Об асимптотической устойчивости решений нестационарных разностных систем с однородными правыми частями Текст научной статьи по специальности «Математика»

2015 ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА Сер. 10 Вып. 2

ПРОЦЕССЫ УПРАВЛЕНИЯ

УДК 517.962.24 М. В. Волошин

ОБ АСИМПТОТИЧЕСКОЙ УСТОЙЧИВОСТИ РЕШЕНИЙ НЕСТАЦИОНАРНЫХ РАЗНОСТНЫХ СИСТЕМ С ОДНОРОДНЫМИ ПРАВЫМИ ЧАСТЯМИ*)

Санкт-Петербургский государственный университет, Российская Федерация, 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7/9

Разностные уравнения широко применяются для описания динамических систем, состояния которых изменяются в дискретные моменты времени, а также в качестве приближенной замены непрерывных математических моделей. В частности, большинство численных методов решения обыкновенных дифференциальных уравнений основано на сведении их к разностным уравнениям. Одно из направлений исследований, возникающих в приложениях разностных уравнений, связано с анализом устойчивости их решений. В данной работе с помощью метода функций Ляпунова выведены достаточные условия равномерной асимптотический устойчивости решений однородных нестационарных систем разностных уравнений. Для доказательства используется функция Ляпунова, которая строится на основе соответствующей функции для усредненной системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Получены дискретные аналоги результатов, относящихся к устойчивости решений однородных нестационарных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. По сравнению с известными для разностных систем данного вида результатами выведенные условия обеспечивают равномерный характер асимптотической устойчивости решений. Библиогр. 29 назв.

Ключевые слова: разностные системы, устойчивость, функции Ляпунова.

M. V. Voloshin

ON THE ASYMPTOTIC STABILITY OF SOLUTIONS OF NONSTATIONARY DIFFERENCE SYSTEMS WITH HOMOGENEOUS RIGHT-HAND SIDES

St. Petersburg State University, 7/9, Universitetskaya embankment, St. Petersburg, 199034, Russian Federation

Difference equations are widely used for the modeling of dynamical systems whose states are measured at discrete instants of time, as well as for the approximate replacement of continuous mathematical models. In particular, most part of numerical methods for solving of ordinary differential equations are based on their replacement by difference ones. One of directions of investigations arising in applications of difference equations is associated with the stability analysis of their solutions. In the present paper, by the use of the Lyapunov functions method,

Волошин Михаил Витальевич — студент; e-mail: mihail-nor@mail.ru Voloshin Mikhail Vitalievich — student; e-mail: mihail-nor@mail.ru

*) Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант № 13-01-00376) и Санкт-Петербургского государственного университета (НИР, проект № 9.38.674.2013).

sufficient conditions of the uniform asymptotic stability of solutions of homogeneous time-varying systems of difference equations are derived. To obtain these conditions, a Lyapunov function is used which is constructed on the basis of the corresponding function found for the averaged system of ordinary differential equations. In this paper, the discrete counterparts of results concerning to the stability of solutions of homogeneous time-varying systems of ordinary differential equations are obtained. Compared with known for this type of difference systems results, the established conditions provide the uniform asymptotic stability of solutions. Bibliogr. 29.

Keywords: difference systems, stability, Lyapunov functions.

1. Введение. Разностные уравнения широко применяются для описания динамических систем, состояния которых изменяются в дискретные моменты времени [1]. Кроме того, во многих случаях при рассмотрении непрерывных математических моделей допускается их приближенная замена дискретными [1—4]. В частности, большинство численных методов решения обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) основано на сведении их к разностным уравнениям [1, 5, 6]. Одно из направлений исследований, возникающих в приложениях разностных уравнений, связано с анализом устойчивости их решений.

Многие понятия и методы, относящиеся к устойчивости решений разностных уравнений, имеют аналоги в теории устойчивости решений ОДУ. В [7] были предложены два метода анализа устойчивости систем ОДУ и было строго обосновано сведение анализа устойчивости решения нелинейной системы к оценке устойчивости ее системы линейного приближения. Вопросы устойчивости линейных систем хорошо изучены, но в критических, в смысле Ляпунова, случаях исследования линейного приближения недостаточно. В [8-10] были доказаны теоремы об устойчивости по нелинейному первому приближению, в качестве которого рассматривались системы с однородными правыми частями. Наиболее универсальным методом анализа устойчивости нелинейных систем ОДУ является второй (прямой) метод Ляпунова [11]. Главной проблемой, связанной с применением данного метода, особенно для нестационарных систем, является отсутствие общих конструктивных способов построения функций Ляпунова. Один из эффективных подходов к исследованию условий устойчивости решений таких систем состоит в использовании метода усреднения [12-15], согласно которому выводы о свойствах решений системы делаются на основе анализа свойств решений соответствующей усредненной системы. В [16, 17] изучались системы нестационарных дифференциальных уравнений, правые части которых представляют собой однородные функции относительно фазовых переменных. Было показано, что если порядок однородности правых частей больше единицы, то из асимптотической устойчивости нулевого решения усредненной системы следует асимптотическая устойчивость нулевого решения исходной нестационарной системы. Данные результаты получили дальнейшее развитие в [18-22].

