Об однократной полноте собственных функций пучков дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами, корни характеристического уравнения которых лежат на одном луче Текст научной статьи по специальности «Математика»

Покажем теперь, что у может быть представлено в виде (6) с положительными коэффициентами ск>0 (к = 1,...,т). Для произвольного

т

5>0 положим ¥5 = Л^х^- При достаточно малом §>0 разность

к = \

остается представлением с положительными значениями, и в силу леммы

т

имеет место равенство у —= скУ-к > гДе ск - откуда

к = 1

т т т т

ч>=Уб + ИскХк = Е8** + Ес*х* = Х(8+с*)х*-к-1 к-1 к = 1 к = 1

Так как § + ск > 0, получим искомое разложение представления у. Наконец, случай, когда представление ф имеет отрицательные значения, сводится к уже рассмотренному прибавлением к ф некоторой положительной константы (-с0); тогда получается разложение функции ф в виде (5).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Кирута А. Я., Рубинов А. М., Яновская Е. Б. Оптимальный выбор распределений в сложных социально-экономических задачах. Л: Наука (Ленингр. отд-ние), 1980.

2. Розен В. В. Цель - оптимальность - решение. М.: Радио и связь, 1982.

удк 517.984

В. С. Рыхлов

ОБ ОДНОКРАТНОЙ ПОЛНОТЕ СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ ПУЧКОВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ, КОРНИ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ КОТОРЫХ ЛЕЖАТ НА ОДНОМ ЛУЧЕ *

Рассмотрим пучок Ь(К) обыкновенных дифференциальных операторов в пространстве [0,1], порожденный дифференциальным выражением (Д.в.):

/(>а):= 1а*Х.У*>(х), р!кеС,р0п* 0, (1)

х+к=п

и линейно независимыми нормированными краевыми условиями специального вида

' Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 06-01-00003).

= ЕЬ'аму<*>(0) = 0, у' = 1,и -1,

5 4- к = К

ип{у,Х) = им(у,Х) + ип1(у,Х) := 2Ж(а^/*>(0) + Р^ЛШ = О,

$ + £ = к„

где Р/511 е С, ку- е {0,1,...,« -1} есть порядок у-го краевого условия.

Пусть к = есть сУммаРный порядок краевых условий (2).

Пусть корни {юу}"=1 характеристического уравнения д.в. (1)

попарно различны, отличны от нуля и лежат на одном

луче, исходящем из начала координат. Не нарушая общности, можно считать

0<Ш| <со2 <...<юл. (3)

При X, Ф 0 система функций ук(х,Х) = ехр(Х(йкх), к=\,п, является фундаментальной системой решений уравнения 1{у,Х) - 0.

Исследуем вопрос об однократной полноте системы собственных и присоединенных функций (с.п.ф.) пучка Ь(Х) в пространстве /^[0,1]. Введем вектор-столбцы

Тогда характеристический определитель пучка Ь{Х) будет иметь вид

причем в силу того, что тапк(Жк,\У1) = 1, 1 <к,1<п, справедливо представление

Д(Х) = \У<у2..У„\ + ^У2..Уп\ +... + ух..уп^п\ =

= Д0+Д,е^' + ... + А„ек<°".

Ненулевые собственные значения являются нулями функции А(?_).

Если через (А0)^к обозначить алгебраическое дополнение элемента (_/',&) в определителе Д0, то очевидно

7 = 1.и- (4)

В качестве порождающей функции для системы с.п.ф. пучка Ь(Х), соответствующих ненулевым собственным значениям, возьмем функцию

и10(уьХ) ... и10{у„,Х)

и„-ю(У}Л) - ^-ю^Д)

_ IX

Хсй„х е "

Н п

У»-1! -

>.(Л I .V

Ха„х

где ооозначено

= ахе 1 + а2е 2 +... + апе " ,

«1 =(до)«1. а2 = (Ао)п2>-,ап =(До)л

(6)

Таким образом, порождающая функция есть линейная комбинация экспонент с показателями, лежащими на одном луче.

