Об автоморфных системах конечномерных групп Ли Текст научной статьи по специальности «Математика»

!ББМ 2074-1863 Уфимский математический журнал. Том 4. № 4 (2012). С. 130-138.

УДК 517.9

ОБ АВТОМОРФНЫХ СИСТЕМАХ КОНЕЧНОМЕРНЫХ

ГРУПП ЛИ

А.А. ТАЛЫШЕВ

Аннотация. В настоящей работе показано, что автоморфная система конечномерной группы Ли всегда вполне интегрируема.

Ключевые слова: симметрии Ли, автоморфные системы, дифференциальные инварианты.

Введение

Система дифференциальных уравнений называется автоморфной относительно группы Ли, если все её решения находятся на орбите одного из них. При обосновании структуры автоморфной системы в монографии [1, с. 329] используется утверждение о том, что многообразие и' может быть получено из многообразия и посредством действия некоторого преобразования группы, если и' С к(и,0). Это утверждение, вообще говоря, неверно.

В настоящей работе показано, что для конечномерных групп Ли описанная в [1] структура (с небольшими уточнениями) действительно определяет автоморфную систему. Также показано, что всякая автоморфная система для конечномерной группы Ли всегда вполне интегрируема. Предложенный здесь подход существенно использует конечномерность группы Ли и потому неприменим для бесконечномерных групп.

Определение. Система дифференциальных уравнений называется автоморфной относительно группы С, если любое решение этой системы получается из одного фиксированного решения посредством действия преобразований группы С [1, §25].

В дальнейшем используются следующие обозначения: X = Кп — пространство независимых переменных, У = У0 = Нт — пространство зависимых переменных, Zk = X х У0 х ■ ■ ■ х Ук, к = 0,1..., где Ук = Кт ® БкЯп, к = 1,... — продолженные пространства. Вектора пространств Ук будут обозначаться через у, а их компоненты через уа,

где а = (а\,... , ап) — мультииндексы и |а| = а1 + ■ ■ ■ + ап = к. Размерность пространства Zk обозначается через ^, т.е.

1. Автоморфные СИСТЕМЫ

Через р^+1 обозначается естественная проекция ^+1 на Zk:

Pкк+l(x, У,У,...,У, У ) = {х,у,у,...,у).

і

A.A. Talyshev, About automorphic systems of finite-dimensional Lie groups. © Тадышеб А.А. 2012.

Поступила 8 октября 2012 г.

Операторы полного дифференцирования обозначаются через Di, т.е.

Di dXi I ^ ] Уа+'цдУа i 1,... ,п,

|а|^0

где |7i| = 1, причем единице равна компонента с номером г.

Рассматривается группа Ли Gr(h) конечной размерности г, порожденная отображением h : Z х В — Z, где В = Rr. Для каждого к > 0 отображение h однозначно продолжается на пространство Zk. Здесь это продолжение записывается в виде

h : Zk х В —— Zk.

k

Начиная с некоторого к, общий ранг группы Gr на пространстве Zk будет равен г. Здесь это значение к будет обозначаться через к\.

Отображение и : X — Y для каждого к ^ 0 определяет в продолженном пространстве Zk многообразие («график отображения»)

( д1а1и Л

U =\ Уа = а, “----, 0 ^ Ы ^ к\. (1)

k \Уа дх\1 ...дх^’ 1 1 J v J

Результат действия группы Gr на многообразие (1) называется орбитой многообразия и

обозначается через h(U,0), где О окрестность 0 в пространстве В. Очевидно, существует k k

такое к2 ^ к\ (к2 зависит от отображения и), что при к ^ к2 орбита является собственным многообразием пространства Zk. Размерность орбиты dk при к ^ к2 удовлетворяет

неравенствам

max{n, г} ^ dk = dim h(U, О) ^ п + г. (2)

k k

Очевидно, что для всех к ^ 0

^ = k (Ч’0)- (3)

При к ^ к2 существуют такие отображения гфk : Zk — RSk, что

h(U, О) = {zk е Zk : фk(zk) = 0}, k k

где Sk = ^k — dk. В силу (3) отображения гфk можно выбрать так, чтобы для каждого к множество отображений фk+l было расширением множества отображений фk. Соотношения

фk(z) = 0, z е ^k (4)

представляют из себя систему дифференциальных уравнений порядка к на m функций от

п переменных, и отображение и является решением этой системы.

