Об одном итерационном методе решения стационарных уравнений Навье - Стокса Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вычислительные технологии

Том 11, № 4, 2006

ОБ ОДНОМ ИТЕРАЦИОННОМ МЕТОДЕ РЕШЕНИЯ СТАЦИОНАРНЫХ УРАВНЕНИЙ

НАВЬЕ - СТОКСА

Н. Т. ДАНАЕВ

ДГП "НИИ математики и механики" КазНУ им. аль-Фараби,

Алматы, Казахстан, Е. К. ЕРГАЛИЕВ Восточно-Казахстанский государственный университет им. С. Аманжолова, Усть-Каменогорск, Казахстан e-mail: [email protected], [email protected]

An iteration scheme for the numerical solution of stationary Navier — Stocks equations written for the velocity and pressure variables is discussed. For the suggested algorithm, the convergence of the iteration procedure has been proved. In the case of Stocks linear problem, it has been proved that the convergence rate does not depend on the number of grid knots.

В прямоугольной области D = {0 < xa < la, a =1, 2,N} рассмотрим систему уравнений Навье — Стокса

(U, v) U + gradp = vAU + f, (1)

div U = 0 (2)

с краевыми условиями

UU

dD

0, (3)

где и = (и^, и2, ■ ■■, и^) — вектор скорости; / = (Д, /н) — вектор-функция источни-

ков; р — давление; V — коэффициент вязкости; N = 2, 3 — пространственная размерность задачи.

Для численного решения дифференциальной задачи (1)-(3) широко используются итерационные схемы, основанные на идее "слабой сжимаемости", впервые предложенной в работе [1]. Основная идея этого метода состоит в том, что уравнение неразрывности регу-ляризуется уравнением вида

е^ + и = 0, (4)

где е > 0 — числовой параметр.

Информацию об итерационных схемах, применяемых для решения задачи (1)-(3) с использованием уравнения (4), можно найти в работе [2].

© Институт вычислительных технологий Сибирского отделения Российской академии наук, 2006.

Для численного решения задачи (1)-(3) конечно-разностным методом рассмотрим итерационную схему вида

и"+1 - и

у-у гт ^ 1

Т

п

т+чтит+1 + (рп - тса^Пхт = Vд^ит+1+то^(ит+1 - ит)-„-„ + и (5)

т = 1, 2,..., N

рп+1 — рп То

+ = 0

с однородными краевыми условиями

ип+1

0,

(6)

(7)

где т, т0, 8 — положительные итерационные параметры. Здесь и в далее приняты общеизвестные обозначения из теории разностных схем [3].

Предполагается, что компоненты вектора скорости ит, т = 1, N, определены в узлах соответствующих сеток:

= {(№, ЬЬ,, ...,1т-1к, (1т + 1/2)Ь, /т+1^, ...,1мЬ),

1к = 0,М, к = т,1т = 0,М - 1, МЬ =1}, а значения давления — в узлах сетки

= {(/1Ь,/2Ь,...,/мЬ), 1и = 0,М - 1, к = }.

Также предполагается, что операторы , т = 1,N, соответствующие аппроксимации конвективных членов, являются энергетически "нейтральными", т. е.

(ЬКтит, ит) = 0 Ут =1,Ж. (8)

Для удовлетворения условию (8), например для N = 2, выбираем Ь^д следующим образом:

1

¿М(и)Й+1/2| = 2Ь1 (ак+1 ий+3/2г - ак1ик-12) + + 2/^(Ьк+1/21+1/2ик+1/21+1 - Ьк+1/21-1/2ик+1/21-1),

где

ак+11 = 0, 5(ик+3/2г + ик+1/21); Ьк+1/21+1/2 = 0 5(^к+11+1/2 + ^к1+1/2)-

Для получения априорных оценок для итераций (5)-(7) умножим соотношение (5) на 2тит+1, просуммируем по внутренним узлам соответствующих сеток и, используя

формулы суммирования по частям, запишем

и п+1 - ип

+

и п+1

ип

+ 2т(рп - т0а^ Цп, Цп+1)+

+2^

УД п+1

+ 2тто8Е ( ип+т - ипхт , ^+-1,) = 2т(/, Цп+1).

