Об изучении спектра многоточечной краевой задачи для дифференциального оператора нечетного порядка с суммируемым потенциалом Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математические заметки СВФУ Январь—март, 2017. Том 24, № 1

УДК 517.927

ОБ ИЗУЧЕНИИ СПЕКТРА МНОГОТОЧЕЧНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ОПЕРАТОРА НЕЧЕТНОГО ПОРЯДКА С СУММИРУЕМЫМ ПОТЕНЦИАЛОМ С. И. Митрохин

Аннотация. Изучена краевая задача для дифференциального оператора нечетного порядка с многоточечными граничными условиями. Внутренние точки, в которых заданы граничные условия, могут делить отрезок, на котором рассматривается оператор, на несоизмеримые части. Потенциал рассматриваемого дифференциального оператора является интегрируемой по Лебегу функцией на отрезке, на котором изучается оператор. Выведена асимптотика решений соответствующего дифференциального уравнения при больших значениях спектрального параметра. Получено уравнение на собственные значения исследуемого оператора. Изучена индикаторная диаграмма полученного уравнения. Найдена асимптотика собственных значений оператора во всех секторах индикаторной диаграммы.

Ключевые слова: дифференциальный оператор, суммируемый потенциал, краевая задача, многоточечные граничные условия, индикаторная диаграмма, асимптотика собственных значений.

с многоточечными граничными условиями вида

у(хк) =0, Хк = Токп, к = 1, 2,.. ., 5, 0 = То1 < т2 < т33 < то-4 < то-5 = 1. (2) При этом д(х) — суммируемая функция на отрезке [0; п]:

почти для всех х из отрезка [0; п].

Цель статьи — вычислить асимптотику собственных значений дифференциального оператора (1)-(3).

© 2017 Митрохин С. И.

1. Постановка задачи

Рассмотрим следующую краевую задачу:

у(5)(х)+ д(х)у(х) = Аа5у(х), 0 < х < п, а> 0,

(1)

(3)

2. Исторический обзор

Изучение краевых задач является одной из основных задач спектральной теории дифференциальных операторов. Развивалась теория краевых задач от теории осцилляции Штурма — Лиувилля для дифференциальных уравнений второго порядка до современной теории обратных спектральных задач. При этом граничные условия задавались только на концах отрезка, на котором изучается оператор.

Исследование многоточечных краевых задач (в случае, когда граничные условия задаются не только на концах отрезка задания оператора, но и во внутренних точках этого отрезка) является одной из актуальнейших задач современной спектральной теории операторов. Вопросам разрешимости краевых многоточечных задач для операторов вида (1), (2) посвящены работы [1—5].

В [6-8] изучалась функция Грина с целью изучения многоточечных краевых задач, в [9,10] вычислены регуляризованные следы некоторых дифференциальных операторов с многоточечными граничными условиями, при этом внутренние точки делили отрезок, на котором задан оператор, на соизмеримые части.

Во всех этих работах коэффициенты дифференциальных уравнений, задающих операторы, были достаточно гладкими функциями. В [11,12] автором были исследованы операторы с кусочно гладкими коэффициентами.

В [13] рассмотрена обратная задача для оператора с многоточечными граничными условиями. В [14] для многоточечной задачи с кусочно гладким потенциалом автор изучил эффект «расщепления» кратных в главном приближении собственных значений.

В [15] впервые изучен оператор второго порядка с суммируемым потенциалом и найдена асимптотика любого порядка для собственных значений и собственных функций. Автор в [16,17] предложил новый метод для изучения тех же вопросов для дифференциальных операторов четвертого и шестого порядков.

В настоящей статье изучается дифференциальный оператор пятого порядка с суммируемым потенциалом с многоточечными граничными условиями, причем в отличие от работ [9,10,14] внутренние точки граничных условий делят отрезок изучения оператора на несоизмеримые части.

3. Асимптотика решений дифференциального уравнения (1)

Пусть А = в5, в = тУХ, причем л/1 = +1.

Пусть = 1, т. е. иок = е2?1^-1', к = 1,2,... ,5, гли = "Шк+ь, и^к — различ-

ные корни пятой степени из единицы. Таким образом,

w1 = 1,

/2тг\ (2тг\

w2 = е 5 = cos — + г sin — = D2 + гК2,

V 5 J V 5 J (4)

w3 = e s = cos +

w4 = D4 — ¿R4, w5 = D2 — ¿R2.