Как и для ОДУ, для систем разностных уравнений доказана теорема об устойчивости по линейному приближению [2, с. 38-40]. Для нелинейных разностных систем наиболее общим методом анализа устойчивости решений является дискретный аналог второго метода Ляпунова [2, с. 27-30]. В [23] были рассмотрены вопросы асимптотической устойчивости решений некоторых классов разностных систем, к которым неприменима теорема об устойчивости по линейному приближению. В частности, было показано, что из асимптотической устойчивости нулевого решения системы ОДУ с однородными правыми частями порядка однородности больше единицы следует асимптотическая устойчивость нулевого решения соответствующей ей разностной системы. Далее при исследовании однородной разностной системы с нестационарными

возмущениями, имеющими нулевое среднее, были получены условия, при которых асимптотическая устойчивость ее нулевого решения вытекает из асимптотической устойчивости нулевого решения усредненной системы.

В настоящей статье с помощью дискретного аналога второго метода Ляпунова выводятся достаточные условия равномерной асимптотической устойчивости решений однородных нестационарных систем разностных уравнений. Для доказательства применяется функция Ляпунова, которая строится на основе соответствующей функции для усредненной системы ОДУ. Получены дискретные аналоги результатов из [22], относящихся к устойчивости решений однородных нестационарных систем ОДУ.

2. Основные обозначения и предположения. Пусть п - натуральное число. Выберем для дальнейшего использования стандартную евклидову норму в пространстве К". Нулевой вектор этого пространства будем обозначать С, а единичную сферу с центром в начале координат - Б = {х | х € К" Л ||х|| = 1}.

Пусть М = N и {0}, N - множество натуральных чисел. Рассмотрим функциональную последовательность

Ек(х): М х К" ^ К".

Предположение 1. Пусть для любого к € М функция Ек (х): К" ^ К" непрерывна в К" и является однородной порядка а > 1 (а - рациональное число с нечетным знаменателем).

Основная задача данной работы - выявление достаточных условий для асимптотической устойчивости нулевого решения нестационарной разностной системы

хк+1 - хк = Ек(хк). (1)

Рассмотрим заданную при к € М, К € N и х € К" функцию

к+К-1

К

g*,*(*) = 4 Е F»(x)-

m=k

Предположение 2. Пусть Gk,K (x) сходится при K равномерно по k G M и x G S.

Тогда для Fk(x) при всех x G М" существует среднее

1 К—

F(x) = lim - ]Г Fm(x).

К^ж K *—'

m=0

При этом F(x) есть непрерывная в М" однородная функция порядка а, так как из равномерной сходимости последовательности непрерывных функций Go,k (x) на S следует непрерывность ее предельной функции F(x) на S [24, § 36.4], а тогда однородность этой функции обеспечивает ее непрерывность в М". Рассмотрим усредненную систему ОДУ

x = F (x). (2)

Предположение 3. Пусть нулевое решение системы (2) асимптотически устойчиво.

Тогда найдется [25] непрерывно дифференцируемая в М", положительно определенная в М" и положительно однородная некоторого порядка в > 1 функция

V(х): М" ^ М, такая, что ее производная в силу системы (2)

отрицательно определена в М". При сделанных предположениях функция Ш (х) непрерывна в М" и является положительно однородной порядка а + в — 1.

Цель данной статьи - получение достаточных условий асимптотической устойчивости нулевого решения системы (1) на основании того, что нулевое решение системы (2) асимптотически устойчиво. Подобная задача рассматривалась в работе [23], из результатов которой следует, что если функциональная последовательность Е^ (х) представима в виде

Ей (х) = Е (х) + В^(х),

где векторные функции Е(х): М" ^ М" и Р(х): М" ^ Мг, I € М, непрерывно дифференцируемы в М" и являются однородными порядка а > 1; В^ - заданная и ограниченная при к € М последовательность матриц размерности п х I, для которой

Ит

к^ж К

к-1

ЕВт

то из асимптотической устойчивости нулевого решения системы ОДУ (2) вытекает асимптотическая устойчивость нулевого решения разностной системы (1).

Однако результаты из [23] не позволяют гарантировать равномерную асимптотическую устойчивость. В настоящей статье получены условия, которые обеспечивают равномерный характер асимптотической устойчивости.

Предположение 4. Будем предполагать существование такого положительного числа а\, что для всех к € М и х € Я справедлива оценка

||Ей(х)|| < аь

т. е. равномерную ограниченность функциональной последовательности Е^ (х) на единичной сфере.

Так как функции ||Е(х)|| и непрерывны на замкнутом и ограниченном

множестве Я, то по теореме Вейерштрасса найдутся такие положительные числа а2 и аз, что при х € Я справедливы оценки

|Е(х)|| < а2,

дУ

< аз.

Так как функция V(х) является положительно определенной, а функция Ш(х) -отрицательно определенной, то найдутся такие положительные числа а4 и а^, что при х € Я выполнены неравенства

а4 < V(х), Ш(х) < —а5.

