CC BY
11
IV МОДЕЛЮВАННЯ ПРОЦЕС1В В МЕТАЛУРП1 ТА
МАШИНОБУДУВАНН1
УДК 531. 36
Д-р физ.-мат. наук С. А. Агафонов1, канд. физ.-мат. наук И. А. Костюшко2
1 Государственный технический университет им. Н.Э. Баумана, г. Москва
2 Национальный университет, г. Запорожье
ОБ АСИМПТОТИЧЕСКОЙ УСТОЙЧИВОСТИ ГИРОСКОПИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ С ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ ПРИ ДЕЙСТВИИ НЕЛИНЕЙНЫХ СКОРОСТНЫХ И
ПОЗИЦИОННЫХ СИЛ
Известно, что неустойчивую потенциальную систему, степень которой четна, можно стабилизировать гироскопическими силами [1]. Классический пример такой стабилизации - устойчивость вертикального вращения волчка Лагранжа при выполнении неравенстваМаиевского-Четаева. Однако на основании теорем Кельвина-Четаева [1], такая стабилизация разрушается диссипативными силами, обладающими полной диссипацией. Для стабилизации устойчивой гироскопической системы (до асимптотической устойчивости) необходимо присоединить позиционные неконсервативные силы. Исследуется возможность такой стабилизации.
Задача решается в нелинейной постановке. Заметим, что влияние нелинейных диссипативных сил на устойчивость циркуляционной системы исследовалось в [2]. Действие нелинейных диссипативных сил на неконсервативную континуальную механическую систему приводит к резкому уменьшению величины следящей силы [3].
Анализ устойчивости сводится к критическому случаю двух пар чисто мнимых корней. В терминах параметров системы получены условия асимптотической устойчивости и неустойчивости.
Уравнения движения системы
Рассматривается линейная гироскопическая система с двумя степенями свободы, находящаяся под действием нелинейных диссипативных и позиционных неконсервативных сил. Уравнения движения системы можно привести к виду
&&1 + 8*2 -Ml = —дГ-ф(х1' х2, *2 ) ;
dxi
*2 - 8*1 -X2*2 = —dR + ф(, *2, *1, *2)*1 , д*2
r = 2 (plxl2 xl2 +в2 x22 x22 )+1 (yix14 + y 2 x24 )> р,-, yг > 0,i = 1,2;
ф(х1,X2,x&i,X2) = aiXi + ^3X1X2 + a2X2 , ai, %i > 0, i = 1,3.
Заметим, что если ф = const, то последние слагаемые в правой части системы (l) представляют собой линейные позиционные неконсервативные силы, которые характеризуются кососимметрической матрицей. Рассмотрение функции ф как квадратичной формы - естественное обобщение этих сил на нелинейный случай.
Рассмотрим сначала линейную гироскопическую систему
*1 + g*2 -^1*1 = 0 ; *2 -8*1 -x2*2 = 0 .
(2)
(1)
Введением безразмерного времени т = + Х 2 ( она приводится к безразмерной форме
где, без уменьшения общности g > 0; Xi > 0, Х2 > 0; функция Рэлея
х1 + g*2 х1 =0; х2 - 8 x1 -(1 -ц)х2 = 0
(3)
© С. А. Агафонов, И. А. Костюшко, 2008
ISSN 1607-6885 Hoei Mamepia.nu i технологи в металурги та машинобудувант №2, 2008
85
Л]
где ц =-< 1, а штрих обозначает дифференци-
л1 + Л 2
рование по т . Обозначения для параметров в системе (1) сохранены прежними. Условием гироскопической
стабилизации является неравенство g >л[ц + ^ 1 -ц.
При выполнении этого неравенства характеристическое уравнение системы (3) имеет две пары чисто мни-
2
мых корней ± г а>1,2 г = -1,Ю] > ®2 , где Ю 1,2 уцовлет-воряют уравнению частот
Ю4-(g2 - 1)ю2 +ц(1 -ц) = 0.
Гироскопическая система (3) представляет собой гамильтонову систему с гамильтонианом
1 ( + *42 )+ 1g(х4Х1 - х3х2) -
Н = 2 ( + 2
1 2 (1 2 I 1
1 2 ,
- g 2 -1+ц
Х22.
