Об обращении теоремы Штольца Текст научной статьи по специальности «Математика»

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

УДК 517.521

DOI 10.18522/0321 -3005-2016-2-5 -9

ОБ ОБРАЩЕНИИ ТЕОРЕМЫ ШТОЛЬЦА © 2016 г. А.В. Абанин, В.В. Юделевич

Абанин Александр Васильевич - доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой математического анализа, Институт математики, механики и компьютерных наук имени И.И. Воровича Южного федерального университета, ул. Мильчакова, 8а, г. Ростов н/Д, 344090, e-mail: [email protected]

Юделевич Виталий Викторович - студент, кафедра математического анализа, Институт математики, механики и компьютерных наук имени И.И. Воровича Южного федерального университета, ул. Мильчакова, 8а, г. Ростов н/Д, 344090; e-mail: [email protected]

Abanin Alexander Vasilievich - Doctor of Physical and Mathematical Science, Professor, Head of Department of the Mathematical Analysis, Vorovich Institute of Mathematics, Mechanics and Computer Science of the Southern Federal University, Milchakov St., 8a, Rostov-on-Don, 344090, Russia, e-mail: [email protected]

Yudelevich Vitaly Viktorovich - Student, Department of the Mathematical Analysis, Vorovich Institute of Mathematics, Mechanics and Computer Science of the Southern Federal University, Milchakov St., 8a, Rostov-on-Don, 344090, Russia, e-mail: [email protected]

Рассматривается вопрос об обращении обобщенной теоремы Штольца. Получены условия на эталонную последовательность, при которых полный или ослабленный вариант такого обращения справедлив на классе всех положительных последовательностей. Та же задача исследована на важном подклассе выпуклых последовательностей, используемых в теориях ультрадифференцируемых и целых функций. Доказано, что установленные результаты неулучшаемы. Построены примеры, показывающие, что найденные в работе оценки на подклассе выпуклых последовательностей точнее, чем аналогичные оценки на классе всех положительных последовательностей.

Ключевые слова: теорема Штольца, метод Чезаро, выпуклые последовательности.

We consider the problem when the converse generalized Stoltz theorem is true. We obtain some conditions on the comparison sequence under which the complete or weak version of such a result is true on the family of all positive sequences. The same problem is solved for the important subclass of convex sequences which used in the theories of ultradifferential and entire functions. It is proved that our results cannot be improved. We construct some examples showing that the estimates found out for the class of convex sequences are better than the similar estimates for the class of all positive sequences.

Keywords: Stoltz theorem, Cesaro method, convex sequences.

Постановка задачи

Обозначим через S множество всех строго возрастающих бесконечно больших последовательностей {yn )и1 вещественных чисел. Без ограничения

общности будем считать, что все члены последовательностей из S положительны. Следующий результат представляет собой обобщение теоремы Штольца.

Теорема 1. Пусть y е S. Тогда для любой последовательности (xn вещественных чисел имеют место неравенства

lim inf X"+1 ~ Xn < lim inf <

yn+i - Уп

Уп

< lim sup< limsup-^ti-«.

Уп Уп+1 - Уп

В качестве следствия из нее вытекает классическая теорема Штольца.

Следствие 1. Пусть у е £ и для последовательности (хи )и1 вещественных чисел существует

"V - — "V

(конечный или бесконечный) предел 1т-

Тогда существует lim —- и lim

У п Уп+1 Уп

Уп+1 - Уп

x*> • • Хп+1 Хп — Цщ Хп

Уп

Приведенные результаты можно трактовать как дискретные аналоги правила Лопиталя. С другой стороны, они содержат в себе классический метод Чезаро суммирования расходящихся рядов. Именно, положив уп = п и взяв в качестве x последовательность частичных сумм какого-либо ряда £ ак ,

к=1

получим

Следствие 2. Если для ряда £ ак существует

к=1

(конечный или бесконечный) lim аи, то 1 п

lim — £ ак = lim an .

Пк=1

В ряде задач возникает необходимость использования обращения правила Лопиталя. Например, в теории роста целых функций [1, 2] и при исследовании операторов дифференцирования и интегрирования в весовых пространствах голоморфных функций [3]. Ограничения на функции, при которых справедливы различные варианты обращения правила Лопиталя, исследовались А.В. Братищевым [1] и Г.Г. Брайчевым [2]. В настоящей заметке систематически исследуется вопрос об обращении теоремы Штольца. Насколько нам известно, ранее он не изучался. Ясно, что в общем случае обращение теоремы Штольца, т.е. получение оценки сверху lim sup —n±1—— через lim sup — или liminf *n

через liminf

Уп±1 - Уп

xn±1 — xn

Уп

Уп

откуда следует тре-

Хп+1 ^ ^ _1_

Уп+1 Уп Уп+1 ^ Уп ^ У п+1

буемое.

