CC BY
14
6. Metropolis N. and Ulam S. The Monte Carlo method //J. Amer. Statistical Association. 1949. V. 44. No. 247. P. 335-341.
7. Boros E. and Hammer P. Pseudo-Boolean optimization // Discr. Appl. Math. 2002. V. 123, Iss. 1-3. P. 155-225.
В. Glover F. and Laguna M. Tabu Search. Norwell: Kluwer Academic Publishers, 1997. 9. ЦКП Иркутский суперкомпьютерный центр СО РАН. http://hpc.icc.ru
10. Отпущенников И. В., Семенов А. А. Технология трансляции комбинаторных проблем в булевы уравнения // Прикладная дискретная математика. 2011. №1(11). С. 96-115.
11. Otpuschennikov I., Semenov A, Gribanova I., et al. Encoding cryptographic functions to SAT using TRANSALG system // Frontiers in Artificial Intelligence and Applications. 201б. V. 2В5. P. 1594-1595.
12. Anderson R. A5 (Was: Hacking digital phones). Newsgroup Communication. 1994. http: //yarchive.net/phone/gsmcipher.html.
УДК 519.719.2 DOI 10.17223/2226308X/12/39
ОБ АППАРАТНОЙ РЕАЛИЗАЦИИ ОДНОГО КЛАССА БАЙТОВЫХ ПОДСТАНОВОК
Д. Б. Фомин, Д. И. Трифонов
Рассмотрены вопросы реализации на ПЛИС и СБИС одного класса подстановок и проведено сравнение с реализациями произвольных байтовых отображений. Изучен способ реализации произвольной подстановки. Показано, что любая подстановка на множестве V8 может быть реализована с использованием 40 LUT (В12 GE). Для одного класса подстановок на множестве V8, обладающего высокими криптографическими свойствами, показана возможность реализации с использованием 19 LUT (147 GE).
Ключевые слова: S-Box, подстановка, ПЛИС, СБИС.
Согласно критерию Шеннона [1], каждая криптографически безопасная функция должна представлять собой композицию функций, реализующих свойство перемешивания и рассеивания. Наиболее широко распространённый способ обеспечить свойство перемешивания — использование нелинейных преобразований, в частности подстановок. Подстановки являются неотъемлемой частью большого класса криптографических функций, таких, как поточные и блочные шифры, хэш-функции. К подстановкам предъявляются требования, позволяющие гарантировать невозможность применимости известных методов криптографического анализа, таких, как линейный, алгебраический и разностный.
Помимо криптографических требований, также предъявляются требования и к реализации подстановок, что порождает подходы к построению подстановок больших размерностей с использованием преобразований меньших размерностей. Это позволяет добиться возможности:
— программной реализации с большими таблицами замен;
— программной реализации с меньшим количеством битовых преобразований (bitslice-реализации [2]);
— использования подстановок для низкоресурсной реализации на ПЛИС и СБИС;
— эффективного аппаратного маскирования [3, 4].
Известно большое количество способов построения подстановок с использованием преобразований меньшей размерности: на основе сети Фейстеля [5 - Т], с использовани-
ем конструкции типа Misty [5, 8, 9], SPN-сети [10-12] и др. [13-15]. В данной работе рассмотрен ещё один класс подстановок и исследованы вопросы его аппаратной реализации.
Обозначим F2n — конечное поле из 2n элементов и Vn — векторное пространство размерности n элементов поля F2. Каждый элемент поля a Е F2n может быть представлен как n-битовый вектор a = (a0, a1,..., an-i), a^ Е F2, i = 0,..., n — 1.
Рассмотрим один способ построения 2т-битовых подстановок, задав подстановку на прямом произведении F2m х F2m.
Определение 1. Пусть Х1,Х2 Е F2m, п1, п2, 7Г1, 7Г2 — подстановки на F2m. Подстановку Fa : F2m х F2m ^ F2m х F2m, определяемую уравнениями
будем называть подстановкой типа «А».