Отсюда, учитывая соотношение (7), получим

ип+1

ип

+

ип

+тто8£ (ЦиП+1

2 2т

ип+1 - ип + — (рп+1 - рп,рп) + тт0 ( то

2

ип+1 - ип) ) + 2^ у ип+1

п+1

+

+

- II ип-

^ <т --у

+ IIит+-т - ит-тII) < 2т (/,ип+1)

(9)

2

2

2

2

2

2

2

2

2

т

Надо отметить, что

(pn+l - рп,рп) = ||pn+l||2 - ||pn||2 - т2

divhf n+1

divh( un+i - un) < ny, IIum+m - U^xm

С учетом этих замечаний из энергетического тождества (9) получим следующее неравенство:

En+1 + тт0

divhf n

+ 2 vt

Vh un+1 " + тто (S - N) £ || Um+m - U-, ||2 <

< 2t

(f, un+1)

+ En

где

En

Uun

+ -IH|2 + тто^ ||U т0

n|

m,xm I

Отсюда легко получится неравенство

En+1 + тт0

divhU n

+ 2vt(1 - e)

VhU n+1

справедливое при V e > 0, где

< En +

f

т

2ev

+ тто (S - N)£ |um+m - U

n | | <

m,xm\\ <

fu

(-2h)

sup ■

l(f,u)l

(-2^) 7^=0\\Vh01| Выбирая е, 8, удовлетворяющие неравенствам

1 - е > ео > 0, 8 - N > 8о > 0, окончательно получаем следующую оценку ограниченности итерации (5)-(7):

En+1 + тто

divhU n

+ 2ите0

VhU n+1

+

+ttoSOJ] ||Um+m - u

n

m,xr

2т

< En +-

1 - 2ev

f n+1 - fn fu

+

(-2h)

(10)

Заметим, что в случае отсутствия источников (f = 0) из неравенства (10) следует, что {En, n = 0,1,...} является монотонно невозрастающей числовой последовательностью и имеет конечный предел

lim En = E* < E0 < то.

n—

Следовательно, рассматривая неравенство (10) при n ^ то, убеждаемся в том, что

lim

n—

lim

d_iVhf n

VhU n

0,

lim

un+1 - un

0,

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

0

т. е. при любом задании начальных значений ц0, р0 итерации при п ^ то сходятся к нулевому решению. В линейном случае из оценки неравенства (10) также следует сходимость итераций (5)-(7) к решению соответствующей стационарной задачи Стокса.

Исследуем скорость сходимости итерационного алгоритма (5)-(7) в случае линейной задачи Стокса. Тогда разностное соотношение для погрешности решения будет иметь вид

-п+1 _ „в

-т—т + (пп - т^л-т = vДhzm+1+т0 8(„т+1 - -т )-т-т, (11)

пп+1 - пп

т

+ а]у^-в+1 = 0, (12)

где

-т(х) = ит(х) - ит(х), х е ДЛ>т,

пп = рп - р(х), х е Д^.

Для задачи (11), (12) поступаем, как и в случае получения априорной оценки (10). Можно показать справедливость следующего неравенства:

||-п+1!2 + тт^ау^Ц2 + 2vт||УЛйп+1|2 + ||йп+1 - -в|2+

+тт0 (8 - N) ^ ц-т+т - -т,-т II2 + тть8Е ц-т+тII2 + т||рп+1|2 <

тт 2т

т0

< и-12 + -||рп|2+тт0^ ц-т,-тII. (13)

т0

т

Далее воспользуемся "тГ-эир" неравенством [4]

|(р, а]уь,у)|

< эднУТ •

которое справедливо при Ур е удовлетворяющем дополнительному условию

^р(х) = 0.

