Об изометрических вложениях конечных метрических пространств Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математика

УДК 511

ОБ ИЗОМЕТРИЧЕСКИХ ВЛОЖЕНИЯХ КОНЕЧНЫХ МЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ

А. И. Облакова1

Доказывается существование такой метрики на канторовом множестве, что в него изометрически вкладываются все конечные метрические пространства, ограниченные по диаметру числом 1 и по количеству точек числом п. Также доказывается, что для любых то, п существует капторово множество в Rm, изометрически содержащее все конечные метрические пространства, которые вкладываются в Rm, ограничены по диаметру числом 1 и по количеству точек числом п. Последний результат доказывается для широкого класса метрик на Rm, в том числе для евклидовой метрики.

Ключевые слова: метрика, изометрическое вложение, канторово множество.

It is proved that there exists a metric on the Cantor set such that any finite metric space with the diameter not exceeding 1 and the number of points not exceeding n can be isometrically embedded into it. We also prove that for any то, n e N there exists a Cantor set in Rm that isometrically contains all finite metric spaces embedded into Rm, containing not more than n points, and having the diameter not exceeding 1. The latter result is proved for a wide class of metrics on Rm and in particular for the Euclidean metric.

Key words: metric, isometric embedding, Cantor set.

1. Введение. Все пространства предполагаются метрическими, сепарабельными, а их отображения — изометричными. В работе [1] для любого натурального числа скив работе [2] для любого счетного ординала а доказано, что существует сепарабельное метрическое пространство малой индуктивной размерности не более а, изометрически содержащее всякий метрический компакт малой индуктивной размерности не более а.

Очевидно, что в классе всех метрических компактов малой индуктивной размерности не больше а не существует изометрически универсального элемента. Это следует из того, что, с одной стороны, диаметр всякого компакта ограничен, а с другой — существуют компакты этого класса сколь угодно большого диаметра. Однако, пользуясь понятием е-сети, легко показать, что и в подклассе всех метрических компактов этого класса, диаметр которых не больше некоторого фиксированного числа, также не существует универсального элемента.

Заметим, что если для некоторого класса метрических пространств существует вполне ограниченное метрическое пространство, содержащее изометрически все элементы этого класса, то этот класс обладает следующими свойствами: (а) диаметры всех его элементов ограничены некоторым числом d и (6) для любого е > 0 существует такое натуральное число п(е), что всякий элемент этого класса имеет е-сеть, число элементов которой не превосходит п(е). В работе [3] (см. также [4]) доказано обратное, т.е. доказано, что если некоторый класс метрических пространств обладает указанными выше свойствами (а) и (6), то существует вполне ограниченное метрическое пространство, содержащее изометрически все элементы этого класса. Из этого следует, что для заданного класса компактных метрических пространств условия (а) и (6) являются необходимыми и достаточными для существования компактного метрического пространства, содержащего изометрически все элементы этого класса.

В монографии [4] класс метрических пространств, удовлетворяющий условиям (а) и (6), называется равномерным. Доказывается, в частности, что если класс пространств равномерен и состоит из пространств размерности не более п € со, то существует вполне ограниченное метрическое пространство размерности не более п, изометрически содержащее все элементы этого класса. С одной стороны, это вполне ограниченное метрическое пространство может не быть компактным, а с другой — его пополнение, которое компактно, может иметь размерность больше п.

Класс F1 всех конечных метрических пространств диаметра не более 1 не является равномерным. Следовательно, для этого класса не существует компактного метрического пространства, содержащего изометрически все его элементы. С другой стороны, класс F^, п € N, всех конечных

1 Облакова Анна Игоревна — студ. каф. общей топологии и геометрии мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: oblakovaannaQmail .ru.

