множеств иа, отвечают множества и и [и^Х2.....х^}(х2...,Хсд/и, являющиеся (й — 1)-мерным и одномерными множествами единственности для системы Уолша соответственно.
Фиксируем произвольную точку (х2 ,•••, хСС) £ и и для каждого индекса П1 рассмотрим суммы 32 3ё
••• ап1п2 ...пё (х2) • • • шпё (хС). Найдем точку х0 £ и(х°.....х°^ тогда ряд
П2=0 пё=0
Е К.. .ПёШп2 (х2) ••• ШПё Ю) (х0)
п1 .....Пё=0
сходится по прямоугольникам к нулю и \wnl (х°)| = 1. По определению прямоугольной сходимости суще-
П1 л 32 3ё \
ствуетчисло к = к(х1, •••, хСС), такое, что суммы Зп1.32.....3ё = ХЛ 52 •••52 аппо-.п^по (х0) (х0С)) х
п=0 ^П2=0 пё=0 '
хи)п(х1) при т1п(п1, • • • > 2к — 2 по модулю ограничены числом Фиксируя П\> 2к — 1, имеем
32 Зё
| ^^ • • • ^^ аП1П2...ПёWn2 (х0) • • • ШПг1 (х°) п2=0 пё=0
w.
32 Зё
п1 (х<1) Е • • • Е апШ2 ...пё wn2 (х2) • • • W'Пё (хС)
п2 =0 пё=0
= \^п1.з'2.....3'ё ^п1-1.32.....3ё \ ^ 1
(2)
при всех ('2, • • • ,3с), таких, что шш',•••,34) > 2к — 1. Для полученного к рассмотрим двоичные интервалы Дгк, I = 0,---, 2к — 1, и в каждом из них отметим точку х1 £ и(Хо х°). Сумма ряда (1) в точке
(х1 ,х2, • • • , х°) равна нулю. Тогда по определению прямоугольной сходимости для достаточно большого N > 2к — 1 при шт(з'2, • ••, 'с) > N для всех I = 0,---, 2к — 1 имеет место оценка
! 3о 3ё N
| Е •• ^ Е Е ап1 ...пё^ (х1 ^п2 (х0) • • • Шпё (хСс)
по =0 пё=0 п1 =0
^ 1
Таким образом, с учетом (2)
! 32 3ё 2к -1
| Ё •• ^ Е (ап1 п2 ...пё^п2 (х0) • • • Шпё (х0) ^ (х1)
по =0 пё=0 П1 =0
! N 32 3ё
< | Е Е ••^ Е ап1 п2 ...Пё Wn1 ^^ (х2) • • • Шпё (хС)
П1 =0 По =0 Пё=0
N , 3о 3ё
<
+
+ Е I Е ••• Е
аП1 П2 ...Пё Ч>Лп2 (х0) • • • wnё (хС)
^ 1 + N — 2к + 1
Выполнено условие леммы 1, согласно которой для каждого значения п1 = 0,---, 2к — 1 и произволь-
ного набора j = (32 ,•••, 3с) с условием
ш1п('о,•••,34) > N
(3)
имеем
32 3ё
У! • • • Е ап1 п2 ...Пё Wn2 (х0) ••• wnё (хС)
По =0 Пё=0
^ 2 + N — 2к •
32 3ё
Объединяя эту оценку с оценкой (2), получаем ограниченность сумм 52 ••• 52 ап п ..,Пё х
п2 =0 Пё=0
хwn (х2) • • wnё (хС) для всех п1 ^ 0 при условии, что набор j удовлетворяет условию (3).