В [18] установлена

Теорема 1. Общее решение дифференциального уравнения (1) имеет вид

5 5

y(x,s) = ^ Ckyk(x,s), y(m)(x,s) = ^ Ckykm)(x,s), m = 1, 2, 3, 4, (5) k=1 k=1 где Ck (k = 1, 2,..., 5) — произвольные постоянные, при этом

i \ i \ A4k(x,s) , r/exP(lIm s|ax)A , ! о К <R\ yk(x,s) = exp(awksx)----hO( -^-J, k = 1,2, ...,5, (6)

x

A4k(x,k) = w1 exp(aw1 sx) J q(t) exp(a(wk — w1 )st) dtak1

0

x

+ W2 exp(aw2sx) J q(t) exp(a(wk — W2)st) dtak2 0

x

+ ••• + w5 exp(aw5sx^y q(t)exp(a(wk — w5)st) dtak5, k = 1, 2,..., 5, (7) 0

(m) / \ , Лт\ m / N (x,s) ^/^exp(| Im s|ax)A\ yk (x,s) = (as) ^wk exp(awksx) - + ---Jj,

k = 1, 2, . . ., 5, m = 1, 2, 3, 4,

Ak (x,s) = ]= wm+1 exp(aw„sx)^ ... J , k = 1, 2,..., 5, m = 1, 2, 3, 4.

x

0 akn

(9)

4. Изучение граничных условий (2)

Подставляя формулы (5) в граничные условия (2), получаем

5

у(х„,5)(=) 0 ^^ Ск Ук (х,п,я) = 0 (п = 1, 2,..., 5). (10)

к=1

Система (10) представляет собой систему из пяти однородных линейных уравнений с пятью неизвестными С1, С2,..., С5. По методу Крамера такая система имеет ненулевые решения (С2 + С| + • • • + С2 = 0) только в том случае, когда ее определитель равен нулю. Поэтому справедлива

Теорема 2. Уравнение на собственные значения дифференциального оператора (1)-(3) имеет следующий вид:

/ (*)

У1(ж1,в) У2(ж1,я) У1(ж2,в) У2(Х2,3)

У4(х1,в) У5(ж1,в) У4(Х2,3) У5(ж2,в)

У1(ж4,в) У2(Х4,3) Ш(Х5,3) У2(Ж5,3)

У4(Х4,3) У5(ж4,в) У4(Х5,3) У5(Х5,^)

0.

(11)

Используя формулы (6)-(9), уравнение (11) можно переписать в виде

611(3) 612(3) ... 614(3) &15(ж) 621(3) 622(3) ... 624(3) &25(х)

/ (3) =

651(3) 652(3)

6/сп(з) = ехр(агупж/сз) - + 0

654(3) 655(ж) 1 '

= 0,

(12)

к,п = 1, 2,

, 5.

(13)

5. Изучение уравнения на собственные значения и индикаторной диаграммы

Раскладывая определитель /(3) из (12) по столбцам на сумму определителей, получаем

5

к=1

= 0,

основное приближение имеет вид

/0(3) = 0,

(14)

(15)

при этом

/0(3) =

/11 /21

/12 /22

/14 /15 /24 /25

/41 У51

У42 у52

у44 у45 у54 у55

ехр(аад1ж13) ехр(аад2 ж13) ехр(аад1ж2 3) ехр(аад2 ж23)

ехр(аад1Ж4 3) ехр(аад2 Х43) ехр(аад1Ж5 3) ехр(аад2 Х53)

ехр(аад4 ж13) ехр(аад5ж13) ехр(аад4 ж23) ехр(аад5х23)

ехр(аад4 Ж43) ехр(аад5Ж43) ехр(аад4 Ж53) ехр(аад5Ж53)

(16)

определители /4^ (3) (к = 1, 2,..., 5) из (14) получаются из определителя /0(3) из (16) заменой к-го столбца столбцом

(А4к(ж!,3); А4к(ж2,3);...; А4к(ж4,3);А4к(Х5,3))*.

Формула (16) показывает, что между элементами ехр(аад„хк3) и /кп(3), а также между ехр(аад„Хк3) и элементами 6кп из (12), (13) существует взаимно однозначное соответствие.

8

3

Из (16) имеем

У0(3) = /11/22/33/44/55 - у11 у22У33у45у54 + ...

= ехр(а3(ад1 ж1 + ад2ж2 + ад3ж3 + ад4ж4 + ад5ж5)) — ехр(а3(ад1ж1 + ад2ж2 + ад3ж3 + ад5ж4 + ж5)) — • • • = 0, (17)

т. е.

/0(3) = ^>хр(а3М7к)( —1)Ьк = 0, (18)

Тк

где 7к — всевозможные перестановки чисел {1, 2,..., 5}, 6к — знак этой перестановки,

М7к = ад1ж71 + ад2х72 + ад3х7з + ад4ж74 + ад5ж75. (19)

С учетом формулы (4) М7к из (19) принимает вид

М7к = 1 • Х71 + (^2 + ¿Й2)х72 + (^4 + ¿Й4)х7з + (^4 — ¿Й4)х74 + (^2 — ¿Й2)х75

= Ие(М7к)+ г 1ш(М7к), 7к € {1, 2,... 5}, (20)

Ие(М7к) = 1 • х71 + ^2(х72 + х75)+ ^4(х7з + х74), 1 > ^2 > ^4 > —1, (21) 1ш(М7к) = 1 • х71 + Д2(х72 — х75) + Д4(х7з — х74). (22)

Чтобы найти асимптотику корней уравнений (11)—(14), сначала надо решить уравнение (15), где /0(3) определено в (16), а для этого необходимо изучить индикаторную диаграмму (см. [19, гл. 12]) этого уравнения. Для изучения индикаторной диаграммы необходимо подробно изучить уравнения (17)—(19), т. е. поведение чисел М7к из (20) и Ие(М7к), 1ш(М7к) из (21), (22). Начнем с ответа на вопрос: когда достигается шах(Ие(М7к))?