метрических пространств диаметра не более 1, состоящих не более чем из п элементов, является равномерным, и, следовательно, согласно упомянутому результату из [4], существует вполне ограниченное нульмерное метрическое пространство Т, содержащее изометрически все элементы класса Однако остается открытым вопрос: является ли пополнение пространства Т, которое есть компакт, нульмерным? Так как мы не рассматриваем классы конечных метрических пространств, диаметры которых превышают 1, то в дальнейшем для простоты будем писать Fra, опуская индекс, ответственный за диаметр пространств.

В настоящей работе без использования конструкции из [4] доказано существование такой метрики на канторовом множестве, что любой элемент из Fra изометрично вкладывается в это канторово множество, тем самым дается положительный ответ на соответствующий вопрос С. Илиадиса.

Рассмотрим подкласс Fra(R"г) С Fra конечных метрических пространств, изометрически вкладываемых в (Мт, р), где, например, р — евклидова метрика. Изометрически содержащее пространство, построенное для класса Fra, очевидно является изометрически содержащим для этого подкласса, но такое канторово множество не вкладывается в для любого N € М, так как содержит конечные метрические пространства, которые не вкладываются ни в одно евклидово пространство. В связи с этим возник вопрос о существовании такого канторова множества в (где Ы, возможно, больше т), что оно изометрически содержит все элементы класса Fra(R"г). На этот вопрос в настоящей работе дается положительный ответ, причем N можно взять равным т. Утверждение доказывается для любой метрики р, эквивалентной стандартной и обладающей следующими свойствами:

инвариантностью относительно сдвигов, т.е. р(х, у) = р(х + V, у + и) Ух, у,ь € К"1;

для любого (I > 0 шар радиуса (I в метрике р вокруг нуля ограничен в евклидовой метрике.

Евклидова метрика и метрика покоординатного сложения обладают этими свойствами.

2. Необходимые понятия и обозначения. Через N обозначается множество натуральных чисел, через п — некоторое фиксированное натуральное число, которое больше 1. Число пар 1 ^ г < .] ^ п, обозначается через Ж, т.е. N = ^, в дальнейшем рассматривается некоторое фиксированное отображение

<р: Ш)|1 гф]} -»• {1,2,..., Ж},

взаимно однозначное на множестве {(г,^')|1 ^ г < ] ^ п} и такое, что = Такое

отображение существует в силу определения числа N.

Через К обозначается множество действительных чисел. Для любого т € N на множестве К"1 рассматривается метрика р : К"1 х Мт —>■ М, определенная следующим образом:

т 3= 1

где х = (х\,..., хт), у = (у\,..., ут). Единичный куб пространства Мт обозначается через

Ят = {(Х1,...,хт)\ 0 < х3 < 1, К8^т}сКт

На отрезке [0,2] рассмотрим систему интервалов /д. = (йк,Ьк), к € М, Ьк > ак, обладающую свойствами:

1) Ьк] С (0, 2) для любого к € М;

2) [ак, Ьк] П [щ, Ъ{\ = 0 для кф1\

3)£Г=1(ь*-а*) = 1;

4) множество [0, 2] \ 1к) нигде не плотно.

Лемма 1 [5]. Множество С = [0, 2] \ 1к компактно, нульмерно и совершенно, т.е. гомео-морфно канторову множеству.

Определим функцию ф: С —> К, полагая для каждой точки ж € С

тр(х)=х- (Ьк — ак).

Лемма 2. Функция ф обладает, следующими свойствами:

1) 1р не убывает;

2) \ф(х) — ф(у)\ ^ \х — у\ для всех х,у € С;

3) 1р — непрерывное отображение С на отрезок [0,1].

Из леммы следует, что отображение 1рм : См —> , заданное формулой

^{хх,..., хм) = {^{хх),..., 1р(хм)),

тоже непрерывно и сюръективно.

В единичном кубе рассмотрим его подмножество

К0 = {(х1,...,хм) е Хф>к) < Хф^) + х(р{^к), 1 < к < п, г ф ф к,] ф к}.

