Об арифметических графах Текст научной статьи по специальности «Математика»

Прикладная математика

3

ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА

УДК 519.21

А.В. Бирюков ОБ АРИФМЕТИЧЕСКИХ ГРАФАХ

Пусть вершинами графа являются натуральные числа

1,2,...п. Обозначим через А некоторое подмножество этих чисел и будем считать вершины x, z смежными, если выполняется по крайней мере одно из условий:

\x-zl єA , (п-\х^\) єА .

Из определения смежности следует, что наибольший элемент А не должен превосходить п/2. Если, в частности, подмножество А состоит из одного элемента, равного единице, то граф является простым циклом порядка п.

Рассмотрим одну из комбинаторных характеристик графа, которую назовем энтропией. В данном графе порядка п найдем все его подграфы третьего порядка, число которых равно Ы=п(п-1)(п-2)/6 .

Среди них различными являются четыре вида подграфов: цикл, цепь, ребро и несмежная с его концами вершина, три попарно несмежных вершины. Обозначим через N1, N2, N3, N4 количество подграфов каждого вида и найдем отношения Р=Ы/Ы, 1 = 1+4 , которые дают некоторое вероятностное распределение с энтропией 4

Н = -£ Р,ЦРі)/2 і=1

где через Ь обозначены логарифмы с основанием 2.

Построенная таким образом энтропия графа характеризует алгоритмическую сложность его описания и принимает значения

на отрезке 0 <Н < 1 .

Нулевой энтропией обладают графы, содержащие лишь один вид подграфов третьего порядка. Таким, например, является полный граф. Максимальная энтропия соответствует равномерному распределению, когда Р1 = Р2= Р3= Р4=1/4.

Как легко видеть, для цикла порядка п>3

Р1=0, Р2=6/(п-1)(п-2), Р3=6(п-4)/(п-1)(п-2),

Р4 = 1-Р2-Р3 ■

При этом с увеличением п энтропия цикла Н(п) асимптотически стремится к 0, поскольку величина Р4 стремится к единице. С другой стороны, Н(3)=Н(4)=0. Следовательно, функция Н(п) имеет максимум.

Как показывают вычисления, Н(6)=0,65; Н(7)=0,68; Н(8)=0,69; Н(9)=0,68, откуда видно, что наибольшую энтропию имеет цикл восьмого порядка.

Рассматриваемый класс графов содержит как связные, так и несвязные графы. Для того, чтобы граф был связным, необходимо и достаточно, чтобы все элементы подмножества А и порядок графа п в совокупности имели своим наибольшим делителем единицу, т. е. были взаимно просты. В частности, это условие выполняется, если

1 е А.

Так, например, при п=8 имеется 15 вариантов для подмножеств А. При этом из 15 графов лишь 3 графа являются несвязными. Это графы, отвечающие подмножествам (2), (4), (2,4). Первый из них представ-

ляет собой объединение двух циклов четвертого порядка, второй - объединение четырех попарно несмежных ребер, третий - объединение двух полных графов четвертого порядка. Энтропии этих несвязных графов равны соответственно 0,69; 0,49; 0,30.

Из связных графов экстремальные значения энтропии Н=0,78, Н=0,30 имеют графы, соответствующие подмножествам (1,3,4) и (1,3).

Рассмотрим еще один способ построения арифметических графов. Пусть, как и прежде, вершинами графа являются натуральные числа 1,2,...п. Будем считать две вершины смежными, если их сумма есть простое число.

Все такие графы являются связными и не содержат циклов третьего порядка. С увеличением п доля подграфов четвертого вида (троек попарно несмежных вершин) стремится к единицу и, следовательно, энтропия графа асимптотически стремится к нулю.

С другой стороны, при п=4, как легко видеть, граф является циклом четвертого порядка с нулевой энтропией. Поэтому существует такой порядок графа, при котором энтропия достигает наибольшего значения.

