Об n-мерных операторах Теплица с аналитическими символами Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.9

© 2005 г Н.А. Еволенко

ОБ я-МЕРНЫХ ОПЕРАТОРАХ ТЕПЛИЦА С АНАЛИТИЧЕСКИМИ СИМВОЛАМИ

N- seized operators of Teplits with analytical symbols are examined assuming that only the terms of non-singularity occur for them. These operators are one-sided invertible ones. The research on one-sided reversibility are carried out, images and kernels of such operators are described. As an appendix there has been carried out areseareh of the operator conjugated to the operator of Malyshev by n=2.

Введение

Условимся пользоваться следующими стандартными обозначениями: Ъ - группа целых чисел, И - множество действительных чисел, С - множество комплексных чисел, компактифицированное одной бесконечно удаленной точкой.

Пусть п е Ъ+ ,п > 1. Положим Ъп = Ъ х Ъ х ... х Ъ ; Ъ+ , Ъ_ подмножества Ъ , состоящие из неотрицательных и отрицательных чисел соответственно. В Ъп выделим подмножества

ЪЯ = ЪЯ( 1) х ЪЯ(2) х ... х ЪЯ(п) ,

где Я = (Я(1),Я(2),...Я(п)) - один из символов: пробел, +, - в зависимости от того, совпадает ли Ъ^^ с одним из множеств Ъ, Ъ+ , Ъ- соответственно. Например,

Ъ = Ъ х Ъ+ х Ъ- для п=3 и Я = ( ,+,-).

Обозначим через Г единичную окружность комплексной плоскости, т.е. Г = (| е С: || = 1};

0+ = (|е С: ||< 1}; 0- = С \ (0+ и Г). В пространстве Сп = С х С х... х С выделим подмножества

Гп = Г х Г х ...х Г , 0% = БЛ(1) х Ол(2) х ...х Ол(п) , где 0л(к) - одно из множеств Г, 0+, 0- в зависимости от того, является ли Я(к) одним из символов: пробел,

Пусть 3 = (3\,>2,-,Зп) е Ъп ;

положим М = ±31, 3! = Ш

к=1 к=1

а для | = |2,..., I)еСп положим

I=пI; I=си.....I)е Сп-1.

к =1

Через Ь2(Гп) будем обозначать стандартное гильбертово пространство измеримых суммируемых с квадратом функций на Гп. Хорошо известно [1, 2], что в пространстве ^(Г) ограничен и инволютивен оператор сингулярного интегрирования

=у.р.± ¡Щ Т.

та гг

Введем следующие операторы проектирования, порождаемые оператором 8:

Р± = 2(I±5);Р+- :Ь2(Г) ^ Ь2(Г);

Р% = р%(1) ( р%(2) (... ( р%(п),

р% :ь2(гп) ^ ь2(гп), где Я = (Я(1),Я(2),...Я(п)); Я(к)

- один из символов: пробел, +, —; P

—. Я) —

один из опе-

раторов

I, P , P"

соответственно. Положим

Ь%(Гп) = Р%(Ь2(Гп)).

Рассмотрим банахову алгебру функций на Г п, разлагающихся в абсолютно сходящиеся ряды Фурье

Ж(Гп) = (а(| = ± аЦе Гп; ± \а\ < »} .

З'еО п з'еО п

Поскольку Ж(Гп) с ¿2(Г"), на Ж (Г п) определены введенные выше операторы проектирования. Хорошо известно, что они ограничены в Ж (Г п) и действуют

следующим образом: р;

V]&n у ]ел

Л = Z;(1) х 2Я(2) х ... х ZX(n) ; Я = (Я(1Х Я(2),...Я(и)) .

