Об аппроксимации граничных условий трехмерной модели движения водной среды Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 551.466

А.Е. Чистяков ОБ АППРОКСИМАЦИИ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЙ ТРЕХМЕРНОЙ МОДЕЛИ ДВИЖЕНИЯ ВОДНОЙ СРЕДЫ

При построении математических моделей основной сложностью является описание поведения сложных физических процессов на границах области. Значения функции в граничных узлах должны удовлетворять не только уравнению, описывающему физический процесс, но и граничным условиям. При построении дискретной модели основным источником погрешности, как правило, является аппроксимация граничных условий. В работе приведена дискретная математическая модель движения водной среды и рассматривается аппроксимация граничных условий.

Погрешность аппроксимации; граничные условия; уравнение Навье-Стокса.

A.E. Chistyakov

ABOUT APPROXIMATION OF BOUNDARY CONDITIONS OF THREEDIMENSIONAL MODEL OF AQUATIC ENVIRONMENT MOVING

Describing of complex physical processes behavior on boundaries of area is the main complexity in building of mathematical model. Values of function in boundary nodes must suffice for equation, describing physical process, and boundary conditions. Approximation of boundary conditions is the main source of fallibility in building of discrete model. Discrete mathematical model of aquatic environment moving is describing in this work. Also approximation of boundary conditions is considered in this work.

Fallibility of approximation; boundary conditions; Navier-Stokes equation.

1. Введение. Математиче ская модель, принятая для описания данного процесса или явления, может внести существенные погрешности, если в ней не уч-

- . , -

ческая модель может прекрасно работать в одних условиях и быть совершенно неприемлемой в других, поэтому важно правильно учитывать область ее приме.

Входные данные задачи часто являются основным источником погрешностей. Это так называемые неустранимые погрешности, поскольку они не могут быть уменьшены вычислителем ни до начала решения задачи, ни в процессе ее решения. Следует стремиться к тому, чтобы все исходные данные были примерно .

больших погрешностей в других не приводит к повышению точности результатов.

2. Непрерывная трехмерная модель движения водной среды. Исходными уравнениями гидродинамики являются [1]:

Уравнение движения (Навье - Стокса):

u' + uux + vuy + wuz =—-PX + (juux) +(juuy) + (vu'z) + 2Q(vsin#-wcos#), (1)

1 ' ' '

vX + uv + vv + wv =--------P + (uv ) +(uv ) + (vv ) -2Qusin#, (2)

t x y z — y x)x v y)y V z)z

1 ' ' '

w't + uwx + vw'y + ww[ =-P'+(jUw'x )x +(juw'y ) +(vw[ )z + 2Hu cos#+ g . (3)

Уравнение неразрывности для несжимаемой жидкости

/ / /

и + V + W = 0. (4)

х у z 4 /

Полное гидродинамическое давление связано с глубиной соотношением:

Р (х, у, z, г) = р( х, у, z, г) + pgz. (5)

Для покоящейся жидкости поле р(X, у, z, г) не зависит от координаты ъ. Запишем уравнения (1) - (3) с учетом (5)

и' + иих + VUy + '№и'1 =-р'х +(/ии'х ) + (/ИЫ у ) +('/и ) + 2^^8Ш0- wСО8 0),(6)

V' + тх + ^ = -—ру + (л/)х + (/л/)у + (іл/) -2&ивш#, (7)

р у

1 ,

+ им/х + т^'у + =-р[ + (цу/х )х +(у/у) + ('^1 ) + 2Ои сов#. (8)

Система уравнений (6)-(8), где V = {и,у^} - компоненты вектора скорости, Р

- гидродинамическое давление, р - плотность, О - угловая скорость вращения земли, 0 - угол между вектором угловой скорости и вертикалью, ц,у - горизонтальная и вертикальная составляющая коэффициента турбулентного обмена, задана при следующих граничных условиях:

♦ на входе (устья рек Дон и Кубань, а также озеро Сиваш) -

и(х, у, г,г) = и(г) v(х, у, г,г) = v(t) рп (х, у, г,г) = 0 У'(х, у, г,г) = 0, (9)

♦ боковая граница (берега и дно Азовского моря) -

Р^(и')п (У, ^ г) =-Тх (гX PvM(V')n (^ У, ^ г) =~Ту (гX (10)

Уп (х, у, г, г) = 0, рп (х, у, г, г) = 0,

♦ ( ) -

РМ(и%(х,у,г,г) = -т (г), рр(у)п(х,у,г,г) = -т (г),

р , (її)

м^( х, у, г) = -о—*-, рп (х, у, г) = 0,

Р8

♦ ( ) -

/

рп (х, у, г, г) = 0 V (х, у, г, г) = 0, (12)

где о - интенсивность испарения жидкости, Т ,Т - составляющие тангенциаль-

X у

ного напряжения (закон Ван-Дорна), Ру - плотность взвеси.

Составляющие тангенциального напряжения для свободной поверхности:

Т =РаСр (И )™х\™\ , Ту =РаСр (И )™у\Щ , (13)

где W - вектор скорости ветра относительно воды, Ра - плотность атмосферы,

Г0,0088, \&\ < 6,6 м/с С (\щ) = ■> - безразмерный коэффициент.

р" ! [0,0026, Щ ^ 6,6 м/с

Составляющие тангенциального напряжения для дна, с учетом введенных обозначений, могут быть записаны следующим образом:

РСГ (||)и||. Ту =рСр

V

V

3. Дискретная модель движения водной среды [2]. Расчетная область по пространственным направлениям X. у. Z представляет собой параллелепипед. Для построения решения разностной схемы будем использовать равномерную сетку:

= {х1 = Игх, уг = Д, ; г =1..N, ] =1..Ыу, к = ;

ЫА = 1х, Хуку = 1у, ЫА = К },

где г, у, к - индексы по направлениям X, у, г,

кх,ку,кг - шаги по пространственным направлениям,

Ых, Ыу, Nz - количество узлов по координатным направлениям,

1х, 1у, - пространственные размеры области.

Первая задача представлена уравнением диффузии - конвекции, на основе которого вычисляется поле скорости на промежуточном временном шаге

-—и + ии0 + у—0 + ый0 = (/ийх) + (/шйу) + (у—1) + 20,(у 81п0- w со8$), (14)

Т х у z х у z

+ иУ0 + уу0 + wv0 = ()х + () + (уу-) - 2йи б1п в, (15)

х у г х у -

и^0 + ™0 + ш^0 =(ш>х) + \и,\уу) +(ущ ) + 2&и cosв, (16)

Т х у - г х,х V У/у V

Наиболее трудоемкой задачей является расчет давления, представленный уравнением Пуассона

Рхх + Руу + Р-г = Тт((г^Ь + (УУу +(^)- ) . (17)

С

По явной схеме в третьей задаче определяется поле скоростей на следующем шаге по времени:

и - - 1

--------=----Р0, (18)

Т р х

V - V 1

=-----------Р0, (19)

Т р у

№ - № 1

-------=--------р0. (20)

Т Р 7.

Таким образом, осуществляется переход на следующий временной слой. Условием окончания перехода между временными слоями является установление значений поля скорости.

4. Аппроксимация граничных условий. Рассмотрим систему уравнений для расчета поля скоростей без учёта влияния давления.

——— + ——0 + у—0 + №—0 = {м—х )х + (—-) + {у—~ ) + 20(у 8т0-№ cosв), (21)

Т X у 7 У

У—V + —у0 + уу0 + йу0 = {/ЛУ- )х + {рУ- ) + {Уу )7 - 20— sinв, (22)

Т X у 7 у

№ — № _ _ _ / _ч / _\ /— \

-------+ —№0 + У№0 + №№0 = {1Ш- ) + {) + {У№т ) + 20,— COS в. (23)

Т X у 7 у

Система уравнений (21)-(23) задана при следующих граничных условиях:

♦ на входе (устья рек Дон и Кубань, а также озеро Сиваш)

и (х, у, г, г) = и (г), V (х, у, г, г) = V (г), №( х, у, г, г) = №(г), (24)

♦ боковая граница (берега и дно Азовского моря)

Р^(— )п (х, у, г, г) = -Т- (г), р^(у )п (х, у, г, г) = т (г), № (х, у, г, г) = 0, (25)

♦ верхняя граница (поверхность Азовского моря)

РМ(и')п (х, у, г,г) = -Тх(г), рм(У\ (х, у, г,г) = -Ту (г), №п (х, у, г,г) = 0, (26)

♦ на выходе (выход в Черное море)

ип (х, у, г, г) = 0, Уп (х, у, г, г) = 0, №п (х, у, г, г) = 0, (27)

Каждое из уравнений системы (21)-(23) имеет одинаковый порядок погрешности аппроксимации и отличается только лишь правой частью, следовательно, достаточно рассмотреть погрешность на примере одного из уравнений. Возьмём для исследования первое уравнение.

Введем обозначения для граничных условий по координате х.

Ух- - множество узлов, для которых выполняется следующее условие: узел

(У,к) находится внутри расчетной области, (ь1о,к) - лежит вне области.

Ух+ - множество узлов, для которых выполняется следующее условие: узел

(у,к) находится внутри расчетной области, 0+у,к) - лежит вне области. Аналогично поступим для оставшихся координатных направлений.

Г, = Гх-^Гх + , Ох = й/Гх .

Б - множество узлов, принадлежащих области. Аналогичным образом введем обозначения для граничных условий Уу, Уг по координатам у, г.

Для уравнений (1) получим аппроксимацию для граничного условия

р,М(и)„(х,У,г,0| .-=-г,(г).

(28)

І( і, ] - )е/х-

Будем интегрировать операторы по тем же ячейкам, что и в случае внутренних

/

узлов, при этом аппроксимация оператора конвективного переноса ЫЫ х имеет вид

ии „

\-1

1 хі+1 Г йх иі+1,і,- иі,і -

К і х{ и (х, у, г) ^ 2Кх

г Л -1

1 иі+1, і - -

К V х х и(х, у г) ^ 2Кх

- +

1 \-

йх

\-1

ККЧJ1 и (x, y, г)

иі,І,к иі-1,і -

2К

■■ и.

Щ+1, иі, і -

і+1/2, і -

2Н

Аппроксимация оператора диффузионного переноса () име ет вид:

„ 1 хі+1/2 „ 1 хі +1/2 „ 1

(К )х = -т 1 (ыХ )х йх=к 1 (ыХ )х йх=-г( (.- -{тХ),.,.- )

1

4+1

I

йх

л-1

К х т(х, у, г)

К

Р,

и иі+1,.- - иі,.- ,+

' М+1/2,],- и2

К2

рА

Аппроксимация уравнения (21) в случае использования граничного условия

(28)

и - и иі.- - иі-1,1 - ^ 1 - тх(г)

-------+ иі-1/2 , - ------------— + — УЫ0 + — КЫ0 =------х---т-1/2 , к 2

2т 1 1/2,і,- 2Кх 2 у 2 г ркх 1 ,і- К2

+1 (иу ) + 1 (УЫ- )г + &(у від#-к сое#)

Аналогично можем получить аппроксимацию для граничного условия

РуМ(и')п(х У, г, г)|(..лУ£Г+ = -Тх(г), (29)

которая будет выглядеть следующим образом:

С х ^_1

1 і+1 йх

4-1

ии „

т 1

Кх х ы(х, у, г)

йх

иі+1,] - иі,і -

2Кх

Vі

+

і I-

йх

V Кхх,І и (x, y, г)

иі,. - иі-1,і ,-

2К

ч Кхі и (x, y, г)

у

иі, і- иі-1, у,-

2К

иі, і - иі-1, у -

і—1/2, і -

2К

/ 1 xi +1/2 / 1 xi / 1

(мм)x = -т 1 (мм)xdx = — j (К)Jx = -Т(((,(( -{ми x)i-1/2.,,k)

/ —1

1 Г (г ) x 1 % dx ui, j k— ui—1, j ,k .. Г(^)

hx Pv V м( x, ^ z); h ) p h • v x

ui,j,k ui-1,j,k

1/2,j,k

h2

Таким образом, получим аппроксимацию операторов частных производных по переменной х для уравнения (21) в случае граничных условий (28), (29).

