CC BY
25
агента, поэтому целесообразно рассмотреть модель с ограничениями на размер наблюдения.
Предложена модификация алгоритма разметки для системы (A2,pl,p2), состоящей из агента A2 и камней двух видов: одного камня pl для обозначения текущей вершины и нескольких камней р2 для обозначения непомеченных вершин из её 2-окрестности. Число камней р2 не превышает максимальной степени вершин графа.
Теорема 1. При решении задачи построения Д-разметки вершин помеченного графа агент A3 и система (A2,pl,p2) эквивалентны по вычислительной мощности.
Для графов типа n-цепь, n-веер, n-угольник [2] разработана модификация алгоритма разметки агентом A2 без использования камней и без запоминания неявных имён вершин. Показано, что разметка n-цепи и n-угольника может быть выполнена конечным автоматом.
ЛИТЕРАТУРА
1. Dudek G. and Jenkin M. Computational Principles of Mobile Robotics. Cambridge: Cambridge
University Press, 2000.
2. Зыков А. А. Основы теории графов. М.: Вузовская книга, 2004.
УДК 519.1
ОБ ИНДЕКСАХ В ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЕ ДВОИЧНЫХ ВЕКТОРОВ, АССОЦИИРОВАННЫХ С ОРИЕНТАЦИЯМИ ЦИКЛОВ
А. В. Жаркова
Под конечной динамической системой понимается пара (S,8), где S — конечное непустое множество, элементы которого называются состояниями системы, 8 : S ^ S — отображение множества состояний в себя, называемое эволюционной функцией системы. Каждой конечной динамической системе сопоставляется карта — ориентированный граф с множеством вершин S и дугами, проведенными из каждой вершины s Е S в вершину 8(s). Компоненты связности графа, задающего динамическую систему, называются её бассейнами. Каждый бассейн представляет собой контур с входящими в него деревьями. Контуры называются предельными циклами или аттракторами.
Основными проблемами теории конечных динамических систем являются задачи отыскания эволюционных параметров без проведения динамики. К их числу относится индекс состояния — расстояние до аттрактора того бассейна, которому принадлежит состояние. Программа [1] позволяет вычислять различные параметры динамических систем двоичных векторов, ассоциированных с некоторыми типами графов.
В данной работе предлагается алгоритм для подсчёта индексов состояний в динамической системе двоичных векторов, порожденных такими графами, как циклы. Определяется также максимальный из индексов системы заданной размерности.
ОО
На множестве B = (J Bп, где через Bn, n > 2, обозначается множество всех двоич-
п=3
ных векторов длины n, рассмотрим динамическую систему (B,6). Пусть состоянием динамической системы в данный момент времени является вектор v Е B. Тогда в следующий момент времени она окажется в состоянии 6(v), полученном путем одновременного применения следующих правил: I) если первой компонентой в v является 0 и последней компонентой — 1, то первой компонентой в 6(v) будет 1, а последней — 0;
II) если в составе у имеются диграммы вида 10, то в в (у) каждая из них заменяется на 01; III) других отличий между V и в (у) нет.
Каждое состояние размерности п при динамике переходит в состояние той же размерности. Таким образом, система (В, в) разбивается на конечные подсистемы (Вп, в), п > 2.
Динамическая система (Вп,в), п > 2, изоморфна динамической системе (Сп,в), которая вводится следующим образом: её состояниями являются всевозможные ориентации цикла длины п, а эволюционная функция у данного ориентированного цикла переориентирует все дуги, входящие в стоки (вершины с нулевой степенью исхода), а все остальные дуги оставляет без изменения. Динамическая система, состояниями которой являются бесконтурные ориентированные графы, с определенной таким образом эволюционной функцией введена в [2].
Будем считать два вектора циклически идентичными, если один получается из другого циклическим сдвигом.
Теорема 1. Состояния динамической системы (Вп,в), п > 2, являющиеся циклически идентичными, имеют одинаковые индексы.
Через рс(у) обозначим циклическую плотность вектора у, то есть количество пар совпадающих соседних компонент в нем с учётом циклического сдвига. Например, рс(11001011) = 1 + 3 = 4. Очевидно, что для состояния у системы (Вп,в), п > 2, имеет место 0 ^ рс(у) ^ п. Под циклическим блоком будем понимать максимальное по включению множество подряд стоящих нулей (0-блок) или единиц (1-блок) в количестве >1 с учетом циклического сдвига. Длина блока — число нулей (единиц) в блоке, уменьшенное на 1. Обозначим через р0, р^ суммы длин с учетом циклического сдвига рассматриваемых 0-блоков и 1-блоков соответственно.
