CC BY
9
ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК
Том 17 Выпуск 3
УДК 519.17+512.54
ОБ АВТОМОРФИЗМАХ СИЛЬНО РЕГУЛЯРНОГО ГРАФА С ПАРАМЕТРАМИ (1276,50,0,2)
В. В. Носов (г. Оренбург) Аннотация
Пусть Г сильно регулярный граф с параметрами (V, к, 0, 2). Тогда к = и2 + 1 V = (и4 + 3и2 + 4)/2 для и = 1, 2, 3(шо^4). Если и = 1, то Г имеет параметры (4, 2,0, 2) — граф четырёхугольника. Если и = 2, то Г имеет параметры (15, 5,0, 2) — граф Клебша. Если и = 3, то Г имеет параметры (56,10, 0, 2) — граф Гевиртца. Если и = 5 тогда, гипотетический сильно регулярный граф Г имеет параметры (352, 26, 0, 2) [4]. Если и = 6 тогда, гипотетический сильно регулярный граф Г имеет параметры (704, 37,0, 2) [5]. Если и = 7, тогда Г имеет параметры (1276, 50,0, 2). Пусть О группа автоморфизмов гипотетического сильно регулярного графа с параметрами (1276, 50,0, 2). Найдены возможные порядки и
О
теории характеров конечных групп были найдены возможные порядки подграфы непо-
(1276, 50, 0, 2)
граф с параметрами (1276,50,0,2) существует, то порядок его группы автоморфизмов делит 21 • 3 • 5т • 7 • 11 • 29. В частноети, О — разрешимая группа.
Ключевые слова: сильно регулярный граф, автоморфизмы простых порядков сильно регулярного графа, подграфы неподвижных точек.
Библиография: 17 названий.
ON AUTOMORPHISMS OF STRONGLY REGULAR GRAPH WITH THE PARAMETRS (1276,50,0,2)
V. V. Nosov (Orenburg) Abstract
Let r be a strongly regular graph with parameters (v, k, 0,2). Then k = u2 + 1 v = (u4 + 3u2 + 4)/2 and u = 1, 2, 3(mod4). If u = 1, then r has parametrs (4, 2, 0, 2) — tetragonal graph. If u = 2, then r has parametrs (15, 5,0,2) — Clebsch graph. If u = 3, then r has parametrs (56,10,0,2) — Gewirtz graph. If u = 5 then hypothetical strongly regular graphr has parametrs (352, 26,0,2) [4]. If u = 5 then hypothetical strongly regular graphr has parametrs (704,37,0, 2) [5]. Let u = 7, then r has parametrs (1276,50,0, 2). Let G be the automorphism group of a hypothetical strongly regular graph with parameters (1276, 50,0,2). Possible orders are found
G
the use of theory of characters of finite groups we find the possible orders and the structures of subgraphs of the fixed points of automorphisms of the graph with parameters (1276, 50,0,2). It proved that if the graph with parametrs (1276,50,0,2) exist, its automorphism group divides 21 • 3 • 5m • 7 • 11 • 29. In particulary, G — solvable group.
Keywords: strongly regular graph, prime order automorphisms of strongly regular graph, fixed-point subgraphs.
Bibliography: 17 titles.
1. Введение
Мы рассматриваем неориентированные графы без петель и кратных ребер. Если а, Ъ — вершины графа Г т0 чеРез ¿(а, Ъ) обозначается расстояние между а и Ъ, а через Г (а) — подграф графа Г индуцированный множеством вершин, которые находятся на расстоянии г в Г от вершины а. Подграф ^ (а) называется окрестностью вершины а и обозначается через [а]. Через а± обозначается подграф, являющийся шаром ради уса 1 с центром а.
Граф Г называется регулярным графом степени к, если [а] содержит точно к вершин а Г Г
ми (V, к, А), если Г содержит V вершин, является регулярным степени к, и каждое ребро из Г лежит в А треугольниках. Граф Г называется вполне регулярным графом, с параметрами (V, к, А, у), если Г реберно регулярен с соответствующими параметрами и подграф [а] П [Ъ] содержит у вершин в случае й(а, Ъ) = 2. Вполне регулярный граф диаметра 2 называется сильно регулярным графом. Граф Г называется сильным, с параметрами (А, у), если каждое ребро из Г лежит точно в А треугольниках и подграф [а] П [Ъ] содержит у вершин в случае ¿(а,Ъ) = 2. Число вершин в [а] П [Ъ] обозначим через А(а, Ъ) (через ти(а, Ъ)), если ¿(а,Ъ) = 1 (если й(а,Ъ) = 2), а соответствующей подграф назовем (у-) А-подграфом. Ректаграфом называется вполне регулярный граф с А = 0, у = 2. Если А — подграф графа Г и а,Ъ € А, то через ¿д (а, Ъ) обозначим расстояние между а и Ъ в графе А.