Запишем аппроксимацию для оператора ЫЫ :

ии

и.

‘ 1 • 1 • • 1 i+1,j ,k i,, ,k

i+1/2, j ,k

2h

Ui+1,j ,k Ui ,j ,k

u--------------------------------------+ u. ,n . ,

i+1/2,,,k ~ 7 i—1/2,, ,k

2h

u

u/ • i u *i • i

i,j ,k i —1,j ,k

i —1/2,j ,k

2h

(i, j, k) e ^—, (i, j, k) e Dx, (i, j, k) e rx+.

ui ,j ,k ui—1,j ,k (30)

2h

/

Запишем аппроксимацию для оператора (Mux) :

(M Xx =

,, ui+1, j ,k ui, j ,k , 7x(?)

Mi+1/2,j,k ' 2 j +-V

j h ph

x • v x

Mi+1/2, j,iui+1, j,k — (Mi+1/2, j,k + Mi—1/2, j,k )ui, j,k + Mi

-1/2, j,kui—1, j ,k

(i, j,k) e ^ (i, j,k) e Dx

(31)

г (г)

-^-M—1/2,j,k 2

ph h

• v x

(i, j,k)e fx+.

При замене Tx на ноль в выражении (31) получим аппроксимацию для one-/

ратора (juux) :

(Mu'x Xx =

Mi

ui+1,j ,k ui,j,k

i+1/2, j ,k 7 2 /•’ i \

j hx (i ik) «k,

Mi+1/2,j,kui+1,j,k — (Mi+1/2,j,k + Mi—1/2,j,k )ui,j) + Mi—1/2,j,kui—1,j,k

h

—Mi-

ui,j ,k ui—1,j,k

1/2,j,k h2

(i, j,k)e Dx,

(i, i, k) eyx+,

в случае использования граничных условий (27), (30). В случае граничных условий первого рода переходим к непосредственной аппроксимации.

Уравнения для расчета давления без учёта воздействия гравитации выглядит следующим образом:

р + р + р =— (ы + V + М). (32)

г хх г'уу г гг ^ х у г7

(32) :

♦ на входе (устья рек Дон и Кубань, а также озеро Сиваш)

р'п (х, у, г, г) = 0, V (х, у, г, г) = V (г), У'п( х, у, г, г) = 0, (33)

♦ боковая граница (берега и дно Азовского моря)

рп (х, у, г, г) = 0, V (х, у, г, г) = 0, V' (х, у, г, г) = 0, (34)

♦ верхняя граница (поверхность Азовского моря)

/

Р

рП(х,у,г,г) = 0, V'n(x,у,г,г) = 0, м(х,у,г,г) = -т-----------------

ИЛИ

/

р'п(х,у,г,г) = --р-, V'n(х,у,г,г) = 0, м(х,у,г,г) = -<$. (35)

В случае установившегося течения можно использовать условие

рп(х,у,г,г) = 0, Vfn(х,у,г,г) = 0, м(х,у,г,г) = -ю, (36)

♦ на выходе (выход в Черное море)

рп(х, у,г,г) = 0, V(х, у,г,г) = V(г), V ^(х, у,г,г) = 0. (37)

Граничное условие (15) требует комментариев. Рассмотрим поле давления жидкости в приповерхностном слое в случае отсутствия испарения:

Р = Р% (г - к).

Продифференцируем данное выражение по времени:

р' = -рф[1.