Следующий результат показывает, что оценка (1) точна, причем в усиленном смысле - на подклассе 5 с ю+.

Предложение 2. Для любой последовательности у е 5 с РУ < 1 имеется такая последовательность х е 5, для которой

Хп+1 — хп 1 х-

lim sup

lim sup—,

Уп±1 — Уп 1 — ßy Уп

(2)

причем х можно выбрать так, чтобы верхние пределы, фигурирующие в последнем равенстве, были конечны.

Доказательство. Без требования конечности верхних пределов в (2) нужную последовательность х можно построить, положив х1 := 1 и

x

n±1

=п

п ^ 1 У*±1—У±

невозможно. Поэтому имеет

s=1

V1 — ßy

У.

при n > 1. Тогда

Уп+1 - Уп

смысл выяснить некоторые общие ограничения на у (или на х), при которых оценки, обратные участвующим в теореме Штольца, все же имеют место.

Обращение теоремы Штольца на классе всех положительных последовательностей

Положим ßy := lim sup Уп . Ясно, что для лю-Уп±1

бой последовательности у е S имеем, что 0 < ßy < 1. При этом, если ßy = 0 , то из-за положительности членов у существует lim Уп = 0 . После-

Уп±1

довательности у, для которых ßy=0, будем называть быстрорастущими. Обозначим через т пространство всех последовательностей вещественных чисел, через с± - его подпространство, состоящее из последовательностей, все члены которых неотрицательны, начиная с некоторого номера. Очевидно, что S с с± .

Предложение 1. Пусть у G S такова, что ßy < 1. Тогда для любой последовательности x е а ±,

lim sup Xn±1 — Хп < —--lim sup—. (1)

Уп±1 — Уп 1 — ßy Уп

м_(_1 хм 1 Хл Л Т

—пп11-— =---— при всех п е N , откуда следу-

Уп+1 - Уп 1 -Ру Уп

ет (2). При этом очевидно, что х строго возрастает.

Кроме того, liminf

1

1 Уп±1 — Уп

V1 —ßy

± 1

Уп

> — ± 1 > 2

ßy

(считаем, что — = +ж при РУ = 0). Поэтому

РУ

хп ^ ж и, значит, х е 5.

Чтобы добиться конечности верхних пределов в (2), построение х можно осуществить следующим

образом. Возьмем подпоследовательность (ущ так, чтобы Нт = в„ . Положим х„ := — ■ \„ ,

' Г- У п1 г. У п1 ?

Ущ +1 2

хп1 +1 := Уп1 +1. Обозначим п1 =: т1 и найдем настолько большой номер пк, что 1 ■ Ущ > Ущ +1. Положим

1

1

Пк =: m2 , ХЩ '=-■ УЩ =-' У,

'"2 3 J пк 3 ^ m2

m , xm2 ±

:= У^ ±1. ПРо-

должив этот процесс, получим последовательность

1

xm1 ' xm1±1' xm2 ' xm2±1 = - , у которой xms := ~ ' Ут, ,

xm, ±1 ym, ±1 :

, а (ms - некоторая подпоследова-

тельность последовательности (пк )^=1. Первые -. —1 выберем произвольно, лишь

члены xj, x2,

Доказательство. В самом деле, так как х е со+ , то существует такое п0 е N, что хп > 0 при п0 > 0 . Тогда при п > п0 имеем

бы x1 < x2 <... < xm —1 < xm . Затем при каждом

так, чтобы

s е N возьмем x„

mx

x„

xms±1 < xms±2 < xms±3 < ... < x

m,,, —1 < xm.

и xm ±1 < Уш

(I = 2,...,т+ -тя -3). Ясно, что этот выбор всегда возможен. Из построения (хп )^=1 следует, что

хп - 1 - Хш, +1 , ,,

—- < 1 при всех п > т1, -= 1 при всех я е N .