Из (21) следует, что это происходит в следующем случае:

х71 = ТО5П = 1п, х72, х75 равны ТО4П

(23)

или ТО3П, х7з , х74 равны т2п, или т1п = 0.

Из (23) следует, что на вертикальном отрезке [В1В2] индикаторной диаграммы уравнения (15) расположены четыре точки А1,А2,А3,А4 (при этом А1 = В1,А4 = В2), координаты которых определяются соотношениями (20)— (22) и по которым в силу соотношений (17)—(19) определяются соответствующие им элементы определителей (16) и (12), (13). Из общей теории (см. [19, гл. 12]) следует, что отрезку [В1В2] соответствует сектор бесконечно малого раствора, биссектрисой которого является срединный перпендикуляр к отрезку [В1В2], и корни уравнений (15), (16) и (12), (13) могут находиться только в секторе 1, на асимптотику корней влияют только точки А1, А2, А3, А4 отрезка [В1В2]. Исследование точек А1, А2, А3, А4 из (23) показало, что уравнение на собственные значения дифференциального оператора (1)—(3) в секторе 1 имеет следующий вид:

^1(3) = 613624632645651 — 614623632645651 + 614623635642651 — 613624635642651 +----= 0.

(24)

Изучение индикаторной диаграммы показало, что она является десятиугольником, сектор 1 перпендикулярен отрезку [В1В2].

Основное приближение уравнения (24) имеет корень кратности два, поэтому возможен «эффект «расщепления» кратных в главном собственных значений», рассмотренный в [14,20].

Теорема 3. Уравнение на собственные значения дифференциального оператора (1)—(3) в секторе 1 индикаторной диаграммы имеет следующий вид:

Ь13 Ь14 Ь32 Ь35

Ь23 Ь24 1,1 Ь42 Ь45

Ь

51

0, Ь

так как мы ввели обозначение

Ьтп = Ьт,„+5, т, п е {1, 2,..., 5}.

51

Ь56,

(25)

(26)

Исследования индикаторной диаграммы показали, что в секторах 3 и 5 уравнения на собственные значения имеют вид

Ь14 Ь15 Ь33 Ь36

Ь24 Ь25 3,1 Ь43 Ь46

дзМ =

причем Ь52 = 0 в силу формул (16) и (12), (13), д5(з)

Ь52 = 0,

з,2

Ь15 Ь16 Ь34 Ь37

Ь25 Ь26 5,1 Ь44 Ь47

Ь

'58

0,

(27)

(28)

5,2

при этом Ь58 = Ь5з = 0.

Обобщая исследования при получении уравнений (25)-(28), приходим к выводу, что справедлива

Теорема 4. Уравнение на собственные значения дифференциального оператора (1)-(3) в нечетных секторах индикаторной диаграммы имеет следующий вид:

д2Р-1(з)

Ь1,2+р Ь1,3+р Ь2,2+р Ь2,3+р

Ь3,1+р Ь3,4+р Ь4,1+р Ь4,4+р

Ь

'5р

0,

(29)

2р-1,2

2р-1,1

где (2р — 1) — номер сектора индикаторной диаграммы, р = 1, 2, 3,4, 5, Ь5Р = 0. Из (29) видим, что

2

д2Р-1(з) = Ь5р д2Р-1,п(^) = 0, Ь5р = 0

П=1

д2Р-1,п(^)

Ь2п-1,3+р-п(з) Ь2п-1,2+р-и(«) Ь2п,3+р-п(з) Ь2п,2+р-и(«)

0,

(30)

(31)

2р-1,п

при этом (2р — 1) — номер сектора, п — номер серии собственных значений в секторе (2р — 1), р =1, 2,..., 5, п =1, 2, 3.

6. Асимптотика собственных значений оператора (1)—(3)

Уравнения (30), (31) позволяют вычислить асимптотику собственных значений в нечетных секторах. Подставляя формулы (13) в (31), получаем

д2р-1,п(3) = 62п—1,3+р—п(3)62п,3+р+п—1(3) — 62п—1,3+р+п—1(3)62п,3+р—п(3)

ехр(алп3+р-пх2п-13)----V ^

ехр{алп3+р+п-1х2пЗ)--^-г";--Ь О ( —

п х2п—13)

5а4в4 \ в'

А4 ,2+р+п

I (х2п-1, 3) / 1

пх2п3)-

5а434 А4 ,3+р — 71 (х2п, 3)

+ о

+ о

= 0,

р = 1,2,..., 5, п = 1, 2,3. Уравнение (32) можно переписать в виде

1

5>-1,п(3) = 5>-1,п,о(3) - 5а4а4д2р-1,п,4(3) + = 0

(32)

(33)

8

1

X

5а43

4

8

3

0(3) = ехр(ато3+р_п х2п-13)ехр(аад2+Р+пх2п3)

— ехр(ато2+Р+пх2п-13) ехр(аад3+р-пх2п3), (34)