(4)
После исключения из уравнений Гамильтона
' = дН ' = дН ' = дН ' = дН х3 = , х4 = , х1 = т-, х2 (5)
дх1 дх2 дхз дх4
переменных хз и х4 (обобщенные импульсы) приходим к системе (3).
Линейная нормализация
Процедура линейной нормализации системы (3) сводится к приведению гамильтониана (4) к каноническому виду. Это преобразование таково:
х1 = 2 а уз + 2 Ьу4
х2 = 2 с у1 + 2 ( у 2
х3 = -geУl -gfУ2, х4 = 2Уз + 2У4, „= g и= g
2 , 12' Ю1 +ц-2g
2
Ю1 + ц
( 2 + Г~2 Ю11 Ю1 +ц-^
ю 12-ц
( 2 + 12 Ю 11 Ю 1 +ц--g
ь = ■
2 12 Ю 2 +ц--g
(=
ц+ 2
2
2 12, Ю 2 +ц-^ 1Ю 2
f =
22 -ц
2 12 Ю 2 +ц--g Ю 2
.(6)
От новых переменных Уl, У2 , Уз, У4 перейдем к комплексно сопряженным по формулам:
21 = ' ю121 + 2( 2 ^2) 2^со 2 - ю1 )
2 12 ю1 +ц--g
Я, -
31(22 +ц))|
2 12 ю1 +ц--g
2 gцl
(22 - ю12 )
2 12 ' ю 2 +ц--g
г2 = г ю 2 г2 +-■(—2-^ -
ю 2 (12 +ц)[ю 22 +ц-2 g 2 - г-^-^^
2^12 - ю 22)
2gцl
(12 - со 22)
(8)
где
2 '
= Р^2х1 + у1х1 + (а^2 + азх1х2 + а2х^ ) х2 + + ( 81х1 + 83х1 х2 + 52х2 I х2 ,
2 ' '3 / 2 21 = Р2х2 х2 + У2х2 - + а3х1х2 + а2х2 ] х1 +
( '2 ' ' '21 +1 81х1 + 83х1 х2 + 82х2 I х1 . (9)
Нелинейная нормализация
С помощью полиномиального преобразования
2к = «к + и3(«1,«2,«1,«2) , к = 1,2, (10)
где и3 - однородная форма третьего порядка переменных «,«, г = 1,2, система (8) может быть приведена при отсутствии резонанса ю1 = 3ю 2 к нормальной форме до третьего порядка включительно
«1 = г ю1«1 + Лцщ2 «1 + ^412«1«2 «2,
и2 = г ю 2«2 + ^21«1«2 «1 + Л22«2 «2 . (11)
В системе (11) коэффициенты Лу , (г, ] = 1,2) равны
А11 = —
, , 1 ^^ + 3ЮЛ2)+
,/2 21 2 1 2 ] Ю1
ЧЮ1 -Ю 2 |Ю1 +ц-^8 I 1
-Ю12( + ц)2 (1 + 3Ю12У1)-^(+(( + ц)а2)
21 = У3 +г У1 ,21 = У3-г У1 , г2 = У4 +гУ2 ,22 = У4У2 .
(7)
В новых переменных 21,12 система (1) будет иметь вид (уравнения для сопряженных переменных опущены)
2 12 IЮ 2 +ц-^ё
( + 3Ю22У 2 )+
2
2(( - ю 22)).