Система

P^k )(z) = {фk (pkk+\z)), (Dx^k )(z),..., (Dntfk )W} = 0, z е Zk+1 называется первым продолжением системы (4). Соответственно многообразие

P(h(Ч, 0)) = {z е Zk+1 : P(^k)(z) = 0} k k

называется первым продолжением орбиты h(U, О).

k k

Лемма 1. Для каждого к ^ к2 справедливо соотношение

p(h (U ,0)) э h(UO). (5)

k k k+1 k+1

Доказательство. Продолжение любой системы дифференциальных уравнений допускает каждую симметрию исходной системы [2], т.е. продолженная система р(фк(z)) = 0 допускает группу Gr, и отображение и является ее решением. Поэтому орбита решения и в пространстве Z^+l принадлежит продолжению орбиты и из пространства Zk. I

Лемма 2. Для каждого к ^ к2 справедливо соотношение

fi+l(p(h (U ,0))) = h (U,О).

к к к к

Доказательство. С одной стороны, справедливо очевидное включение

p4+l(p(h(и,о)) ch(и,о).

к к к к

С другой стороны, применение проекции р^+1 к обоим частям соотношения (5) с учетом равенства (3) дает обратное включение. I Ограничение системы Пфаффа

П

dya Уа+Ъdxj = 0, 0 ^ Н <к

3=1

на многообразие h(U,0)) дает систему Пфаффа с предписанными независимыми пере-к к

менными х, эквивалентную системе дифференциальных уравнений (4). Верно и обратное: каждой системе Пфаффа с предписанными независимыми переменными можно поставить в соответствие эквивалентную ей систему дифференциальных уравнений. Эквивалентность здесь понимается в том смысле, что между интегральными многообразиями системы внешних уравнений и решениями системы дифференциальных уравнений устанавливается взаимно однозначное соответствие. В рамках этой эквивалентности здесь система дифференциальных уравнений будет называться вполне интегрируемой, если эквивалентная ей система Пфаффа вполне интегрируема. Далее формы системы Пфаффа, эквивалентной системе (4), будут обозначаться через ш(фк).

Лемма 3. Существует такое к3 ^ к2, что для каждого к ^ к3 система (4) вполне интегрируема.

Доказательство. В силу правого из неравенств (2) найдется такое к3, что

dk^-i dks < ^ks-i-

Откуда следует, что

rank = икз - uk3-i = dim Yk3,

О у

к3

т.е. система дифференциальных уравнений ф^3 = 0 может быть разрешена относительно всех старших производных. Поэтому система р(фк3) = 0 также разрешима относительно всех старших производных и, следовательно,

dimр(h(U,0)) = dim h(U,0) = dk3. (6)

кз k3 k3 k3

Поэтому в силу леммы 1 dk = dk3 для всех к > к3.

Из леммы 2 следует, что для к ^ к3 идеал, порожденный системой ш(ф^) = 0, будет замкнут относительно операции внешнего дифференцирования. Откуда в силу теоремы Фробениуса [3] следует утверждение леммы. I

Лемма 4. Для каждого к ^ к3 система (4) является автоморфной.

Доказательство. Система внешних уравнений ш(фк) при к ^ к3 вполне интегрируема, т.е.