4(3) = ехр(аТО3+р—пх2п—13)А4,2+р+п(х2п, 3) — ехр(аад2+Р+пх2п3)А4,3+р—п(х2п—1, 3) — ехр(аад2+р+пх2п—13^4,3+^—п(х2п, 3)

— ехр(аад3+р—пх2п3)А4,2+р+п(х2п— 1, 3). (35)

Поделив уравнения (33)—(35) на ехр(аад2+р+пх2п—13) ехр(аад3+р—пх2п3) = 0, получаем

/2Р-1,П(3) = /2р-1,„,о(3) - /2р5Х'4(5) + о(^) = 0, (36)

/2р— 1,п,0 (3) = ехр(а(ад2+р+п — ^3+р—п)(х2п — х2п—13)) — 1 (37)

(при этом основное приближение имеет вид /2р— 1,^0(3) = 0),

/2р—1,п,4(3) = ехр(—аТО2+р+пх2п—13)

X ехр( —аад3+р—п(х2п — х2п—^^^р+п (х2п , 3)

- ехр(

(х2п — х2п—1)3) ехр(

х2п 3)А4 ,3+р—п (х2п—1, 3) — ехр(—аад3+р—пх2п3)А4,3+Р—п(х2п, 3)

— ехр( — аад2+р+пх2п—13)А4,2+р+п(х2п—1, 3). (38)

Заметим, что А4,к(ж, в) определены формулами (6)—(9), при этом в секторе (2p — 1) на асимптотику влияют только экспоненты, зависящие от Эд3+р-п и

Х2„

—nx2ns ,) I / • • •

+ W2+p+n exp(aw2+p+nX2ns) I J ... 1 + 0(1), (39)

-n J

0 / a,2+p+n,3+p-n

a,2+p+n,2+p+n

0 / a,3+p-n,3+p-n

X2n-1

(x2n-1

...

0 / a,3+p-n,3+p-n

f X2n-1 \

+ W2+p+n exp(aw2+p+nx2n-is) I ... I + 0(1), (40)

\ 0 / a,3+p-n,2+p+n

(X2n-1

...

/ x2n-1 \

+ W2+p+n exp(aw2+p+nx2ns) I ... I + 0(1), (41)

\ 0 / a,3+p-n,2+p+n

(X2n-1

...

f Х2П-1 \

+ W2+p+n exp(aw2+p+nx2n-is) I ... I + 0(1). (42)

V 0 / a,2+p+n,2+p+n

Учитывая, что

X2n-1 \ /X2n-1 \

J ... I = I / q(t) dt1 (из (7)),

0 / а,т,т \ 0 / ail

подставим формулы (39)—(42) в (38) и проведем необходимые преобразования. Получим

/2p-1,n,4(s) = MinF(-X2n-l)G(0, X2n, N2, N1) + M2nF(X2n - X2n-l)G(0, X2n, N2, N2) + MmF(x2n - X2n-l)G(0, ®2n-1, N1, N1) + M2nF(x2n)G(0, X2n-1, N1, N2) - MmG(0, X2n, N1, N1)

- M2nF(x2n)G(0, X2n, N1, N2) - MmF(X2n - X2n-1)G(0, X2n-1, N2, N1)

- M2nG(0,X2n-1,N2,N2)+ 0(1), (43)

0 / a,2+p+n,3+p-n

X2n-1

где введены обозначения

Min = W3+p-n, M2n = W2+p+n, F(x, s) = exp(ß(M2„ - Min)xs),

c

G(b, c, k, m) = J q(t) exp(ß(wfe - w„)st) diafem, b

N1 = 3 + p - n, N2 = 2 + p + n. Основное приближение уравнения (36)—(38) имеет вид /2p-1,n,o(s) =0 ^ F(Ж2„ - X2n-i) = 0

(44)

^ exp(a(M2n - M1n)xs) = 1 = exp(2nzk), k G Z,

2nzk

^^ sk,2p-1,п,осн

l(M2„ - М1„)(Ж2„ - X2n— 1) '

k G Z, (45)

где (2р — 1) — номер сектора, п — номер серии собственных значений в секторе (2р — 1); р = 1, 2,..., 5; п = 1, 2. Исследования корней квазиполиномов вида (36)—(38) ведем в соответствии с теорией, изложенной в [21,22]. Поэтому справедлива

Теорема 5. Асимптотика собственных значений дифференциального оператора (1)—(3) в нечетных секторах индикаторной диаграммы имеет следующий вид:

2ni

sk,2p- 1,n —

ß(M2n - M1n)(x2n - X2n-1)

k G Z, p G {1, 2, 3,..., 5}, n G {1, 2}.

(46)

Для доказательства теоремы 5 надо вычислить коэффициенты ¿4,^,2^-1,« из (46) в явном виде.

В силу формул (44) и (46) имеем

F(x2n - X2n-1 )l = exp(ß(M2n - M1n)(x2n - Z2n-1 )sk,2p-1,n)

1 2p — 1

= exp(2nzk) exp 2ni

^4,fc,2p-l,n n { 1

¡Й Ш

1

+ /г4 +-U8

(47)

асимптотики получены с применением формулы Маклорена.

