CC BY
124
УДК 66.021.3/4
ОБ ЭФФЕКТИВНОСТИ РАБОТЫ ПРОМЫШЛЕННЫХ ГРАДИРЕН
В.Л. ФЕДЯЕВ*, А.Б. МАЗО**, И.В. МОРЕНКО*, Р.Ф. ГАЙНУЛЛИН***,
Р.Ф. ГАЙНУЛЛИНА***
* Институт механики и машиностроения КазНЦ РАН ** Казанский государственный университет *** Казанский государственный технический университет им. А.Н. Туполева
Для оценки эффективности работы промышленных градирен предлагается комплексный критерий, включающий в себя технологический и экономический (стоимостной) критерии. Представляются соотношения для их расчета. В качестве примера оценивается эффективность работы градирен СК-1200 с разными системами охлаждения оборотной воды.
Ключевые слова: градирня, критерий технологической эффективности, тепломассообмен.
В связи с ужесточением требований по охране окружающей среды, необходимостью экономии материальных и топливно-энергетических ресурсов все большее применение на предприятиях многих отраслей промышленности находят системы оборотного водоснабжения. В состав этих систем входят насосные станции, участки подготовки воды, включая химреагентную обработку, градирни, коммуникации и т.д. Основное назначение градирен - охлаждение оборотной воды атмосферным воздухом. Неудовлетворительная работа градирен может привести к перерасходу сырья, недополучению продукции, в отдельных случаях - к аварийным ситуациям. Так, согласно имеющихся оценок [1], повышение температуры воды, охлаждающей конденденсаторы ТЭС, на 1°С приводит к снижению мощности турбин на 0,4% (перерасходу пара на 0,5%). В случаях недоохлаждения воды на предприятиях химической промышленности среднегодовая выработка, в частности, аммиака может уменьшиться на 10%, метанола на 8%, уксусной кислоты на 11%.
При разработке конструкций новых градирен, модернизации существующих необходимо, во-первых, обеспечить охлаждение заданных объемов воды до требуемых температур, особенно при работе градирен в теплое время года. Во-вторых, следует стремиться к уменьшению затрат электроэнергии, сохранению ресурса вентиляторных установок, насосов. При этом необходимо максимально снизить гидроаэродинамическое сопротивление технологических устройств, использовать архимедову подъемную силу, другие благоприятные факторы. Нежелателен унос капель через горловину градирен, выдувание их через боковые окна. В данном направлении должны быть приняты меры. Необходимо, кроме того, обеспечить надежность работы оборудования градирни, возможность регулирования режимов в зависимости от изменяющихся технологических требований, климатических условий и т.д. Вместе с тем, при выполнении этих работ стоят также задачи: экономии материалов, замены дорогостоящих на более дешевые, долговечные; эффективной защиты конструкций от коррозии; облегчения монтажно-строительных операций, снижения их сроков и стоимости.
Анализируя имеющиеся данные, можно выделить следующие основные направления совершенствования технологического оборудования градирен. В целом, конструктивно, все чаще используется модульный принцип, когда
© В.Л. Федяев, А.Б. Мазо, И.В. Моренко, Р. Ф. Гайнуллин, Р. Ф. Гайнуллина Проблемы энергетики, 2009, № 1-2
охлаждение больших объемов воды производится в нескольких малогабаритных градирнях. Ведущими фирмами в области градиростроения ведутся активные работы по замене традиционного "мокрого" способа охлаждения воды на "сухой" либо гибридный, сочетающий оба эти способа [1, 2].
Много внимания уделяется совершенствованию вентиляторных установок. Уменьшаются габариты и вес редукторов и электродвигателей, оптимизируется форма лопастей вентиляторов, для изготовления их применяются высокопрочные, устойчивые к эрозии, воздействию химически активных сред пластиковые материалы, в частности полиэстер со стекловолокном. Электродвигатели выносятся из зоны влажности, используются схемы мотор-редуктор.
Очевидна тенденция все более широкого применения пластмасс при производстве всего остального оборудования: каплеуловителей, оросителей, форсунок, труб водораспределительных систем [1, 3]. При этом, в силу высокой технологичности пластмасс, появляется возможность существенно разнообразить конструкцию, форму этих устройств. Для снижения опасности возгорания используются трудновоспламенимые, с противопожарными добавками пластики. Достаточно часто, особенно в малогабаритных градирнях, применяются керамические оросители.