Если N = 1, то полагаем К0 = С^1. Как нетрудно показать, множество К0 замкнуто в Положим

К = {(Х1, ...,хм)еСм | (ф(Х1),..., ф(хм)) € К0}.

Множество К замкнуто в как прообраз замкнутого множества при непрерывном отображении фИ следовательно, компактно. Так как К С , то К — нульмерный компакт.

Пусть Кг, 1 ^ г ^ п, — копии метрического компакта К шщ — соответствующие тождественные отображения К г на К. Дизъюнктное объединение этих копий обозначим через Г = Через

7Г обозначим отображение этого объединения на множество К, которое на подмножестве Кг, г = 1,... ,п, совпадает с отображением щ. Положим

Бк = и {Кг х Кг с Г х Е| 1 < г < п}, = {(а, Ь) € Г х Е| тг (а) = тг(Ь)>, 5 = Бк и

3. Псевдометрика рр на множестве Г. В дальнейшем если точка х € то через х3, 1 ^ в ^ N, обозначаются ее координаты, т.е. х = (х\,..., хн). Если х € К, то параметрами точки х называются координаты точки 1рм(х) = (^ф(х{),..., € К0. Параметры обозначаются

следующим образом: хя = ф(х3), 1 ^ в ^ N.

Точка из К однозначно определяет свои параметры. Однако параметры точки неоднозначно ее определяют. Для любой точки у € К0 по определению множества К и свойствам функции ф найдется такая точка х € К, что Xя = у3, 1 ^ в ^ N. Рассмотрим отображение ро: Б —> М, полагая

( Ь) - /р(7Г(а)' если 6 8к]

~ \ (тг если а € Щ, Ь € К,, г ф тг (а) = тг(Ь).

Заметим, что отображение ро по определению неотрицательно и для любых (а, Ъ) € Б верно ро{а, Ъ) = ро(Ь, а). Однако возможно, что ро(а, Ъ) = 0, когда а фЪ.

Определение. Конечную последовательность точек 0,1,0,2, ■■■ € Е, I > 1, удовлетворяющую условию (ар, ар+1) € Б, 1 ^ р ^ I — 1, назовем путем между а = а\ и Ь = Ог. Длиной пути назовем 1-1

число ¿2 ро{ар,ар+1).

р= 1

Множество всех путей между точками а и Ь обозначим через \¥(а, Ъ). Лемма 3. Отображение р-р '■ Е х Е —>■ М; заданное формулой

1-1

рР(а,Ь)= М У2р0(ар,ар+1),

(аь...,аг)еИ^(а,Ь) ^

является псевдометрикой.

Доказательство леммы 3 очевидно.

Утверждение 1. Если а,Ъ € Щ, 1 ^ г ^ п, то рр(а, Ь) = ро(а, Ь).

Доказательство. Рассмотрим произвольный путь (а\,... ,а{) € \¥(а, Ъ). Так как р — метрика,

то

г-1

ро(а,Ь) = р(тт(а),тт(Ь)) < ^ р(тт(ар),тт(ар+1)) = ^ р(тт(ар),тт(ар+1)) =

р= 1 (ар,ар+1)&3к

1-1

= Ро(ар,ар+1) ^ ^2р0(ар,ар+1).

(ар,ар+Р= 1

В силу того что (а, Ь) € 6), имеем 6) = ро(а, Ь). □

Утверждение 2. Если для некоторого пути (а\,..., (ц) € \¥(а, Ъ) верно соотношение тт(а\) = к(а>2) = • • • = то его длина не меньше ро(а, Ъ), т.е. не меньше длины, пути (а, Ъ).

Доказательство. Утверждение достаточно доказать для 1 = 3. Пусть а\ € К^, аг € К^, аз € Кк, 1 "С "С п. Если г^,к не попарно различны, то утверждение очевидно. Далее считаем

я Ф 3 Ф к ф г- Имеем

Ро(аьа2)+ро(а2,аз) = (тг^))^+(*ЫГт = (тгЫ)^> (тг^))^ = р0(а,Ъ).