Подставляя формулы (46), (47) в уравнение (36)—(38) и учитывая формулы (43), (44), находим, применяя формулу Тейлора:

1ß4(M2n - M1n)4 (X2n - X2n-1)4

5a424

/2p-1,n,4

2p— 1, n

p = 1, 2,..., 5, n = 1, 2, k G Z.

(48)

n4i4

0

Отсюда выводим, что

. 1 1 (М2п — Мт)4 (х2п — х2п—1)4 , , ,

Ь,к,2р-1,п - ---^-/2р-1,п,4(а;)

(49)

5к,2р-1,

где 3к 2р—1п,осн определено формулой (45). Из формул (4) следует, что

М2п — Мт = ^2+р+п — ^3+р—п

(Л (2пг

= ехр I -^-(1 +р + п) ) — ехр I -^-(2 + р — п)

ехр(—

еХР{—[П-2 ГеХР\~{~П+2

= ехр( + ) ), п= 1,2. (50)

Подставляя формулу (45) в (43), (44) и производя необходимые преобразования, получаем

/2р—1,п,4(3)1, = (М2п — М1п)С(х2п—1,х2п, 1, 1)

1 й к,2р- 1 ,п,осн

+ Я2Р—1,п,4(3)|8к2 1 , (51)

1 , к,2р- 1 ,п,осн

#2р— 1,п,4(3)|в = Мщ^ (—х2п—1)С(х2п—1,х2п,^2,^1)

1 ^ к,2р- 1 ,п,осн

— М2п^(х2п)С(х2п—1, х2п, N1, N2). (52) Подставляя 3к,2р— 1,п,осн из (45) в (52), вычисляем

Н2р—1,п,4(3)1

1 ,к, 2р- 1

/2пг , 1Л„/х2п — х2п—Л^А х2п + х2п—1

ехР " !) М -о- К "

5 ) V 2 ) \ 2

X С(х2п— 1,х2п , N2, N1) 1

1 5к,2р-1,'

/'2пг , Л / х2п — х2п— Л „ (х2п + х2п— 1 ехр — (N2 - 1) т ---

5 ) \ 2 ) \ 2

X ^(х2п— 1, х2п , N1, N2) | , . (53)

1 й к,2р — 1 ,п,осн

Из формул (45) и (44) следует, что

^(Ж2"~2Ж2"'1) = ехр(т™Л) = (-1)\

^ ' ,к,2р-1,п,осн

Поэтому формулу (53) можно преобразовать к следующему более удобному ви-

ду:

Н2р-1,п,4(«)

3 к, 2р — 1 ,п, <

(-1)*ехр^Гр + |

5

2

2т ( 1\\ ( Ж2„ + Ж2„-1

ехр I--— \ п — — ехр — тггк

52

х2п — х2п— 1

х ехр

\ /2пг/ 1\\ / Ж2„ + Ж2„-Л [ ..

-г ат — ехр - п--ехр 7гг/е- /

Х2п — Ж2„-1 / 2)) \ Ж2„ — Ж2„-1/ 7

Х2п —1

х ехр

х2п — х2п — 1

г ^

= (_1)^ехр(^Гр + |ПФп, (54)

Х2п

Ф„ = J д(г) бШ

п(2п — 1) Ж2„ + Ж2„-1

-г-----7ГК-

х2п — х2п — 1

х2п — х2п — 1

¿г,

р = 1, 2,..., 5, п = 1, 2.

Подставляя (54) в (52) и используя (50), получаем

/2р-1,п,4(з)

3к,2р— 1,;

(Мап — Мщ)

д(г) ¿гаи +

(—1)А

8Ш (

7г(2п— 1) 5

"Фп

. (55)

Подставляя (55) в (49) и применяя (50), (54), выводим, что 1 1(М2п — Мш)(ж2п — Х2п-1)4

2П 5 24п4

Х2п

J +

(—1)А

. / п(2п — 1) \ 8111 ( 5^)

(—1)2

Ф1

1 1 (Х2п — Ж2„-1)4 ,2

2П 5 24п4

(—1)2

(56)

Из (56) находим выражение для коэффициентов ^4,^,2^1,« в явном виде, что завершает доказательство теоремы 5:

¿4,&,2р-1,п = ( —1)

з(ж2 п - Ж2П-1)4 тг(2п - 1)

5п5

81П

д(£) ¿г,

а11

+

(—1)А

. / п(2п —1)\

8111 ("Ч"^),

д(£) э1п

п(2п — 1) Ж2„ + Ж2„-1 -1-----7г/е-

х2п — х2п— 1 5 х2п — х2п — 1

£ € Ж, р = 1, 2,..., 5, п = 1, 2, (57)

х

X 2 п — 1

х2п— 1

2 п — 1

X

-Х2п —1

1

5

5

X 2 п — 1

причем в этой формуле (2р — 1) — номер сектора, п — номер серии собственных значений в секторе (2п — 1).

Применяя (50), формулу (46) можно переписать в следующем виде:

ехр(-Зр(р+§))

3к,2р— 1,п —

(.Х2п - Х2П-1) *))

(58)

причем коэффициенты 1;П определены в (57).