3. Построение функции Ляпунова и доказательство ее положительной определенности. Далее в этой работе, если верхний предел знака суммирования меньше нижнего, будем считать такие суммы равными нулю.

Пусть £ > 0. Рассмотрим функцию Ляпунова для исходной системы разностных уравнений (1), построенную на основе соответствующей функции для усредненной системы ОДУ (2):

~ / dV \ T к-1 ~

Vfc(x) = У(х) + ^(х) (F(x) - Fm(x))e-£(fc-m) :МхГ^К.

^ ' m=0

Функция Vk (x) представляет собой дискретный аналог функции Ляпунова, которая использовалась в работе [22] для доказательства асимптотической устойчивости решений нестационарных однородных систем ОДУ.

Для функции Vk (x) справедливо равенство Vk (O) = 0 при всех к G M, и она непрерывна по x в точке O равномерно относительно к G M, так как при к G M и x G М", x = O, выполняется

k-1

m=0

к-1

]Г (f(x) - Fm(x))e-(k-m) (l|F(x)|| + ||Fm(x)||)e-e(k-m) <

m=0

k-1

< (ai + a2)||x||aX; e-e(k-m) <

m=0

a1 + a2 ,, iia

——Г x •

eE — 1

Таким образом, функция Ук (х) допускает бесконечно малый высший предел [26, с. 20].

Получим теперь оценку снизу для функции Ук(х) (также при к € М и х € К", х = О):

^ V

x

Vk (x) > V (x) -

в ai + a2

x Г--

eE - 1

dV

dV / x 9x Vlixil

k-1

m=0

]T F(x) - Fm(x)

-e(k-m)

Тогда для каждого е > 0 можно выбрать такое число Ъ\ > 0, что функция Ук (х) будет являться положительно определенной при к € М и ||х|| ^ Ъх.

4. Преобразование приращения функции Ляпунова в силу системы.

Рассмотрим приращение функции Ляпунова Ук (х) в силу системы (1)

Шк(х) = Ук+1 (х + Ек(х)) - Ук(х): М х К" ^ К

и получим достаточные условия его отрицательной определенности. С этой целью сначала преобразуем выражение для Шк(х) при к € М и х € К", х = О. Имеем

Шк(х)= (у(х + Ек(х)) - У(х)) +

dV ,

T k

+ (—(x + Ffc(x))) ^(F(x + Ffc(x))-Fm(x + Ffc(x))

k (x) e

-e(k-m+1)

-(Sr(x)) E(Fw-F»(x)

T k-1

m=0

-e(k-m)

e

x

С помощью формулы Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа получим представление

У(х + Е*(х))-У(х)= ^(х + 0*(х)Е*(х))) Е*(х),

которое справедливо при некоторой функциональной последовательности

вк(х): М х К" ^ (0,1) для любых к € М и х € К". Тогда

^(х) = (V« - + + +

^ х ' т=0 )

Перегруппируем слагаемые:

(дУ, „ , ч„ , дУ, ЛТ

(х) = И/ (х)

\¥к{к) = \¥(к) + (^(х-КВДВД) - ^(х)) Ек(х) + V ^ х х ' т=0

(дУ \Т к ^ ^ \

+ ^-(Х) Е(Г(х + Гй(х)) -Р(х) + Ет(х)-Ет(х + Ей(х)))е-£('£-т) + V / т=0 )

(х) ) 1Ех + Ек(х)) - Е(х) + Ет(х) - Ет(х + Ек(х)) )в

т=0

+ (е-е-1)[|^(х + Ей(х))') ^(Е(х + Ей(х)) -Ет(х + Ей(х)))е-£('£-т).

^ ' т=0

Вынесем ||х|| из аргументов положительно однородных функций:

Т

^ ||х||' ^ " ) дх\ Цхр)

д¥ / х

+ 1 а^ш

Т к

т=0

"ы|И

*-1

+ ¥г.

,а+в-1

V / т=0

—£ (к-т)

'к(х);) е

Далее с помощью оценивания слагаемых этого представления для функции Шк (х) получим условия ее отрицательной определенности.

5. Вспомогательные результаты. Чтобы оценить последнее слагаемое из выражения для Шк (х), сначала сформулируем и докажем лемму. Она представляет собой дискретный аналог результата, полученного в работе [14].

Лемма. Пусть функция /т(х): Z х М" ^ М, где Z - множество целых чисел, удовлетворяет следующим условиям:

1) для любого т € Z функция /т (х): М" ^ М является положительно однородной порядка ^ > 0;

2) функция /т(х) равномерно по т € Z ограничена на единичной сфере Б;

3) заданная при к € Z, К € N и х € М" функция

9к,к(х) =

к+К — 1

Е /т (х)

х

х

х

х

к

такова, что дк,к (х) ^ 0 при К равномерно по к € Z и х € Б.

Рассмотрим заданную при к € Z, е > 0 и х € М" функцию

Нк (е, х) = (1 - е—е)

т=

/т(х)е-

Тогда найдется такая неотрицательная функция у>(е): (0, +ж) ^ М, что у(е) ^ 0 при е ^ 0 и для любых е > 0, к € Z и х € М" справедлива оценка Нк(е, х) ^ у>(е)||х||7.

