Об асимптотике собственных значений системы Дирака с периодическими краевыми условиями Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.984

В. В. Корнев, А. П. Хромов

ОБ АСИМПТОТИКЕ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ

СИСТЕМЫ ДИРАКА С ПЕРИОДИЧЕСКИМИ КРАЕВЫМИ УСЛОВИЯМИ

Рассмотрим систему Дирака

где qj (ж) — комплекснозначные, непрерывные функции на отрезке [0,1]. В отличие от случая краевых условий Дирихле у1 (0) = У2(0), у\ (1) = = у2 (1), рассмотренных в [1], в случае периодических условий приходится сталкиваться с новыми трудностями из-за возможной кратности собственных значений.

В работе [2] получена следующая асимптотика собственных значений краевой задачи (1)—(3):

Теорема 1. Собственные значения краевой задачи (1)-(3) за исключением некоторого конечного числа образуют две бесконечные последовательности

А" = 2пп + е", А" = 2пп + е", п = ±п0, ±(п0 + 1),..., (4)

В случае е" = е" собственные значения простые, а при е" = е" — двукратные.

В данной статье выводятся асимптотические формулы, уточняющие формулы (4).

Система (1)-(2) эквивалентна системе

у1 (ж) - q2(ж)У2(ж) = АУ1(ж),

у2(ж) - ql(ж)Уl(ж) = -АУ2(ж)

(1) (2)

с краевыми условиями

У1 (0) = У1 (1), У2(0) = У2(1),

(з)

где е", е"" —^ 0 щи п —

X

0

X

где ^(ж) = е-Лх^(ж), ¿2(х) = еЛху2(ж); с1? с2 — произвольные постоянные.

Пусть £п(ж), ¿21(х) — решение системы (5)-(6) при с1 = 1, с2 = 0, а ¿21 (ж), £22(ж) — решение при с1 =0 с2 = 1. Стандартные рассуждения показывают, что уравнение для собственных значений задачи (1)-(3) имеет вид

е2Л - £1(А)еЛ + ^(А) = 0, (7)

где £1 (А) = я-1 (А)(1 + ¿11(1)^22(1) - ¿12(1)^21(1)), £1 (А) = ¿-/(^а).

В дальнейшем будем обозначать одним и тем же символом ап произвольные числа, для которых ^ |ап|2 < а через вп _ такне ап, которые можно вычислить.

Согласно [3] при Ап = 2ппг + еп, еп ^ 0, справедливы асимптотические формулы

£ (Ап) = 22— + Ып + аП + О(еП), ^ = 1, 2, (8)

где Ып = вп + вп^п + вп^П + вп4 + вп^П-

Лемма 1. Для чисел г'п и е'^ из формул (4) справедливы оценки,

= а1/2 е" = а1/2

п п ' п п

Доказательство. Введем обозначения

Ь±(А) = еЛ - 2£1(А) Т л/53(А), £з(А) = 1 £?(А) - ^(А).

Рассмотрим собственные значения Ап = 2ппг+еп краевой задачи (1)-(3). Они являются корнями уравнения (7). Следовательно,

Ь+(Ап) • Ь-(Ап) = 0.

Пусть, для определенности, Ь+(Ап) = 0. В этом случае

бе" = 1 + хп, (9)

где

Хп = 1 £1(Ап) + \/£з(Ап) - 1. (10)

На основании (8) заключаем, что

£3 (Ап) = Ып + ап +

л/ £з(Ап) = ап/2 + О(еп),

Используя эти соотношения, из (9) получаем, что

£" = а"/2 + 0(е"),

(П)

откуда следует, что

= а1/2

е" — а

(12)

Случай Ь-(А") = 0 рассматривается аналогично.

Лемма доказана.

Теорема 2. Пусть е" — любое из е" ил и е"п. Справедливы асимптотические формулы

е" ±Ап,/ + .

Замечание. Вопрос о знаке перед А1/2 не ясен. Доказательство теоремы 2. Пусть А" = 2пп + е" являются собственными значениями задачи (1)-(3) и, для определенности, £+(А") = 0. В этом случае по формуле (10) имеем

Ж" = + + 0(е") + у7 + + 0(е").

В силу (12) = в" + а"/2 и поэтому

Ж" = в" + а"/2 + V в" + а

3/2

" + а" .