Тщательное изучение индикаторной диаграммы уравнений (11)—(13) и (16)— (18) с помощью формул (19)—(22) приводит к доказательству следующей теоремы.

Теорема 6. Уравнение на собственные значения дифференциального оператора (1)—(3) в секторе 2 имеет вид

Ы3) — &14

623 625 642 646

633 635 2,1 652 656 2,2

— 0,

(59)

причем 646 — 641, 656 — 651 в силу обозначений (26).

Аналогичным образом доказывается, что в секторах 4 и 6 уравнение на собственные значения имеет вид

й4(я) — 615

^б(з) — 616

624 626 643 647

634 636 4,1 653 657

625 627 644 648

635 637 6,1 654 658

— 0,

4,2

6,2

0.

(60) (61)

Обобщая формулы (59)—(61), получаем следующее утверждение.

Теорема 7. В четных секторах индикаторной диаграммы уравнение на собственные значения имеет вид

^2р(3) — 61,3+^)

62,2+р 62,4+р 63,2+р 63,4+р

2р,1

64,1+р 64,5+р 65,1+р 65,5+р

0,

2р,2

Уравнение (62) можно переписать в виде

^2р(3) — 61,з+р(з) ^2Р1п(3) — 0, 61,з+р(з) — 0,

62п,3+р-п (з) 62п,3+р+п(з) 62п+1,3+р-п (з) 62п+1,3+р+п(з)

0,

(62)

(63)

(64)

2р,п

(2р) — номер сектора, п — номер серии собственных значений в секторе 2р, р — 1, 2,..., 5, п — 1, 2.

Воспользовавшись формулами (12), (13), из (63), (64) получаем

^2р,п(з) — 62п,3+р-п(з)62п+1,3+р+п(з) — 62п,3+р+п(з)62п+1,3+р-п(з) — [ехр(а(ад3+р+п — ^3+р-п)(ж2п+1 — Х2п)з) — 1]

«

п=1

= ехр(аадз+р_„(ж2„+1 - Ж2„)з)ехр( Х2п^)А413+р+„ (ж2„+1 , в)

+ ехр(-аадз+р+„Ж2„+1 в) ехр(аадз+р+„(ж2„+1 - Ж2„»А4,з+:Р_„(ж2„, в) - ехр(-аадз+р_„Ж2„+1в^^+р-п(ж2„+1, в) - ехр(

Х2п^)А41з+р+„(ж2„, в). (66)

Используя формулы (6)—(9), аналогично формулам (36)—(38), (39)—(42) и (43), (44) получаем

^2р,п,4(з) = Мщ^ (-Х2П )С(0,Ж2„+1 ,Жз,^1)

+ Мз„^1(ж2„+1 - Ж2„)С(0,Ж2„+1, Жз, Жз) + Мш^1(ж2п+1 - Ж2„)С(0,Ж2„,Ж1,Ж1)

+ Мз„^1 (Х2П+1 )С(0, Х2„, N1, Жз) - М1„С(0, Х2П+1, N1, N1)

- Мз„^1(Ж2„+1)С(0,Х2„+1, N1, Жз) - M1n.F1 (-Х2„)С(0,Х2„, Жз, N1)

- Мз„С(0,Ж2„,Жз,Жз), (67)

(68)

N1 = 3 + р - п, Жз = 3 + р + п, М1„ = адз+р-п, Мз„ = адз+р+п Fl(ж, в) = ехр(а(Мз„ - М^яж),

с

С(Ь, с, к, т) = J д(£) ехр(а(адк - •

ь

Основное приближение уравнения (65)-(68) имеет вид

^(ж2„+1 - Ж2„) = 0

^ ехр(а(адз+р+„ - адз+р-п)(ж2„+1 - Ж2„)в) = 1 = ехр(2пгк)

2пгк

^ зМр,„,осн =-г: 77-V к«- (69)

а(Мз„ - М1„)(ж2„+1 - Ж2„)

Поэтому верно следующее утверждение.

Теорема 8. Асимптотика собственных значений в четных секторах индикаторной диаграммы имеет следующий вид:

_ 2т

а(Мз„ - М1„)(ж2„+1 - Ж2„)

(70)

5 Х2п+1

, (ж2п+1 - Ж2п)4 1 / . /2пп\Х ¿4,МР,» = -д-^ ( *П ( — )

Х2п

яп

Х2п

Х2п + 1

к Г Г 2пк 2пп Ж2„+1 + Ж2„

Г---7Г/ь ■

ж2п+1 - ж2п 5 ж2п+1 - ж2п_

к е Ж, р = 1, 2,..., 5, п = 1, 2. (71)

Для доказательства формул (70), (71) теоремы 8 заметим вначале, что в силу формул (4)

Мз„ - Mm = W3+p+n - W3+p_„ = exp

Подставляя формулы (69), (70) и (72) в (65)—(68), аналогично формулам (33)— (58) получаем доказательство формул (70), (71) теоремы 8. В силу (72) из (70) выводим

Формулы (57), (58) и (71), (73) показывают, что при условии ж2п ^ х2п+1 (или ж2п-1 ^ х2п) (при п ^ то) нельзя определить асимптотику собственных значений (в силу (2) краевая задача недоопределенная).