32 3ё
Рассмотрим последовательность ^ • • • ^ а0П2...Пёwn2(х2)• • • wnё(хС). Она является ограничен-
П2=0 Пё=0
ной при условии, что область изменения набора j удовлетворяет требованию (3), значит, к ней
п1 =2к п2 =0 Пё=0
применима теорема Больцано-Вейерштрасса. Найдем подпоследовательность {(j°i,...,j°i)}i с условием ) ^ то, г ^ то (так как в дальнейшем нас будет интересовать сходимость
32 jd
^2 ... ^2 (10'п2...'пл wn2 (х2) ..^п<1 (хС) по прямоугольникам, то важны только последовательности с
п2=0 П1=0
шш^'*. ,... ^^) ^ то, г ^ то), для которой существует предел
32г 3°г
1Лт( Е .. ^ Ё *0п2...п1 ^2 (х2) . . . ^ (хСС)) = Ь0.
i^те
п2=0 П1=0
Пусть числа ЬР и последовательности {(у2ц,... ,jPi)}i для р = 0,...,т — 1 уже построены, рассмотрим последовательность {^т,... Лт)}i с условием тт(^т,... ^т) ^ то, г ^ то, которая является подпоследовательностью последовательности {($т-1,... Лт-1 )}i и для которой существует предел
,-т
3М
1iШ ( Е ... Е
*тп2 ...П1 Шп,2 (х2) . ..^ (х°с1)) — Ьт.
*
п2=0 П1=0
Используя полученную последовательность частичных пределов {Ьт}, покажем, что ряд
те
^2 Ьт^т(х1) сходится к нулю для всех х1 £ и(Хо Хо). Фиксируем произвольную точку х1 £ и(Хо Хо\ и
( 2..... d) ( 2..... d)
т=0
положительное число е. Так как ряд (1) сходится в точке (х1 ,х0,... ), то по определению прямоугольной сходимости можно указать такое число К > 0, что при шiп(k, j2,... Лс) > К
о о е
> Х2' • • •' хс1)\ < 2'
Возьмем к > К. По построению последовательность ,...^с!и)}i является подпоследовательностью всех последовательностей {(^2ц,... )}i при р = 0,...,к — 1. Значит, для набора (^2,... Лс) из последовательности {(^,... )} с условием шiп(j2,... Лс) > К (это возможно, так как шш... ^ то, г ^ то) имеет место оценка
32 Л
е
<-п", 0 ^ т ^ к.
2т+1 ' п2=0 П1=0
Ьт ^ ^ . . . ^ ^ атп2 ...П1 wn2 (х2) . . . wnd (хс)
Тогда
к ! к 32 Л
Е bmWm(Xl) ^ (Ьт — ^ Е *тп2 ■■■п1 Wn2 (х°) (х0^ Wm(Xl)
а.
т=0 т=0 п2=0 П1=0
к
+
+ 2 < (4)
т=0
те
что доказывает сходимость ряда ^ bmwm(x1) к нулю при всех х1 вне множества и(Хо Хо). Но множе-
( 2..... d'
т=0
ство и{Хо Х0) является множеством единственности для системы Уолша, значит, все коэффициенты Ьт рассматриваемого ряда равны нулю. В частности, Ь0 = 0.
Полученный результат не зависит от выбора последовательности ,... ^^)}i (с шш(^, ... Л^) ^
32 jd
то, г ^ то), т.е. все частичные пределы по прямоугольникам последовательности ^ ... *0п2..,пл х
п2=0 П1=0
те
хwn2 (х2).. ^^(хС) равны нулю, а это означает, что ряд ^ а0п2..,плwn2 (х2).. ^^(хС) сходится по
П2.....П1=0
прямоугольникам к нулю.
Установив, что число Ь0 равно нулю, мы можем теперь начать построение последовательности с номера т = 1. Тогда последовательность {(^,...,jli)}i будет выбираться произвольно, независимо от
последовательности {('%,•••,'40%)}%, и мы можем повторить все рассуждения. Получим, что 61 =0 и
32 3ё
все частичные пределы по прямоугольникам сумм ^ ••• 52 а1П2..ППёwn2 (x°)wnë • • • (хС) равны нулю, т.е.
П2=0 Пё=0
ж
52 а1П2..пПлwn2 (х°) • • ^^ (хС) сходится по прямоугольникам к нулю. И так далее. В итоге для каж-
П2.....Пё=0
ж
дого т ^ 0 мы получим, что ряд ^ атП2...Пёwn2(х2) (х0) сходится по прямоугольникам к
П2.....Пё=0
нулю.