Он

(14)

Как и в работе [5], оценим норму ||пп|| из уравнения (11). Умножая обе части (11)

01

скалярно в Ь2 на и , где и е Ш2, получим

(пп, а^и) = ^(а^ив а]у^и) + V (у^ив+1, уц)+

+ т8^ (-т+-1т - -т,-т , ит,-т ) - " (и*1 - Л 0.

т

т

Поделив обе части этого соотношения на ||У и|| и оценивая правую часть по неравенству Коши — Буняковского, запишем

т^уи^)| < м(тт0||а^л| + vтцуЛип+1у + тт08]т ц-т!йт - -т,-т II + Ц-в+1 - и"!),

где М < то — положительная константа, которая не зависит от итерационных параметров и шагов пространственной сетки. Отсюда с учетом неравенства (14) получим

т2с0||п||2 < М^^1 - -щ2 + тть|а1уЛ-п| + vт цуЛив+1у2 + тт0^ ц-т+т - -т,-т II2),

где М = М2(1 + тт0 + vт + тт^)■

Умножая последнее неравенство на в > 0 и складывая с неравенством (13), получим

\\ип+1\2 + тто(1 - вМ)\а^ип\2 + (1 - вМ)\йп+1 - ип\2 + (2 - вМ)vт^¿^ЦЧ

+тто (8 - N - в8М) £ - ||2 + тто8£ ||2 + -\\рп+1\2 <

т т то

< Ни«!2 + -(1 - ттосо)\Н\2 + тто^ Ц^||2- (15)

то

т

Далее воспользуемся неравенствами

< 1^+41, ^|ит+хт || < ^¿^Ц,

т

где 0 < ¿1 < то — равномерно ограниченная, не зависящая от параметров итерации и шагов пространственной сетки константа. С учетом этих замечаний из (15) можем получить

(1 + ^е1^)\\йп+1\\2 + (1 - вМ)(\йп+1 - и^2 + тто\\йг^йп\\2) +

+ (тто8 + vте2)£ Цгт+^т ||2 + (2 - е1 - е2 - вМ>т\\VhUn+1Н2+

т

+ -\\рп+1 \2 + тто (8 - N - в8М) £ Ц^ - гт,Йт ||2 <

< Цип\2 + -(1 - ттосо)\\рп\\2 + тто^ ||гт,2т||2. (16)

то ^ ' т"

гп

т,жт I

т

Затем выбираем в,е1,е2 таким образом, чтобы выполнялись неравенства

1 - Мв > 0, 2 - е1 - е2 - Мв > 0, тто(8 - N - 8Мв) > 0. (17)

Тогда из неравенства (16) следует, что

(1 + ™е^1)\\йп+1\\2 + тто8 Г1 + £ Н^ПЙ,. ||2 + -\\Рп+1\2 <

то8 то

2 I т (л _ ^п\\2 , _ |ип ||2

< \ип\2 + -(1 - ттосо)\\рп\\2 + тто8£ |к

п

_ - — м гт,Хт I

то

Vе2

Обозначим = шт ^ 1 + ^е^, 1 +--/• и поделим обе части последнего неравен-

то8

ства на > 1:

\\йп+1\\2 + тто8£ ЦгП+Хт|2 + тГг\\рп+1\2 <

т то"2

< ^ (\ип\2 + тто8£ ||гП,Хт ||2) + ттт(1 - тто^И^

Обозначим д = шах 11 - ттос2, — 1 < 1, тогда имеем

I ¿2 I

ип+1|2 + тто8^ Цг«^|2 + ||рП+1|2 < Л \ип\2 + тто8^ Ц*«^||2 + ^Н'

т \ т

^п+1 < (18)

где = ||и*||2 + ттс^ Ц^ ||2 + ^ Нр^Н2-

т

Таким образом, мы показали, что при выборе параметров е1, е2, в, удовлетворяющих условиям (17), итерации (5)-(7) сходятся со скоростью геометрической прогрессии и скорость сходимости не зависит от шага пространственной сетки, так как д не зависит от Л.