Последнее неравенство выполняется в силу определения множества Ко. □

Утверждение 3. Пусть (а,с,(1,Ъ) € \¥(а,Ь) и (а, с) € Бк- Тогда существует путь (а,е,Ь) € \¥(а,Ь), длина которого не больше длины, пути (а,с,(1,Ъ). При этом либо 7г(е) = тт(а), либо 7г(е) = тг(Ь).

Доказательство. Пусть а € Кг, Ъ € К^, 1 ^ г,] ^ п. Если г = ], то по утверждению 1 путь (а, Ъ) имеет не большую длину, чем путь (а, с, с!,Ь). В этом случае, так как длина пути (а, а, Ъ) равна длине пути (а, Ъ), положим е = а.

Пусть теперь г ф Если (с, (I) € Бк, то тт(с1) = тт(Ь) и по утверждению 1 длина (а, (I) не больше длины (а,с,г1), а следовательно, длина (а,с!,Ь) не больше длины (а,с,й,Ъ), и мы можем считать е = с1.

Пусть теперь (с, (1) Тогда либо (й, Ъ) € Бж, либо (1 € В первом случае по утверждению 2

длина пути (с, 6) не больше длины пути (с,й,Ъ), и, следовательно, длина пути (а,с,Ъ) не больше длины пути (а, с, с!,Ь), а значит, можно считать, что е = с.

Рассмотрим оставшийся случай: с! € К^, (с, (Г) € Без ограничения общности можно считать, что (к(а))^ (к(Р))^¿у Рассмотрим точку е € для которой 7г(е) = 7г(а). Докажем, что она искомая.

Если ^ (^(с))^,.?)' т0 113 свойств отображения ф следует {ж^ (7г(с))^г'^.

Имеем

р0(а,е) +роМ) = (тг(а))^ + р(тг(е), тг(6)) =

= (тг(а))^) +р(тг(а),тг(6)) < (тг(с))^ + р(тг(а),тг(с)) + р(тг(с),тг(6)) =

= р(тг(а),тг(с)) + (ф))^'^ +р(тг(£0,тг(Ь)) = р0(а,с) + р0(с,(г) +ро(^,6).

Если ^ (^(а))^^, то рассмотрим точку

5 = (Мс))ъ • • • , (^(с))^-)-!, (^(а))^-), (^(0))^)+!, ..., (тт(с))м) =

= (МсО)ъ • • •, {^{(1))^,])-!, • • • > е

Для нее верно следующее соотношение:

Р(5> *"(*>)) < Р(тг(«0, тг(Ь)) = Ро(<1,Ь). Заметим далее, что в силу определения метрики р

р(тг(а),тг(с)) = р(тг(а),д) + (тг(а))ф^ - (тг(с))ф^. Из свойств отображения ф имеем

(7г(а)Г(м) _ (7Г(С))^) ^ (тг(а))^) - (тг(С))^).

Окончательно получаем

р0(а,е) +р0(е,6) = (тг(а))^') + р(тг(а), тг(Ь)) < (тг(а))^) + р(тг(а),5) + р(5,тг(6)) = = (тг+ р(тг(а),7г(с)) - ((тг(а))^ - (тг(с)Ь„л) + р(^,тг(Ь)) < < (тг+ р(тг(а),7г(с)) - ((тг(а))^ - (тг(с))^) + р(5,тг(6)) = = р(тг(а), тг(с)) + (тг(с))^'Л + р(#, тг(Ь)) < ро(а, с) + р0(с, + ро(й, Ъ). □

Утверждение 4. Для, любых точек а, Ъ € Г верно равенство

рР(а, Ъ) = М (р0(а, с) + р0(с, й) + р0(с?, £>))•

(а,с,й,Ъ)&¥(а,Ъ)

Доказательство. Рассмотрим произвольный путь {а\,...,а{) € \У(а, Ъ), где I ^ 5. Докажем, что существует путь (Ь1,..., Ьк) € \¥(а, Ъ), такой, что его длина не больше длины (а\, ..., щ), а к < I. Тем самым за конечное число шагов придем к пути, длина которого не больше исходной, а число точек в нем не больше 4.