Из (4), (6) следует, что

Л, ~ ™П]аг 7=1>«- (7)

Предположим далее, что 1) Д0 ^ 0; 2) при некотором т (2 < т < п)

«« =а«-1 =- = аи+1 = °> и>„га*0.

Тогда ввиду (7) будем иметь

Д^До+Д,^10' + +

у(хД) = а|е'"Ю1 + +... + атеЫ».

Справедлива следующая теорема.

ТЕОРЕМА 1. При выполнении условий (3) и 1), 2) система с.п.ф. пучка ¿(X) однократно полна в [0,1] с возможным конечным дефектом в случае, когда Д0 + Д, +... + Дя| = 0.

В основе доказательства этой теоремы лежит следующая лемма.

ЛЕММА 1. При выполнении условий (3) и 1), 2) система с.п.ф. пучка Ь(к) однократно полна в 12[0,1] с возможным конечным дефектом в случае, когда Д0 + Д, +... + Дт = 0, тогда и только тогда, когда уравнение

/

V Ч У

V 12 У

+ +

X

с \ X

т-1 V т-1 У

от-1 *

+ «„/(*) = о, хе[0,т,],

+ л(ЯД*) = 0, *е[Т,,Т2],

1т-1 \ /и—1 У

/

•¡-1

/

ьт-1 V

ат/(х) = 0, х е [т„_1 Д],

где т ■ =——, _/ = 1,ш —1 (0 < т, < ... < тт_! < 1), имеет лишь тривиальное

решение в /^[0,1].

Что касается ¿--кратной полноты в Ь2[0,\] системы с.п.ф. пучка 1{к) при 2 <к<п и, в частности, при к = 2, то положительных результатов по этому вопросу, насколько известно автору, до сих пор не получено.

Что же касается ¿-кратной неполноты при 2 < к < п, то известно следующее. Порождающая функция (5) есть линейная комбинация экспонент ехр(А.<йух), у' = 1,и, где числа со ■ удовлетворяют неравенствам (3). Именно

такие порождающие функции изучались в [1, 2]. Приведем полученные там результаты применительно к с.п.ф. пучка Ь(к).

ТЕОРЕМА 2. При выполнении условия (3) система с.п.ф. пучка Ь(Х) не является «-кратно полной ни в каком пространстве ¿2[®>сг] при а>0 и имеет в каждом таком пространстве бесконечный дефект относительно и-кратной полноты.

ТЕОРЕМА 3. При выполнении условия (3) и условия

Ы%1

К;

система с.п.ф. пучка Ь(Х) не является 2-кратно полной ни в каком пространстве ¿2 ст] ПРИ о > 0 и имеет в каждом таком пространстве бесконечный дефект относительно 2-кратной полноты.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Рыхлое В. С. О кратной неполноте собственных функций пучков обыкновенных дифференциальных операторов // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов, 2001. Вып. 3. С. 114-117.

2. Рыхлое В. С. О кратной неполноте собственных функций пучков дифференциальных операторов, корни характеристических уравнений которых лежат на одном луче // Докл. РАЕН. Саратов, 2004. № 4. С. 72 - 79.

УДК 517.51: 519.642.8 С. Ю. Советникова

О ТОЧНОЙ ПО ПОРЯДКУ ОЦЕНКЕ ПОГРЕШНОСТИ ПРИБЛИЖЕННОГО РЕШЕНИЯ ОДНОГО ИНТЕГ РАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО РОДА

Рассматривается интегральное уравнение

XÍY-t)m~l

Аи^ ¡\ -—-u(t)dt = f(x)

6 О-l)!

и предполагается, что и е А/ , с С[0,1], где

МА, — б С[0,1]: и = A*v,\\ v<1}, 124

п—1

I

í = l