Доказательство. Так как /т(х) равномерно ограничена на единичной сфере, есть такое число М > 0, что |/т(х)| ^ М при любых т € Z и х € Б. Значит, при к € Z, К € N и х € М" дккК(х) < М||х||7.

Из равномерной сходимости дкКк (х) к нулю на единичной сфере следует, что для любого 5 > 0 существует такое N € N при котором для любых целых к, натуральных К ^ N и векторов х € М" выполнено неравенство дк,к(х) ^ 5||х||7.

Тогда для последовательности чисел 6т = ^: N —> К получим такую последовательность Nm: N ^ N, которую можно без ограничения общности считать строго возрастающей, что при любых натуральных т и К ^ Nm, целых к и векторах х € М" имеет место неравенство

9к,к(*) < -|1Х1Г-

т

Рассмотрим заданную при К € N последовательность

Фк = <

М, К < N1; 1, N1 < К <N2; I м2^к< N3,

х

т '

Тогда фк ^ 0 при К ^ж, и при к € Z, К € N и х € К" справедлива оценка

дк,к(х) < фк||х||7.

Получим теперь при е > 0, к € Z, К € N и х € К" оценку для Нк(е, х). Все применяемые далее при доказательстве леммы ряды абсолютно сходятся, так как функция /т (х) равномерно ограничена.

Сначала преобразуем выражение для Нк(е, х), изменяя способ суммирования:

Нк(е, х)= (1 - в-е)

^/к-т (х)в-£т

т=0

(1 - е-£)

(в + 1)К-1

Е

в=0 т=вК

Е /к-т (х)е

Далее для доказательства леммы будем использовать дискретное преобразование Абеля [24, § 35.13]: если заданы целые числа в, к и вещественные функции ат, Ьт определены при таких целых т, что в ^ т ^ к, то имеет место равенство

к1

ат Ьт = ^^ (ат - ат+1^ Ьд + ак^^ Ьт.

Применив преобразование Абеля к конечной сумме из последнего выражения для Нк(е, х), получим

Нк (е, х) =

(в+1)К-2

к-вК

ет

Е а - Е

в=0 т=вК

Произведем оценку сверху:

то / (в+1)К-2

е Е /к-р(х) + (е£ - 1)

т=вК р=вК

ее — 1) е-е(в+1)К

Е /т(х)

т=к-(в + 1)К+1

Нк (е, х) <

т

^ Е (1-е-12 Е е-ет ^^ \/к-р(х)\ + (ве-1)е-е(в+1)ККдк-(в+1)К+1,К(х) <

в=0

т = вК р= вК

(в+1)К-2

\ 2

< ||х||7 Е (1 - е-Е)2М Е (т - вК + 1)е-ет + (ве - 1)е-е(в+1)ККфК .

в=0 т=вК

Используем преобразование Абеля еще раз для вычисления конечной суммы и упростим оценку:

Нк(е, х) < ||х|РЕ I (1 - М - ]Г

(в+1)К-3 т

(в+1)К-2

-ер _

в=0

т = вК р= вК

(К -1) Е

вК

ет

т=в

т=в

т=в

е-ет +

+ (е/ - 1)е-е(я+1)кКф

к = УхП

Е1 а - М - Е

(8+1)к-3 еЕ(1-вк) _

т=вК

ве — 1

+

+ (К - + (е£-1 =

|х|ГЕ((1-^£)2ме

-е( (8+1)К-2)

я=0

- 1)2

к-К (ве-1)-^ + (е£-1)е-е(8+1)к Кфк) =

= (м(еек - К(вЕ - 1) - ^ + (ве - 1)Кфк) ||х||7Е е-е(я+1)к =

я=0

М +

ее - 1 ееК - 1

К(фк - мЯ ||х|р.

Рассмотрим функцию

ср(е) = М+-

еЕ - 1

е£Ы - 1

(фг 1 1 -М): (0,+оо) —> М.

I

Здесь квадратными скобками обозначена целая часть числа. Тогда для любых е € (0,1]

у(е) = М 1 -

ее - 1

1

ш

+

ее - 1

1

ш

ее -1 ( 1 \ \ ее -1 1

^ м\ 1----( — - 1 +

З^-е _ 1

Функция у>(е) неотрицательна, а правая часть последнего неравенства стремится к нулю при е ^ 0, тогда и у>(е) ^ 0 при е ^ 0. Таким образом, построенная функция у>(е) является одной из таких функций, в существовании которых состоит утверждение данной леммы. Итак, лемма полностью доказана.

6. Доказательство отрицательной определенности приращения функции Ляпунова в силу системы. Для того чтобы оценить сверху каждое слагаемое из выражения для (х), получим еще несколько вспомогательных неравенств.