Но точка (х0,...,хс) выбиралась вне и произвольно. Значит, для всех т ^ 0 ряды
жж
52 ••• 52 атП2...Пёwn2(х2)wnё ... (хс) сходятся по прямоугольникам к нулю вне и. По условию теоре-
П2=0 Пё=0
мы и является множеством единственности для (й — 1)-кратной системы Уолша, что по определению приводит к равенству нулю всех коэффициентов ряда (1). □
Замечание 1. Вместо системы функций {wn2(х2) (хс)}, как видно из доказательства теоре-
мы, можно взять любую систему {дП2 (х2) • • • дПё (хс)} ограниченных ортогональных функций, для которой имеется (й — 1)-мерное множество единственности в смысле прямоугольной сходимости. Вместо системы ^^(х1)} можно брать любую систему ограниченных ортогональных функций, для которой выполнены аналоги неравенства (2) и леммы 1, а также существуют множества единственности; в частности, такими системами кроме системы Уолша являются тригонометрическая система {Ьп} (см. [9]) и мультипликативная система функций (см. [10])1.
Замечание 2. Как было только что отмечено, теорема 1 позволяет построить класс и(ф множеств единственности для системы функций {ЬП1 (х1)... ЬПё_ 1 (хс-1 )фПё(хс)}, где {фПё} — ортогональная система ограниченных функций с непустым классом и-множеств. Каждому множеству из Ц(ф отвечает совокупность множеств {и, {и(Х2.....Хё)}(Х2.....Хё)еи}, где и — (й — 1)-мерное множество единственности для системы {^2(х2) •••ЬПё_1 (хс-1)фПё(хс)}, а и(Х2.....Хё) — одномерные множества единственности для тригонометрической системы. Теорема 1 в [2], примененная к той же системе функций, тоже указывает класс иф
(2)
множеств единственности. Каждому множеству из Ц(ф отвечает совокупность множеств {и', {иХё}Хёеи'}, где и' — одномерное измеримое множество единственности для системы {фПё}, а иХё — (й — 1)-мерные множества единственности для тригонометрической системы, полученные в индуктивном процессе начиная с одномерных измеримых и-множеств по правилу, описанному в теореме 1 [2]. Нетрудно про-
7/(2) 7/(1)
верить, что класс множеств и^ф совпадает с подклассом в и^ф , задаваемым измеримыми множествами
и(Х2.....Хё) и (й—1)-мерными множествами и, построенными индуктивно начиная с одномерных измеримых и-множеств по правилу, описанному в теореме 1, используя только измеримые множества на каждом шаге. Таким образом, для рассмотренной системы функций теорема 1 позволяет получить более широкий класс множеств единственности, чем класс множеств в [2].
Используя рассуждения из доказательства теоремы 1, покажем, что имеет место
ж
Теорема 2. Пусть ряд ^2 аП1 ..,Пёwnl(х1) сходится по прямоугольникам к конечной функции
П1.....Пё=0
/ (х1) при х1 £ и, где и — множество единственности для системы Уолша, тогда
ж
1) ряды ^2 аП1 .П2.....Пё сходятся по прямоугольникам при всех щ;
П2..... Пё=0 ж л ж \
2) 52 ( 52 ап1.....пё) Wnl (х1) = /(х1) при х1 £ и.
П1=0^П2.... .Пё=0
Доказательство. Повторяя рассуждения из предыдущего доказательства, построим систему вложенных подпоследовательностей {Х''^,...,зсы)}% Э {(з1%)}% Э ••• Э {(зП1 ,...,с)}% Э •••, г =
1, 2, 3,... , П1 =0,1, 2,..., и соответствующие каждой из этих подпоследовательностей числа
.П1 п 1
32г 3ё
2г ёг \
Е ••• Е ап1П2...пё), П1 =0,1,2,....
П2=0 Пё=0
хПосле того как настоящая работа была принята к печати, автор ознакомилась с работой Л. Д. Гоголадзе (Изв. РАН. Сер. матем. 2008. 72, № 2), где получен аналогичный результат.