Физический смысл выражения Н( - скорость подъема уровня жидкости, следовательно, для приповерхностного слоя справедливо равенство Н( = М, тогда

р' = ~РЯМ или м = —.

Р%

В случае наличия испарения вертикальная составляющая скорости для при-

(35).

//

Аппроксимация оператора р х в случае граничного условия

(38)

Р',(•*’ У ^Л№. = 0

запишется следующим образом:

р" = .17 р'^л=— 7 р" а, = — () -(р) ) Рі+1) д -Рі ■3 л, (39)

г XX ъ J Г XX ъ J Г XX Ъ\1+1/2,І к ' !і ■ І к) Ъ

в случае граничного условия

р ^ у, -<■■ * )1<і, І ,к ^ = 0

:

(40)

Таким образом, получим аппроксимацию оператора р хх:

рі+1,1 ,к — рі, І ,к

Ъх2 (^ 3 к) ЄУх

р £ х

рі

і+1, і ,к

■2 рі, і л + р-ц ,к

(42)

к2

X

рі, І ,к — рі-1,1 ,к к 2

(і, 3, к) є Б х

Запишем аппроксимацию оператора и х в случае комбинации граничных ус-(34):

иі+1/2,1 ,к иі, І ,к

иі+1/2,1 ,к иі-1/2,1 ,к

иі ,І ,к иі-1/2,3 ,к

(і, І, к) є Бх =

(і, І, к) є ух_

и

+1/2,І,к

(і, І, к) єух

иі+1/2,1,к иі-1/2,1,к ґ ■■ і \ тл (43)

------(і,і,к)є Dx,

(і, І, к) є

Запишем аппроксимацию оператора Щ в случае комбинации граничных ус-

ловий (36)

Щ (x■у, г,*)|(„і,і)1Гі-

-I +1/2

— [ Щdx ■

і, і,к+1/2 і, і,к і,і,к +1/2

к

к

(44)

(33),(37) Ы х

иі+И2, ],к иі,] .к

К

иі,] к иі-1/2,3 ,к

К

(і, 3, к) є ух_,

(і. 3 , к) Є Ух+ .

(45)

Система уравнений для расчета поля скоростей на следующем шаге по времени выглядит следующим образом:

и _ и т

V _ V

т

1 х р 1 х

=-----Ру ,

р у 1

РР * р

(46)

(47)

(48)

Граничное условие для системы уравнений (46)-(48) имеет вид

рП (х, у, г, г) = 0.

(49)

Запишем аппроксимацию оператора р х с учетом граничного условия (49)

Рх

Рі

і+1,3 ,к

Р

і. з

к

Р

і+1.3 .к

_ Рі _1

.3 ,к

2к

х

Рі,3.к _ Рі_1,3.к

К

( і. 3. к) є ух_. ( і. 3. к) є йх. ( і. 3. к) є г +.

(50)

Аналогично можно получить аппроксимацию оставшихся операторов системы уравнений (45)-(47).

Задача (32) с граничными условиями (33)-(34), (36)-(37) вычисляется с точностью до константы, в качестве константы желательно выбрать значение функции в произвольном узле сетки. Для вычисления задачи (46)-(48) с условием (49) не требуется знание поля давления, а достаточно значения градиента поля давления, что и обуславливает произвольность выбора константы. Данных проблем можно избежать в случае использования условия (35).

Найдем погрешность аппроксимации уравнения (21) в случае граничного условия (26). Для этого запишем данное уравнение, если ( I, у, к) £ Ух+ ^ О ^ О

и _ и

+ иі_1/2.3 .к

2т

иі,3.к иі_1,3.к , 1 — , 1 — тх 0) ,, ----------------— +—уи 0 +—wu 0 =—х------------------------------и.