Так как функция ^(х) непрерывна в К™, а функциональная последовательность Е^ (х) равномерно ограничена на единичной сфере, найдется такое число Ь2 > 0, что при всех к € М и х € М", 0 < ||х|| ^ Ь2, справедлива оценка

дУ/ х

ах

<

а 5 5а1

Определим число Ьз > 0, при котором для любых х € М", ||х|| ^ Ьз, выполнено неравенство

+ а,1||х||а-1^а < 2. Применим доказанную лемму к заданной при т € ^ и х € М" функции

1т (х)

(|£(х)) (р(х)-Ет(х)), 0;

0, т < 0.

ет

Получим такую неотрицательную функцию у>(е): (0, +ж) ^ М, что у>(е) ^ 0 при е ^ 0 и для любых е> 0, к € М и х € М", ||х|| ^ Ъ3, справедливы оценки

1

^(х + Ей(х)Л ]Г(Е(х + Ей(Х)) -Ет(х + Ей(х)))е-£('£-т) \ / т = 0

<

< ^(е)||х + Ек(х)||а+в 1 < ^(е^1 + а1|х|а—11) Тогда найдем число е > 0, при котором

а+в— 1

1 ^ 2в—1^(е)

а+в—1

2в—1^(е) <

Об

5 '

и используем его для построения функции Ляпунова У* (х).

Так как функции Ё(х) и ^(х) непрерывны в К™, а функциональная последовательность Ек(х) равномерно ограничена на единичной сфере, существуют такие положительные числа и Ъб, что для любых к € М

+ Е*

при х € М", 0 < ||х|| < Ъ4, и

х

1

-Е

<

а 5 10а3

1-е-

х

9х V 11x1

+ е*

а-1

дУ / х

ЧЫ

<

а5

10(а1 + а2)

1-е-

при х € М", 0 < ||х|| < Ъ5.

Наконец, сделаем следующее дополнительное предположение.

Предположение 5. Пусть функциональная последовательность Ек(х) равностепенно непрерывна на единичной сфере.

Тогда для любого 5 > 0 найдется такое р > 0, что для всех чисел к € М и векторов х € Б, у € М" из выполнения неравенства ||х—у|| ^ р следует выполнение неравенства ||Ек(х) — Ек(у)|| < 5.

Значит, так как Ек(х) равномерно ограничена на единичной сфере, есть такое число Ъ6 > 0, что при любых т,к € М и х € М", 0 < ||х|| ^ Ъ6, имеет место неравенство

Е

т

+ е*

|х|| а—1М ~Ет

Юаз

Из полученных оценок вытекает, что для всех к € М и х € М" при х + Ек (х) = О и 0 < ||х|| ^ ш1п{Ъ2, Ъз,Ъ4,Ъб,Ъб} справедливы соотношения

(

Е

Шк (х) <

+ е*

-а + —а + °'5

5а1 10(а1 + а2)

(1 — е—£)

\

1

+ е*

+ Е*

1

Е

т

х

1

(к-т)

+ Е*

х

1

-

е

х

х

х

х

х

х

х

х

х

х

X

е

х

х

+ Е*

х

1

+ «-О+

т=0

05 5

11х|| а+в—1 ^

/

< ( -аъ + ^ +

а5

,(1-е-е)(а1 + а2)-(1 + сц ЦхЦ^Л " +

5 10(а1+а2)1 Л '1-е-Л 111 11 )

+ —(1 — е~е)---

5 7 1 - е-£

об 5

|х|| а+в—1 £

< ( -а5 + | + | + | + ЦхГ^1 = -^НхГ'"1.

В случае, когда х + Ек(х) = О, слагаемое

5x1 ||х|| + **

а1

<9У / х л

Е Е

из выражения для (х) обращается в нуль, а остальные слагаемые можно оценить указанным способом. Это также приводит к неравенству

^(хХ-^и^-1.

Значит, функция (х) является отрицательно определенной.

Итак, построенная функция Ляпунова У* (х) допускает бесконечно малый высший предел и положительно определена при к € М и х € М", ||х|| ^ шт{Ъ1,Ъ2,Ъз,Ъ4,Ъб,Ъб}, а ее приращение в силу системы (1) там же отрицательно определено. Тогда по теореме об асимптотической устойчивости [26, с. 25-26] нулевое решение системы (1) равномерно асимптотически устойчиво. Таким образом, получен следующий результат:

Теорема. При выполнении предположений 1-5 нулевое решение системы (1) равномерно асимптотически устойчиво.

В отличие от результатов из [23] данная теорема обеспечивает равномерный характер асимптотической устойчивости. 7. Пример. Рассмотрим ряд

^2р+1

р=0

к

2р +1

_ к + 1 2р+1

По признаку Вейерштрасса он сходится абсолютно и равномерно по к € М к некоторой ограниченной последовательности : М ^ М, так как для любых р € М справедливо

1

2р +1

еоэ п

к

2р +1

— еоэ п

к + 1

2р +1

2р +1

п

эш -

1

( п 2к + 1

эш

V 2 2р +1 \2 2р +1

<

(2р + 1)2'

а

х

X

X

х

X

х

х

2

п

Рассмотрим при некоторых а,Ь € М разностную систему

{3 3

Хк+1 - хи = -хк + а^иУк, Ук+1 - Ук = Ь¥кхк - У3,

в которой слагаемые а^кУ3 и Ь^кхк можно считать возмущениями в правых частях

стационарной системы

хк+1 - хк = -хкк, Ук+1 - Ук = -У3.