Пусть W +(Г ) = P + (W (Г)),

W0- (Г) = P~ (W(Г)), W- (Г) = W0- (Г)© С . Положим

w; (Гn ) = (Г )х W/((2)) (Г )х ...х w; (Г), Я = (Я(1),Я(2),...Я(п)), ß = (ß(1),ß(2),...ß (n)), где

W

(к (Г) - одно из множеств Ш(Г),Ш +(Г), Ж- (Г) ,Ш0- (Г) в зависимости от сочетаний значений индексов Я(к), в (к), определяемых следующими правилами: 1) если Я(к) - пробел или +, то в(к) - • ; 2) если Я(к) - -, то в(к) - • или 0. Например, если

Ж%(Г4) ,Я = ( , +,-, -), в = (•, •, ^,0), то

жЯ (Г4) = Ж (Г) х Ж + (Г) х Ж- (Г) х Ж0- (Г). Ясно, что

символом 0 помечены те переменные, по которым функции из Ж ^ (Гп) аналитически продолжаются во

внешность Г и исчезают на бесконечности. Условимся писать Ж Я( Гп) вместо ЖЯ( Гп), если набор в не

содержит нулей.

Пусть В - банахово пространство. Обозначим через

Р^к В линеалы функций на Г, являющихся многочленами степени не выше, чем п по переменной I с коэффициентами из В. При этом мы различаем линеалы

Рпк В при разных к из-за различной роли переменных

1, к =1 п.

В пространстве Ь'Я(Гп), Я = (+,+,...,+) будем рассматривать теплицев оператор

Та = РЯМа , (1)

где Ма - оператор умножения на а(|) е Ж(Гп). Функцию а(|) называют символом оператора (1).

Для оператора (1) при п = 1,2 получен ряд фундаментальных результатов, подробный обзор которых имеется в [1-8]. Необходимым и достаточным условием фредгольмовости оператора (1) при п=1 является невырожденность символа а(&), а при п=2 - выполнение

условий, полученных И.Б.Симоненко [9]:

2

1) а(&) Ф 0; &е Г ; 2) Ша(&) = Ш а(4) = 0. При

п>2 известно лишь, что невырожденность символа и равенство нулю частных индексов является необходимым условием фредгольмовости.

Р.Г. Дуглас и Р.Хоув [10] показали, что эти условия, вообще говоря, недостаточны для фредгольмовости оператора (1) при п>2. Однако даже в случае п=2 не изучены операторы вида (1), для которых символ невырожден, а частные индексы, вообще говоря, отличны от нуля. Разумеется, такие операторы не являются фред-гольмовыми, но тем не менее потребности практики требуют их изучения.

Мы рассматриваем операторы вида (1) с символами

из подалгебр Ж 2(Гп) при 2 = (+,+,...,+) и 2 = (-,-,...,-), предполагая, что для них выполняется только условие невырожденности

а(4) Ф 0; &е Гп . (2)

Отметим, что, несмотря на внешнюю простоту таких символов, даже при п=2 их факторизация в алгебре

Ж (Г 2) имеет вид

а(4,п) = П аЯк (4,п)4ппт • 2 = (+,+); Я = (-,-);

к=1 "

23 = (+,-); 24 = (-,+) (определение факторизации в Ж (Г2) [8, 11]). Поэтому попытка исследовать оператор Та методом Винера-Хопфа встречает практически те же трудности, что и в случае произвольного символа при выполнении условий фредгольмовости. Несмотря на это, операторы Теплица с символами из подалгебр

Ж2(Гп) при 2 = (+,+,...,+) и 2 = (-,-,...,-), удовлетворяющие условию (2), являются односторонне обратимыми. Условие (2) оказывается и необходимым для односторонней обратимости таких операторов. Кроме того, мы даем описания образов и ядер этих операторов, указываем соответствующие обратные операторы и применяем эти результаты при п=2 к исследованию оператора, сопряженного к оператору Малышева [8].

Некоторые вспомогательные результаты

В этом пункте мы приводим вспомогательные результаты, используемые ниже.

Лемма 1. Пусть а(&) еЖ(Гп), 2 = (+, ,...,) и

удовлетворяет условиям

1) а(4) Ф 0; & е Гп, 2) Ш а(&) = I. Тогда найдется

&

такой полином е PW (Гn , что

Лемма 2. Пусть а(%) е W(Г"), 2 = (-, ,..., ) и удовлетворяет условиям

1) а(%) Ф 0; %еГ" ,2) inda(%) = -l, l >0. Тогда

%

найдется такой полином p(%) е PlnW(Г"-1) IGW2(Г"),

2 = (+,,...,), что й а(й еW2(Гn)2 = (-,,...,), p(%)

j=0,1,...,n-1.