те
Нетрудно проверить, что условие теоремы обеспечивает сходимость ряда ^ Ьп1 wnl (х1) к функции / (х1)
п1=0
всюду вне множества и. Но множество и является множеством единственности для системы Уолша, значит, по теореме единственности коэффициенты этого ряда определены функцией / однозначно, т.е. число Ь0 определено однозначно. Полученный результат имеет место для всех частичных пределов по прямоугольникам Ь0, соответствующих выбору последовательности ,...,j°i)}i. Отсюда следует, что
те
все частичные пределы по прямоугольникам совпадают и существует Ь0 = ^ а0п2..,пл. Установив,
П2.....П1=0
что Ь0 не зависит от выбора последовательности {(j°i,... ,j°i)}i, построение системы последовательностей начнем с номера щ = 1. Тогда уже последовательность ,...'&)}i будет выбираться произвольно, независимо от последовательности ,... и мы можем повторить все рассуждения.
те
В итоге для каждого щ получим сходимость по прямоугольникам рядов ^ ап1 П2...П1 = Ьп1. При
П2.....П1=0
те
этом ряд ^ Ьп1 wnl (х1) будет сходиться к функции / (х1) всюду вне множества и. Подставляя в него
т =0
те / те \
выражения, задающие числа Ьп1, получим повторную сходимость ряда ^ ( ^ ап1п2...П1 гап1 (х1) к
П1=0^П2.....П1=0
функции / (х1) всюду вне множества и. □
В работе [11] доказан аналог теоремы И. И. Привалова, утверждающий, что каждый ряд по одномерной системе Уолша, всюду, кроме, быть может, некоторого замкнутого и-множества, сходящийся к конечной, интегрируемой по Лебегу функции, является рядом Фурье этой функции. Пусть система {дп2 (х2)... дП1 (хс)} — система ограниченных ортонормированных функций, для которой существует (й — 1)-мерное множество единственности в смысле сходимости по прямоугольникам, причем каждое измеримое множество единственности для этой системы имеет меру нуль и для некоторых множеств единственности выполнен аналог теоремы Привалова для сходимости по прямоугольникам.
Теорема 3 (многомерный аналог теоремы Привалова). Пусть Е — множество единственности из замечания 1 для системы функций ^п1 (х{)дп2(х2)... дП1 (хс)} и все задающие его множества единственности для системы Уолша {и(Х2.,,..Хс)} замкнуты в [0,1); и — измеримое (й—1)-мерное множество единственности для {дп2(х2)... дП1 (хс)}, такое, что для него выполнен аналог теоремы Привалова.
те
Если ряд ^ ап1 ..,плwn (х{)дп2(х2) ...дпл(хс) сходится по прямоугольникам всюду вне множества п1 .....П1=0
Е к конечной, интегрируемой по Лебегу на [0,1)с функции /(х1,... ,хс), то данный ряд является рядом Фурье функции /(х1,..., хс), т.е.
1 1
ат...пл = J ..^ / (xl,...,Xс)Wnl (х1)дп2 (х2) ...дПс1 (хс)йх1 йх2 ...йхс. 00
Доказательство. По условию множества {и, {и^Х2 .....хс)}(х2 .....хс) £ и} измеримы, следовательно, они имеют меру нуль. Для точек (х2,..., хс) £ и по теореме 2 имеем:
те
1) ряды £ ап1 п2...пс дп2 (х2) ...дпл (хс) сходятся по прямоугольникам к конечной функции
п2.....пт=0
Ьп1 (х2, . . .,хс),
те
2) Е Ьп1 (х2 ,...,хС ^п1 (х1) = / (х1, х2 ,...,хС) при х1 £и(х2.... .хс) . п1=0
Доопределим Ьп1 (х2,..., хт) нулем на и.
Функция /(х1, ...,хс) £ !^[0,1]с, следовательно, по теореме Фубини для почти всех (х2,...,хс) £ [0, 1]с-1 функция /(х1,х2,..., хс) как функция переменной х1 интегрируема по Лебегу на отрезке [0,1]. Обозначим С = {(х2,..., хс) £ [0, 1]с-1 : /(х1,х2,..., хс) интегрируема по Лебегу на отрезке [0,1]}, тогда ¡С = 1.
