Об интерполяционном аналоге интегрального признака Дини Текст научной статьи по специальности «Математика»

> С6 ^ (вь2-п-п) - 2П+П7+Р+1 ^ (я2„+12-^-> > С6 2-2-Р) - 2(п+1)(1+7Р+2^ 2-^-^)) .

Складывая эти неравенства по п от 0 до то, получаем

то / то

^г> Сб 21+77 (Е22-2-р) + ^2п(1+7Це2„2-п-п) С7

¿=2 \ п=2

где С7 = 1 - 2-1-7+р+2.

то то / п п \

Таким образом, ^ ;7^(|аг|) > С8 ^ 2п(1+7)^> (Е2п2-п-п Пусть ; Е

¿=2 п=1 ^ '

Е [2П + 1, 2П+1] .Тогда ^(Е2п 2-п - п) > ^(Е'г;-1 - р)). Поэтому

i=2k+1 i=2n+1

^^ n П ^^ 1 1

Суммируя, получаем ^ 2n(1+7V(E2«2-n-n) < 2-Y ^ iY^(E'ii-5-1).

n=1 i=3

Последний ряд по условию расходится, следовательно, расходится левая

то

часть последнего неравенства и iY^(|ai|) = то, что и требовалось

i=2

доказать.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Кашин Б.С., Саакян A.A. Ортогональные ряды. М,: Наука, 1984. 496 с.

2. Волосивец С. С. Приближение функций ограниченной p вариации полиномами по системе Фабера—Шаудера // Мат. заметки. 1997. Т. 62, вып. 3. С. 363-371.

УДК 517.518.85

К.Б. Турашвили

ОБ ИНТЕРПОЛЯЦИОННОМ АНАЛОГЕ ИНТЕГРАЛЬНОГО ПРИЗНАКА ДИНИ

Рассмотрим задачу Штурма Лиушкыя:

и"(х) + [Л - д(ж)]и(ж) = 0, и'(0) - Ни(0) = 0, (1)

и (п) + Ни(п) = 0,

где Н и Н — произвольные действительные числа, а потенциал д — непрерывная функция ограниченной вариации.

Введем оператор Лагранжа:

ип(х)

ип(жк,п)(ж жк,п)

/ (Х'к,п ),

(2)

к=1

где ип(ж) — собственные функции задачи Штурма^Лиувилля (1), ип (Хк,п) - 0, 0 < Ж1,п < Ж2,п < ... < Жп,п < п. Для П € € М, 1 < к < п данный оператор обладает интерполяционным свойством Лагранжа (/, жк,п) — /(жк,п), к — 1,п.

Заметим, что интегральный признак Дини сходимости рядов Фурье непрерывных функций не имеет места в случае интерполяционных процессов Лагранжа Штурма Лиувилля.

Теорема 1 (признак Дини сходимости рядов Фурье). Если /

/(ж) - /(жо)

ж — х0

<1х < оо,

то ее ряд Фурье по тригонометрической системе в точке ж0 сходится к /(хо).

Теорема 2 (аналог признака Дини). Пусть Н и Н —

произвольные действительные числа в краевых условиях, д —

/

интегрируема в смысле Римана на [А, В] С (0, п), точка ж0 € (А, В) и функция ^>Хо (ж); мажорирующая, функцию возрастает при, ж < ж0 и убывает при ж

/ (Х)— / (Хо)

>

, монотонно

Х—Хо ж0

некоторого а, 0 < а < п, ^Хо суммируема в а-окрестности точки ж0, то есть

'»Хо+а

^Х0(ж)<ж < ТС,

(3)

' Хо —а

то интерполяционный процесс Лагранжа^Штурма^Лиувилля (1)

/ ж0

Доказательство. Возьмем произвольное положительное е. Из

/ ж0

положительного 6, для которого имеет место неравенство

"Хо+6

'Хо—6

^Хо (ж)<ж <

еп

2M,

где

М — вир{|ип(ж)|, ж € [0, п], п € М}.

(4)

(5)

п

Индекс p определим из неравенств:

Хр,п < Х0 < Хр+1,п, п — 1, 2,...

(6)

Из непрерывности / в точке х0 и асимптотической формулы для (вывод асимптотических формул см. [1]):

Хк,п

2к - 1 1 .2к - 1 , ^, з,

-п + в (^-п) + 0(п )

2п

п2

2п

(7)

п1

р+1

Е (/(Хк,п) - IЫ)®хо)

к=р-1

< ЗС^(I, тах |хк,п-хо|) < е, (8) к=р-1,р,р+1

где иХ0 — модуль непрерывности в точке х0. Существование константы С1 следует из леммы 1.2 [2, С. 14, 15].

