CC BY
34
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
УДК 517.9
ОБ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНО УБЫВАЮЩИХ РЕШЕНИЯХ УРАВНЕНИЙ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМ ЗАПАЗДЫВАНИЕМ
В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ
®2011 Алиев Р.Г., Шамов Э.Ш.*
Дагестанский государственный университет * Дагестанский государственный технический университет
Рассматривается функционально-дифференциальное уравнение первого порядка с распределенным запаздыванием. Доказывается теорема о существовании решений, убывающих как экспонента.
The authors of the article consider the functional differential equation of the first order with the distributed. They prove the theorem of the existence of the solvings decreasing as an exhibitor.
Ключевые слова: функционально-дифференциальное уравнение,
резольвентный оператор, обратимый оператор, неограниченный оператор, вполне непрерывный оператор, замкнутый оператор.
Keywords: functional differential equation, resolvent operator, invertible operator, unbounded operator, quite continuity operator, closed operator.
Рассматривается уравнение с распределенным запаздыванием
СО
LROu(t) = Dt (t) s)dsA(t, s) = f(t),
t>t0>-oo, (1)
где A(t,s) - оператор - функция с областью определения в X и с областью значений в Y, X, Y -гильбертовы пространства Ici. Интегральная часть уравнения фактически понимается как
СО
jdsA(t, s)u(t - s) - оператор с
распределенным запаздыванием.
Напомним, что интеграл Стилтьеса сильно непрерывной
функции f(t) по функции (p(t) с конечным изменением
определяется как предел интегральной суммы
т
1)! *і-1 ^ Тг ^ t, ■
2 = 1
Если q>(t) - абсолютно непрерывная
функция, то
ъ ъ
j f(t)d<p(t) = J f(t)(p! (t)dt.
а а
В случае, не зависящем от t, оператора A(t, s) = A(s), имеем уравнение
Применение преобразования Фурье в случае уравнения (2) дает
LRPu(t) = Dtu(t) -j(t- s)dA(s) = f(t). (2)
-J^ +CO -r'-'J '-«J
(Lrpu (t)) = ,— f exp(- iXt)Dtu{t)dt —-j= f [exp(- ikt) f u(t - s)dA{sfelt = Aw (A) -V2 л-i л/гл-^
со [ 1 °° I со f 1 00
- J"dA{s)\ ,— j" exp{-iAt)u{t - s)dt I = Ли (A) - J"dA{s)\ .— J" exp(- iX{t + s))u(t)dt t0 {л12ж J i(i [v2;r
со j / CO
= Aw (a) - f exp(- iXs)dA(.s) ,— Г exp(- iXt)u{t)dt = Aw (a) - f exp(- / Ал)б//4(,s)7(a) =
J ^ -» J
A£-1exp(-i As )dА(л) м(А) = (A)/7(A),
( ш T1
ЛЕ- |ехр(-/Ау)йИ(5) -
v /
резольвентный оператор.
Уравнения с сосредоточенным отклонением аргумента
т
Lau(t) = I)!u{t)-Y,AJ(j)Shii!!i(j) = /(О
У=о
являются частным случаем уравнения (1). Действительно,
Го, i < о,
рассмотрим функцию e(t) = <! ^
и интегральную сумму для интеграла Стилтьеса
= Z /fe М - 'С)- <4-1 - с)] = 2 /(& ),
2=1 i=1
limCJ»=/(4 а^<6. то есть
И—> СО
|/(0&(*-с) = /(с).
а
Полагая далее
4^8) = ЕЛ(Ф(^“/гД0)’ бУДем
J=0
иметь
со
*0
00 ш , ,
= |»(/ - л)£ (/^щ* - И . (/)) =
«о >=0
/7? СО
=X 4 (01 *4 - лМ4 -И, (0)=
}=° г0
УЛ УУ1
=Е 4 - И> (0)=Е 4
У=о }=о
Таким образом, возможны три случая функциональнодифференциальных уравнений:
уравнения, содержащие только сосредоточенные отклонения
аргумента, только распределенные запаздывания и уравнения, содержащие одновременно оба типа отклонений аргумента. Ясно, что более общим является уравнение, содержащее одновременно оба типа отклонений аргумента и
произвольного порядка п, то есть уравнение типа
п—1 ( т
П—1 I ГП I- -I
V'W-ЧМ'ЬЯЖ+4,(#',
£=0 \ j=0 Л
hj+hj(t)
+ Dktu{f) = f{f\
a J
К (0 — ^10 (0 = ^00 — ^10 —
—оо<а<Ь<оо, t fo>—/.
Последние условия на hkj и /^(V) позволяют включить в уравнение и
уравнение без отклонений аргумента.
В случае оператора
п-1 ( т Ь ^
Ела.+рА«
¿=0^7=° а
резольвентный оператор
А*
/ п~^ ( т / \ я;(А) - (я- Е - £ Я* 2 А„ ехр(- Ш„)+
к=0 ^У=0
ъ
+1 с1Ак (т)ехр(- /Ят)))-1 : У —» X.
а
Для операторов, порождаемых исследуемыми уравнениями первого
порядка, введем пространства X
я'°
7
0,а
д'° ;
Xі
((ґ),и(^) = 0, ґ < , ||м(ґ)|| = | ехр (2аґ)||м(ґ)||^ + |г/7(ґ)|
Л
< 00
((/), и(і) = 0, / < /0, ||м(/)|| = | ехр (2а/)||м(/)||у й?/
<оо, а = соті .
Для простоты нормы В ЭТИХ пространствах будем обозначать
через
мі,а
Нд?
-2 / о?0
||0,о:
II я?
соответственно.