Мы изучили дифференциальный оператор с «разделенными» граничными условиями: в каждом из граничных условий участвует только одна внутренняя точка. Аналогичным образом можно изучить граничные условия «неразделенные»: в некоторых из граничных условий могут участвовать по две или три внутренние точки. Вычисления при этом многократно усложняются, для некоторых граничных условий возможен эффект «расщепления» кратных в главном собственных значений. Найденные формулы для асимптотики собственных значений можно применять для вычисления регуляризованных следов изучаемых операторов и исследования базисности собственных функций.

1. Коняев Ю. А. О начальных и многоточечных краевых задачах для неавтономных систем с полиномиальной матрицей и их приложениях // Современная математика. Фундаментальные направления. М.: ВИНИТИ, 2010. Т. 35. С. 78-85.

2. Krall A. M. Boundary value problems with interior point boundary conditions // Pac. J. Math. 1969. V. 29. P. 161-166.

3. Мустафокулов Р., Солиев С. К. Об одной многоточечной краевой задаче // Докл. Акад. наук Республики Таджикистан. 2014. Т. 57, №10. С. 725-731.

4. Покорный Ю. В., Лазарев К. П. Некоторые осцилляционные теоремы для многоточечных задач // Дифференц. уравнения. 1987. Т. 23, №4. С. 658-670.

5. Климов В. С. Многоточечная краевая задача для системы дифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения. 1969. Т. 5, №8. С. 1532-1534.

6. Левин А. Ю. О дифференциальных свойствах функции Грина многоточечной краевой задачи // Докл. АН СССР. 1961. Т. 136, №5. С. 1022-1025.

7. Кодлюк Т. И., Михайлец В. А. Многоточечные краевые задачи с параметром в пространствах Соболева // Докл. HAH Украины. 2012. №11. С. 15-19.

8. Хасеинов К. А. Многоточечные и сопряженные краевые задачи, их приложения. М.: Наука, 2006.

(73)

7. Заключение

ЛИТЕРАТУРА

9. Белабасси Ю. Регуляризованный след многоточечной задачи // Вестн. МГУ. Сер. Математика, механика. 1981. №2. С. 35—41.

10. Белабасси Ю. Регуляризованные следы многоточечной задачи для обыкновенных дифференциальных операторов высших порядков // Дифференц. уравнения. 1983. Т. 19, №6. С. 938-944.

11. Митрохин С. И. О формулах регуляризованных следов для дифференциальных операторов второго порядка с разрывными коэффициентами // Вестн. МГУ. Сер. Математика, механика. 1986. №6. С. 3-6.

12. Митрохин С. И. О некоторых спектральных свойствах дифференциальных операторов второго порядка с разрывной весовой функцией // Докл. АН. 1997. Т. 356, № 1. С. 13-15.

13. Юрко В. А. О дифференциальных операторах высших порядков с особенностью внутри интервала // Мат. заметки. 2002. Т. 71, вып. 1. С. 152-156.

14. Митрохин С. И. О «расщеплении» кратных в главном собственных значений многоточечных краевых задач // Изв. вузов. Сер. Математика. 1997. №3. С. 38-43.

15. Винокуров В. А., Садовничий В. А. Асимптотика любого порядка собственных значений и собственных функций краевой задачи Штурма — Лиувилля на отрезке с суммируемым потенциалом // Изв. РАН. Сер. мат. 2000. Т. 64, №4. С. 47-108.

16. Митрохин С. И. Асимптотика собственных значений дифференциального оператора четвертого порядка с суммируемыми коэффициентами // Вестн. МГУ. Сер. Математика, механика. 2009. №3. С. 14-17.

17. Митрохин С. И. О спектральных свойствах одного дифференциального оператора с суммируемыми коэффициентами с запаздывающим аргументом // Уфим. мат. журн. 2011. Т. 3, №4. С. 95-115.

18. Митрохин С. И. Об исследовании спектра краевой задачи для дифференциального оператора пятого порядка с суммируемым потенциалом // Мат. заметки СВФУ. 2016. Т. 23, №2. С. 78-89.

19. Беллман Р., Кук К. Л. Дифференциально-разностные уравнения. М.: Мир. 1967.

20. Митрохин С. И. О «расщеплении» кратных в главном собственных значений многоточечных краевых задач // Мат. моделирование и краевые задачи. 2008. Ч. 3. С. 130-133.

21. Лидский В. Б., Садовничий В. А. Асимптотические формулы для корней одного класса целых функций // Мат. сб. 1968. Т. 65, №4. С. 558-566.

22. Садовничий В. А., Любишкин В. А., Белабасси Ю. О регуляризованных суммах корней целой функции одного класса // Докл. АН СССР. 1980. Т. 254, №6. С. 1346-1348.

Статья поступила 18 декабря 2016 г.