Если X — подмножество группы автоморфизмов графа Г т0 через Пх(Х) обозначим подграф на множестве вершин, остающихся неподвижными под действием любого автоморфизма из X. Подграфы неподвижных точек автоморфизмов сильно регулярного графа с малыми
Ау
точек автоморфизма графа Мура сам является графом Мура или звездой (см. лемму 1 [1]).
Хорошо известно (предложение 1.1.2 [2]), что сильный граф су ^ 2 регулярен. Поэтому связные компоненты непустых подграфов неподвижных точек 2'-автоморфизмов сильно регулярного графа с тах{А,у} ^ 2 либо являются кликами, либо сильно регулярны с этими же параметрами. Автоморфизмы графов Мура, т.е. сильно регулярных графов с параметрами ^,к, 0,1) изучались в [1]. Автоморфизмы сильно регулярных графов с параметрами ^,к, 1, 2) рассматривались в [3]. Автоморфизмы сильно регулярных графов с параметрами ^,к, 0,2) изучались в [4] и в [5]. Этот класс графов — единственный из классов связных сильно регулярных графов с тах{А, у} ^ 2, имеющий бесконечное множество допустимых параметров.
В данной работе изучаются автоморфизмы сильно регулярного графа с параметрами (1276, 50, 0, 2). Кроме обычных теоретико-графовых методов, применявшихся в работах [1,3], в данной статье используется метод Дональда Хигмена, позволяющий уточнить возможные порядки автоморфизмов и строение подграфов их неподвижных точек с помощью теории характеров конечных групп (см. §2).
Пусть Г является сильно регулярным графом с параметрами (V, к, 0, 2). Используя равенство (А — у)2 + 4(к — у) = п2, получим п2 = 4к — 4, поэтому п = 2и, к = и2 + 1, п — т = и — 1, —т = —и — 1. Из прямоугольного соотношения к(к — А — 1) = у^ — к — 1) находим V = (и4 + 3и2 + 4)/2. Кратность собственного значенпя п — т равна
/ = (т — 1)к(к + т)/(пу) = и(и2 + 1)(и2 + и + 2)/(4и),
следовательно, и нечетно или и = 2(4).
Для небольших и получим следующие графы: и = 1 — четырехугольник; и = 2 — граф (16, 5, 0, 2) и = 3 (56, 10, 0, 2)
ществованпе графов с и > 3 неизвестно. При и = 5 получается гипотетический граф с наи-
(352, 26, 0, 2) и = 6
граф имеет параметры (704, 37, 0, 2). Автоморфизмы этого графа изучались в [5]. При и = 7 граф имеет параметры (1276, 50, 0, 2). Граф с параметрами (1276, 50, 0, 2) имеет собственные значения п — т = 6 и — т = —8 с кратностями / = 725 и д = 550 соответственно.
Основным результатом работы являются следующая теорема.
Теорема. Пусть Г является сильно регулярным графом с параметрами (1276, 50,0,2); О = Аи^Г), д — элемент простого порядка, р из О и А = Пх(д). Тогда выполняется одно из следующих утверждений:
(1) р = 2 А 26 6 44
АА 8 58
(2) р = 3 А
(3) р = 5 А
(4) р = 7 А
(4) р = 11 29 А
ОГ
(1276,50,0,2) делит 21 • 3 • 5т • 7 • 11 • 29. В частности, О — разрешимая группа.
2. Автоморфизмы простых порядков графа с параметрами (1276,50,0,2)
Рассмотрим сильно регулярный граф Г с параметрами ^,к, 0, 2) Пусть О = Аи^Г) — группа автоморфизмов Г. Выберем подгруппу X нечетного порядка из О. Пусть О = Пх(Х) — множество вершин графа Г неподвижных относительно X. Если а, Ь — несмежные вершины из О, то [а] П [Ь] — подграф, допустимый относительно X, поэтому [а] П[Ь] С О. Значит О — либо пустой граф, либо сильно регулярный граф с Л = 0, ^ = 2, либо является кликой с числом вершин, не большим 2.