через каждую точку орбиты к(и, О) проходит единственное интегральное многообразие

к к

[3]. С другой стороны, для любой точки г' Є к(и, О) существует преобразование д Є Сг и

к к

точка г Є и такие, что преобразование д переводит точку г в точку г'. И таким образом, к

это единственное интегральное многообразие совпадает с образом многообразия и под

к

действием преобразования д. I

Замечание 1. Из соотношения (6), в частности, следует,, что для каждого к ^ к3 система фк+1(г) = 0 является первым продолжением системы фк(г) = 0. Следовательно, все системы фк (г) = 0 при к > к3 являются продолжениями системы фк3 (г) = 0. Система фк3(г) = 0, как показывает пример 1 (вариант 7), не всегда является продолжением системы фк3-1(г) = 0.

Замечание 2. Леммы 1 и 2 справедливы и для бесконечномерных групп Ли, если существует конечное к2. Если отображение и является решением системы дифференциальных уравнений, допускающей группу, то конечное к2 существует и не превышает, порядка системы.

Из доказательства леммы 3 следует, что если ¿к-1 = dk для некоторого к, то и в случае бесконечномерной группы Ли система (4) для этого и больших значений к будет, вполне интегрируемой и автоморфной.

2. Построение лвтоморфных систем

Для построения автоморфных систем используется, следуя [1, §25], теорема о представлении неособого инвариантного многообразия. В силу этой теоремы в качестве ф^3 можно выбрать инвариант группы Сг подходящей размерности. Этот инвариант будет выражаться через универсальный инвариант группы 3 порядка к3, т.е.

кз

Фкз (г ) = Ф(^(г )) = 0. (7)

кз

Требование полной интегрируемости этой системы накладывает условия на отображение Ф. Эти условия являются системой дифференциальных уравнений на отображение Ф, которая называется «разрешающей системой» [1, §25].

Алгоритм построения всех автоморфных систем данной группы заключается в исследовании всех возможных размерностей орбит, определяемых неравенствами (2). Причем одна и та же размерность орбиты, по крайней мере с точки зрения неравенств (2), может достигаться при различных значениях к3. И этих различных значений конечное число. Таким образом, с точностью до операции продолжения имеется конечное число различных автоморфных систем. Причем не все варианты, допускаемые неравенствами (2), реализуются.

В монографии [1, §25, п. 4] утверждается, что при заданных п, т и г тип автоморфной системы вполне определяется одним параметром: рангом, дефектом или размерностью орбиты (эти три величины однозначно друг через друга выражаются). Как демонстрирует пример 1 (варианты 6 и 7), кроме дефекта важна еще величина к3, т.е. порядок автоморфной системы.

Систему (7), как правило, записывают в разрешенном виде относительно части инвариантов. Соотношение (3) позволяет записать систему (7) в виде

Г = <р(3'), (8)

Г = ф(З'), (9)

где порядок инвариантов 3' и 3" меньше к3, а через З1'' обозначены все инварианты порядка к3. Разделение инвариантов на 3' и 3" не всегда однозначно и здесь возможно

«ветвление» процесса исследования. «Ветвление» возможно и при дальнейших вычислениях.

Кроме неравенств (2) имеется еще одно ограничение на размерность орбиты, которое связано с тем, что рассматриваются орбиты «графиков» отображений и : X ^ Y. Потому уравнения орбит не должны накладывать ограничения на переменные пространства X, т.е. должно выполняться неравенство

ик — rank (dvJ) ^ dk, где v = (у,у,... ,у), к = к3 — 1. (10)

V kj i к

Набор инвариантов J" следует выбирать так, чтобы dv J" ^ Vk3-1 — dk3-l.

Если и не произвольное отображение, а решение системы дифференциальных уравнений Е, допускающей группу Gr, то на функции ip и ф из (8), (9) налагается дополнительное требование: система Е должна быть дифференциально-алгебраическим следствием уравнений (8), (9). Если порядок системы Е не превышает к3, то целесообразно систему Е, записанную через инварианты группы, включить в состав системы (8), (9).

3. Инвариантные и частично инвариантные решения

Инвариантные и частично инвариантные решения [1, §19, §22] являются решениями соответствующих автоморфных систем. Для инвариантных решений к3 = 1.