Лемма 3. Пусть B - банахово пространство, тогда множество операторов из End B, обратимых слева (справа), открыто в End B.

Замечание 1. Леммы 1, 2 сформулированы для переменной %, хотя они, разумеется, справедливы для

любой другой переменной %j , j= 1, n . Операторы Теплица с символами из

W2(Г"),2 = (+,+,...,+)

В этом пункте мы указываем необходимые и достаточные условия односторонней обратимости оператора Теплица Ta , предполагая, что символ этого оператора

является элементом алгебры W2(Г"), 2 = (+,+,...,+).

Теорема 1. Оператор Та с символом из W 2(Г "), 2 = (+,+,... ,+) обратим слева в пространстве /^(Г"),2 = (+,+,...,+) тогда и только тогда, когда

a(£) Ф 0; #еГп .

Теорема 2. Оператор Та с символом из Ж2(Гп), 2 = (+,+,...,+) обратим справа в пространстве (Гп), 2 = (+,+,...,+) тогда и только тогда, когда он обратим в пространстве (Гп), 2 = (+,+,...,+), т.е. когда выполняются условия а(&) Ф 0; & е , 2 = (+,+,...,+).

Замечание 2. В теоремах 1, 2 указаны критерии односторонней обратимости оператора Теплица с символом из Ж2(Гп), 2 = (+,+,...,+). При этом случай обратимости справа тривиален и его изучение практически заканчивается утверждением теоремы 2. В случае обратимости слева представляет интерес изучение образа оператора Та. Из общей теории односторонне обратимых операторов (см., например, [4]) следует, что 1тТа = Р(Ь2п(Гп)), 2 = (+, +,..., +), где

Р = ТаТь, Ь = а~1. Однако такое описание образа не представляется эффективным, в связи с чем мы ниже даем другие описания подпространства ¡т та.

Рассмотрим функцию а(&)еЖ2(Гп), 2 = (+,+,...,+), удовлетворяющую условиям теоремы 1:

а(&) Ф 0; 4 е Гп . Пусть т. = Шё а(&), / = 1 п .

1 & еГ

В силу леммы 1 найдутся полиномы

a(£) = p(^)ao (#), при этом a0(£) е GW2 (Г n)

2 = ,...,), где GW 2(Гn^ 2 = (+, ) - группа pj (£) е Pm W (Гn-1), j = 1, n , так что 1 j обратимых элементов в Г , 2 = (+, ,..., ).

aP (4) = eGWГ(Г"\у =

Pj Pt (4)

V у

j = 1n

Теорема 3. Пусть a(4) e Г (Г ), 2 = (+,+,...,+), и a(4) Ф 0; 4 e Гn . Следующие условия равносильны:

1) f л(4) e ImTa, 2 = (+,+,...,+);

2) f2 (4) = Pj (4) fj (4) e L2 (rn), 2 = (+, +,..., +),

Y =

V j-1

, j=1, n

3) . {4)с& = 0, к/ е Х+ , 2 = (+,+,...,+),

г Р/ (&)

1 = 1, п.

Условия 3) предыдущей теоремы могут быть уточнены в следующем смысле. В каждой группе условий существенными являются только первые т , где - число нулей символа при фиксированном 4 е Гп-1, 1 = 1, п. Остальные являются следствиями указанных. Точнее говоря, имеет место

Теорема 4. Пусть а(&) еЖ2(Гп), 2 = (+,+,...,+), и

а(&) Ф 0; & еГп . Для того чтобы /2 (&) е 1т Та,

2 = (+, +,..., +) , необходимо и достаточно, чтобы

2(4 = 0, 2 = (+,+,...,+), J г, (Р\ ^

Pj(4)

к,- = 0,1,2,...,ш, -1, j = 1,n .

j 1 J

j

Аналогичным образом могут быть интерпретированы остальные условия теоремы 4.