Пусть Ь — инволюция из О А = Е1х(Ь), а, Ь € А. Тогда, [а] П [Ь] = с, й и либо с, й € А, либо с* = ¿.Если [Ь] П А содержит различные вершины е, /, то вторая вершина подграфа [е] П [/] также попадает в А. В частности, связные компоненты графа А являются вполне регулярными графами с Л = 0и ^ = 2.
Лемма 2.1. Пусть £ — связная компонента, графа А и в — степень некоторой вершины а в графе £. Тогда,
(1) |А| = (в2 + к + 2)/2 в частности, А — регулярный граф степени в;
(2) Г — А А
Доказательство. Это лемма 2.1 из [4].
Доказательство теоремы разобъём на два предложения и ряд лемм.
Предложение 1. Пусть Г — сильно регулярный графа с параметрами (1276, 50,0,2) X — группа нечетного порядка, из Аи1 Г Тогда, для, множества неподвижных точек О = Пх^) возможны следующие случаи:
(1) О — пустой граф и IX| делит, 319;
(2) | О| = 1 IX 1дмит 25;
(3) О является двухвершинной кликой и IXI делит 49;
(4) О является четырехугольником и IX| = 3;
(5) О является графом, К л ебша и IXI дели т 45.
Доказательство. Если О — пустой граф, то IXI делит 319, так как V = 22 • 11 • 29.
Если Q = {а} является одновершинным графом, то X действует без неподвижных точек на [а], причем |[а]| = 50. Поэтому |X| делит 25.
Если Q является ребром {а, b}, то |[а] — {b}| = 49 и |X| делит 49.
Если Q является четырехугольником {а, b; c, d}, то |[а] — Q| = 48 и |X| = 3.
Если Q является графом Клебша, а £ Q, то |[а] — Q| = 45 и |X| делит 45.
Заметим, что число ребер между Q и Г — Q равно |Q|(u2 + 1 — k(Q)) и не превосходит v — |Q|. Поэтому Q не может быть ни графом Гевирца, ни графом с параметрами (352, 26, 0, 2), ни графом с параметрами (704, 37, 0, 2) Предложение 1 доказано.
Выясним теперь строение подграфов неподвижных точек инволютивных автоморфизмов графа Г. Пусть t — инволюция из G, А = Fix(t), 5 = |Д|.
Предложение 2. Пусть Г — сильно регулярный граф с параметрами (1276, 50,0,2); имеющий инволют,ивный автоморфизм t. Тогда для, А = Fix(t) выполняется одно из следующих утверждений:
(1) А
(2) А 26
(3) А
(4) А 6 44
(5) А 8 58
АА
лярный граф степени в 5 = |Д|. Так как k = 50, то в четно. Число ребер между А и Г — А равно 5(50 — в) Ввиду леммы 1.1. указанное число не больше 2(1276 — 5).
Пусть Xj — множество вершин из Г — А, смежных точно с г вершинами из А, Xj = |X¿|. Тогда Xo + Xi + x2 = 1276 — 5 и xi + 2x2 = 5(50 — в)- Поэтому в ^ 8.
Если в = 0, то ввиду леммы 1.1 граф А является 26-кокликой.
Если в = 2, то 5 = 28 и А имеет семь связных компоненты, являющихся четырехугольниками.
Если в = 4, то 5 = 34 и А является связным графом диаметра, большего 2. Но по предложению 1.13.1 [2] число вершин в ректаграфе степени k не больше 2k, противоречие.
Если в = 6, то 5 = 44 и А является связным графом диаметра, большего 2.
Если в = 8, то 5 = 58 и А является связным графом диаметра, большего 2. В этом случае 5(50 — в) = 2(1276 — 5) и каждая вершина из Г — А смежна точно с двумя вершинами из А. Предложение 2 доказано.