Инвариантные решения существуют при выполнении неравенства (10). При этом уравнения (8) разрешимы относительно переменных у, а уравнения (9), в силу лемм 2 и 3, просто дают выражения для функций ф. Поэтому нет надобности вычислять инварианты первого порядка, а разрешающая система будет получена после подстановки выражений переменных у в исходную систему дифференциальных уравнений. Т.е. технология построения инвариантных решений с использованием понятия автоморфных систем ничем не отличается от описанной в [1, §19].

Для построения частично инвариантных решений с использованием автоморфных систем потребуются дифференциальные инварианты первого и, возможно, более высокого порядка. И этим этот алгоритм сложнее алгоритма, описанного в [1, §22]. Но здесь отпадает надобность в понятии «лишних» функций.

4. О «простых» решениях

При г ^ п минимально возможная размерность орбиты равна г, и при этой минимальной размерности Sk3 = vк3 — т, т.е. совпадает с размерностью пространства инвариантов. Поэтому множество инвариантов J' из (8), (9) здесь пустое, и функции <р, гф являются константами, а разрешающая система будет системой алгебраических уравнений на эти константы. Для случая г = п такие автоморфные системы дают инвариантные решения, которые в работе [4] названы «простыми». По аналогии и при г > п решения таких ав-томорфных систем, видимо, можно называть «простыми». До конца этого раздела будет использоваться этот термин.

Если Н является подгруппой группы Gr, то каждое «простое» решение относительно подгруппы Н будет «простым» решением относительно группы Gr. Действительно, каждый дифференциальный инвариант группы Gr является дифференциальным инвариантом подгруппы Н, и подгруппа Н имеет еще другие инварианты. Поэтому система (8), (9) для подгруппы Н будет расширением аналогичной системы для группы Gr.

5. ПРИМЕР 1 Уравнения одномерной динамики политропного газа

ut + иих + р-1рх = 0, pt + ирх + рих = 0, pt + ирх + 'урих = 0, (11)

допускают группу с алгеброй Ли

dt, дх, tdx + ди, tdt + хдх, tdt — иди + 2рдр, рдр + рдр. Дифференциальные инварианты первого порядка можно выбрать в виде

т piV't + 'иих) pt + Upx pt + ирх

Jl = ---------, J2 = -------------, ^3 = ----------,

Рх PUX рих

J Рх J Рх /Р

Ja = , 'h = W?.

Данный набор инвариантов образует базис, т.е. любой инвариант может быть получен из этого набора посредством алгебраических операций и действия операторов инвариантного дифференцирования

Л, = 10, + ±D„ Л2 = *+^ D,.

их их Ux

Ниже используется следующий набор дифференциальных инвариантов второго порядка:

_ptt + 2uptx + и2рхх _ (Ptx + ирхх)рх _ рххр2х

■J 21 = --------2--------, ^22 = --------------i-, ^23 = ~2--4 ,

PUX РРи% Р2Рих

т _ (Pit + 2uptx + и2рхх)р2х _ (ptx + ирхх)р3х _ рххрАх

J24 = -----------------------2-4-, J25 = ----3---5----, J26 = —4----6 ,

р2рщ р6риьх Р4Рщ.

j (Utt + 2UUtx + и Uxx')^ UtX + иихх иххрх

■J27 = ----------------------, ¿28 = -------2----, ^29 = ---^.

рхих их рих

Система (11) в пространстве инвариантов записывается в виде

Jl = — l, J2 = -1, J3 = —J. (12)

Неравенства (2) допускают следующие варианты автоморфных систем для уравнений (11):

№ d\ d2 со d4 со 5 № d\ d2 со d4 со 5

1 6 6 6 6 2 4 5 7 7 7 7 2 5

2 6 7 7 7 3 5 6 7 8 8 8 3 6

3 6 7 8 8 4 6 7 8 8 8 8 2 6

4 6 8 8 8 3 6

Здесь 8 = dk3 — п — дефект инвариантности. Далее для каждого из вариантов таблицы строится система (8), (9) и для части из них исследуется разрешающая система.