уп ут, +1

х

Отсюда следует, что 1т8ир—- = 1. Применив пред-

Уп

ложение 1, заключаем, что

lim sup

■ < ■

1

Уп+1 - Уп 1- ßy

■. С другой стороны,

lim sup -

Уп+1 - Уп

■ > limsup-

_ 1

У ms +1 У'ms = lim sup- s

^ ms +1 y ms

yms +1 yms 1

такая подпоследовательность

lim ^ = 1.

Упк

k )Г=1,

что

(5)

9 У„к(У„к +1 - У„к )< У»к+1(У»к+1 +1 - У»к+,), при всех к е N .

(7)

Положим lim sup у% (у%+1 - у% ) =: l. Ясно, что

l е [0,+<xj]. Дальнейшие рассуждения проведем отдельно для бесконечного и конечного l.

1. Пусть l =. Не ограничивая общности, можно считать, что

Уп( Уп+1- У%)>1; (6)

Обозначим ßk :=

тогда

упк +1 упк тт

-. Из (5) следует, что

ущ

Рк ^ 0 при к ^ ю . Положим хч := у[Ку„к> хщ:= 2х . Тогда неравенство (6) эквивалентно тому, что хП1 > 1. Очевидно, что х +1 > х . Далее,

(7) равносильно тому, что 3х < х при всех

пк пк+1

к е N. Тем более

x ,, = 2х < x -1.

пк +1 пк пк+1

(8)

У ms +1 - yms 1 - ßy

Следовательно,

lim sup —— = —1— = —1--lim sup —.

Уп+1- Уп 1-ßy 1-ßy Уп

Из теоремы 1 и предложений 1, 2 следует, что полное обращение обобщённой теоремы Штольца для верхних пределов имеет место для быстрорастущих последовательностей y, и только для них.

Предложение 3. Пусть y - быстрорастущая последовательность из S. Тогда для любой последовательности x еа+ справедливо равенство

x — x x lim sup ——-- = lim sup ——. (3)

Уп+1 Уп уп

Обратно, если равенство (3) выполняется на классе S с ю+ , то y является быстрорастущей.

Следующий результат показывает, что условие ßy < 1 в предложении 1 существенно для его справедливости.

Предложение 4. Для любой последовательности y из S с ßy = 1 существует такая последовательность x е S, для которой

limsup Xn+1 -Xn =+«, а lim sup— = 0 . (4)

Уп+1 Уп уп

Доказательство. Так как ß = 1, то существует

пк +1 пк пк+ Из сказанного вытекает, что последовательность х = (хп' хщ +1' хп2, хп2+1,.. ) относится к классу 5. Имеем

lim-

упк +1 уп

■ = lim

1

Ж

= ;

(9)

lim -

x

пк

lim-

Упк x„.

У

= lim у]ßk = 0 и = lim2-,/ß = 0 .

(10)

пк+1

Теперь дополним х, определив ее члены с отсутствующими номерами следующим образом:

j 1

Ч+j := xпк +1 1 ' j = 2'-'пк+1 -пк -1 > к е N .

i=22

Тотд^ с учетом (8), хпк +1 < хпк +2 < ... < хпы при всех

к е N. Отсюда, в частности, следует, что последовательность (хп )Ю=1 принадлежит классу 5 и, с учетом (9) и (10), что для нее выполняется требуемое условие (4).

2. Пусть теперь I е [0,+о>). Без ограничения общности считаем, что

Нт упк (у„к+1-упк ) = I; (11)

>4^+у*(уп„+1- у%)+1 (12)

при всех к е N .

Положим хщ :=^ и хщ+!:= + упк (у«к+1- упк), к е N . Ясно, что х < х +1, а из (12) следует, что хпк +1 +1 < х , к е N . Поэтому последовательность х = (х^, хщпринадлежит 5. Далее, использовав определение членов х и условие (11), получим

lim

Ч+1

пк

Ущ+1 - Уп

lim Уп

: ;

lim = lim 1

Ущ

lim

Ч+1

упк+1

= lim-

+ lim-

'пк

■■0;

пк+1 _0 = 0. Оста-

Уп +1

Уп +1

x

- x

п +1

п

к

к

ется дополнить x на местах пропущенных членов точно так же, как в предыдущем случае, чтобы установить, что и в рассматриваемой ситуации дополненная последовательность x удовлетворяет условию (4).

Замечание. Таким образом, полученные выше результаты показывают, что ослабленный (полный) вариант обращения теоремы Штольца о верхних пределах при фиксированной последовательности y е S справедлив на классе со+ или, что равносильно, на его подклассе S в том и только в том случае, когда ßy < 1 (соответственно, когда y — быстрорастущая последовательность).