Если (й1, аг) € Бк, то по утверждению 3 для пути (оц, аг, а3, 0,4) можно уменьшить число точек на одну, не увеличив длину.

Если (01,02) € Бп, то либо (02,03) € Бк, либо (а2,аз) € ^тг- В первом случае применяем утверждение 3 для пути (й2, аз, 04, 05). Во втором случае применяем утверждение 2 для пути (а1,а2,а3). □

Заметим, что по утверждению 3 инфимум можно брать по множеству путей (а, с, й, Ъ) € \¥(а, Ъ), таких, что (а, с) € б'тг, (с,й) € (Л,Ь) € Такое множество путей конечно, а значит, инфимум можно заменить на минимум.

Утверждение 5. Если а € Кг, Ь € К^, (а, Ь) € Бж, 1 ^ ^ п, то рр{а, Ь) = ро(а, Ь).

Доказательство. Если а = Ъ, то утверждение очевидно. Рассмотрим случай а ф Ъ, т.е. г ф Пусть (а, с, й, Ь) € Ь).

Если (а, с) € Бк, то по утверждению 3 существует путь (а, е, Ъ) € 6), длина которого не превосходит длину (а,Ъ,с,й), при этом (а, е), (е, 6) € Таким образом, воспользовавшись утверждением 2, получим, что длина пути (а, Ъ) не больше длины (а,с,с1,Ь). Аналогично для случая

(М) е

Остается случай (а, с), (6, (1) € Тогда 7г(с) = 7г(а) = 7г(6) = и{(1), а следовательно, по утверждению 2 длина (а, 6) не больше длины (а, с, й, Ъ). □

4. Основной результат. Рассмотрим отношение эквивалентности на Е: х ~ у рр(х,у) = 0. Рассмотрим фактормножество Т = Е/ ~ .

Псевдометрика рр естественно определяет на Т метрику, которую обозначим через рт- Через а обозначим естественное отображение псевдометрического пространства Е на метрическое пространство Т.

Теорема 1. Метрическое пространство Т — компакт.

Доказательство. Каждый компакт Кг, 1 ^ г ^ п, по утверждению 1 изометрически вкладывается в Е, а значит, и в Т. Более того, сумма их образов есть Т. Тем самым пространство Т как конечная сумма компактов компактно. □

Теорема 2. Метрическое пространство Т нульмерно.

Доказательство. Заметим, что образ Кг при изометрическом вложении замкнут в Т. Сумма образов Кг, 1 ^ г ^ п, есть Т. Утверждение теоремы теперь следует из того, что конечная сумма замкнутых нульмерных пространств нульмерна (см. [6]). □

Теорема 3. Метрическое пространство Т изометрически содержит все элементы класса

Доказательство. Пусть (М,рм) — элемент класса Так как всякое конечное пространство из класса Fra_l изометрически содержится в некотором элементе класса Fra \Ffj_i, то можем считать М € Fra \ Упорядочим его множество точек М = (М\,..., Мп) и обозначим через

с1 = (с?1,..., точку пространства для которой = р(Мг, М^, где 1 ^ г, ] ^ п т в = Так как диаметр множества М меньше или равен 1 и рм — метрика, то точка (I принадлежит компакту К0. Пусть а € К — такая точка, что = <1, и, следовательно, ая = й8 для любого 1 ^ в ^ N. Такая точка существует по построению К. Для любого г € {1 ,...,п} обозначим через а^ точку множества Кг, для которой тг(а^) = а, и рассмотрим множество Ма = {<т(а(-1)),..., а(а^)} С Т. Тогда для = имеем

рт(а(а^),а(а^)) = р0(а«,а(Л) = (тг(а«))^ = а3 = й3 = р{Мг,М]).