Доказательство теоремы опирается на метод Дональда Хигмена работы с автоморфизмами сильно регулярного графа, представленный в третьей главе монографии Камерона [8]. При этом граф Г рассматривается как симметричная схема отношений (X, R) с двумя классами. Если P и Q — первая и вторая матрицы собственных значений схемы, то
1 1 1 P = | k r s
v — k — 1 —r — 1 —s — 1
PQ = QP = v/. Здесь v — число вершин, k, r, s — собственные значения графа Г кратностей 1, f, g соответственно (указанные кратности образуют первый столбец матрицы Q).
Подстановочное представление группы G = Аи^Г) на вершинах графа Г обычным образом дает матричное представление ф группы G в GL(v, C). Пусть щ — ортогональное проектирование Cv на г-ое собственное подпространство Wj, Xi — характер представления группы G, полученного при этом проектировании. Тогда для любого g £ Аи^Г) получим
Хд(0) = V ^ (д). а (д^
.7=0
где а.(д) — число точек х из X таких, что (х,хд) € Я.. Заметим, что значения характеров являются целыми алгебраическими числами, поэтому если Хг(д) — число рациональное, то оно должно быть целым.
Пусть Г — сильно регулярный граф с параметрами (V, и2 + 1, 0, 2) и О = Аи^Г). Тогда
/1 11
Р = I и2 + 1 -и - 1 и - 1 \ и2(и2 + 1)/2 и -и
/ 2 21 2 1 2 1 д = I (и2 + 1)(и2 - и + 2)/4 -(и2 + и + 2)/4 (и2 - и + 2)/(2и)
\ (и2 + 1)(и2 + и + 2)/4 (и2 + и - 2)/4 (-и2 - и - 2)/(2и)
Поэтому значение характера, полученного при проектировании на подпространство размерности (и2 + 1)(и2 - и + 2)/4 равно
Х1(д) = ^((и2 + 1)(и2 - и + 2)ао(д)/4 - (и2 + и + 2)а1(д)/4 + (и2 - и + 2)а2(д)/(2и)).
Подставляя в эту формулу значение а2(д) = V - ао (д) - а1 (д), получим
1
При и = 7 имеем
Х1 (д) = ((и - 1)ао(д) - а1(д) + (и2 - и + 2)).
Х1(д) = 14(6ао(д) - а1(д) + 44).
Особую сложность в методе Хпгмена вызывает подсчет значения параметра а1(д). Если Г — граф без треугольников и |д| = 3, то а1(д) = 0.
Уточним, теперь предложения 1 и 2 с помощью теории характеров.
Пусть Г — сильно регулярный граф с параметрами (1276, 50, 0, 2) Ь — инволюция из О, Д = Пх(д).
Если Д — пустой граф, то х1(Ь) = (-а1(Ь) + 44)/14. Далее, а2(Ь) делится на 4, поэтому а1(Ь) = 4-ш и и> - 2 делится на 7.
Если Д является 26-кокликой, то Х1(Ь) = (-а1(Ь) + 200)/14 Так как а1(Ь) = 4-ш + 2, то 2-ш + 3 делится на 7.
Если Д имеет 7 связных компонент, являющихся четырехугольниками, то Х1(Ь) = (-а1(Ь) + +212)/14 а1(Ь) = 4-ш и 2-ш - 1 делится на 7.
Если Д является графом степени 6 на 44 вершинах, то Х1(Ь) = (-а1 (Ь) + 308)/14.
Если Д является графом степени 8 на 58 вершинах, то каждая вершина из Г - Д смежна точно с двумя вершинами из Д, поэтому а1(Ь) = 0 и Х1(Ь) = 392/14 = 28.
Пусть д — элемент нечетного простого порядка из О О = Р1х(д).
Лемма 2.1. Пусть д — элемент порядка 3. Тогда, О — граф Клебша.
Доказательство. Пусть д — элемент порядка 3 из Аи^Г). Тогда а1(д) = 0 и х1(д) = = (6ао (д) + 44)/14.
Если О является четырехугольником, то ао(д) = 4 и Х1(д) = 68/14. Противоречие.
Если П является графом Клебша, а € О, то ао(д) = 16 и Х1(д) = 140/14 = 10. Лемма доказана.
Лемма 2.2. Пусть д — элемент порядка 5. Тогда
(1) Если П = {а} является одновершинным, графом,, то число 5-угольных орбит равно 2(7£ — 5) при некотором целом, I;
(2) Если П является графом, Клебша, то число 5-угольных орбит кратно 70.