-Ю 22 (12 + ц)? 2 (1 + 3Ю22У1)-^2 ((^22а1 +(( + ц)?а2)
-
1
МОДЕЛЮВАННЯ ПРОЦЕС1В В МЕТАЛУРПТ ТА МАШИНОБУДУВАНН1
Выражения для Ац, Ац не выписаны, так как они имеют противоположные знаки. Следовательно, асимптотическая устойчивость и неустойчивость определяется знаком величин Ац, А22 [4, 5]. Если хотя бы одна из величин Ац, А22 положительна, то исходная система (1) неустойчива, поскольку в переменных рг-,
где ¿к = л[Рк е'Ф, к = 1,2, система (11) имеет неограниченно растущее решение. Поэтому для асимптотической устойчивости необходимо и достаточно, чтобы Ац, А22 были отрицательны [4, 5]. Этот вывод сохраняется не только для модельной системы (11), но и для исходной системы (1) [4]. Заметим, что при отсутствии нелинейных неконсервативных сил
( = а2 = аз = 0) параметр А22 > 0 , что указывает на неустойчивость, поскольку гироскопическая стабилизация разрушается диссипативными силами. Неустойчивость также будет иметь место, когда а1 < 0 и а2 < 0 . Интересно отметить, что слагаемое азх^2 в
выражении для ф(х1, Х2, х , Х2 ) не влияет на устойчивость.
Рассмотрим два частных случая.
1. а1 = а2 = а , Р1 = Р2 = р, У1 = у2 =
Тогда коэффициенты (12) равны
А11 =-
1
а22 ="
,( 2 2 | 2 , 12 2-и2 !ю1 + ц--я
(12 + Ц] , Ю12 (ю22 + Ц] 2 Ю12 Ц
4 ( V +(2 + ц)2а) 1
Р-
,( 2 2 у 2 , 12 2® — и2 ]|и2 + Ц-^Я
(22 + Ц] , ^22 (Ю12 + Ц]2
Р-
(я V +( + Ц) )
® 2
Условие асимптотической устойчивости системы (1) Ац < 0 и А22 < 0 сводится к неравенствам
Ри
21 С«2 + Ц3 , «2 (И2 + 2
р®;
(«2, Ю12 («22 и,2 Ц
4я| Я2®22 + (®22 +Ц/
4я| я 2®12 + (12 +ц/
(13)
Если а не принадлежит данному интервалу, то система (1) неустойчива.
2. а1 = а2 = а , Р1 = р2 = ^ У1 = у2 = у.
Коэффициенты Ац и Ац равны
А11 = --
1
")( 2 2 I 2 , 12 1 2^и1 -и2 !и1 + Ц--Я I
(2 + * + ®14 ( + Ц]2 Ц
^ (я 2®12 +( + Ц) ]а
А22 =■
1
2(и12 -и22))и22 +Ц-1Я21
2
Г/
3 (то
- V
4Я
2
® 2
.2 1
Условие асимптотической устойчивости Ац < 0 и А22 < 0 сводится к неравенствам
3ую2| (и2 + ц) + ®44^^21 3уи2|(и2 + ц)3 + ®4(и2+ц)Я
4я| я2®22 +(®22 +Ц)2
1«2_+Ц Ц
4Я Я 2®12 + (®12 +Ц)2
.(14)
Вне интервала (14) система (1) неустойчива.
Можно показать, что выражения, стоящие в правых частях неравенств (13), (14) при 0<ц< 1 и
Я > + 1 - ц больше выражений, стоящих в левых частях этих неравенств.
Таким образом, показана возможность стабилизации до асимптотической устойчивости линейной гироскопической системы, устойчивость которой достигнута за счет гироскопической стабилизации, с помощью присоединения нелинейных диссипативных и позиционных неконсервативных сил. Величина последних (параметр а ) должна принадлежать найденному интервалу, концы которого выражены через параметры системы. Вне этого интервала гироскопическая стабилизация разрушается.
2
Ц
и
2
< а <
X
X
СО
X
X
м-
X
2
X
2
< а <
X
2
X
2
Ц
СО
2
1607-6885 Новi матерiали i технологи в металурги та машинобудувант №2, 2008
87
Перечень ссылок костью под действием следящей силы // Изв. РАН. Мех.
1. Четаев Н.Г. Устойчивость движения. М.: Наука, 1965. - т тела. - 2006. - № 2. - С. 95-101.