Из этого равенства вытекает, что отображение £ : М —> Ма, для которого £(Мг) = а(а^), 1 ^ г ^ п, является изометрией. □

Следствие. На канторовом, множестве существует такая метрика, что всякий элемент класса Fra в нем, изометрически содержится.

Доказательство. Рассмотрим на множестве Т х С метрику, которая на каждой паре точек (а,х), (Ъ, у) равна сумме рт(а, Ъ) + р(х,у). Это пространство компактно, нульмерно и совершенно, а следовательно, является канторовым множеством. По теореме 3 оно изометрически содержит все элементы класса Е„. □

5. Евклидов случай. Рассмотрим пространство К"1 и произвольную метрику р на К"1, эквивалентную стандартной и обладающую следующими свойствами:

инвариантностью относительно сдвигов, т.е. р(х, у) = р(х + V, у + г>), Ух, у,ь € К"1;

для любого (I > 0 шар радиуса (I в метрике р вокруг нуля ограничен в евклидовой метрике.

Евклидова метрика и метрика покоординатного сложения обладают этими свойствами.

Обозначим через Fra(R"г) С Fra подкласс метрических пространств, изометрически вкладываемых в (Мт,р). Рассмотрим вопрос существования канторова множества С в Мт, изометрически содержащего все элементы Fra(R"г).

Зафиксируем I > 0, такое, что 11\ С [—где 11\ — шар единичного радиуса в метрике р с центром в точке нуль. Построим канторово множество на отрезке [0,ги], где IV = I + е, е > 0. Зафиксируем некоторое положительное 5 < ^. Рассмотрим систему интервалов Iк = (с1к,Ьк), к € М, Ьк > ак, обладающую свойствами:

1) [«ьЫ С (0, го) для любого к € М;

2) [ак, Ьк] П [аг, Ьг] = 0 для кфг,

3) Ек=г(Ьк ~ ак) = 5 > 0,

4) множество [0,«;] \ ^к) нигде не плотно.

Множество С = [0,«;] \ 4 С К компактно, нульмерно и совершенно, т.е. является канто-ровым множеством (см. [5]). Произведение Ст С К"1 также будет канторовым множеством.

В следующих теоремах верхний индекс отвечает за нумерацию точек, т.е. хг = (х\,... ,хгт). Сначала рассмотрим частный случай т = 1.

Теорема 4. Множество С С М изометрически содержит все элементы множества Fra(R). Доказательство. Рассмотрим М € Fra(R) и множество {у1,..., Vй} С Е, изометричное М и такое, что 0 = V1 ^ V2 ^ ... ^ Vй. При этом, очевидно, Vй ^ I.

Пусть р — лебегова мера на М. Определим множества V1,..., Vй следующим образом:

V* = [у*У + и)-ьп],

Тогда рУг = рУ1 = IV — уп ^ е.

Определим отображения V1 —> V1, 1 ^ г ^ п, полагая (£ч(х) = х — V1. Заметим, что это биективные отображения, сохраняющие меру и метрику. Пусть

(оо \ п

1Ы. Vй = []^(Уг\и)сУ1. к= 1 / 1=1

Докажем, что Vй непусто. По построению

\ и)) = \ и) ^ рУ1 - р11 = рУ1 - 5, 1 < г < п.

Тогда

\ <Рг(У* \и))^5, 1 < I < п.

Следовательно,

рУи ^ рУ1 - п5 ^ е - п5 > 0. Таким образом, Vй непусто. А значит, существует х € Vй. Пусть

х* = Р~\х) С С, 1 < г < п.