Отметим также, что много усилий прикладывается по улучшению систем брызгального охлаждения оборотной воды [4], поскольку они обладают такими преимуществами перед оросительными, как меньшая материалоемкость, простота и дешевизна в изготовлении, отсутствие поверхностей, омываемых водой, что исключает появление отложений.
При сравнительном анализе работы модернизированных градирен, градирен, отличающихся устройством систем охлаждения, эксплуатируемых в разных условиях, необходим критерий, позволяющий на основе экспериментальных данных оценить, по возможности объективно, их эффективность. Для этих целей можно воспользоваться, в частности, понятием теплового КПД теплообменника. КПД п градирен как аппаратов регенеративного типа определяется формулой [5]
Здесь А/ = 11 - ¿2 - перепад температуры воды (¿1, ¿2 - температура воды до
* *
и после охлаждения соответственно, °С), А/ = ¿1 - 3 . Предельная температура воздуха 3 * определяется из соотношения
р н (3 *)=р ^, (2)
где 3 - температура воздуха по сухому термометру, °С; рg =фрн(3),ф -относительная влажность воздуха, рн (з) = Рсв£/(1 ~С) - функция насыщения, Рев - плотность сухого воздуха, кг/м3; £ = С(3) - влагонасыщенность.
Учитывая, что в теплое время года диапазон изменения температур 3,3* мал, воспользовавшись линейной аппроксимацией
Р Н (3) = (- 0,94 + 0,14 3)-10 -2, из (2) найдем 3* = 6,7 (1 - ф) + ф3. Соответственно,
П = //((-ф5), ¡1 = * 1 -6,7, 8 = 8-6,7. (3)
Простоты ради, в выражении (1) можно принять = т - температуре воздуха по мокрому термометру, °С.
К сожалению, зависимость (3) не содержит в явной форме такие важные параметры, как расход воды, воздуха, продуваемого через градирню; не отражает экономические аспекты ее эксплуатации. Поэтому представляет интерес уточнение выражения для оценки эффективности работы градирен. Предварительно рассмотрим так называемый технологический критерий.
Постановка задачи о конструировании критерия эффективности подразумевает возможность представления сложнейших процессов тепломассообмена в градирнях в одном числе, вычисляемом по конечному набору наблюдаемых параметров. Исходя из того, что назначение градирни как теплообменного аппарата состоит в охлаждении оборотной воды при контакте с атмосферным воздухом, примем следующий принцип сравнения: лучшей признается градирня, обеспечивающая больший перепад температур для большего количества воды при наихудших внешних условиях. Непосредственно из этого принципа следует, что искомый числовой критерий должен расти пропорционально значениям относительного перепада температур М1 = / /11 и массового расхода воды О, кг/с. Заметим, что безразмерный параметр М1 представляет собой классический тепловой к.п.д. в том смысле, что его значение равно отношению "полезной", т.е. отобранной у воды энергии, к полной тепловой энергии потока, подаваемого на вход.
Осталось формализовать понятие наихудших внешних условий. Поскольку основным механизмом теплопередачи в градирнях является испарение,
охлаждение воды зависит не только от массового расхода и температуры 0^ воздуха, но и от его влажности ф. Более того, скорость испарения пропорциональна разности концентраций водяного пара на поверхности воды и в основном потоке воздуха. Поэтому отвод тепла с поверхности воды прекращается, как только концентрация водяного пара в воздухе р^ достигает значения
насыщения рн, взятого при температуре воды 8 = 11 [6]. Итак, под неблагоприятными внешними условиями следует понимать случай, когда поток теплого влажного воздуха движется медленно. Это означает, что значение
критерия эффективности должно убывать с ростом массового расхода Gg и относительной разности концентраций (ро -рg)/ро , где ро = рн).
Применяя далее методы анализа размерностей, учитывая приведенные выше рассуждения, приходим к следующей структуре технологического критерия эффективности работы градирни:
МТ = ^е (М1 )• Fw (М2 )• Fg (М3 ). (4)
Здесь Fе, Fw, Fg - безразмерные возрастающие функции, обращающиеся в ноль при нулевом значении аргумента; М2 = О / Gg - отношение массовых расходов теплоносителей; М3 = ро /(ро -рg) - величина, обратная к "движущей силе" испарения и учитывающая влажность и температуру охлаждающего
воздуха. В соответствии с предложенной выше аппроксимацией функции насыщения М3 »1/(1 — у), у = ф5/1\. При малых значениях V приближенно
М3 = 1 + V .