(4)

Введем функцию

Фк,к = Е Для любых к € М и К € N

к+к-1

т=

1 о 1 \Фк,к\=х12

К 2р +1

р=0

ссб п

2р +1

— ссб п

-V-

К

К ^ 2р +1

р=0

п

вт I —

К

2 2р +1

п 2к + К эт! — --

2 2р + 1

к + К 2р+1

1

О 00

" К ^ 2р + 1

р=0

п

81П I —

К

2 2р +1

2

1

п

К

К ¿-^2р+IV 2 2р+1

27Г „ Ч 3

+ 1Г>.

р=0 р=0 Из этих соотношений следует, что ф к к ^ 0 при К равномерно по к € М.

Тогда для разностной системы (3) усредненная система ОДУ имеет вид

<

{У = -У .

Ее нулевое решение асимптотически устойчиво, и в качестве функции Ляпунова для нее можно выбрать функцию

V(х, у) = х2 + у2 : М2

М.

Из этого также ясно, что нулевое решение невозмущенной разностной системы (4) асимптотически устойчиво [23].

Из результатов [23] вытекает, что если последовательность Кфо}к ограничена при К € М, то нулевое решение системы (3) равномерно асимптотически устойчиво. Однако в данном случае это условие не выполняется, так как если рассмотреть заданную при в € N последовательность

в

К = П(2т + 1),

т=1

то для любого в € N получим соотношения

к-1 о

2

а ^ г' ^ 2р +1

т=0 р=0

■ бШ

Кя

Е:

2 2р + 1 " ^2р +1'

р=0

из которых следует неограниченность сверху последовательности Кфокк.

к

1

з

2

п

Тем не менее для рассматриваемого примера выполнены требования теоремы из [23], которая обеспечивает асимптотическую устойчивость нулевого решения системы (3). Выведенные в настоящей статье условия наряду с этим гарантируют равномерный характер асимптотической устойчивости.

Результаты работ [27-29] позволяют устанавливать устойчивость решений систем ОДУ, если возмущения стремятся к нулю. Покажем, что уи не имеет предела в данном примере. Так как ряд из определения последовательности у к сходится абсолютно и равномерно по к € М, то найдется такое число N € М, что для любых к € М и в € М, в ^ N, справедлива оценка

Тогда для любых в € М, в ^ N, выполнены соотношения

Таким образом, у последовательности уи существуют две подпоследовательности, которые не могут сходиться к одному и тому же числу. Значит, последовательность ук не имеет предела.

Используя результаты настоящей работы, построим функцию Ляпунова для системы (3):

к-1

Ук (х, у) = х2 + у2 - 2ху(Ьх2 + ау2)^ уте-е(к-т): М х М2 ^ М.

т=0

Все предположения доказанной в данной статье теоремы выполнены. Таким образом, функция Ляпунова при достаточно малых е > 0 удовлетворяет условиям теоремы об асимптотической устойчивости, и нулевое решение системы (3) равномерно асимптотически устойчиво.

8. Заключение. В работе с помощью метода функций Ляпунова выведены достаточные условия равномерной асимптотической устойчивости решений однородных нестационарных систем разностных уравнений. Получены дискретные аналоги результатов, относящихся к устойчивости решений однородных нестационарных систем ОДУ. По сравнению с известными для разностных систем данного вида результатами выведенные условия обеспечивают равномерный характер асимптотической устойчивости решений.

Литература

1. Зубов В. И. Проблема устойчивости процессов управления. Л.: Судостроение, 1980. 253 с.

2. Халанай А., Векслер Д. Качественная теория импульсных систем / пер. с рум. М. И. Бука-таря, Г. В. Ножака; под ред. В. П. Рубаника. М.: Мир, 1971. 310 с. (Halanay A., Wexler D. Qualitative theory of impulsive systems.)

3. Бромберг П. В. Матричные методы в теории релейного и импульсного регулирования. М.: Наука, 1967. 324 с.

4. Видаль П. Нелинейные импульсные системы / пер. с франц. Б. Ю. Мандровского-Соколова; под ред. В. М. Кунцевича. М.: Энергия, 1974. 336 с. (Vidal P. Nonlinear pulse systems.)

5. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1966. 724 с.

6. Деккер К., Вервер Я. Устойчивость методов Рунге—Кутты для жестких нелинейных дифференциальных уравнений / пер. с англ. А. Ю. Захарова, И. А. Кульчицкой, С. С. Филлипова; под ред. А. А. Самарского. М.: Мир, 1988. 334 с. (Dekker K., Verver J. Stability of Runge—Kutta methods for stiff nonlinear differential equations.)

7. Ляпунов А. М. Общая задача об устойчивости движения // Собр. соч. М.; Л.: Изд-во АН СССР, 1956. Т. 2. С. 7-263.

8. Малкин И. Г. Теория устойчивости движения. М.; Л.: Гостехиздат, 1952. 432 с.

