CC BY
16Об источнике шума пограничного слоя вязкого теплопроводного газа
Воронков С.С.
Зав. кафедрой дорожного строительства ПсковГУ 180000 г. Псков, пл. Ленина, д. 2
Аннотация
Рассмотрен источник шума пограничного слоя вязкого теплопроводного газа, обусловленный наличием диссипации энергии и теплообмена. Анализируется уравнение для пульсаций давления в вязком теплопроводном газе, полученное автором. Показано, что полученное уравнение объясняет механизм возникновения пульсаций давления в стационарном потоке вязкого теплопроводного газа при наличии градиентов скорости и температуры. Предложена математическая модель, описывающая рассматриваемые процессы. Приводятся результаты вычислительного эксперимента по возникновению пульсаций давления в пограничном слое вязкого теплопроводного газа на плоской пластине.
Ключевые слова: источник шума, уравнение для пульсаций давления, пограничный слой, вязкий теплопроводный газ.
On the noise source of the boundary layer of a viscous heat-conducting gas
Voronkov S.S.
Head of the Department of road construction, Pskov State University Russia, Pskov, sq. Lenina, h.2
Abstract
The noise source of the boundary layer of a viscous heat-conducting gas is considered, due to the presence of energy dissipation and heat transfer. The equation for pressure pulsations in a viscous heat-conducting gas, obtained by the author, is analyzed. It is shown that the obtained equation explains the mechanism of occurrence of pressure pulsations in a stationary flow of a viscous heat-conducting gas in the presence of velocity and temperature gradients. A mathematical model describing the processes under consideration is proposed. The results of a computational experiment on the occurrence of pressure pulsations in a boundary layer of a viscous heat-conducting gas on a flat plate are presented.
Key words: source of noise, equation for pressure pulsations, boundary layer, viscous heat-conducting gas.
Введение
В аэроакустике уравнения, описывающие распространение звука, выводятся, как правило, из уравнений сохранения массы и количества движения [1] и представляют собой волновое неоднородное уравнение, правая часть которого содержит различные источники звука. При этом диссипацией энергии и теплопроводностью пренебрегают как величинами второго порядка малости. Источниками шума, излучаемого турбулентным пограничным слоем, являются интенсивные пульсации давления, причиной которых, как считается, являются элементарные вихри, распадающиеся и вновь образуемые [2]. В ламинарном пограничном слое также возникают пульсации давления, но интенсивность их значительно ниже [3]. И здесь возникает вопрос: что является причиной пульсаций давления в ламинарном пограничном слое вязкого теплопроводного газа?
E-mail: [email protected]
В работе [4] получено уравнение для пульсаций давления в вязком теплопроводном газе
% - а?£=(к - 1)Ф,
ш ш
где р, р - давление и плотность газа;
а 5 - адиабатное и изоэнтропное значение скорости звука; Ф - функция, учитывающая диссипацию энергии и теплообмен:
V аДэт ^эЛЦV
йх ^ йх) йу ^ йу) & ^ Й2 )
(1)
+ д
2
\ 2 / ^ Sv I Sw
'Su ]
vSx J ^Sy) ^ Sz
+
+ 1 -
+
'Sv Su^
+
Sx Sy ,
+
J
'Sw Sv ^ 1Su Sw ^2 2I Su Sv Sw ^
+ — + — +1 — + — I---+ — + —
v Sy Sz) ^Sz Sx J 3 ^Sx Sy Sz y
Т - температура газа;
V - вектор скорости газа с проекциями и, V, ш на оси декартовой системы координат х, у, ъ соответственно;
X - коэффициент теплопроводности; д - коэффициент динамической вязкости; 1 - время;
к - показатель адиабаты. Полные производные в уравнении (1) представляют собой сумму локальной и конвективной производных и расписываются:
^Е = + у. gradp, dt St
— = —+ У • grad p. dt St
(2)
(3)
Уравнение (1) выведено из уравнения энергии с привлечением уравнений неразрывности и состояния для совершенного газа [4], поэтому оно может рассматриваться как аналог уравнения энергии, но записанного относительно пульсаций давления.