208 с 4. Хазин Л.Г., Шноль Э.Э. Устойчивость критических
л л, ^ л гл^ - - положений равновесия. Пущино: Центр биологических
2. Агафонов С. А. Об устойчивости циркуляционнои сис- ^ ^ ^
_ _ ,, исследований АН СССР, 1985. - 215 с. темы при действии нелинейных диссипативных сил //
Изв. РАН. Мех. тв. тела. - 2006. - № 4. 5. Каменков ГВ Избранные труды. ТЛ. Устойчивость даи-
3. Агафонов С.А., Щеглов Г.А. О неустойчивости свобод- жения. Колебания. Аэродинамика. - М.: Наука,1971. -
ного упругого стержня с нелинейной внутренней вяз-
256 с.
Одержано 17.03.2008
BidoMO, що нестшку потенцтну систему, cmyniHb яко' парна, можна стабшзувати гiроскопiчними силами [1]. Класичний приклад тако' стабшзаци-стшюсть вертикального обертання дзиТи Лагранжа при викoнаннi нерiвнoсmi Маiевськoгo-Четаeва. Однак на пiдставi теорем Кельвта-Четаева [1], така стабiлiзацiя руйнуеться дисипативними силами, що вoлoдiють повною дисипацieю. Для стабШзаци стшко' гiрoскoпiчнoi системи (до асимптотично' стшкостi), неoбхiднo приеднати пoзицiйнi некoнсервативнi сили. У рoбoтi до^джуеться мoжливiсть тако'1' стабШзаци.
It is known that the unstable potential system with even degree of instability can be stabilized by means of gyroscopic forces. The classical example of such stabilization is stability of vertical rotation ofLagrange gyroscope with fulfillment of Mayevskiy-Chetaev inequality. However on the base of Kelvin-Chetaev theorems such stabilization is destroyed by dissipative forces posessing total dissipation. For stabilization of stable gyroscopic system (up to the asymptotical stability) one need to add positional non-conservative forces. The possibility of such stabilization is studied.
УДК 669.017.3
Канд. техн. наук О. Г. Сидоренко, И. П. Федорова, А. П. Сухой Институт черной металлургии, НАН Украины, г. Днепропетровск
УТОЧНЕНИЕ МЕТОДИКИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ НАИМЕНЬШЕЙ ВЕЛИЧИНЫ РЕАЛЬНОГО ЗАРОДЫША НОВОЙ ФАЗЫ
Доказывается в дискуссионном плане, что при внешнем термическом воздействии на систему наименьшую критическую величину жизнеспособного зародыша новой фазы определяет только равенство абсолютных значений объемной и поверхностной составляющих теплоты его образования.
В соответствии с предложением Гиббса [1] способность образующихся зародышей новой фазы к развитию исследуют, учитывая раздельно энергетические затраты на формирование собственно объема зародыша и поверхности, отделяющей его от исходной фазы. В настоящее время оценку названных энергетических затрат выполняют, оперируя изменениями свободной энергии Гельмгольца (Р) или Гиббса (О). При этом исходя из того, что образование собственно объема зародыша приводит к уменьшению свободной энергии, а площади поверхности раздела - к ее увеличению, вызванное этим изменение убыли свободной энергии Гиббса (AG), например, записывают с помощью следующего уравнения:
AG = ^об. + AGпов. =-У -А8 + 5 -у, (1)
где AGоб - убыль объемной составляющей свободной энергии;
AG - изменение поверхностной составляющей
пов. А
свободной энергии;
А8 - убыль удельной объемной составляющей свободной энергии;
g - поверхностное натяжение единицы поверхности раздела; V - объем зародыша; 5 - площадь поверхности зародыша.
Если рассматриваемые зародыши имеют кубическую форму, то уравнение (1) после соответствующих преобразований записывают [2] в следующем виде:
AG = -а3 -А8 + 6 - а2 -у, (2)
где а - длина ребра куба.
Очевидно, справедливость уравнения (2) должна соблюдаться, независимо от величин фактически установленных или произвольно выбранных значений А8 и g. В связи с этим для упрощения и, как представляется, повышения наглядности приводимого в настоящей работе графического материала, предположим, что А8 и g имеют значения 1,0 дж/см3 и 1,0 дж/см2 соответственно. В этом случае зависимость убыли свободной энергии Гиббса от величины образующихся зародышей гра-
© О. Г. Сидоренко, И. П. Федорова, А. П. Сухой, 2008 88