9. Красовский Н. Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения. М.: Физматгиз, 1959. 212 с.

10. Зубов В. И. Устойчивость движения. М.: Высшая школа, 1973. 272 с.

11. Руш Н., Абетс П., Лалуа М. Прямой метод Ляпунова в теории устойчивости / пер. с англ.; под ред. В. В. Румянцева. М.: Мир, 1980. 300 c. (Rush N., Abets P., Lalua M. Direct Lyapunov method in stability theory.)

12. Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Наука, 1967. 472 с.

13. Khalil H. K. Nonlinear systems. Upper Saddle River, New Jersey: Prentice-Hall, 2002. 734 p.

14. Боголюбов Н. Н., Митропольский Ю. А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М.: Физматгиз, 1963. 412 с.

15. Хапаев М. М. Асимптотические методы и устойчивость в теории нелинейных колебаний. М.: Высшая школа, 1988. 184 с.

16. Александров А. Ю. Об асимптотической устойчивости решений систем нестационарных дифференциальных уравнений с однородными правыми частями // Докл. РАН. 1996. Т. 349, № 3. C. 295-296.

17. Александров А. Ю. Об устойчивости равновесия нестационарных систем // Прикл. математика и механика. 1996. Т. 60, № 2. C. 205-209.

18. Александров А. Ю. К вопросу об устойчивости по нелинейному приближению // Сиб. матем. журн. 1997. Т. 38, № 6. С. 1203-1210.

19. Peuteman J., Aeyels D. Averaging results and the study of uniform asymptotic stability of homogeneous differential equations that are not fast time-varying // SIAM J. Control and Optimization. 1999. Vol. 37, N 4. P. 997-1010.

20. Moreau L., Aeyels D., Peuteman J., ¡Sepulchre R. A duality principle for homogeneous vector fields with applications // Systems & Control Letters. 2002. Vol. 47. P. 37-46.

21. Peuteman J., Aeyels D. Averaging techniques without requiring a fast time-varying differential equation // Automatica. 2011. Vol. 47. P. 192-200.

22. Тихомиров О. Г. Устойчивость однородных нестационарных систем обыкновенных дифференциальных уравнений // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10. Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. 2007. Вып. 3. С. 123-130.

23. Александров А. Ю., Жабко А. П. Об устойчивости решений нелинейных разностных систем // Изв. высших учебных заведений. 2005. № 2. С. 3-12.

24. Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа. М.: Высшая школа, 1981. Т. I. 687 с.

25. Rosier L. Homogeneous Lyapunov function for homogeneous continuous vector field // Syst. Contr. Lett. 1992. Vol. 9, N 6. P. 467-473.

26. Александров А. Ю., Жабко А. П. Устойчивость разностных систем. СПб.: Науч.-исслед. ин-т химии С.-Петерб. ун-та, 2003. 112 с.

27. Зубов В. И. Колебания и волны. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1989. 416 с.

28. Ла Салль Дж. П., Раз Р. Дж. Новое понятие устойчивости // Труды 2-го конгресса ИФАК. М., 1965. Т. 1. C. 69-75.

29. Савченко А. Я., Игнатьев А. О. Некоторые задачи устойчивости неавтономных динамических систем. Киев: Наукова думка, 1989. 208 с.

References

1. Zubov V. I. Problema ustoychivosti protsessov upravleniya [Stability problem of control processes]. Leningrad, Sudostroenie Publ., 1980, 253 p. (in Russ.)

2. Halanay A., Wexler D. Kachestvennaya teoriya impul'snykh sistem [Qualitative theory of impulsive systems]. Moscow, Mir Publ., 1980, 310 p. (in Russ.)

3. Bromberg P. V. Matrichnyye metody v teorii releynogo i impul'snogo regulirovaniya [Matrix method in the theory of relay and pulse regulation]. Moscow, Nauka Publ., 1967, 324 p. (in Russ.)

4. Vidal P. Nelineynyye impul'snyye sistemy [Nonlinear pulse systems]. Moscow, Energiya Publ., 1974, 336 p. (in Russ.)

5. Tikhonov A. N., Samarskiy A. A. Uravneniya matematicheskoy fiziki [Equations of mathematical physics]. Moscow, Nauka Publ., 1966, 724 p. (in Russ.)

6. Dekker K., Verver J. Ustoichivost' metodov Runge-Kutta dlya ghostkih nelineynyh differentsial'nyh uravntniy [Stability of Runge—Kutta methods for stiff nonlinear differential equations]. Moscow, Mir Publ., 1988, 334 p. (in Russ.)

7. Lyapunov A. M. Obshchaya zadacha ob ustoychivosti dvizheniya [The general problem of the stability of motion]. Collected works. Moscow; Leningrad, AN SSSR Publ., 1956, vol. 2, pp. 7—263. (in Russ.)

8. Malkin I. G. Teoriya ustoychivosti dvizheniya [Theory of stability of motion]. Moscow; Leningrad, Gostechizdat Publ., 1952, 432 p. (in Russ.)

9. Krasovskiy N. N. Nekotoryye zadachi teorii ustoychivosti dvizheniya [Some problems on the theory of stability of motion]. Moscow, Fizmatgiz Publ., 1959, 212 p. (in Russ.)