Доказательство. Пусть д — элемент порядка 5 из Аи^Г).
Если П = {а} является одновершинным графом, то ао(д) = 1, тогда Х1(д) = (—а1(д) + +50)/14. Пусть а € Г и {а, а9} — ребро. Тогда (д)-орбита точки а является 5-угольником и а1(д) кратно 5. Положим а1(д) = 5-ш. Тогда 14 делит 50 — 5к, тогдачисло 5-угольных орбит равно 2(7^ — 5) при некотором целом ^
Если П является графом Клебша, то а0(д) = 16 тогда х1(д) = (а1 (д) + 140)/14 и а1(д) кратно 14. Пусть а € Г и {а, а9} — ребро, тогда а1(д) кратно 5. Поэтому а1(д) кратно 70. Лемма 2.2. доказана.
д 7 7 14
Доказательство. Пусть д — элемент пор ядка 7 из Аи^Г). В этом случае П является является ребром и х1(д) = (—а1(д) + 56)/14 Поэтому а1(д) кратно 14. Лемма 2.3. доказана.
Лемма 2.4. Пусть д — элемент порядка, 11. Тогда, число 11-угольных орбит равно 4 и 11 112
Доказательство. Пусть д — элемент порядка 11 из Аи^Г). Пусть а € Г и {а, а9} — ребро. Тогда (д)-орбита точ ки а являет ся 11-угольником, либо графом, степени 4 на 11 вершинах.
(11, 4, 0, 2)
воречие. Поэтому любая 11-орбита — это либо 11-угольник, либо 11-коклика. а1(д) кратно 11. Положим а1 (д) = 11-ш. Тогда 14 делит — 11-ш + 44. Общее число орбит, динны 11 равно 1276/11 = 116 11 4 11
112
Лемма 2.5. Пусть д — элемент порядка, 29. Тогда, число 29-угольных орбит равно л,ибо
2, либо 16 либо 30, либо 44.
Доказательство. Пусть д — элемент пор ядка 29 из Аи^Г). Тогда, общее число 29-орбит равно 44. Пусть а € Г и {а, а9} — ребро и а1 (д) кратно 29. Положим а1(д) = 29-ш. Тогда Х1 = (44 — 29-ш)/14. Следовательно, -ш € {2,16, 30, 44} Лемма 2.5. доказана.
3. Заключение
Итак, доказана следующая теорема
Теорема. Пусть Г является сильно регулярным графом, с параметрами (1276, 50,0,2); С = Аи^Г); д — элемент простого порядка, р из С и А = Пх(д). Тогда выполняется одно из следующих утверждений:
(1) р = 2 А 26 6 44
АА регулярный граф, степени 8 на 58 вершинах;
(2) р = 3 А
(3) р = 5 А
(4) р = 7 А
(4) р = 11 29 А
СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Махнев А. А., Падучих Д. В. Об автоморфизмах графа Ашбахера // Алгебра и логика 2001, т. 40, №, 125-134.
2. Brouwer А. Е., Cohen A.M., Neumaier A. Distance-regular graphs // Berlin etc: Springer-Verlag
- 1989.
3. Махнев А. А., Минакова И.М. Об автоморфизмах сильно регулярного графа с параметрами А = 1 ^ = 2// Дискретная математика, 2004, Т. 16, JM, С. 95-104.
4. Махнев А. А., Носов В. В. Об автоморфизмах графов с А = 0, ^ = 2. // Математический сборник. Том 195, №3, 2004, С. 47-68.
5. Носов В. В. Об автоморфизмах графа с параметрами (704, 37, 0, 2) // Проблемы теоретической и прикладной математики: Труды 36-й Регион, молод, конф. Екатеринбург: УрО РАН, 2005. С 55-60.
6. Brouwer А. Е., Haemers W. Н. The Gewirtz graph: an exercize in the theory of graph spectra // Europ. J. Comb. 1993, v. 14, pp. 397-407.
7. Willbrink H. A., Brouwer A. E. A (57, 14, 1) strongly regular graph does not exist // Proc. Kon. Nederl. Akad. Ser. A, 1983. Vol. 45, N 1. pp. 117-121.
8. Cameron P. Permutation Groups, London Math. Soc. Student Texts 45, Cambridge Univ. Press.
- 1999.