Можно выделить две предельные ситуации, важные для понимания поведения критерия М3. В случае, когда воздух абсолютно сухой (ф = 0), М3 =1.
Если же воздух теплый ¿1) и влажный (ф ^ 1), то М3 . Поскольку в столь неблагоприятных обстоятельствах охлаждение воды даже теоретически невозможно, такой рост Fg должен неизбежно компенсироваться стремлением к
нулю функции F0, так что значение М3 будет конечным, а возрастание М3 и Fg в "наихудших внешних условиях" вполне соответствует принятому принципу сравнения.
Таким образом, структура критерия технологической эффективности в целом на качественном уровне верно отражает особенности тепломассообмена в градирнях, однако для получения количественных зависимостей необходимо конкретизировать вид функций F0, Fw, Fg. В общем случае сделать это можно
только с помощью экспертных оценок, определяющих "вес" каждого множителя, т.е. относительную скорость роста функций F0, Fw, Fg. Задача несколько упрощается, если принять степенную форму зависимостей
а в у
F0 = М1 , Fw = М2, Fg = М3 , причем, не умаляя общности, можно положить а = 1.0. Тогда остается определить показатели в и у.
Один из способов нахождения данных параметров состоит в следующем. Предположим, что М1 = F ((М2М3 ). Тогда, в соответствии с выражением (4),
критерий эффективности Мт запишем в виде Мт = F ((М2М3 )) М\.
Считается далее, что функция F слабо меняется в окрестности некоторых характерных значений аргументов М2, М3. С физической точки зрения это означает, что эффективность градирни в узком диапазоне изменения расходов и параметров атмосферного воздуха остается неизменной. Математически названное допущение выражается соотношениями:
дМт
дМ2
дМт дМ3
М 2 = М 2 М 3 = М 3
М 2 = М 2 М 3 = М 3
pF ((М2,М3 )в-1М| + Мв М3
yF ((М2,М3 )м| М|—1 + м| М|
дF
дМ
2;
дМ3
М 2 = М 2 М 3 = М 3
М2 =М2
М3 =М3
= 0,
Отсюда находим:
_ д Ё —
в = МF, 2 дМ2
_ д F
у = М3-/F ,
' 3 дМ3
(5)
0
\ д F дF
д F
М2=М 2 дМ3 дМ3
М 2=М 2
где F = 2М*дМ2 дМ2
М3=М 3 М3=М 3
При определении вида функции F (М2М3) можно, в частности, воспользоваться экспериментальными результатами для М1, М2, М3. Точно также в качестве М2, М3 могут быть выбраны средние значения М2, М3 совокупности замеров.
Соотношение (4) при условии, что а = 1.о, записывается в виде
М = оо1Р, (6)
где сто = Mт (1 - V)) ¿1; X = Gg|G - отношение массового расхода воздуха к расходу
воды в градирне (X = 1/М2 ).
Если предположить, что для отдельных градирен (типов градирен) при определенном диапазоне изменения параметров ¿1, X, 8, ф, коэффициент Мт меняется слабо, зависимость (6) можно использовать для оценки перепада температур воды Д без проведения трудоемких теплотехнических расчетов.
Следует заметить, что по форме выражение (6) близко к критериальной зависимости [1]:
М = о! т . (7)
Здесь ст = ААД'Ср/сж , А = АН, А - эмпирический коэффициент,
характеризующий охлаждающую способность оросителя градирни, 1/м; Н -высота оросителя, м; к = 1 - сж0^г - поправочный коэффициент, сж - удельная
теплоемкость воды, кДж/(кг • ° С); г - удельная теплота парообразования,
кДж/кг ; Д'Ср - средняя разность удельных энтальпий насыщенного и влажного
воздуха, кДж/кг; т - показатель степени, характеризующий зависимость
объемного коэффициента массоотдачи от изменения скорости воздуха.
Обратимся к оценке экономической эффективности работы градирен. При расчете ее в общем случае необходимо принять во внимание два обстоятельства. Первое связано с капитальными затратами на строительство, ремонт, реконструкцию градирен с эксплуатационными (текущими) расходами. Совокупность этих расходов представляют приведенные затраты. Второе обусловлено влиянием работы градирен на выпуск предприятием конечной продукции.