10. Zubov V. I. Ustoychivost' dvizheniya [Stability of motion]. Moscow, Vysshaya shkola Publ., 1973, 272 p. (in Russ.)

11. Rush N., Abets P., Lalua M. Pryamoy metod Lyapunova v teorii ustoychivosti [Direct Lyapunov method in stability theory]. Moscow, Mir Publ., 1980, 300 p. (in Russ.)

12. Demidovich B. P. Lektsii po matematicheskoy teorii ustoychivosti [Lectures on mathematical theory of stability]. Moscow, Nauka Publ., 1967, 472 p. (in Russ.)

13. Khalil H. K. Nonlinear systems. Upper Saddle River, New Jersey, Prentice-Hall, 2002, 734 p.

14. Bogolyubov N. N., Mitropol'skiy Yu. A. Asimptoticheskiye metody v teorii nelineynykh kolebaniy [Asymptotic methods in the theory of nonlinear oscillations]. Moscow, Fizmatgiz Publ., 1963, 412 p. (in Russ.)

15. Khapayev M. M. Asimptoticheskiye metody i ustoychivost' v teorii nelineynykh kolebaniy [Asymptotic methods and stability in theory of nonlinear oscillations]. Moscow, Vysshaya shkola Publ., 1988, 184 p. (in Russ.)

16. Aleksandrov A. Yu. Ob asimptoticheskoy ustoychivosti resheniy sistem nestatsionarnykh differentsial'nykh uravneniy s odnorodnymi pravymi chastyami [On asymptotic stability of solutions to systems of nonstationary differential equations with homogeneous right-hand sides]. Report of the Russian Academy of Sciences, 1996, vol. 349, no. 3, pp. 295—296. (in Russ.)

17. Aleksandrov A. Yu. Ob ustoychivosti ravnovesiya nestatsionarnykh sistem [The stability of equilibrium of non-stationary systems]. Prikl. matematika i mechanika, 1996, vol. 60, no. 2, pp. 205— 209. (in Russ.)

18. Aleksandrov A. Yu. K voprosu ob ustoychivosti po nelineynomu priblizheniyu [On stability with respect to a nonlinear approximation]. Sib. matem. journal, 1997, vol. 38, no. 6, pp. 1203—1210. (in Russ.)

19. Peuteman J., Aeyels D. Averaging results and the study of uniform asymptotic stability of homogeneous differential equations that are not fast time-varying. SIAM J. Control and Optimization, 1999, vol. 37, no. 4, pp. 997-1010.

20. Moreau L., Aeyels D., Peuteman J., Sepulchre R. A duality principle for homogeneous vectorfields with applications. Systems & Control Letters, 2002, vol. 47, pp. 37-46.

21. Peuteman J., Aeyels D. Averaging techniques without requiring a fast time-varying differential equation. Automatica, 2011, vol. 47, pp. 192-200.

22. Tikhomirov O. G. Ustoychivost' odnorodnykh nestatsionarnykh sistem obyknovennykh differen-tsial'nykh uravneniy [Stability of systems of homogeneous nonautonomus differential equations]. Vestn. of St. Petersburg University. Series 10. Applied mathematics. Computer science. Control processes, 2007, issue 3, pp. 123-130. (in Russ.)

23. Aleksandrov A. Yu., Zhabko A. P. Ob ustoychivosti resheniy nelineynykh raznostnykh sistem [On the stability of solutions of nonlinear difference systems]. Izvestiya Vysshikh Uchebnykh Zavedeniy, 2005, no. 2, pp. 3-12. (in Russ.)

24. Kudryavtsev L. D. Kurs matematicheskogo analiza [A course in mathematical analysis]. Moscow, Vysshaya shkola Publ., 1981, vol. I, 687 p. (in Russ.)

25. Rosier L. Homogeneous Lyapunov function for homogeneous continuous vector field. Syst. Contr. Lett., 1992, vol. 9, no. 6, pp. 467-473.

26. Aleksandrov A. Yu., Zhabko A. P. Ustoychivost' raznostnykh sistem [Stability of difference systems]. St. Petersburg: NII Chemistry of St. Petersburg University Press, 2003, 112 p. (in Russ.)

27. Zubov V. I. Kolebaniya i volny [Oscillations and waves]. Leningrad: State Leningr. University Press, 1989, 416 p. (in Russ.)

28. LaSalle J. P., Rath R. J. Novoye ponyatiye ustoychivosti [Eventual stability]. Proc. of the 2nd Congress of the Intern. Federation of Automatic Control, 1965, vol. 1, pp. 69-75. (in Russ.)

29. Savchenko A. Ya., Ignatyev A. O. Nekotoryye zadachi ustoychivosti neavtonomnykh dinamicheskikh sistem [Some problems in the stability of nonautonomous dynamical systems]. Kiev, Naukova dumka Publ., 1989, 208 p. (in Russ.)

Статья рекомендована к печати проф. А. П. Жабко. Статья поступила в редакцию 17 февраля 2015 г.