Из уравнения (1) следует, что в вязком теплопроводном газе при возникновении градиентов скорости, например, в пограничном слое, в струйных течениях и др., будут возникать пульсации давления, являющиеся источником шума.
В работах Качанова, Козлова и Левченко [5] установлена важная роль передней кромки пластины в формировании вихревых волн пограничного слоя - волн Толмина-Шлихтинга (см. рис. 1), но до конца не ясен механизм возбуждения этих волн. Рассмотрим механизм генерации этих волн, привлекая уравнение (1). Качественный анализ уравнения показывает: возникновение градиентов скорости потока йи йи ^ ^
—,—,—,— на передней кромке пластины вследствие прилипания потока на стенке
йх йу йх йу
пластины ( и = 0, V = 0 ), порождает нестационарные пульсации давления dp в плоскости
2
2
ху, которые генерируют вихревые волны. Уравнение (1) позволяет по иному взглянуть на механизм возникновения турбулентности в пограничном слое вязкого теплопроводного газа [6].
Рис. 1. Схема основных стадий процесса перехода в пограничном слое
(рисунок взят из работы [5])
1. Математическая модель
Приведем математическую модель, описывающую процесс возникновения пульсаций давления в вязком теплопроводном газе в трехмерной постановке, включающую:
1. Уравнение неразрывности [7]
ф
л
+ рё1уУ = 0.
(4)
2. Уравнение Навье-Стокса в проекциях на оси х, у, ъ [7, 8]
Р
ёи
Л
д_
ц
др д ■ —- + —
дх дх
ди д^ — +-
д7 дх
2ц
^ _ 1а1уу
vдx 3
\
+ ■
ду
ц
^ди дуЛ ду дх
+
(5)
ёу др д
р— = —- +—
ду дх
ц
/ду диЛ — + —
дх ду
+ -
ду
2ц
^ -^1УУЛ ду 3
+
д_ д7
ц
/ду
+
V
д7 ду
У
(6)
dw др д р-= —- +—
д7 дх
ц
д_ д7
2ц
дw 1
д^ ^ ди дх д7
+ ■
д ду
ц
/ду дwЛ +
V
д7 ду
У
+
-ё1уУ
д7 3 у
(7)
3. Уравнение энергии [4]
I - а2 ёР^ -
(8)
V
4. Уравнение состояния для совершенного газа
p = рRT,
где R - газовая постоянная.
(9)
В этой системе из шести уравнений неизвестных 6 величин: p, p, T, u, v,w, (при условии, что д = const и X = const).
Для повышения точности численных расчетов в качестве неизвестных используются консервативные переменные [8]: p, pu, pv, pw, а также давление p и температура T. Систему уравнений (4-9) удобно записать в векторном виде
SU SF SG SD Л — + — + — + — = 0, St Sx Sy Sz
(10)
где векторы и, F, G, D представляют собой упорядоченные наборы комбинаций основных переменных [8].
Численное решение системы уравнений (10) осуществлялось по двух шаговой схеме Браиловской [8]
U = Un -
5Fn 5Gn 5Dn +-+ ■
5x 5y
5z
At,
(11)
Un+i = Un -
5F:n
5F" SGn+ ■ + —- + - 1
5x 5x 5y 5y
5Gn 5Dn+ ■ +-- + - 1
5z
■ +
5D-5z
At,
(12)
где I и V — индексы соответственно невязких и вязких членов функций F, G и
D;
g g g _ / _\
—, — и — представляются центральными разностями, Fn+1 = F \Un1) и т. д. 5x 5y 5z
5 5 5 —, — и — 5x 5y 5z
Программа реализована в среде MathCad Professional.