Согласно типовой методики определения экономической эффективности капитальных вложений и новой техники, инструкций по определению экономической эффективности капитальных вложений в строительстве; рекомендаций по составлению смет эксплуатационных расходов вне площадочных систем водоснабжения и канализации промышленных предприятий [7] величина приведенных затрат на год П определяется соотношением
П = Э + ЕК, (8)
где Э = Э^ + Э2 + Э3 + Э4 - эксплуатационные (текущие) расходы; Э1 - стоимость электроэнергии, Э2 - амортизационные отчисления (6% от стоимости сооружений, 12% от стоимости оборудования), Э3 - отчисления на текущие расходы (1% от стоимости сооружений и оборудования), Э4 - неучтенные расходы на эксплуатацию (5 - 6% эксплуатационных расходов без амортизационных отчислений); К = К1 + ^ Kj , К1 - базовые затраты, Kj - текущие затраты на
i=2
реконструкцию; £=0,125 - нормативный коэффициент эффективности капитальных вложений.
Для вентиляторных градирен
Э1 = Э1 + Э1,
где Э1 - стоимость электроэнергии, расходуемой на подачу воды в градирню; Э1 - стоимость электроэнергии на привод вентилятора.
В свою очередь, Э1 = к*(Э'1М + Э'1Т), Э1 = Э1М + Э"1Т (Э'1М, Э1М -стоимость электроэнергии, потребляемой электродвигателям водяных насосов и вентилятора; Э1т , Э1т - стоимость электроэнергии, расходуемой трансформаторами; k - коэффициент, характеризующий приходящиеся на градирню затраты).
В соответствии с [7],
NBt' NB
Э1М = c1-, Э1T = 2,47 c 2-,
П о П1 mcos ф
Ngt' Ng
Э J М = 1,05 c1 , ЭIT = 1,65 c 2--—.
П 2 П 2 cos ф
Здесь с1, с2 - стоимость 1 кВт-час электроэнергии (руб/кВт-час), 1 кВт присоединенной мощности (руб/кВт); cos ф =0,9 - коэффициент мощности; t', t" -
время работы насоса, вентилятора (час); по,П1,П2 - к.п.д. насоса, двигателя
насоса, вентилятора; Nb , Ng - полезная мощность насоса, вентилятора,
определяемая по реальным расходам воды и воздуха соответственно.
С целью упрощения дальнейшего анализа величину капитальных затрат K представим в виде
К = К0 + КТ ,
где К0 - стоимость корпуса градирни, коммуникаций, вентиляторной установки и т.д., одинаковая для всех сравниваемых градирен; Кт - затраты на технологическое оборудование разных типов градирен.
Таким образом, учитывая значения Э2, Э3, Э4, для оценки эксплуатационных расходов Э получим выражение
Э = 1,05Э 1 + 0,07К0 + 0,13КТ. (9)
Отсюда, в соответствии с (8), (9), имеем П = 1,05Э 1 + 0,195К0 + 0,255Кт .
© Проблемы энергетики, 2009, № 1-2
Принимая далее величину К о = о,195 К о за базовое значение, запишем приведенные затраты в виде
П = К о (1 + г), (1о)
где г = (5,4Э 1 +1,3 Кт )/К о.
Для количественной оценки влияния работы градирен на экономические показатели предприятия введем функцию По , представляющую собой стоимость продукции, приходящуюся на градирню как на одно из звеньев технологической цепочки. На наш взгляд, функцию По можно записать в виде
П о = С (А/, G)- Н (А/, G).
Здесь С = еУ(А/, G), с - стоимость единицы продукции, V - объем выпускаемой за год продукции, приходящейся на одну градирню; Н - штрафные санкции, связанные с нарушениями технологических требований по перепаду температуры Д/ и расходу воды G .
Ради простоты примем:
С = С1А / + С 2 G, Н = Н1 А/ + Н 2 G,
где С1 , С2 , н1 , н 2 - коэффициенты, характеризующие влияние на стоимость продукции параметров Д/ и G .
Отсюда П о = т 1 А/ + т 2 G, т 1 = С1 - Н1, т 2 = С 2 - Н2 .
Очевидно, что с экономической точки зрения работа градирни будет тем лучше, чем больше По при меньших затратах П . Поэтому в качестве критерия экономической (стоимостной) эффективности Мс можно взять выражение
мс = . (11)
с П
Подставляя в (11) значение П (1о), получим П о
Мс =—-.