Согласно определению хг = х1+ьг, а значит, множество {х1,..., хп} изометрично М и содержится в С. Мы доказали, что любое М € ^(К) изометрично вкладывается в С. □

Теперь рассмотрим общий случай т € N.

Теорема 5. Множество Ст изометрически содержит все элементы множества Fra(R"г). Доказательство. Рассмотрим элемент М € Fra(R"г) и множество {у1,... ,уп) С Мт, изометричное М и такое, что

уг = (г/1, • • -,Уш), 0 1 < г < п, 1 < 2 < т.

По теореме 4 для каждого 1 ^ ^ ^ т существуют х* € С, такие, что х* — х^ = у* — для 1 ^ г ^ п. Тогда множество {х1,... ,хп}, где хг = (х\,... ,хгт), содержится в Ст и изометрично {у1,... ,уп}, т.е. изометрично М. □

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Iliadis S.D. A separable complete metric space of dimension n containing isometrically all compact metric spaces of dimension n // Topol. and its Appl. 2013. 160, N 11. 1271-1283.

2. Iliadis S.D., Naidoo I. On isometric embeddings of compact metric spaces of a countable dimension // Topol. and its Appl. 2013. 160, N 11. 1284-1291.

3. Tits J. Groupes à croissance polynomiale // Séminaire Bourbaki. 1980-1981, N 572.

4. Iliadis S.D. Universal spaces and mappings. Amsterdam: Elsevier Science, 2005.

5. Эпгелькипг P. Общая топология. M.: Мир, 1986.

6. Гуревич В., Волмэн Г. Теория размерности. M.: ИЛ, 1948.

Поступила в редакцию 12.12.2013

УДК 514.174.5

О МИНИМАЛЬНЫХ ТРИАНГУЛЯЦИЯХ ДВУМЕРНОГО МНОГООБРАЗИЯ

Г. М. Сечкин1

В статье сформулирован метод, позволяющий получить верхнюю оценку числа различных минимальных триангуляции многообразия. Как пример найдены все минимальные триангуляции бутылки Клейна. Также рассмотрен алгоритм итерационного построения минимальных триангуляций.

Ключевые слова: минимальная триангуляция, графы на многообразиях, триангуляция бутылки Клейна.

A method allowing one to obtain an upper estimate of the number of different minimal triangulations of manifolds is presented in the paper. All minimal triangulations of the Klein bottle are obtained as an example. An iterative algorithm for construction of the minimal triangulations is also considered.

Key words: minimal triangulation, graph on the surface, triangulation Klein bottle.

1. Введение. В 1955 г. Г. Рингель [1] вывел формулу, связывающую эйлерову характеристику и число вершин в минимальной триангуляции для неориентируемых поверхностей. Ориентируемый случай оказался сложнее, и полный ответ был получен в статье Г. Рингеля, М. Янгермана [2] в 1980 г. В настоящей работе разобран случай, когда минимальная триангуляция многообразия является полным графом, в этом случае формула выводится совсем просто. Полученное нами следствие 2 дает возможность сразу ответить на вопрос, для каких многообразий минимальная триангуляция полным графом быть не может.

Задача о нахождении минимальной (по числу вершин) триангуляции двумерного многообразия имеет широкое практическое применение. Но на данный момент нет явного алгоритма, позволяющего получить ее для произвольного многообразия. В п. 8 рассматривается итерационный алгоритм, который строит триангуляцию многообразия большего рода, основываясь на триангуляциях меньшего. Этот алгоритм не всегда приводит к минимальной триангуляции, но предлагает триангуляцию, "мало отличающуюся" от минимальной.

Проблемой о числе минимальных триангуляций бутылки Клейна занимался Д. Цервоне [3]. Он получил верный результат, но предоставил неполное доказательство. Основной результат его работы — нахождение всех групп симметрий полученных триангуляций.

1 Сечкин Георгий Михайлович — студ. каф. дифференциальной геометрии и приложений мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: ego-rishQya.ru.