2. Результаты вычислительного эксперимента
В качестве начальных условий задавалось стационарное распределение поля скоростей и и V в пограничном слое несжимаемой жидкости на плоской пластине в двумерном приближении [9].
Количество узлов конечно-разностной прямоугольной сетки ^ ], k по осям х, у и z принимается 11. Шаг конечно-разностной сетки принимается равномерным по осям х, у и z: Ах = Ау =А2 = 0,25-10-3 м. Расчет выполняется для фрагмента погранслоя, начиная с расстояния от передней кромки пластины х1=0,1 м. Шаг по времени определялся из условия устойчивости и принимался равным Аt = 2,5 -10-7 с. Количество шагов по времени принималось п = 100 .
Анализировалось влияние градиентов скорости потока вязкого теплопроводного газа в пограничном слое на возникновение пульсаций давления.
Анализ изменения давления в расчетной области пограничного слоя показывает (рис. 2), что в сжимаемом потоке вязкого теплопроводного газа, даже при задании постоянного давления на границах расчетной области, давление в расчетной области является нестационарным.
Рис. 2. Пульсации давления во времени в пограничном слое вязкого теплопроводного
газа в точках i=2 j=3 и i=9 j=3 в сечении к=6
На рис. 3 приведены значения плотности вязкого теплопроводного газа в расчетной области пограничного слоя.
п
Шаг по цроукип
Рис. 3. Пульсации плотности во времени в пограничном слое вязкого теплопроводного
газа в точках i=2 j=3 и i=9 j=3 в сечении к=6
На рис. 4 приведены значения температуры вязкого теплопроводного газа в расчетной области пограничного слоя.
293.0+
293.02
M Я
T3SiJ
292.92
Л
К Л /
И V "Л
\
V/
40 60
n
Шаг по Ерятаенн
Рис. 4. Пульсации температуры во времени в пограничном слое вязкого теплопроводного газа в точках i=2 j=3 и i=9 j=3 в сечении к=6
На рис. 5 и 6 приведены значения скоростей и и V в различных сечениях. 12 -
Номер узт ш oat у
Рис. 5. Изменение скорости и в поперечном сечении погранслоя в сечении к=6 в
момент времени п = 100
Рис. 6. Изменение скорости V в поперечном сечении погранслоя в сечении к=6 в
момент времени п = 100
Заключение
Показано, что полученное уравнение объясняет механизм возникновения пульсаций давления в пограничном слое стационарного потока вязкого теплопроводного газа на плоской пластине при наличии градиентов скорости и температуры.
Установленные пульсации давления являются источником шума пограничного слоя, обусловленного диссипацией энергии и теплообменом.
Список литературы
1. Голдстейн Мэрвин Е. Аэроакустика: Пер. с англ. - М.: Машиностроение, 1981. - 294 с.
2. Справочник по технической акустике: Пер. с нем. - Л.: Судостоение, 1980. -
440 с.
3. Лямшев Л.М. Акустика управляемого пограничного слоя. Вестник АН СССР. 1973, вып. 7. С. 22-31.
4. Воронков С. С. О скорости звука в потоке вязкого газа с поперечным сдвигом. Электронный журнал «Техническая акустика», - Режим доступа. - URL: http://www.eita.org. 2004, 5.
5. Качанов Ю. С., Козлов В. В., Левченко В. Я. Возникновение турбулентности в пограничном слое. - Новосибирск: Наука, 1982. - 151 с.
6. Воронков С. С. О законе возникновения турбулентности в пограничном слое вязкого теплопроводного газа. Электронный журнал «Техническая акустика», - Режим доступа. - URL: http://www.eita.org, 2016, 6.
7. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. Изд. 5-е. - М.: Наука, 1978. -
736 с.
8. Роуч П. Вычислительная гидродинамика. - М.: Мир, 1980. - 616 с.
9. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. - М.: Наука, 1974. - 712 с.