Непосредственные вычисления энтропии графов порядка 6,7,8,9,10 дают значения 0,62; 0,72; 0,75; 0,74; 0,73. Отсюда видно, что наибольшей энтропией обладает граф восьмого порядка с ребрами (1,2); (1,4);

(1.6); (2,3); (2,5); (3,4); (3,8);

(4.7); (5,8); (6,7).

Относительно рассмотрен-

4

А.В. Бирюков

ного класса арифметических графов (вершины смежны, если их сумма есть простое число) сформулируем следующие недоказанные гипотезы:

1) диаметр всех графов при

п>5 равен трем;

2) графы четных порядков являются гамильтоновыми;

3) графы нечетных порядков содержат гамильтонову

цепь;

4) множество вершин графа можно разбить на пары смежных.

□ Автор статьи:

Бирюков Альберт Васильевич - докт. техн. наук, проф., зав. каф. высшей математики

УДК 519.21

К.И. Гурьянов ГРАФЫ НА ДИАГРАММАХ ВОРОНОГО

Пусть на плоскости задано случайное множество точек F. Требуется для точки A этого множества найти область, все точки которой являются ближайшими к точке A по сравнению с другими точками множества F. Эта область является пересечением полуплоскостей, т.е. выпуклым многоугольником, а точка А - его центром. Совокупность таких многоугольников, число которых равно числу точек множества F, и представляет собой диаграмму Вороного. Отметим, что некоторые из областей диаграммы могут быть незамкнутыми.

При компьютерном моделировании диаграмм вороного случайным образом выбирались N точек с координатами, принадлежащими единичному квадрату.

Вершины и ребра полигонов (за исключением границы квадрата) образуют односвязный граф. Рассмотрим следующие его характеристики: п -число вершин; m - число ребер;

Таблица 1

H - энтропия графа, характеризующая алгоритмическую

сложность его описания.

Для определения энтропии графа рассмотрим все его подграфы третьего порядка, число которых равно А=п(п-1)(п-

2)/6. Среди них неизоморфными являются лишь 4 подграфа: цикл, цепь из двух звеньев, ребро и вершина (несмежная с концами ребра), три попарно несмежные вершины. Обозначим через Ai (1=1, 2, 3, 4) число подграфов каждого из этих типов и найдем отношение Pi=A/A. При этом энтропию графа определим неотрицательным числом

Г 4 Л

H = -

'2.

I Р11^2Р1

VI=1 J

Из определения энтропии следует, что Не[0;1]. Наибольшее её значение H=1 соответствует случаю, когда все числа Pi одинаковы и равны 1/4. Нулевой энтропией обладает граф, для которого одно из чи-

сел Pi равно единице, а остальные - нулю. Отметим, что при Pi=0 соответствующее слагаемое суммы в определении энтропии также равно нулю, что следует из предельного перехода. В частности, H=0 для полного и для пустого (без ребер) графов.

Компьютерное моделирование диаграммы вороного, выполнено для N=(20, 40, 60, 80,100, 150, 200,300). Результаты вычислений приведены в табл. 1.

Из приведенных данных видно, что с увеличением числа

Таблица 2

N Р1 Р2 Р3 Р4

20 0,03 0 0,33 0,63

40 0 0 0,14 0,86

60 0 0 0,09 0,91

80 0 0 0,06 0,93

100 0 0 0,05 0,95

150 0 0 0,03 0,97

200 0 0 0,02 0,98

300 0 0 0,02 0,98

Таблица 3

N п M И

20 19 23 0,56

40 55 74 0,31

60 91 126 0,23

80 126 175 0,18

100 164 231 0,15

150 247 349 0,11

200 345 494 0,08

300 541 784 0,05

N 3 4 5 6 7 8 9 10 11

20 1 2 2

40 2 7 8 3

60 7 8 11 7 1 1

80 2 4 14 17 9 4

100 1 4 16 29 6 7 2

150 10 30 31 22 9

200 3 13 45 44 27 13 3 1

300 1 32 69 59 55 18 10