к о (1 + г )
Комплексный критерий Мк, характеризующий технологическую и экономическую эффективность градирен, запишем в виде
Мк = Мт • Ме . (12)
Отметим, что выражение (12) - одно из возможных представлений Мк. В общем случае Мк является некоторой функцией параметров Мт, Ме, а также других, отражающих, например, экологические и иные аспекты.
Далее в качестве примера оценивается эффективность работы вентиляторных градирен СК-12оо [1] с разными системами охлаждения оборотной воды: исходной - с капельным оросителем из деревянных планок (система I типа), модернизированной - с капельно-пленочным оросителем из полиэтиленовых витых трубок (система II типа), эжекционной (система III типа).
В соответствии с критерием Мт (4) замерялась температура 0 g и влажность ф атмосферного воздуха, скорость воздушных потоков во входных окнах градирен и характеристик воздуха внутри градирен в доступных местах. В градирнях с деревянным оросителем эти замеры проводились в области между водораспределителем и каплеуловителем на расстоянии 5-10м от входного люка; в градирнях с полиэтиленовым оросителем и эжекционного типа - над каплеуловителем на высоте роста человека. По полученным данным
рассчитывался расход воздуха Gg.
Температура поступающей воды ¿1 определялась в сливных трубах, гусаках, либо в форсунках. Температура выходящей воды ¿2 замерялась в колодцах, вблизи бассейна. При этом осуществлялась выдержка 30-60 с, показания термометра снимались несколько раз.
Расход воды G удалось непосредственно замерить с помощью прибора Portaflow, к сожалению, лишь для нескольких градирен. В остальных проводилась оценка его по характеристикам нагнетательных насосов, подающих воду в сеть, показаниям расходомеров технологического оборудования, с использованием мерных емкостей.
Обработка результатов позволила, во-первых, установить зависимости М1 от М2, М3. Так, при условии, что
М1 = £(М2,М3) = а1/М2 + а2/М3 + а3/(М2М3) + а4/ + а5/м| , (13)
с помощью метода наименьших квадратов получены следующие значения коэффициентов:
а1 = -0,7, а2 = 2,04, а3 = 2,07, а4 = -0,17, а5 = -3,91.
Во-вторых, в соответствии с формулами (5), с использованием выражения (13) и средних значений М2 =0,6, М3 =1,57, найдены показатели в и у в критерии технологической эффективности Мт , в результате чего он принял вид
Мт = М1 • М20,35 • М3'6 . (14)
На основе экспериментальных данных можно также получить определенные зависимости между параметрами М1 и М2, М1 и М3. Если предположить, что связь между ними носит степенной характер, имеем:
М1 = 0,17/М0'7 , М2 = 0,15/М1 , М1 = 0,48/М]'45 , М3 = 1,0/М0'32 .
Отсюда, в частности, следует, что на степень охлаждения воды (М1) колебания влажности и температуры окружающего воздуха, описываемые величиной М3 , влияют гораздо сильнее, чем изменения расходов воздуха, воды
( М2 ).
Обратимся непосредственно к оценке эффективности работы рассматриваемых градирен. По совокупности всех замеров значения критерия Мт , рассчитанные по формуле (14), для градирен I, II, II типов соответственно
будут: МТ = 0,63, М^ = 0,62, М™ = 0,51.
Видно, что согласно предложенного критерия, более высокими показателями обладают градирни I и II типа. Причем исходная система охлаждения с деревянным оросителем оказывается несколько лучше, чем модернизированная, с полиэтиленовым. Эффективность градирни III типа, по сравнению с остальными, меньше приблизительно на 18%. Следует, кроме того, иметь в виду, что система охлаждения градирни I типа после почти двадцатилетней эксплуатации существенно износилась, тогда как в градирнях II, III типов они новые.
Если по этим же данным определить тепловой к.п.д. градирен п (3), то
получим: ц1 = 0,59, цП = 0,54, цШ = 0,36.
Наблюдается прежняя закономерность: наиболее эффективными оказываются градирни I типа, наименее - III типа. Однако разница в показателях увеличивается почти до 40%.
Полная оценка эффективности работы данных градирен в соответствии с комплексным критерием (12) сопряжена с большими трудностями, обусловленными, в первую очередь, недостатком экономической информации. Чтобы уменьшить их, предположим, что для градирен всех типов параметр 8 в выражении критерия стоимостной эффективности Mc (11) одинаков. Принимая
далее значение комплексного критерия градирен I типа мК за базовое, рассмотрим отношения:
Z П = M J?(1 + г I)/(1 + г II); Z11 = M J?(1 + г I)/(1 + г п), (15)
где M T = mTJ/mJ, M T11 = mJP/mJ.