Под блок-группой будем понимать последовательность компонент вектора, возможно при циклическом сдвиге, начинающуюся с 0-блока и заканчивающуюся 1-блоком. Под первичной блок-группой будем понимать блок-группу, в которой сначала идут только 0-блоки, затем только 1-блоки.
Алгоритм вычисления индекса состояния системы (В, в)
Индекс і(у) состояния у системы (В, в) вычисляется исходя из его представления в виде вектора.
I. Если р0 = 0 или р1 = 0, то і(у) = 0.
II. Если р0 = 0 и р1 = 0, то выполняем следующие действия.
1. Помечаем в векторе все первичные блок-группы. Их количество обозначаем через К.
2. В каждой блок-группе подсчитываем суммы длин 0- и 1-блоков. Пусть 0 < і ^ К, тогда считаем р0.), рі. и помечаем блок-группы знаками «-(ж)», «=» и «+(ж)», если в них р0. > р. р0. = р. р0. < р^. соответственно, где ж = |р0(.)- р.
3. Если в векторе существуют одновременно « —» и «+» блок-группы, то идём в п. 4, иначе идём в п. 5.
4. Если в векторе подряд стоят « — (ж)» блок-группа и «+(у)» блок-группа (без учёта остальных компонент и «=»-групп между ними, если они имеются), то объединяем их в одну блок-группу, включая возможно стоящие между ними компоненты и «=»-группы (их количество в данном случае обозначим за К=), и помечаем знаком « — (ж — у)», «=» или «+(у — ж)», если х > у, ж = у, х < у соответственно. Полагаем К := К — 1 — К= и идём в п. 3.
5. Считаем ij, 0 < j ^ h, согласно следующим правилам:
- в «—» блок-группе ij = tj /2 — 1, где tj — длина той части данной блок-группы (если её рассматривать с конца циклически влево), в которой выполняется равенство p0 =
- в ««=» блок-группе ij = lj/2 — 1, где lj —длина рассматриваемой блок-группы;
- в «+» блок-группе ij = tj/2 — 1, где tj —длина той части данной блок-группы (если её рассматривать с начала циклически вправо), в которой выполняется равенство p0 = pi.
6. i(v) = max i..
0<j^h J
Теорема 2. Предложенный алгоритм вычисления индекса состояния динамической системы (В, в) корректен.
Следствие 1. Система (Вп,в), n > 2, имеет максимальный индекс, равный (n — 1)/2 — 1 при нечетном n и n/2 — 1 при четном n.
Подробное изложение представленных результатов можно найти в [3].
ЛИТЕРАТУРА
1. Власова А. В. Исследование эволюционных параметров в динамических системах двоичных векторов // Свидет. РОСПАТЕНТа №2009614409, зарегистр. 20 августа 2009.
2. Barbosa V. C. An atlas of edge-reversal dynamics. London: Chapman&Hall/CRC, 2001. 372 p.
3. Жаркова А. В. Индексы в динамической системе двоичных векторов, ассоциированных с ориентациями циклов // Прикладная дискретная математика. 2012. №2(12). С. 79-85.
УДК 519.1
КОНГРУЭНЦИИ ЦЕПЕЙ: НЕКОТОРЫЕ КОМБИНАТОРНЫЕ СВОЙСТВА
Е. О. Карманова
Под ориентированным графом (далее орграфом) понимается пара G = (V, а), где V — конечное непустое множество вершин, а а — отношение смежности на V.
Пусть е — некоторое отношение эквивалентности на множестве вершин V орграфа G. Фактор-графом орграфа G по эквивалентности е называется орграф G/е = (V/е, а£), где V/е — множество классов эквивалентности е, а а£ = |(e(vi), e(v2)) : (3ui е е^ю^Эщ е е(и2) ((ui,u2) е а)}.
Пусть K — некоторый класс орграфов. Конгруэнцией K-графа G называется такое отношение эквивалентности в на V, что фактор-граф G/в является K-графом.
Возьмём в качестве класса K класс неориентированных графов. Неориентированным графом (или, для краткости, графом) называется пара G = (V, а), где а — симметричное и антирефлексивное отношение на множестве вершин V. Множество вершин называется независимым, если любые две вершины из этого множества несмежны.
Очевидно, что отношение эквивалентности в на множестве вершин графа G тогда и только тогда будет конгруэнцией этого графа, когда каждый в-класс образует в G независимое подмножество.
Теорема 1. Количество конгруэнций m-реберной цепи равно количеству эквивалентностей на m-элементном множестве.