Фиксируем произвольную точку (х2,...,хс) £ и и (х2,..., хс) £ С. Множество и^Х2. ... . хс) является замкнутым и-множеством для системы Уолша , значит, как отмечалось, для него выполнен одномерный аналог теоремы Привалова, согласно которому
те 1
У] аП1 П2...ил 9п2 (Х2) ■■■9пл (хл) = Ьп-1 (Х2,...,Х<1)= / (х1,...,хл^щ (Х\)йХ\. (5)
п2 ,...,па=0 0
Равенство (5) выполнено для почти всех (х2 ,...,хл) £ [0,1]л-1. Таким образом, ряд
те
52 ап1п2...пл х дп2(х2) ...дпа(хл) сходится по прямоугольникам всюду вне и к конечной измери-
П2,...,пл=0
мой функции Ьп1 (х2,...,Хл), которая совпадает почти всюду с интегрируемой по Лебегу функци-I
ей f / (х1,...,хл )wп1 (х\)йх1 (интегрируемость по Лебегу этой функции следует из теоремы Фубини, о
примененной к /(х1,...,хл^п1(х1) £ Ь[0,1]л). Значит, сама функция Ьп1 (х2,...,хл) конечна и интегрируема по Лебегу на [0,1]л-1. По условию теоремы для системы функций {дп2 (х2) ...дпл(хл)} и множества и выполняется аналог теоремы Привалова. Применяя также теорему Фубини к функции
I I
/(хь .. .,хл(х1)дт(х2). ..дпл(хл), с учетом / .../\/(х1,.. .,хт)\йх1 . ..йхт < то получим
о о
а,П1..,Пл = J ..^ I У / (х1,...,хл^щ (х{)йх1 I дп2 (х2) ...дпл (хл )<х ...йха = о о \0 /
I I
= / ... I / (х1, ..., хл ^п1 (х1)дп2 (х2) . . . дпл (хл )Лх1 (1х2 . . . (хл,
оо
т.е. ряд является рядом Фурье функции /(х1,..., хл). □
Замечание 3. Вместо системы функций Уолша ^п1 (х1)}, как видно из доказательства теоремы, можно взять любую систему {дп1 (х1)} ограниченных ортонормированных функций на отрезке [0,1], для которых существуют множества единственности, каждое измеримое множество единственности имеет меру нуль и для некоторых множеств единственности выполнен аналог теоремы Привалова. При этом в качестве измеримых множеств единственности {и(Х2,..,ха)} для {дп1 (х1)} берутся те, для которых выполнен аналог теоремы Привалова. В частности, данным условиям удовлетворяют функции из тригонометрической [12] и мультипликативной систем.
В качестве системы функций {дп2 (х2)... дп<1 (хл)} можно брать систему, в которой {дП1} — функции из системы Уолша, или тригонометрической системы, или мультипликативной системы функций при каждом фиксированном г. Для таких систем примерами (( — 1)-мерных и-множеств, удовлетворяющих условиям, перечисленным перед теоремой 3, являются множества из замечания 1, построенные индуктивно начиная с одномерных множеств, при этом на каждом шаге построения в качестве одномерных множеств и(*) берутся только замкнутые на [0,1] множества единственности для системы функций {дП1}.
Обозначим множество (( — 1)-мерных и-множеств для системы ^п2(х2) ..^пл(хл)}, полученных указанным только что индуктивным способом, через №л-1. Покажем, что каждое измеримое множество из №л-1 удовлетворяет условиям, перечисленным перед теоремой 3.
Лемма 2. Пусть Е — (-мерное измеримое множество единственности из №л, тогда /Е = 0. Доказательство. По индукции. При ( =1 утверждение леммы выполнено, так как каждое измеримое и-множество для системы Уолша имеет меру нуль.
Предположим, что лемма доказана для ( = т — 1. Покажем, что она справедлива при ( = т. Множество Е измеримо. Согласно теореме Фубини, /Е(Х2.....Хт) £ ¿([0,1]т-1) и /лЕ = § |лE(Х2,,Хm)dx2 ... (хт.