Операторы Теплица с символами из

Ж2(Гп),2 = (-,-,...,-) Здесь мы указываем критерии односторонней обратимости операторов вида (1) с символами, аналитически

продолжимыми в область Б^, 2 = (-,-,...,-).

Следующие две теоремы вытекают из леммы 3, теорем 1, 2 и того факта, что оператор обратим слева (справа) тогда и только тогда, когда сопряженный к нему оператор обратим справа (слева).

Теорема 5. Оператор Та, а(&) еЖ2 (Гп), 2 = (-,-,...,-) обратим слева в пространстве £2(Гп), у = (+,+,...,+) тогда и только тогда, когда он обратим в этом пространстве, т.е. когда а(4) Ф 0; &е Б/, 2 = (-,-,...,-).

Теорема 6. Оператор Та, а(&) еЖ2 (Гп), 2 = (-,-,...,-) обратим справа в пространстве ¿2(Гп), у = (+,+,...,+) тогда и только тогда, когда

а(4) Ф 0; & е Гп .

Замечание 4. Если выполнено условие теоремы 6,

то

кегТа = { р'(4) = (I -ТьТа)¥г(4), ¥г(4) е Ип{Гп), У = (+,+,...,+), Ь = а-1} [4].

Однако такое описание ядра не представляется содержательным. В связи с этим мы ниже даем другие

(3) описания ядра оператора Та, а(4) еЖ2 (Гп),

Замечание 3. Условия теоремы 4 можно интерпретировать как условия ортогональности правой части

2

г (4), 2 = (+,+,... ,+) некоторому набору функционалов. В самом деле, например, при / = 1 из (3) следует,

что Ск1(41) e L22(Гп-1 ), kj = 0,1,2,..., Ш1 2 = (+,+,...,+) и имеют место равенства

-1,

ш -1

£ c^)4k f2 (4)

i *

Г Р1(4) cs (4) f2 (4)

-d4x = 0

или

полином по

, d4= 0,

Г Р1(4)

где s(4) e pШl-1L^(Гn-1),2 = (+, +,..., +) 41 с произвольными коэффициентами из L22 (Г n-1), степени не выше, чем Ш1 -1, 2 = (+,+,...,+).

Это означает, что (f2 ф) = 0,

где ф2(4) = P2

(41)41

к -ш \

Р1(4)

,, 2 = (+,+,...,+)

k1 = 0,1,2,..., ш1 -1.

2 = (-,-,...,-) в случае, когда выполнены условия теоремы 6.

Пусть функцияa(4) e W2(Гn), 2 = (-,-,...,-) и

a(4) Ф 0; 4 e Гп . Положим inda(4) = -mj,j=1,n . В

4j

силу леммы 2 найдутся полиномы p. (4) e PmjW(Гn) n GW(Гn),

И =

j-1

a(4)4j P , (4)

j = 1, n, так что

f

■-.w;(гп), r =

j-1

(

ß =

\

•,...,• ,0, •,...•

V у

Введем функции ф,к (4) = P

; kj = 0,1,...,шj -1; j = 1,n .

f j 41

P j (4)

, = (+, +,..., +), у =

k. = 0,1,...,ш. -1; j = 1,n,

j j J ,

j-1

где

s

(1к ),б = (+, +,..., +)- произвольные функции из £2(Гп-1), ¿ = (+, +,..., +).

Теорема 7. Пусть а(|) Ф 0, | е Гп, тогда подпространство кег Та имеет вид

Г п Г

кегТа = VI) = ±± ),8 = (+, +) )

Оператор, сопряженный к оператору Малышева

В этом пункте будем пользоваться полученными выше результатами при п = 2. Пусть Я = (+, +), Я2 = (-, -), Я3 = ( , +), Я4 = (+, ). Оператор вида (1) с символом а(|п) = (|П, аЯ (|п) е ЖЯ(Г2)

изучался в работе В.А.Малышева [8] в связи с описанием стационарных состояний в некоторых задачах случайных блужданий в четверти плоскости. Здесь мы рассматриваем оператор Та с символом