9. Баннаи Э., Ито. Т. Алгебраическая комбинаторика. Схемы отношений: Пер. с англ. — М.: Мир, 1987. - 375 с.
10. Cameron P., Van Lint J. Designs, Graphs, Codes and their Links. London Math. Soc. Student Texts 22, 1981. Cambr. Univ. Press. 240 p.
11. Higman D. G. Finite permutation groups of rank 3. — Math. Z., 1964, v. 86, pp. 145-156.
12. Higman D. G. Primitive rank 3 groups with a prime subdegree. — Math. Z., 1966, v. 91, pp. 70-86.
13. Higman D. G. Intersection matricies for finite permutation groups.^ J. Algebra, 1967, v. 6, pp. 22-42.
14. Higman D. G. On finite affine planes of rank 3. — Math. Z., 1968, v. 104, pp. 147-149.
15. Higman D. G. A survey of some questions and resalts about rank 3 permutation groups.^ Actes, Cjngres Int. Math. Rome, 1970, v. 1, pp. 361-365.
16. Higman D. G. Characterization of families of rank 3 permutation groups by the subdegrees I, II.- Arth. Math., 1970, v. 21, pp. 151-156; pp. 353-361.
17. Nakagawa N. On strongly regular graphs with parameters (k, 0, 2) and their antipodal double cover // Hokkaido Math." Soc. 2001, v. 30, pp. 431-450.
REFERENCES
1. Makhnev A. A., Paduchikh D.V. 2001, "Automorphisms of Aschbacher Graphs", Algebra and logic, vol. 40, no. 2, pp. 69-74.
2. Brouwer A. E., Cohen A.M., Neumaier A. 1989. Distance-regular graphs. Springer-Verlag. Berlin.
3. Makhnev A. A., Minakova I.M. 2004. "On automorphisms of strongly regular graphs with the parameters А = 1 and ^ = 2", Diskr. Mat., vol. 16, no. 1, pp. 95-104.
А=0
^ = 2,", SB MATH., no. 195(3), pp. 347-367.
(704, 37, 0, 2)
teorticheskoj i prikladnoj matematiki: trudy 36th Regionalnoy molodejnoy conferencii. Ekaterinburg, UB of RAS. pp. 55-60.
6. Brouwer A. E., Haemers W.H. 1993. "The Gewirtz graph: an exercize in the theory of graph spectra", Europ. J. Comb. vol. 14. pp. 397-407.
7. Willbrink H. A., Brouwer A. E. A 1983. "(57, 14, 1) strongly regular graph does not exist", Proc. Kon. Nederl. Akad. Ser. A. Vol. 45, no 1. pp. 117-121.
8. Cameron P. 1999. Permutation Groups, London Math. Soc. Student Texts 45, Cambridge Univ. Press.
9. Eiichi Bannai, Tatsuro Ito. 1984 Algebraic combinatorics I: Association schemes. Menlo Park, CA: The Benjamin/Cummings Publishing Co., Inc.
10. Cameron P., Van Lint J. 1981 Designs, Graphs, Codes and their Links. London Math. Soc. Student Texts 22. Cambr. Univ. Press. 240 pp.
11. Higman D. G. 1964. "Finite permutation groups of rank 3", Math. Z., vol. 86, pp. 145-156.
12. Higman D. G. 1966. "Primitive rank 3 groups with a prime subdegree", Math. Z. vol. 91, pp. 7086.
13. Higman D. G. 1967. "Intersection matricies for finite permutation groups", J. Algebra, vol. 6, pp. 22-42.
14. Higman D. G. 1968. "On finite affine planes of rank 3", Math. Z. vol. 104, p. 147-149.
15. Higman D. G. 1970. "A survey of some questions and resalts about rank 3 permutation groups". Actes, Cjngres Int. Math. Rome, vol. 1, p. 361-365.
16. Higman D. G. 1970 "Characterization of families of rank 3 permutation groups by the subdegrees I, II", Arth. Math., vol. 21, p. 151 - 156; 353-361.
17. Nakagawa N. 2001. "On strongly regular graphs with parameters (k, 0, 2) and their antipodal double cover", Hokkaido Math. Soc. vol. 30, 431-450.
Оренбургский государственный университет. Получено 19.05.2016 г. Принято в печать 13.09.2016 г.