Под и{К",Х) будем понимать /_2 норму функций со значениями в
пространстве X.
Доказываемая ниже теорема может быть истолкована как
результат, аналогичный
классической теореме Фрагмена-Линделефа, которая для
гармонической в полуполосе 0<х<1, £>0 функции 1/(хД удовлетворяющей граничным условиям и(0,/)=и(1,/)=0, />0, утверждает, что если она ограничена в данной полуполосе, то она убывает экспоненциально (по /). П. Д. Лаке [3. С. 112-113]
распространил эту теорему на
решения эллиптического уравнения, коэффициенты которого не зависят от t, вследствие чего пространство решений этого уравнения становится инвариантным относительно сдвига по t. Лаке доказал, что если в-инвариантное относительно сдвига внутренне компактное пространство, то существует такое положительное
число а , что для всех |||и(ґ)|| Л
< 00
выполняется
неравенство
|ехр(аґ)||м(ґ)|| Л < 0 . Из результатов
о
[4] следует, что если резольвентный оператор Кя =(ЛЕ-Ау1 регулярен в верхней полуплоскости Іт)іХ) и в любой полосе 0<1пи<а ||і?я|| =0(1)
при |я| —> 00 , то всякое решение и(ґ) уравнения Їїіи(і)-Аи = 0 с |И0||Х є ¿2(0,00) удовлетворяет оценке ||м(0||х - с ехр(- а Л *>о,
С=С0Л5/..
Будем рассматривать начальную задачу для уравнения с распределенным запаздыванием
1ро^) = В^)~
-|и(ґ-5УД^)+4м)]=/(4 (3)
и{і)=д{і), і<и, и(*о+0)=д(*о). (4)
В дальнейшем нам понадобятся: Теорема 1 (теорема 2.6.1 [2. С. 162]). Выполнение условий:
а) резольвента регулярна,
11*4=0(1), |яд4=0(1), |я|^оо,
1пи=а (1пи<а);
б)
необходимо и достаточно для
существования единственного решения и{і) уравнения (2), принадлежащего
пространству .
Теорема 2. Пусть выполнены условия:
а) для любого М0,
А(і,£), А(ґ): У —» У - замкнутые операторы, А(^,£,), Дґ):Х-> У -ограниченные операторы,
б) резольвента
L2{K\ y),
ХЕ - j exp(- iXs)dA(s)
Y1
: Y^X
регулярна, =0(1),
\\ШХ\\ = 0(1), |Я| —> оо, lnU<a;
В) ./(/): У.,\
Тогда, если u(t) - решение задачи
(3), (4), u(t)GL2(R[\X), то
И(0 є .
Доказательство. Рассмотрим
уравнение
СО
Lp$(t)= /(0+ ju(t-s)dsA(t,s)= F(t)X 5)
где u(t) - некоторое решение задачи (3), (4), удовлетворяющее условию теоремы. В силу условий теоремы докажем существование нормы
/ =
j u(t - s)dsA(t,s)
О,а V
j exp (2at) ju(t - s)dsA(t, s)
dt ■
Производя замену S на £ по формуле t-s = % , имеем
/ = J exp(2ai)
dt = j exp(2a/)
j “(£)
dA(t,t - £,) d|
<
<
CO CO
Jexp(2at) J ||м(£)||
\l~l0
dA(t,t-£,)
|||m(j)|| ¿faJexp(2ai) J
о X 0
di
dA( t,t -£)
V
d%
r J
2
CO 00 00
dt < |exp(2ai) |||m(^)|| dE, J
dt <
dA(t,t -£, )
‘0 x
d£
d^dt
d£
d% < cJ||m(0|| dt < c|“(OC J,
(6)
о X
в силу условия теоремы на оператор A(t,s). Из самого уравнения (3) имеем
LAJ LAJ LAJ LAJ
< |||/(0||г^ + { \U(t ~ = (
Ґ0 t о t о t о
/(0Й)г +
О,a ДІ°
(7)
d£, <с
u(t)
L2 (Д+°.Х)
/(О
т-0, a
Из (6), (7) следует, что 7^(0 ,
причем _Р(7) = О ДЛЯ 7 < ¿0 .
Таким образом, для уравнения (3) выполнены условия теоремы 2.6.1. [2. С. 162], в силу которой оно имеет
единственное решение 5(0 е Х1ка . Докажем, что 5(0 = и(О, где и(/) -решение уравнения (3),
фигурирующее в правой части уравнения (5). Действительно,
разность W(t) = u(t) -3(t) является решением задачи
L W(t) = 0, t>t0, W(t) = 0 t<to
(8)
Аналогичные уравнения рассмотрены в [1].
вопросы для
1 du . Л ^ „
--------Au = 0, t> О
7 dt
Тогда в силу той же теоремы решение задачи (8) Ж(0 = 0 почти для всех і єК. Теорема доказана.
Примечания
1. Алиев Р. Г. О дифференциальных уравнениях в банаховом пространстве, решения которых убывают быстрее экспоненты // Вестник Московского университета. 1974. № 5. С. 3-7. 2. Алиев Р. Г. Функционально-дифференциальные уравнения в гильбертовом пространстве. Махачкала: ИПЦ ДГУ, 2010. 348 с. 3. Лаке П. Д. Теорема Фрагмена-Линделефа в гармоническом анализе и ее применение к некоторым вопросам теории эллиптических уравнений // Математика. 1959. № 4. С. 107-132. 4. Agmon S., Nirenberg L. Properties of solutions of Ordinary Differential Equations in Banach Space // Comm-on pure and appl. Math. 16.1963. № 2. P. 121-234.
Статья поступила в редакцию 27.03.2011 г.