Обращение теоремы Штольца на классе выпуклых последовательностей

В приложениях (например, в теории Данжуа — Карлемана пространств бесконечно дифференцируемых функций и в теории Румье — Коматсу ультрараспределений; см. по этому поводу [4-7]) важную роль играют выпуклые последовательности. В связи с этим представляет интерес вопрос о том, допускают ли наши предыдущие результаты (предложения 1 и 3) уточнение при условии, что мы ограничим рассмотрение выпуклыми последовательностями. Напомним, что последовательность

x (xn называется выпуклой, если 2хи < xn_x + хи+1

при всех n > 2 . Обозначим через S* подкласс выпуклых последовательностей из S. Отметим, что

для последовательностей x е S* предел lim —,

n

конечный или бесконечный, всегда существует и равен пределу lim(xn+i - xn). Поэтому, в свете исследуемой задачи, имеет смысл ограничиться изучением тех последовательностей x е S , для кото-

x

рых lim—— = +ж. В дальнейшем нам потребуется n

также более широкий класс S необязательно выпуклых последовательностей x е S, удовлетворяющих тому же условию. Введем следующую характеристику последовательности y е S :

by := limsup-

1

• inf

ym

как

b„ <-

п^ж Уп±1 — Уп m>nm — n i--inf —ym— <. Уп±'

Уп±1 Уп

то

'm — П Уп±1 — Уп 1 — Уп / Уп

1

1 — ßy

. Кроме того, так как —m—>ж при

т ^ ж , то инфимум, фигурирующий в определении Ъ , при каждом п достигается на некотором номере т(п) > п .

Справедлив следующий результат. Предложение 5. Пусть у е 5 такова, что ЪУ < +ж. Тогда для любой последовательности

x е S имеет место неравенство

lim sup—П±1—— < by • lim sup— .

yn±1 Уп Уп

(13)

Доказательство. В самом деле, для каждого n

найдём такое m(n) > п , что inf

ym _ Уш(п)

m>nm — п m(n) — п выпуклости х следует, что xn+1 — xn <

. Из

xm(n) xn

m(n) — п

Использовав это неравенство, получим

1

xm(n) xn

1

xm(n)

Уп±1 — Уп Уп±1 — Уп m(n) — П Уп±1 — Уп m(n) — П

_ xm(n) 1 ym(n)

Уш(п) Уп±1 — Уп m(n) — П

cm(n)

1--inf-Уш

Переходя здесь к верхнему пределу при п ^ ж , получаем требуемое.

Следствие 3. Пусть у е 5 такова, что ЪУ = 1.

Тогда для любой последовательности х е 5* имеет

место равенство lim sup

■. Заметим, что так

n+1 п = lim sup—, т.е.

У п+1 Уп Уп

*

для такой последовательности у на классе S справедливо полное обращение теоремы Штольца в отношении верхних пределов.

Покажем, что оценка (13) точна на классе S* при условии, что эталонная последовательность у выпукла.

Предложение 6. Пусть y е S* такова, что

by < ±ж. Тогда имеется такая последовательность

*

x е S , для которой имеет место равенство

lim supХ+^-Х^ = by • lim supxn . (14)

yn±1 Уп Уп

Доказательство. Рассмотрим конструкцию х, аналогичную использованной в доказательстве предложения 2. Положим

x1 := 1 и xn±1:=n

s=1

\ • ys±l ys ± У ys

п >1. (15)

Очевидно, что (xn )»=1 возрастает. Так как by > 1,

Л

п (

xn±1 >П

s=1

ys±1 — ys +1

Уп±1

У1

при п ^ ж. Поэтому

:е S . Заметим также, что xn±1—xn-

Уп±1 — Уп

= b

x

Уп

x..,, —x

n±1 П

<

<

Уш(п) Уп±1— Уп m>nm—n

п

m

s

откуда следует (14). Остается проверить, что последовательность x выпукла. На основании формулы (15)

V - x = h • ^nn_У».. x ;

xn+1 xn hy xn

для верхних пределов. В заключение отметим, что приведенные результаты тривиальным образом переформулируются для нижних пределов, если вместо того, чтобы фиксировать у, брать в качестве эталона последовательность х.