2К 2 у 2 * '

иі, 3 ,к _ _1.3 .к

РК

_1/2.3 .к

+

(51)

. , , которая не меняет картины течений внутри области. Тогда течение жидкости в

(52), -

ласти - уравнением (21) с граничным условием (26), узел г, ], к принадлежит

У + и О и О

/ х+ у г

и — и + иг+1,у ,к — иг,у ,к + 1 — + 1 — = . иг+1,] ,к — иг,] ,к + тх (г) +

--------+ и.+1/2 . к------------+ Уио +------WUо — Д+1/2 ■ к-----------------------------2-+-+

2т ‘+1/2,1 ,к 2Нх 2 У 2 г ^+1/2,1 ,к н2х ркх

+1 (йу) +1 {уйй-)г + 0(уБт#-wсоб#). (52)

(51) (52)

и — и . иг'+1,],к — иг,],к , иг,],к — иг-1,/,к . — . — иг+1,Лк — Щ,],к

-----+ иг+1/2, ],к---------—-— + иг-1/2,. -------- + Шо + WUо = Дг+1/2, .,к----- ---------

т 2НХ 2НХ У г Н х

—Д-шзки.—2 ‘-1,^',к +(Дйу) +{уйй1) + 20,(убш# —wсоб#). (53)

Н х У

(51) (53)

иг, 1 ,к — иг—1,1 ,к иг+1,],к — иг,],к . иг,у,к — иг —1,■ ,к ^

и. ,,, •, ——-----------------------— — и.+, ,, •,-—-— + и. ,,, •, ——--------------— , (54)

г—1/2, 7,к 1 г +1/2,1 ,к г\ 1 г—1/2,1 ,к гм

Н 2Н 2Н

х хх

тх(г) — иг,!,к - иг-1,!,к = . иг+1,},к - иг,],к иг,],к - иг-1,],к . (55)

рН Д-1/2,1',k Н2 Д+1/2,1',k 2Н2 Дi-1/2,1',k 2Н2

• X X X X

Поле коэффициентов турбулентного обмена имеет симметрию относительно границы Д+1/2 к — Д-1/2 ! к , тогда уравнение (55) запишется так

тх(г) = .. иг+1,у,к -иг— 1,у,к

рНх .там 2Н2 х

ИЛИ

й+1,;,к - Щ—1,М = - ^(г)Нх . (56)

РД+1/2,; ,к

Воспользуемся разложением в ряд Тейлора относительно узла (, у, к) дня значения функции компонентов скорости в соседних узлах:

г т

■,+,„—X (й,„ )(т) , (57)

и:

’+1, / ,к / ^ - г, / ,к ^

„=о т!

т—о

(57) (58)

и-—(58)

1 ~ 1 т!

гс 1 2 т+1 гс 1 2т+1

и — й — У (и )(2т+1) Нх_— (- у Н + у (- )(2т+1)_Пх______________________. (59)

^ ^ У{ии,к) (2т +1)! ^ Нх уГ,],к) (2т +1)!

(56) (59)

гс 1 2 т+1

ЯК^тг^-тг, —о (6о)

т—1 (2т +1)!

и разложение в ряд Тейлора для поля и^ у к запишется как

Н 2

п+1/2 п+1/ 2,1 / п+1/2\/ . х / п+1/2. г\/'1 4\ //'14

иг+1,М — и,м,к + Нх (иг,!к )х +-2~(и>,М )хх + 0(Нх ) . (61)

Из симметричности Д+1/2, у к — Д-12 у к следует (. ,,к) — 0, тогда

2

п+1/2 п+1/2 . і / п+1/2\' . х ґ п+1/2 ч" . 1 4\

и+1/2.,Л+,,к ^ш.;.^ +и+1/2.3кКх)х + д+ш.;.( -у(и,Лк )хх + 0(Кх) =

/ Н 2 К 2

,, п+1/2 , ,, і / п+1/2 V і / »» \ Нх ґ п+1/2 ч' і ,, Кх ґ п+1/2 ч* , г\ґ! 4\

= «.1/2.іАй +и„1:1.,АЩ.и >, + (Д.„)х-Г<ии.* >, + и«Т(ии.* >- + 0<М =

, ,х К 2

.. , п+1/2 , .. 7„ /, п+1/2 . і .. /. п+1/2\ х і ✓“Ч/7„ 4\

^ш.,.-3 +и+1/2.3.кКх(-3 )х + (((иі.м )х)х) + 0(Кх).

