CC BY
6
УДК 517.955
Т. В. Дудникова
Институт прикладной математики имени М. В. Келдыша РАН
Об эргодичности фазового потока для волновых уравнений в четномерном пространстве
Рассматриваются волновые уравнения в М" в случае четных п > 4. Начальные данные - случайная функция с конечной средней плотностью энергии, удовлетворяющая условию перемешивания типа Ибрагимова. Предполагается, что начальная случайная функция близка к двум различным пространственно-однородным процессам при хп ^ ±то. Изучается распределение ^ случайного решения в моменты времени Ь € М. Основной результат - доказательство сходимости мер ^ к гауссовой мере при Ь ^ то. Проверяется эргодичность фазового потока относительно меры
Ключевые слова: волновое уравнение в четномерном пространстве, задача Коши, случайные начальные данные, условие перемешивания, сходимость к равновесному распределению.
T. V. Dudnikova Keldysh Institute of Applied Mathematics RAS
On the ergodicity of the phase flow for wave equations in the even-dimensional space
We ransider wave equations in 1" for even n > 4. The initial data are given by a random function with a finite mean density of energy that satisfies the Ibragimov-type mixing condition. It is assumed that the initial random function is close to distinct space-homogeneous processes as xn — ±то. We study the distribution /лt of the random solution at time moments t e 1. The main result is the convergence of /лt to the Gaussian measure as t —>■ то. We control the ergodicity of the phase flow with respect to the measure
Key words: wave equation in the even-dimensional space, Cauchy problem, random initial data, mixing condition, convergence to equilibrium distribution.
1. Введение
Рассмотрим задачу Коши для волнового уравнения:
а
£ (4 - ^
.7=1 4 3 7
u(x, t) = > — - iAj(х)) и(х, t), х e 1га, t e 1,
^ ' (1)
«к=0 = ио(х), и|4=0 = Уо(х), X € Мга.
Предположим, что п > 4 и четное, А^ (х) - действительнозначные функции класса Си Aj(х) = 0 при |ж| > Я0, где Я0 < то.
Обозначим У (*) = (У0(г),У *(*)) = (и(-,г),й(-,г)), У0 = (Уо,У01) = Тогда урав-
нение (1) принимает вид
У(г) = А(У($), г € М, У(0) = У0, (2)
где через А обозначается операторнозначная матрица
А = ( 0 1 ) ■ * = ± (£
Обозначим через Н^ос(Шп), в е М, локальные пространства Соболева, то есть пространства Фреше распределений и е И'(Жп) с конечными полунормами:
|Мид = ||Л5 (С(х/Щи) ||Ь2(МП),
где ( е С0°(Мп) с ((0) = 0, Лау = Р-_1х({к}3у(к)), {к} = ^\к\2 + 1, и V = Ру - преобразование Фурье обобщенной функции медленного роста V. Для ф е С0'о(Мп) определим Рф(к) = / ехр (гкх)ф(х)йх.
Будем считать, что начальные данные Уо = (ио,Уо) комплексны и принадлежат фазовому пространству % = Н1ос(Мп) ф Н0ос(Мп) с полунормами:
для любого Я> 0: ||1о||д = ( J (\ио(х)\2 + \Чио(х)\2 + \уо(х)\2) йх^ 1 < <х>.
\х\<Я
Мы предполагаем, что начальные данные Уо - случайный элемент пространства %. Распределение У0 обозначается через ц,0.
На начальную меру уо накладываются условия М1 - М4.
М1. Мера /л0 имеет нулевое математическое ожидание, т.е. Е(!о(^)) =0, х е М", где Е обозначает интеграл по мере ^0(йУ0).
М2. Мера уо обладает конечной средней плотностью энергии: Е [\ио(х)\2 + \Уио(х)\2 + \уо(х)\2] < ео < то.
Определим корреляционную матрицу О0(х,у) = (00(х,у)) меры ц,0 следующим
образом:
00 (х, у) = Е (Уог(X) ® ¥0 (у)) , 1,3 =0,1.
Заметим, что мы отождествляем комплексное и действительное пространства С = М2 и через ® обозначаем тензорное произведение действительных векторов.
М3. Корреляционные функции 0*0 (х,у) имеют вид
Я0(^,у) = д-(х - у)(-(Хп)С-(уп) + (1+ (х - у)(+(хп)с+(уп).
Здесь функции е Сте(М) такие, что С±(5) = 1 при ±8 > а, (±(з) = 0 при ±8 < —а, а > 0, (¡± (х — у) - корреляционные функции некоторых трансляционно-инвариантных мер с нулевым средним значением, х = (х1,х2,... ,хп), у = (у1 ,у2,... ,уп).
Определение. Мера у называется трансляционно-инвариантной, если ^(Т^В) = ц,(В) для любого В е В(%), К е Мп, где Т^У(х) = У(х + К) для всех У е %, и В(%) обозначает ст-алгебру борелевских множеств пространства %.
Заметим, что начальная мера ^ не является трансляционно-инвариантной, если д- = .