V

h • Уn+1 Уn + 1 У Уп

s

• h • Уn+2 yn+1 • V —

y n —

Уп+1

Уп+1 Уп I 1 /, Уп+2 Уп+1 .„. _ Ь Уп+ 2 Уп+1 „

-+ 1 ■ ЪУ---хп = ЪУ---хп ■

V Уп У Уп+1 Уп

Воспользовавшись выпуклостью последовательности у и продолжив последнюю оценку, заключаем,

ЧТ0 Vn+2 - Vn+1 > hy •

(Уп+2 - yn+1 )

Уп

доказательство закончено.

Следующие два примера посвящены сравнению оценок, полученных в предложениях 5 и 1 для y е S . Как уже отмечалось выше, оценка (13) не

хуже, чем (1), поскольку всегда b < —1—. Вопрос

1 — ßy

состоит в том, может ли она быть более точной для каких-либо y.

Пример 1. Рассмотрим последовательность

y = (en/2) . Она принадлежит S с S , и для нее

V ' П=1

ß =. Учитывая, что функция — • ex 2 достигает

в точке х=2 глобального минимума на луче (0,±ж), получим

1 e (п±к )/2 e

by = lim sup—--;=--min

n/2

• Ф -1)

k >1

Значит, h =

k 2 • ^л/ё -1)'

4ê 1

.. Таким

2 ■ (Те -1) те -1 1-Ру

образом, оценка (13) в данном случае точнее, чем (1).

Пример 2. Рассмотрим последовательность

. Она принадлежит

У =

Ьу = 1. В то же время

S с S , и для нее

1 . (n + k)a lim sup--min-<

(n + 1)"- na k>1 k

< lim sup-

r, a a-\ r,a

2 • n 2

(п +1) " - п а а

Таким образом, в рассматриваемом случае предложение 1 неприменимо, а предложение 5 обеспечивает ослабленный вариант справедливости на классе 5" обращения теоремы Штольца

Литература

1. Братищев А.В. Базисы Кете, целые функции и их приложения : дис. ... д-ра физ.-мат. наук. Ростов н/Д., 1998. 248 с.

2. Брайчев Г.Г. Введение в теорию роста выпуклых и целых функций. М., 2005. 232 с.

3. Abanin A.V., Pham Trong Tien. Differentiation and integration operators on weighted Banach spaces of hol-omorphic functions // arXiv: 1505.04350v1. 2015. 27 p.

4. Мандельбройт С. Примыкающие ряды. Регуляризация последовательностей. Применения. M., 1955. 268 с.

5. Roumieu C. Sur quelques extensions de la notion de distribution // Ann. Sci. Ecole Norm. Sup. 3 Sér. 1960. Vol. 77, № 1. P. 41-121.

6. Komatsu H. Ultradistributions I. Structure theorems and a characterization // J. Fac. Sci. Univ. Tokyo. Sec. IA, Math. 1973. Vol. 20, № 1. P. 25-105.

7. Абанин А.В. Ультрадифференцируемые функции и ультрараспределения. М., 2007. 222 c.

References

1. Bratishchev A.V. Bazisy Kete, tselye funktsii i ikh prilozheniya : dis. ... d-ra fiz.-mat. nauk [Kete bases, entire functions and their applications]. Rostov-on-Don, 1998, 248 p.

2. Braichev G.G. Vvedenie v teoriyu rosta vypuklykh i tselykh funktsii [Introduction to the theory of the growth of convex and entire functions]. Moscow, 2005, 232 p.

3. Abanin A.V., Pham Trong Tien. Differentiation and integration operators on weighted Banach spaces of holo-morphic functions. arXiv: 1505.04350v1, 2015, 27 p.

4. Mandel'broit S. Primykayushchie ryady. Regulyari-zatsiya posledovatel'nostei. Primeneniya [Adjacent rows. Regularization sequences. Applications]. Moscow, 1955, 268 p.

5. Roumieu C. Sur quelques extensions de la notion de distribution. Ann. Sci. Ecole Norm. Sup. 3 Sér. 1960, vol. 77, no 1, pp. 41-121.

6. Komatsu H. Ultradistributions I. Structure theorems and a characterization. J. Fac. Sci. Univ. Tokyo. Sec. IA, Math. 1973, vol. 20, no 1, pp. 25-105.

7. Abanin A.V. Ul'tradifferentsiruemye funktsii i ul'traraspredeleniya [Ultra differentiable functions and ultra distribution]. Moscow, 2007, 222 p.

Поступила в редакцию

24 марта 2016 г.

n

n+2 Xn+\