Из асимптотических формул (см. [1, 3]):

/ \ в (Х) —2\ ип (Х) = ООв ПХ +--БШ ПХ + 0(п ),

п

иП(Х) = -п вт пх + в(х) сов пх + 0(п 1), иП(Хк,п) = (-1)к п + 0(п-1),

неравенства треугольника и формулы конечных приращений Лагранжа

получим

Е ГпИь^Е

1

к=1

1 |х Хк,п|

Е<(6,п)0(п-3 ) = 0(п-1).

<

п

=и к=1

(9)

В силу ограниченности интегрируемой в смысле Римана функции I и (9)

п2 п > п2

Е II(Хк,п) - I(Хо)| ^п(Хо)|-^Х^ ЕЕ к=1 п к=1 |Хк,п

^ (хк,п) - I(хо)|

|хк,п - Хо|

<

С2

< 2 вир Ц(х)|— < е.

ХЕ[0,П] п

Найдем номер n3, начиная с которого выполняется

/ \ п

min (xfe+i,n - Xk,n) > —. k=i,»- i 2n

Тогда из (5) и (8) получим

Е (/(жк,п) — / Ы^Ы

к:Хй,„€Ой (хо)

(Xö)M Х-2 |f (xk,n) - f (^ö)1 ,

" n lk=m ^- ^

|f(xkn) - f (xö)| 1 Л 2M fP-2 . .. + У f (,,n) f (,Л> + 2e <-{У ^ (xk,n)(xk+i,n - Xk,n) +

k=p+2 |xk,n- xö1 i п utm

+ Е ^хо(жк,п)(жк,п — жк—1,п)+2е,

к=р+2 J

где Об(ж0) — 6-окрестность точки ж0; т и I — номера наименьшего и

6 ж0 По уловию теоремы функция ^>Хо (ж) возрастает при ж < ж0 и убывает ж > ж0. Тогда из (6) имеем

Е (f (Xk,n) - f Ы^Ы

k:xfc,„GOÄ (xo)

<

2M I p-2 ^xfc+1,

п

E

^xo (x)dx+

,k=m Xk,n

^ [Хк'п Л „ 2М ГХо+6 . . , + ^ / ^хо (ж)<ж+ 2е <--^хо(ж)<ж + 2е.

к=р+2 Хк-1,п I п ^ Хо—6

В точке ж0 € [0,п] имеет место принцип локализации (в силу леммы 5.2 из [2]). Определим функцию

д(ж) — / /(ж) — /ОжЖ еслигс е °б(x0), д( ) | 0, если ж€О6(ж0).

Теперь из следующих соотношений:

Lf (f, xö) - f (xö) = E f (®k,n)©x>) - f (xö ) E ZfL(xö) +

k=i

k=i

+° (= ЕС(f (Xk,») - f(xö))if,L(xö) + О (^ •

97

(•) - I(хо),хо) - хо)| =

Е

(I (хк,п) -1 ы^йы

к:хй,п€[0,п]\Ой (хо)

< е,

п

^(I, Хо) - I(Хо)| <

Е (I(Хк,п) - IЫ)©хо)

к:хй,п€Ой (хо)

+

+

Е

(/(хк,п) - /(хО))1£ПЫ

к:хк,пе[0,п|\05 (хо)

+ е <

Е (I(Хк,п) - I(Хо))СЫ

к:хк,„еОг (хо)

+

2М , , 7

+2е <- ^>Хо (х)ах + 4е < 5е.

п Ло-5

Таким образом, теорема доказана.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Сансоне Дж. Обыкновенные дифференциальные уравнения: М,, 1953. Т. 1, 2.

2. Трынин А.Ю. Сходимость интерполяционных процессов по собственным функциям задачи Штурма—Лиувилля: дис. ... канд. физ.-мат. наук. Саратов, 1992. 121 с.

3. Трынин А.Ю. О равномерной сходимости интерполяционных процессов Лагранжа—Штурма—Лиувилля. Саратов, 1991. 32 с. Деп. в ВИНИТИ 26.04.91, № 1763-В91.

УДК 517.984

А.Е. Федосеев

ОБ ОДНОМ ИНТЕГРАЛЬНОМ ОПЕРАТОРЕ С РАЗРЫВНЫМ ПРЕДЕЛОМ ИНТЕГРИРОВАНИЯ

В данной статье получена теорема равносходимости разложений в тригонометрические ряды Фурье и в ряды по собственным и присоединенным функциям интегрального оператора, в котором верхний предел интегрирования является разрывной функцией.