Наконец, мы предполагаем, что мера ^ удовлетворяет условию перемешивания типа Ибрагимова. Чтобы сформулировать это условие (см. определение 17.2.2 в [1]), введем следующие обозначения. Для любого множества Л С Мп обозначим через ст(Л) наименьшую ст-алгебру борелевских множеств из %, относительно которой измеримы линейные функционалы У ^ {У, Ф} на %:
{У, Ф} = !(У0(х)Ф0(х) + У 1(х)Ф1(х)) йх, У = (У0,У1), Ф = (Ф0, Ф1), где У е %, Ф е С^(Мп) ф С0~(Мп), причем вирр Ф С Д.
Определение. Мера у0 удовлетворяет условию равномерно сильного перемешивания Ибрагимова, если
.. 1М.А П в) - (В)1
ф(г) = вир --^ 0 при г ^ то,
№(В)
где верхняя грань берется по всем множествам А € &(А), В € (г(В), для которых ц,0(В) > 0, и всем открытым выпуклым множествам Л, В С Мга, для которых р(Л, В) > г > 0.
М4. Мера ^0 удовлетворяет условию равномерно сильного перемешивания типа Ибрагимова, причем
С+—
/ гп-1^п/(2(п+2)) (г)Лг< то, 0
Обозначим через £ € М, меру на %, которая является распределением случайного решения У(Ь) задачи (2). Основная цель статьи - доказать слабую сходимость мер
^ ^ при Ь ^ то, (3)
к предельной мере , которая является трансляционно-инвариантной гауссовской мерой. По определению, это означает сходимость
I /(У)&(<1¥) ^ I /(У)»—(бУ) при í ^ то
для любого ограниченного непрерывного функционала /(У) на соответствующем пространстве.
Для уравнения (1) сходимость (3) была доказана Комечем, Копыловой и Маузером [2] в случае пространственно-однородных начальных мер ^0. Для неоднородных начальных мер этот результат был получен для волнового уравнения в М3 в работе [3], для уравнений Клейна-Гордона и гармонических кристаллов в работах [4] и [5] соответственно. В данной статье мы обобщаем эти результаты на случай волнового уравнения в Мга, где п > 4 и четно.
2. Основные результаты
Следующая лемма вытекает из [6, теоремы У.3.1, У.3.2].
Лемма 1. Для любого У0 € % существует и притом единственное 'решение У(Ь) € С(М, %) задачи Коши (2). Более того, оператор и(Ь) : У0 ^ У(Ь) непрерывен на % для любого £ € М.
Мы предполагаем, что 1о в уравнении (2) - измеримая случайная функция со значениями в (%, В(%)). Поэтому решение У(Ь) = и(Ь)У0 также является измеримой случайной функцией со значениями в (%, В(%)) в силу леммы 1.
Пусть ^ обозначает борелевскую вероятностную меру на %, которая является распределением У (¿):
/ц(В) = /ю(и(-)В), В € В(%), £ € М. Определим корреляционные функции меры ^ как М2 ® М2-значные обобщенные функции:
0%(х,у)= Е {Уг(х,1) ® уз(у,1)) , 1,3 =0,I, х,у € Мга
Прежде чем сформулировать основной результат, введем корреляционную матрицу предельной меры в случае постоянных коэффициентов (т.е. А^ (х) = 0). Определим для почти всех х,у € Мга матричнозначную функцию Я—(х,у) следующим образом:
Я—(х,у) = (<Я—(х,у))^=0Л = Я—(х - у), х,у € Мга, (4)
где в преобразовании Фурье д—(к) = д— (к) + д— (к), и
V— (к) = 2 (ч +(к) + С(т+(к)СТ(к)) ,
С" (к) = ЫЕп(кп)г- (С(к)с ~(к) - 4 -(к)Ст (к)) С - ( 0 Ш-1 \
с матрицей С(к) вида С(к) = ( 1 0 ) • Здесь 4+ = (д+ + д-)/2, = (д+ - д-)/2.
Обозначим через Ф) действительную квадратичную форму на пространстве
С0°(Мп) ф С0°(Мп), определенную следующим образом:
дте(Ф, Ф) = ^ (х,у), Фг(х) ® Ф>(у)) Шу, (5)
¿¿=0,1
где Ооо (х,у) определены в уравнении (4), (■, ■) обозначает действительное скалярное произведение в М2 х М2 = М4.
Основным результатом данной статьи является следующая теорема.
Теорема 2. Пусть п > 4, четное, и выполнены условия М1 - М4 на меру ц,0. Тогда меры ^ слабо сходятся в пространстве %-е = Н^-£(Мп) ф Н—^(Мп) с любым е > 0:
№ —? Ц-ж при £ ^ то. (6)
Предельная мера является гауссовой на пространстве %. Более того, поток и(Ь) удовлетворяет условию перемешивания относительно меры т.е. для любых /,д € справедлива следующая сходимость:
Hm J f (U(t)Y)g(Y) ^(dY) = J f (Y) ^(dY) jg(Y) ^(dY).