а(|, п) = !паЯг (I п), а(|, п) е ЖЯ (Г2), который естественно назвать оператором, сопряженным к оператору Малышева. Это объясняется тем, что Т* = Т-, а

ker Т. =У(Г) - Р

(П

1-Г'ПГ

+Р"4

Р-+ Г

Рассмотрим уравнение Та рЯ = /Я . В силу частичной мультипликативности оно равносильно уравнению Т^Ццср*1 = /Я . Согласно теореме 7, отсюда следует,

что

ЖГ) + Р"

f

s+ (n)

Л

+РА

< (n)

1 -Г Ш

- F

(4)

Полагая в (4) поочередно | = 0, п = 0 , получим следующую систему уравнений:

s0+ (n) + — f = F" (0, n),

0 2— Г 1 -П ГП

(Г)+2;? f гТПГ'-F

(5)

г 1 -i (п)1

Исключая из второго уравнения системы (5) функцию 5+ (п), получим следующее интегральное уравнение Фредгольма в пространстве 1+ (Г):

+ (|) + | к (|гК (г)йт = / + (|)

(6)

где к(ç,t) = — J

П 'г ldn

4— Г (1 -Г (ПГ)(1 -П (ТЖ

f + (Г) - FТ,0) - — J

777-; J

1 ^"'F " (0, n)dn

a(Ç,r) = rVaЛ (Ç,r) = П^&г) ^r^Çr) причем, если a^(Ç,r)6 ^^1(Г2) , то

a^,n) 6 Г^(Г2) .

Пусть функция a (Ç, r) = Çra^(Ç,r), a(Ç,r) 6 ^4 (Г2) порождает фредгольмов оператор Ta, тогда выполнены условия 1), 2) теоремы И.Б.Симоненко. Это означает, что aÂ2(Ç,r) ^ 0, (Ç, п) 6Г2, а ind a*2 (Çr) = -1; ¿«d a^2 (Ç, n) = -1.

Ç r

В силу леммы 2 найдутся функции Ç(r), r(Ç), удовлетворяющие условиям: Ç(r) 6 Г (Г), |Ç(r)| > 1, a^2 (Ç(r),r) = 0, Ç 6 Г;

r(Ç) 6 ^(Г), |r(Ç)| > 1, a^2 (Ç, r (Ç)) = 0, r 6 Г . Согласно теореме 7,

2П Г (1 П|) Теорема 8. Интегральное уравнение Фредгольма (6) имеет единственное решение в пространстве £+ (Г) при любой правой части, порождающее решение системы (5). Если 5+ (п), ст+ (|) - решение системы (5), то решение уравнения ТарЯ = /Я имеет вид

рЯ1п) =

=ГУ

FAr,n - р"

s+ (ж)

—р"

^ (ж)

1 -пт

//

Литература

1. Хведелидзе Б.В. // Тр. Тбилис. мат. ин-та Груз. ССР. 1956. Вып. 23. С. 3-158.

2. Гохберг И.Ц., Крупник Н.Я. Введение в теорию одномерных сингулярных операторов. Кишинев, 1973.

3. Гахов Ф.Д., Черский Ю.И. Уравнения типа свертки. М., 1978.

4. Гохберг И.Ц., Фельдман И А. Уравнения в свертках и проекционные методы их решения. М., 1971.

5. Пресдорф З. Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Линейные интегральные уравнения. М., 1983. Т. 27. С. 5-130.

6. Литвинчук Г.С., Спитковский ИМ. Факторизация матриц-функций / ОГУ, 1984. Деп. в ВИНИТИ 9.06.84 № 2410.

7. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. М., 1968.

8. Малышев В А. Уравнения Винера-Хопфа и их приложения в теории вероятностей. М., 1975. Т. 13. С. 456.

9. Симоненко И.Б. // Мат. исследования. 1968. Т. 3. Вып. 1. С. 93-94.

10. Douglas R.G., Howe R. // Trans. Amer. Math. Soc. 1971. Vol. 158. № 1. P. 203-217.

11. Какичев В.А. // Теория функций, функциональный анализ. 1967. Вып. 5. С. 37-58.

-пТж

где F" (Г, П = Р" ((a" ) (Г, Пf" (Г, П). Южно-Российский государственный технический университет

6 июня 2004 г