Отсюда с учетом (11) заключаем, что

е" = V в" + а"/2 + а

Возможны два случая. В первом случае

^в" + а"/2 + ч/в"

<

а

3/4

В этом случае из (13) следует, что

е"

ч/в" + а

3/4 те

(13)

Во втором случае

в" + а"/2 + ^в"

>

а

3/4

те

и

В этом случае

^вп + ап/2 - ^в! = вп + ап/2 - вп • ^вп + ап/2 + ^в!

<

аз

Учитывая это, из (13) получаем, что

еп = ^вп + ап/4. (15)

Из (14) и (15) следует утверждение теоремы.

Случай Ь-(Ап) = 0 рассматривается аналогично.

Теорема доказана.

Для кратных собственных значений можно получить еще более точную асимптотику.

Теорема 3. Если £3(Ап) = 0 для некоторого бесконечного множества к собственных значений Ап то достаточно большие по модулю Ап из Л двукратны,, и для них справедлива асимптотика

с\

Ап = 2ппг + вп + ап.

Доказательство. По теореме 1 число корней уравнения (7) в круге |2пп£ - А| < 5 при больших |п| равно 2. Чиело (к_) корней Ь+(А) (Ь-(А)) в таком случае те больше 2, причем + к- = 2. Поэтому, если £3(Ап) = 0, то £±(Ап) = 0 к± > 1. Следовательно, = к- = 1, т. е. Ап — двукратный корень. В этом случае (9) примет вид

еЛп = 2 £1(Ап).

Отсюда

е = 1 + Ып + а2 + О(еп), еп = Уп + О(у2), (16)

где Уп = Ып + а^ + О(еп) = вп + впеп + ап + О^). Замечая, что

Уп = ап + О(еп), из (16) получаем

еп вп + впеп + ап + О(еп). (17)

Отсюда следует, что еп = ап, и (17) переходит в еп = вп + а^.

Теорема доказана.

01-00270;.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Бурлуцкая М. III.. Курдюмов В. П., Хромов А. П. Асимптотика собственных значений и собственных функций системы Дирака с квадратично суммируемым потенциалом // Современные проблемы теории функций и их приложения : материалы 16-й Сарат, зимн, шк, 27 янв, - 3 февр, 2012 г., Саратов : Научная книга, 2012, С, 3435.

2. Бурлуцкая М. Ш. Система Дирака с непрерывным потенциалом и периодическими краевыми условиями / / Современные методы теории краевых задач : материалы Воронеж, весен, мат. шк. «Понтрягинекие чтения - XXIII». Воронеж : Издат,-полиграф. центр Воронеж, гос. ун-та, 2012. С. 34-35.

3. Хромов А. П. Уточненные асимптотические формулы для собственных значений системы Дирака с периодическими краевыми условиями и непрерывным потенциалом // Современные методы теории краевых задач : материалы Воронеж, весен, мат. шк. «Понтрягинекие чтения - XXIII». Воронеж : Издат.-полиграф. центр Воронеж. гос. ун-та, 2012. С. 194-196.

УДК 519.2

И. А. Кузнецова

ИЕРАРХИЧЕСКИЕ ИГРЫ С КВАДРАТИЧНЫМИ ФУНКЦИЯМИ ВЫИГРЫША

Иерархичесие игры — это модели конфликтных ситуаций с неравноправными участниками, в которых важную роль играет информированность первого игрока об интересах второго [1]. Исследованию таких игр при различных вариантах информированности посвящены, в частности, работы [2-5]. В данной статье предполагается, что первый игрок не знает точно функции выигрыша второго, которая влияет и на его интересы. При этих предположениях находится наибольший гарантированный результат первого игрока. Полученная формула применяется для частного случая квадратичных функций выигрыша игроков.

Пусть X, У _ множества стратегий игроков, ^ и (г = 1,2) — их функции выигрыша. Таким образом, имеем систему Г = (X, У, ,С1,С2). Рассмотрим иерархическую игру Г = (Ф1, Ф2 X У^АСь^), где Ф1 = {ф | ф1 : У — 2х}, Ф2 = {02 | 02 : 2х — X}, причем при всех Т С X выполняется условие 02(Т) Е Т, функции ^Р2, С15 С2 определяются равенствами

£(ф1, (02, У)) = *ШФ1(У)),У), &(ф1, (02, у)) = Сг(02(01(У)),У), г = 1, 2.

Информационная интерпретация такого расширения исходной игры и доказательство его оптимальности приведены в [6]. Наибольший гарантированный результат первого игрока в построенной игре Г определяется