В частности, фазовый поток U(t) - эргодический, т.е. для любых f £ L2(%,ßx)
lim i fT f (U(t)Y) dt = f f (Y) ß^(dY) (mod ß^). t ^^ 1 J о J
Объясним основные шаги доказательства теоремы 2.
В случае постоянных коэффициентов, т.е. А^ (х) = 0, доказательство сходимости (6) разбивается на три этапа, используя общую стратегию работ [2] - [5].
I. Семейство мер € М} является слабо компактным на пространстве %-£, е > 0.
II. Корреляционные матрицы сходятся к пределу: для г,] = 0,1,
(х,У) = I (¥г(х) ® У*(у))^(д,¥) ^ ^(х,у), I ^ то.
III. Характеристические функционалы мер ^ сходятся к гауссовскому характеристическому функционалу:
-Н(Ф) = ! ехр(г(¥, Ф))^1¥) ^ ехр{ - 2Я^(Ф, Ф^, I ^ то,
где квадратичная форма определена соотношением (5).
Свойство I следует из теоремы Прохорова о компактности с использованием методов Вишика и Фурсикова [7], разработанных ими для задач статистической гидромеханики. Из явного выражения для корреляционных матриц (х,у) выводится равномерная оценка для средней локальной энергии по мере Из этой оценки вытекает выполнение условий теоремы Прохорова в силу теоремы вложения Соболева. Свойство II выводится из явного выражения для корреляционных матриц (х,у) так же, как и в работе [3] для волнового уравнения в М3. Отметим различия в доказательствах в случае четной и нечетной размерности пространства Мп. В случае нечетного п формула Герглотца-Петровского позволяет
выразить корреляционные функции (х,у) через интегралы по сферам радиуса ¿. В пределе при £ ^ то сферы становятся плоскостями. Поэтому доказательства свойств I и II в случае нечетного п проводятся в координатном пространстве (см. [3]). В случае четного п корреляционные функции (х, у) выражаются через интегралы по шару радиуса ¿, и метод доказательства [3] уже не работает. Поэтому в этом случае свойства I и II проверяются в пространстве Фурье, используя методы работ [4,5]. Наконец, свойство III проверяется, используя метод «комнат - коридоров» Бернштейна, который был развит в работах [2,3].
Все результаты допускают обобщение на случай переменных коэффициентов, которые являются постоянными вне конечной области. Это обобщение вытекает из результата для постоянных коэффициентов с использованием теории рассеяния для решений с бесконечной энергией, которая была построена Комечем, Копыловой и Маузером [2].
Работа выполнена при частичной поддержке гранта РФФИ-15-01-03587.
Литература
1. Ибрагимов И.А., Линник Ю.В. Независимые и стационарно связанные величины. М.: Наука, 1965.
2. Komech A., Kopylova E., Mauser N. On convergence to equilibrium distribution for wave equation in even dimensions // Ergodic Theory and Dynamical Systems. 2004. V. 24. P. 547576.
3. Dudnikova T.V., Komech A.I., Spohn H. On a two-temperature problem for wave equation // Markov Processes and Related Fields. 2002. V. 8. P. 43-80.
4. Дудникова Т.В., Комеч А.И. О двух-температурной задаче для уравнения Клейна-Гордона // Теория вероятностей и ее применения. 2005. Т. 50, вып. 4. С. 675-710.
5. Dudnikova T., Komech A., Mauser N. On two-temperature problem for harmonic crystals // J. Stat. Phys. 2004. V. 114, N 3/4. P. 1035-1083.
6. Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М.: Наука, 1983.
7. Вишик М.И., Фурсиков А.В. Математические задачи статистической гидромеханики. М.: Наука, 1980.
References
1. Ibragimov I.A., Linnik Yu.V. Independent and Stationary Sequences of Random Variables. Wolters-Noordhoff, Groningen, 1971.
2. Komech A., Kopylova E., Mauser N. On convergence to equilibrium distribution for wave equation in even dimensions // Ergodic Theory and Dynamical Systems. 2004. V. 24. P. 547576.
3. Dudnikova T.V., Komech A.I., Spohn H. On a two-temperature problem for wave equation // Markov Processes and Related Fields. 2002. V. 8. P. 43-80.
4. Dudnikova T.V., Komech A.I. On a two-temperature problem for the Klein-Gordon equation // Theory Prob. Appl. 2006. V. 50, N. 4. P. 582-611.
5. Dudnikova T., Komech A., Mauser N. On two-temperature problem for harmonic crystals // J. Stat. Phys. 2004. V. 114, N. 3/4. P. 1035-1083.
6. Mikhailov V.P. Partial Differential Equations. Moscow: Nauka, 1983. (in Russian).
7. Vishik M.I., Fursikov A.V. Mathematical Problems of Statistical Hydromechanics. Kluwer Academic Publishers, 1988.
Поступила в редакцию 18.01.2016