В случае нелинейной задачи исследование сходимости итерационного алгоритма (5)-(7) накладывает ограничение на невязку, совпадающую по порядку с условием, гарантирующим существование и единственность решения исходной задачи (1)-(3).

Для сравнения с другими известными алгоритмами и иллюстрации возможностей предложенного алгоритма (5)-(7) рассмотрена задача о течении жидкости в каверне с двигающейся верхней границей для И,е = 100, N = 2. Для сравнения выбрана неявная разностная схема вида [6]

ип+1/2 _ ип

+ ^ит+1/2 + ёга^р"" = ^ит+1/2 + /1 (19)

ТТ п+1 — ип+1/2 _

-+ gradh(p"+1 - р") = 0, (20)

т

¿¡у^^1 = 0.

Решения на этапе (20) найдены с помощью введения сеточной функции тока [7]. Внутренние итерации осуществлялись по переменно-треугольному методу [8] с точностью до 10-10. Итерации производились до выполнения критерия сходимости

Е

(р" - т¿¡х„С/"),, - VД„ит, + ¿а,и" < 10-4- (21)

В табл. 1 и 2 приведены значения п0(е) — количество итераций для достижения критерия сходимости (21). Как следует из табл. 1, с уменьшением шага сетки количество итераций для алгоритма (19), (20) увеличивается. Из табл. 2 видно, что для итерационной схемы (5)-(7) с увеличением количества узлов сетки количество итераций остается практически неизменным.

Были выполнены расчеты по алгоритму (5)-(7) и для нелинейной задачи течения несжимаемой жидкости в квадратной каверне. Внутренние итерации для реализации решений разностных уравнений, имеющие вид

(Е + тЬ^ - VT Д^ + тто8ЛЖтхт)£т = д

Таблица 1. Результат расчетов по схеме Таблица 2. Результат расчетов по схеме (5)-(7)

(19), (20) для т = 2.0

т 33x33 65x65 129x129 т0 33x33 65x65 129x129

0.15 85 281 1222 0.01 45 45 45

0.2 88 373 1627 0.0125 42 43 43

0.3 129 557 2438 0.025 42 42 43

0.35 150 650 2844 0.03 40 43 43

где

rm+1 _ TTп

^п ,,д ТТп I „- (А '^т ТТп\ ГГП I fm С m m

gm = V AhUm + ТоЩУ^ )xm - Pxm + f ' ?m = -^-'

производились по вариационному явному методу минимальных невязок [8]. Результаты

проведенных расчетов показывают также равномерную сходимость итераций, не зависящую от шага пространственной сетки.

Список литературы

[1] ЯнЕнко Н.Н., Кузнецов Б.Б., Владимирова И. Численный расчет симметричного обтекания пластинки плоским потоком вязкой несжимаемой жидкости // Некоторые вопросы вычисл. и прикл. математики. Новосибирск: Наука, 1966. С. 186-192.

[2] Бахвалов И.С. и др. Численные методы решения задач математической физики // Современные проблемы вычисл. математики и мат. моделирования. Т.1: Вычислительная математика. М.: Наука, 2005.

[3] Самарский А.А. Теория разностных схем. М.: Наука, 1982.

[4] Кобельков Г.М. Об эквивалентных нормированных подпространствах L2 // Analysis Mathematica. 1977. Vol. 3, N 3. P. 177-186.

[5] Кобельков Г.М. О методах решения уравнений Навье — Стокса // Докл. АН СССР. 1978. Т. 243, № 4. С. 843-846.

[6] Куттыкожаева И.Н. Об итерационном методе численного решения уравнений Стокса // Вест. КазНУ. Сер. Математика, механика, информатика. Алматы, 2002. Т. 30, № 2. С. 87-92.

[7] Смагулов Ш., Данаев Н.Т., Темирбеков Н.М. Численное решение уравнений Навье — Стокса с разрывными коэффициентами. Красноярск, 1989. (Препр. АН СССР. Сиб. отд-ние. ВЦ; № 15).

[8] Самарский А.А., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. М.: Наука, 1978.

Поступила в редакцию 10 марта 2006 г.