[о ,1]т-1
Множество Е задается набором множеств единственности {и, {и(Х2.....Хт)}(Х2.....Хт)/и}, поэтому сечения Е(Х2...,Хт) множества Е при (х2,...,хт) £ и совпадают с множествами и(Х2...,Хт) и /Е(Х2...,Хт) = 0, а при (х2,...,хт) £ и — с интервалом [0,1) и |Е(Х2.....Хт) = 1. Следовательно, хи(х2,...,хт) = ЛЕ(Х2...,Хт) £ ¿([0,1]т-1), что доказывает измеримость множества и. Являясь измеримым (т — 1)-мерным множеством единственности, множество и по предположению индукции имеет нулевую меру, значит, ЛЕ = / лЕ(Х2.... . Хт)(х2 ... (хт = / (х2 ... (хт = 0. □
[од]™-1 ' т и
Аналогично по индукции, повторяя рассуждения из доказательства теоремы 3, можно проверить выполнение многомерного аналога теоремы Привалова для системы функций ^п2(х2)... wnd(хл)} и произвольного фиксированного множества из №л.
Автор выражает благодарность научному руководителю В. А. Скворцову за постоянное внимание к работе и плодотворное обсуждение результатов работы.
Работа поддержана РФФИ (грант № 08-01-00669) и программой "Ведущие научные школы" (грант НШ-2787.2008.1).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Жеребьева Т.А. Об одном классе множеств единственности для двойных рядов Уолша // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2007. № 5. 13-18.
2. Тетунашвили Ш.Т. О некоторых кратных функциональных рядах и решение проблемы единственности кратных тригонометрических рядов для сходимости по Прингсхейму // Матем. сб. 1991. 182, № 8. 1158-1176.
3. Rinne D. Rectangular and iterated convergence of multiple trigonometric series // Real Analysis Exchange. 1993/94. 19(2). 644-650.
4. Скворцов В.А. О коэффициентах сходящихся кратных рядов Хаара и Уолша // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 1973. № 6. 77-79.
5. Мовсисян Х.О. О единственности двойных рядов по системам Хаара и Уолша // Изв. АН АрмССР. Матем. 1974. 9, № 1. 40-61.
6. Лукомский С.Ф. О некоторых классах множеств единственности кратных рядов Уолша // Матем. сб. 1989. 180, № 7. 937-945.
7. Холщевникова Н.Н. Объединение множеств единственности кратных рядов — Уолша и тригонометрических // Матем. сб. 2002. 193, № 4. 135-159.
8. Голубов Б.И., Ефимов А.В., Скворцов В.А. Ряды и преобразования Уолша. М.: Наука, 1987.
9. Жеребьева Т.А. Об одном классе множеств единственности для двойных тригонометрических рядов // Матем. заметки. 2009.
10. Жеребьева Т.А. Теорема единственности для двойных рядов по мультипликативной системе функций // Мат-лы Воронежской зимней математической школы "Современные методы теории функций и смежные проблемы". Воронеж, 2007. 79-80.
11. Скворцов В.А. Некоторые обобщения теоремы единственности для рядов по системе Уолша // Матем. заметки. 1973. 13, № 3. 367-372.
12. Привалов И.И. Обобщение теоремы Paul-du-Boys-Reymond'a // Матем. сб. 1923. 31, № 2. 229-231.
Поступила в редакцию 05.03.2008
УДК 519.176
НЕВОЗМОЖНОСТЬ СУЩЕСТВОВАНИЯ РАЗЛИЧНЫХ СОНАПРАВЛЕННЫХ ЛОКАЛЬНО-МИНИМАЛЬНЫХ ДЕРЕВЬЕВ
НА ПЛОСКОСТИ
К. И. Облаков1
Рассматриваются локально-минимальные графы на плоскости. Дается более простое доказательство единственности затягивающего глобально минимального дерева в общем случае на плоскости. Приведенное доказательство, использующее лишь локальную минимальность деревьев, представляет самостоятельный интерес.
Ключевые слова: локально-минимальная сеть.
Locally minimal graphs on a plane are considered. A simpler proof is given for the uniqueness of a globally minimal spanning tree on a plane in the general case. The proof presented here uses only local minimality of trees and is of independent interest.
Key words: locally minimal tree.
1 Облаков Константин Игоревич — студ. каф. общей топологии и геометрии мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: [email protected].
11 ВМУ, математика, механика, №2