Для вариантов 1-4 размерность ^ = 6, т.е. ^ = и1 — = 5 совпадает с количеством

инвариантов первого порядка. Поэтому все инварианты первого порядка должны быть равны константам, т.е. уравнения (12) следует дополнить уравнениями

’За = С4, Зъ = С5, (13)

где с4, с5 — некоторые константы.

Так как полный набор инвариантов более высокого порядка может быть получен действием операторов инвариантного дифференцирования на инварианты первого порядка, то эти инварианты более высокого порядка должны быть нулевыми. Таким образом, произвол при построении системы (8), (9) для вариантов 1-4 не превышает двух констант.

Система (12), (13) совместна, если съ = (с\ — 7 + 1)/с4, а первое продолжение этих уравнений будет вполне интегрируемо при условии с4 = 7. При этих условиях и при 7 = 1 решение системы (12), (13) имеет вид

и = ах + и1^), р = р!ра, р = (р1^) + 0.5(1 — а) с4а^~р~1х)2/^1-а'),

где

а = (с4 — 7 + Х)/(?4, а = 1/( с6 + 0.5(1 + 7)Ь), р1 = ст( с% + 0.5(1 + 7)^)2/<(1+1\

с6, с7 — константы, а функции и-\_^) и р1^) удовлетворяют линейной системе обыкновенных дифференциальных уравнений

йи1 ( с4 \ dp 1 7 — 1

-a{U1+:кр) ■ ¿г=- 7—-a(C4^¡ui+

dt V \/~(h ) dt 2 С4

Если c4 = 7, то система (12), (13) будет инволютивна, и никакое ее продолжение полностью интегрируемым не будет. Отсюда, в частности, следует, что автоморфных систем вариантов 2, 3, 4 для системы (11) не существует.

Для варианта 5 уравнения (8), (9) состоят из уравнений (12) и одной из следующих систем уравнений

J4 = <p(J5), J2i = ÿi(J5), i=1,..., 9,

J5 = C5, J2Í = ^i{Ji), i=1,..., 9.

Для варианта 6 уравнения (8), (9) состоят из уравнений (12) и одной из следующих систем уравнений

J4 = ^o(Jb), J2Í = Рí(Jb, J26), i S {1,... , 9}, i = 6, Л2J26 = Ф^5, J26),

J5 = ^, J2i = Рi{J4,J23), 9} Í = 3, Л2-^23 = ф{’^4Д23). (14)

Из условия полной интегрируемости системы (12), (14) функции pi определяются равенствами

Р21 = (72J4 +7J23 +7J4 + J4 ) / J4 , P22 = J4 (7 Р24 = J23 + 2J4 ,

Р25 = Р26 = Р29 = 0, Р27 = 7 + 1 Р28 = (J23 + J2)/J4 ,

c5 = 0 и ф = B(J23/J\)J6, где в — произвольная функция одного аргумента.

Для варианта 7 уравнения (8) совпадают с уравнениями (12), а уравнения (9) записываются в виде

J2Í = Ф^4,’Ь), i = 1,..., 9. (15)

Из условия полной интегрируемости системы (12), (15) шесть из функций фг определяются равенствами

ф1 = ( 72J4 -7J3J5 +7J4 + 7ф3 + J4 )J4 2,

Ф2 = -(7JI + 7Ф9 + Jl),

ф4 = 2J2 + фз,

ф5 = -J2(2J4J5 + ф9~),

ф7 = (7J4 + 7ф9 + J2)J4 2,

ф8 = (J3J5 — J4 — ф3)J-2,

а остальные удовлетворяют системе квазилинейных уравнений

т3 Лг.1. I 0„/, I о 7 | т2„12 | Г, т6 т2 , О т5

где

J4 Афд + Вфз + 2.14(7 .]Аф9 + Т^фэ + 2J4J5 + 3J4 J5 фд +

+^фз + ^фдфз - Дф6 - 2ф3) = О,

7Вфд + ^Афз + 2 J4(27 ^ф д + 7^^^5фд + 37J4 ф9 + 27J4 фз + +7ф9фз + Jfyg + 4JfJ^3 - 2^фз - 4ф3) = °