Если при расчете величины 8 по тем или иным причинам большее значение придается эксплуатационным расходам, можно положить в выражении (10) X = 0. Поскольку в Э1 затраты, связанные с работой трансформаторов, существенно меньше, чем стоимость электроэнергии, потребляемой двигателями насосов и вентиляторов, учитывать их не будем. В результате формулы (15) принимают вид
Z11 = MTJ(1 + ~I)/(1 + ~ц); Z111 = MTn(1 + ~I)/(1 + ~III).
Здесь ~ = 5,4( Э1м + Э?м)/К 0.
Согласно данных, представленных соответствующими службами, в ценах 1995 г.: K0 = 2956,8 млн. руб.; для градирен I типа Э1м = 70,5, Э^м = 37,7; II типа
- 213,6, 49,6; III типа - 79,1, 48,0, соответственно. Отсюда Z11 = 0,48, Z111 = 0,72; экономическая эффективность градирен II и III типов на 52% и 28% меньше эффективности исходных градирен I типа.
Необходимо пояснить, что столь низкие показатели градирен II и III типов объясняются как сравнительно малой технологической эффективностью, так и тем, что имеют место, с одной стороны, большие затраты на электроэнергию, с другой - низкая инвентаризационная стоимость корпуса, коммуникаций и вентиляторной установки градирни.
Исходя из приведенных оценок, других обстоятельств, можно заключить, что при модернизации исходных градирен с деревянным оросителем по схеме II необходимо использовать более совершенные системы водораспределения, конструкции оросителей и каплеуловителей. Вместе с тем, в условиях ограниченных сроков проведения ремонтных работ, при недостатке денежных средств, нехватке материалов возможна, видимо, реализация схем III типа. Тем более, что их технологическая эффективность не намного меньше эффективности других рассмотренных систем. Поскольку схемы II, III, по сути, предельные, каждая из них обладает определенными преимуществами и недостатками, представляется целесообразной разработка систем, в которых сочетались бы как эжекционный способ охлаждения воды, так и оросительный.
Summary
For efficiency estimation of industrial cooling towers integrated criterion is offered which combines technology and cost criteria. The rations for their calculation are provided. Operational efficiency of cooling towers SK-1200 with various systems of cooling water is given as example.
Литература
1. Пономаренко В.С., Арефьев Ю.И. Градирни промышленных и энергетических предприятий. М.: Энергоатомиздат. 1998. 376 с.
2. Лаптев А.Г., Ведьгаева И.А. Устройство и расчет промышленных градирен. Казань: КГЭУ, 2004. 180 с.
3. Арефьев Ю.И., Пономаренко В.С. Пластмассовые водоуловители градирен // Водоснабжение и санитарная техника.1994. № 10. С. 8-11.
4. Кикиш О.В. Эффективность брызгальных установок как охладителей циркуляционной воды // Энергетик. 1991. № 9.С. 22-23.
5. Берман Л.Д. Испарительное охлаждение циркуляционной воды. М.: Госэнерго, 1949. 320 с.
6. Исаченко В.П., Осипова В.А., Сукомел А.С. Теплопередача. М.: Энергия, 1975. 488 с.
7. Гладков В.А. Вентиляторные градирни. М.: Энергия, 1976. 312 с.
Поступила в редакцию 20 мая 2008 г.
Федяев Владимир Леонидович - д-р техн. наук, зав. лабораторией МТП Института механики и машиностроения КазНЦ РАН. Тел. 8-917-3925466; 231-90-56.
Мазо Александр Бенцианович - д-р физ.-мат. наук, профессор Казанского государственного университета Тел. 8-917-8911500. E-mail: [email protected].
Моренко Ирина Вениаминовна - канд. техн. наук, научный сотрудник Института механики и машиностроения КазНЦ РАН. Тел. 8-905-3159906. E-mail: [email protected].
Гайнуллин Ренат Фаридович - аспирант Казанского государственного технического университета им. А.Н. Туполева. Тел. 8-917-3973713.
Гайнуллина Римма Фаридовна - аспирантка Казанского государственного технического университета им. А.Н. Туполева. Тел. 8-927-4640377.