Митрохин Сергей Иванович НИВЦ МГУ им. М. В. Ломоносова, Ленинские Горы, 6, Москва, 119234 т1"ЬгокК1п-ве^еу@уапдех. ги

Математические заметки СВФУ Январь—март, 2017. Том 24, № 1

UDC 517.927

ON THE SPECTRUM OF THE MULTIPOINT BOUNDARY VALUE PROBLEM FOR AN ODD ORDER DIFFERENTIAL OPERATOR WITH SUMMABLE POTENTIAL S. I. Mitrokhin

Abstract: A boundary value problem for an odd order differential operator with multipoint boundary conditions is studied. The interior points in which boundary conditions are set can divide the segment on which the operator is considered into the incommensurable parts. The potential of the differential operator is a function Lebesgue integrable at the segment on which the operator is considered. We study the asymptotic behaviour of the solutions to the corresponding differential equation for large values of the spectral parameter. The equation on the eigenvalues of the operator is received. We obtain the indicator diagram of that equation. The asymptotic behavior of the eigenvalues in all sectors of the indicator diagram is studied.

Keywords: differential operator, summable potential, boundary value problem, multipoint boundary conditions, indicator diagram, the asymptotics of the eigenvalues.

REFERENCES

1. Konyaev Yu. A. "Initial-value and multipoint boundary-value problems for nonautonomous systems with polynomial matrix and their applications," J. Math. Sci., 170, No. 3, 332—339 (2010).

2. Krall A. M. "Boundary value problems with interior point boundary conditions," Pac. J. Math., 29, 161-166 (1969).

3. Mustafokulov R. and Soliev S. K. "About one multipoint boundary value problem," Dokl. Akad. Nauk Resp. Tadzh., 57, No. 10, 725-731 (2014).

4. Pokorny Yu. V. and Lazarev K. P. "Some oscillation theorems for many-point problems," Differ. Equations, 23, No. 4, 452-462 (1987).

5. Klimov V. S. "A multipoint boundary value problem for a system of differential equations [in Russian]," Differ. Uravn., 5, No. 8, 1532-1534 (1969).

6. Levin A. Yu. "Differential properties of the Green's function in a many point boundary value problem," Sov. Math. Dokl., 2, 154-157 (1961).

7. Kodlyuk T. I. and Mikhailets V. A. "Multipoint boundary value problems with parameter in Sobolev space," Dopov. Nats. Akad. Nauk Ukr., Mat. Pryr. Tekh. Nauky, No. 11, 15-19 (2012).

8. Haseinov K. A., Multipoint and Conjugate Boundary Value Problems, Their Applications, Nauka, Moscow (2006).

9. Belabbasi Yu. "Regularized trace of a several point problem," Vestn. Mosk. Univ., Ser. I, No. 2, 35-41 (1981).

10. Belabbasi Yu. "Regularized traces of many point problems for high-order ordinary differential operators," Differ. Equations, 19, No. 6, 676-681 (1983).

11. Mitrokhin S. I. "Formulas for the regularized traces of the second order differential operators with discontinuous coefficients," Mosc. Univ. Math. Bull., 41, No. 6, 1-5 (1986).

© 2017 S. I. Mitrokhin

12. Mitrokhin S. I. "Spectral properties of second-order differential operators with a discontinuous positive weight function," Dokl. Math., 56, No. 2, 652-654 (1997).

13. Yurko V. A. "About differential operators of the highest orders with a singularity inside the interval," Math. Notes, 71, No. 1, 152-156 (2002).

14. Mitrokhin S. I. "On the 'splitting' in multiplicity in principal eigenvalues of multipoint boundary value problems," Russ. Math., 41, No.3, 37-42 (1997).

15. Vinokurov V. A. and Sadovnichii V. A. "Asymptotics of any order for the eigenvalues and eigenfunctions of the Sturm-Liouville boundary value problem on a segment with a summable potential," Izv. Math., 64, No. 4, 695-754 (2000).

16. Mitrokhin S. I. "The asymptotics of the eigenvalues of a fourth-order differential operator with summable coefficients," Mosc. Univ. Math. Bull., 64, No.3, 102-104 (2009).

17. Mitrokhin S. I. "On spectral properties of a differential operator with summable coefficients and retarded argument," Ufim. Math. J., 3, No.4, 95-115 (2011).

18. Mitrokhin S. I. "On the study of the spectrum of the boundary value problem for a fifth-order differential operator with summable potential," Mat. Zamet. SVFU, 23, No. 2, 78-89 (2016).

19. Bellman R. and Cooke K. L. Differential-Difference Equations [in Russian], Mir, Moscow (1967).

20. Mitrokhin S. I. "On the 'splitting' in multiplicity in principal eigenvalues of multipoint boundary value problems," in: Mathematical Modelling and Boundary Problems, Part 3, 130-133 (2008).

21. Lidskii V. B. and Sadovnichii V. A. "Asymptotic formulas for roots of one class of the entire functions," Mat. Sb., N. Ser., 75, No. 117, 558-566 (1968).

22. Sadovnichii V. A., Lyubishkin V. A., and Belabbasi Yu. "On regularized sums of roots of an entire function of a certain class," Sov. Math., Dokl., 22, 613-616 (1980).

Submitted December 18, 2016

Sergey I. Mitrokhin NIVTs of Moscow State University, 6 Leninskie gory, Moscow, 119234, Russia mitrokhin-s [email protected]