’^4Вф9 + Аф6 + 2(37Jfy6 + 47 ф9 ф6 + + 3^ ^ +

+б 3\35ф6 - Jlф9ф3 - 3^ф6 - бф6ф3) = 0,

, т 9 д 2 д д

А = , В = J 4«^^;- + «47—

аЛ а Л аЛ сЦ>

4 иоъ и^4 и^5

а1 = —7^\ — 27ф9 — 234^5 + 32 + 2фз,

а2 = —7^\^5 — 2,1+ J^5 — 2,кф9 + 2,1ъфз,

аз = — ^ — 7^5 — 2,14Ф9 + 2фз,

а4 = ,14,15 — — 23\35ф9 + 2фб.

6. Пример 2

Пример данного раздела демонстрирует, что автоморфная система бесконечномерной группы Ли не обязана быть вполне интегрируемой.

В работе [5] построено групповое расслоение для уравнения Кармана-Гудерлея

''Рх^Рхх + руу + 0 (16)

относительно бесконечномерной группы с инфинитезимальным оператором /(у, г)др, где /(у, г) — произвольная гармоническая функция. Этот оператор определяет преобразование р ^ р + !(у, %).

Групповое расслоение уравнения (16) задается, как показано в работе [5], автоморфной системой

рх а, руу + аах (17)

и разрешающим уравнением

—а ахх — Ок + ауу + агг = 0.

Разность любых двух решений системы (17) является гармонической функцией переменных у, г и не зависит от переменной х, поэтому система (17) действительно автоморфна. При этом система (17), когда а удовлетворяет разрешающему уравнению, инволютивна, но не вполне интегрируема.

Заключение

Если система дифференциальных уравнений Е допускает конечномерную группу Ли Сг, то всякое решение системы Е является решением какой-нибудь автоморфной системы группы Сг. Автоморфная система относительно просто интегрируется, но разрешающая система может быть значительно сложнее исходной системы Е. Пример 1 (вариант 7) демонстрирует это. Исключение составляют автоморфные системы минимального дефекта. В этом случае разрешающая система является системой алгебраических уравнений на совокупность констант.

Тот факт, что автоморфная система обязана быть вполне интегрируемой, позволяет сразу написать представление системы данного типа (или несколько представлений, как в вариантах 5 и 6 примера 1). При конкретных вычислениях нет необходимости выписывать все уравнения системы (9).

При проведении объемных вычислений использовалась система аналитических вычислений «Reduce 3.8» (http://reduce-algebra.sourceforge.net).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Овсянников Л.В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978. 400 с.

2. Талышев А.А. О симметриях неинволютивных систем. Труды Международной конференции «Современные проблемы прикладной математики и механики: теория, эксперимент и практика», посвященной 90-летию со дня рождения академика Н.Н. Яненко (Новосибирск, Россия, 30 мая - 4 июня 2011 г.) № гос. Регистр. 0321101160, ФГУП НТЦ «Информрегистр». — Новосибирск, 2011. 6 с. (http://conf.nsc.ru/files/conferences/niknik-90/fulltext/39591/46771/talyshev_2011.pdf)

3. Рашевский П.К. Геометрическая теория уравнений с частными производными. М.: Гостех-издат, 1947. 354 с.

4. Овсянников Л.В. О «простых» решениях уравнений динамики политропного газа // ПМТФ. 1999, Т. 40, № 2. С. 5-12.

5. Головин С.В. Групповое расслоение и точные решения уравнений трансзвукового движения газа // ПМТФ. 2003, Т. 44, № 3. С. 51-63.

Александр Алексеевич Талышев,

Новосибирский государственный университет, ул. Пирогова, 2,

630090, г. Новосибирск, Россия E-mail: [email protected]