Выразим оператор (.м (-п) х

/ и п+1/2 и п+1/2 ~

( .. п+1/2\/ \ О і+1.3.к і.3.к 2 /, п+1/2\/ I 2ч

(«і.3.к (иі.3.к )х X х = иі+И2,3.к ^ «і+1/2.3 .к ^—і.3 к )х + 0(Нх )

ИЛИ

п+1/2 п+1/2 ^ .

(и,.3.к и+1Г)'х )х - 2,+1/2.3.к иі+1.3^ иі.3к + Т1 + 0(КК

4 7 х К рК

х • V х

Получили среднее значение оператора (^ ((-”+1к/2)'х) при

х{ < х < х{+1/2 .Если х(._1/2 < х < х{. то (д к (—п+1/2)х) - 0 .Таким образом .

аппроксимация оператора ( д . ( (ип^1/2)'х ) ПРИ х,-_1/2 < х < хі+1/2 ^^^^ется в виде

/ п+1/2 п+1/2 ,

(к (и^Ух )х =,1Г.,(-3т3- +Т-Р-) + 0(й,2). (62>

х • V х

Погрешность аппроксимации уравнения (54)^на 0(т+ Нх2) .^шсим обра-

зом.получили ^^^^етную ^одель.в ^^торой ^^^™чные узлы имеют одинаковый порядок погрешности аппроксимации с внутренними узлами.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Самарский А.А. Теория разностных схем. - М.: Наука, 1989.

2. Чистяков АЖ. Трехмерная модель движения водной среды в Азовском море с учетом транспорта солей и тепла // Известия ЮФУ. Технические науки. - 2009. - № 8 (97).

- С. 75-82.

Чистяков Александр Евгеньевич

Технологический институт федерального государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Южный федеральный университет» . .

E-mail: [email protected].

347928, г. Таганрог, пер. Некрасовский, 44.

Тел.: 88634371606.

Chistyakov Alexander Evgenievich

Taganrog Institute of Technology - Federal State-Owned Educational Establishment of Higher Vocational Education “Southern Federal University”.

E-mail: [email protected].

44, Nekrasovskiy, Taganrog, 347928, Russia.

Phone: +78634371606.

УДК 519.6

B.C. Васильев

АППРОКСИМАЦИИ В СИСТЕМАХ УРАВНЕНИЙ МЕЛКОЙ ВОДЫ НА КРИВОЛИНЕЙНЫХ СЕТКАХ

Строятся консервативные симметричные аппроксимации слагаемых дивергенции вектора. Аппроксимации компонент градиента скаляра строятся как сопряженные, что обеспечивает знакоопределенность сеточного оператора уравнения для возвышения уровня. Симметрия обеспечивает выполнение на сеточном уровне основных метрических соотноше-, .

Математическое моделирование; сеточные методы; криволинейные сетки; сеточные аппроксимации; законы сохранения.

V.S. Vasiliev THE GRID APPROXIMATIONS AT THE SHALLOW WATER EQUATIONS ON A CURVE-LINEAR MESHES

The conservative and symmetric approximations of a item of divergent of vector are constructed. The approximations of gradient of scalar are constructed to provide conjugation. Conjugation provides positive definition grid operator of the free surface elevation equation. Symmetry provides a base metric identities therefore exclude arising of a grid sources of same types.

Mathematical simulation; grid methods; curve-linear meshes; grid approximations; conservative lows.

Введение. В [1] приводится достаточно общая система уравнений мелкой воды [2], метод расщепления по физическим процессам (метод поправки к давлению) применительно к разрешению системы уравнений в усредненных компонентах вектора скорости или в полных потоках [3], диссипативные фильтры [4]. Обсуждается задание различных сеточных функций на различных элементах (р^несенная сетка) , -, .