Данная подстановка предложена в [16] и её криптографические характеристики (как и криптографические характеристики некоторых других классов подстановок) теоретически обоснованы в [17]. В наиболее интересном с точки зрения практического применения случае m = 4 такая конструкция при подходящем выборе параметров позволяет построить 6-равномерную подстановку с нелинейностью 20 и алгебраической степенью 7.
Рассмотрим вопрос сложности реализации подстановок типа «А» на ПЛИС, который может быть оценён количеством используемых ресурсов ПЛИС, таких, как количество ячеек памяти и таблиц замены (LUT), которые в современных ПЛИС фирмы «Xilinx» реализуют произвольную булеву функцию от шести переменных. Для этого реализуем подстановки такого типа с использованием системы автоматизированного проектирования (САПР) Xilinx Vivado 2018.2 на ПЛИС Kintex-7 KC705 Evaluation Platform (xc7k325tffg900-2). В качестве стратегии оптимизации в части Synthуsis выбрана стратегия «Flow Area Optimized high», а в части Implemetation — стратегия «Area Explore». Исследуем также вопрос эффективности реализации на СБИС, который оценивается в условных вентилях (GE). Количество GE оценивалось в САПР ISE 9.2i на ПЛИС XC5VLX3 семейства Virtex5.
Для корректности сравнения рассмотрим три варианта реализации 8-битовой подстановки типа «А»:
— реализация «в лоб», с помощью которой можно реализовать произвольное отображение V8 ^ V8;
— реализация произвольного отображения V8 ^ V8 с использованием координатных функций, которое позволяет существенно сократить используемые ресурсы;
— реализация подстановки типа «A».
В случае реализации произвольного отображения V8 ^ V8 «в лоб» происходит запись таблицы значений преобразования в память. Экспериментальные исследования показали, что тип памяти, в которой хранится данная таблица, не влияет на оценку GE, необходимых для её хранения. Таким образом, будем рассматривать память
ni (xi) ■ Х2, Х2 = 0; 7Ti (Xi) , x2 = 0,
f (X1,X2,X3, . . . ,Xg) = <
типа BRAM. При реализации на ПЛИС будем использовать встроенные ячейки памяти. Результаты оценки количества GE, необходимых для реализации данной памяти, показали, что для реализации отображения в табличном виде необходимо 65 558 GE.
Для уменьшения количества GE, необходимых для реализации отображения V8 ^ V8, применим следующий подход. Так как LUT рассматриваемых ПЛИС реализуют произвольную булеву функцию от шести переменных, можно разбить входной вектор на две части: первые 2 бита и оставшиеся 6 бит соответственно. Рассмотрим отображение f : V8 ^ V8, а также функции /¿, i = 1, 2,3,4, fi : V8 ^ V8, которые существенным образом зависят лишь от шести переменных, причём
' fi (0, 0, x3,..., x8), если x1 = 0, x2 = 0;
f2 (0,1, x3,..., x8), если x1 = 0, x2 = 1;
f3 (1, 0, x3,..., x8), если x1 = 1, x2 = 0;
f4 (1,1, x3,..., x8), если x1 = 1, x2 = 1.
Таким образом, для реализации каждой функции fi, i = 1, 2, 3, 4, необходимо 6 LUT (ровно по одному LUT для реализации каждой из шести координатных функций). Для реализации мультиплексора (т. е. функции выбора выходной функции) необходимо ещё 8 LUT. Суммарное количество LUT, необходимых для данной реализации функции f, равно 40.
Экспериментальные исследования показали, что для реализации отображения f : V8 ^ V8 потребовалось 812 GE. Это примерно в 80 раз меньше, чем при реализации этого же отображения с использованием памяти.
Для реализации подстановки типа «А» требуется реализовать четыре подстановки на двоичных векторах длины 4, две операции сравнения, две операции сложения и два мультиплексора (см. определение 1). Экспериментальные исследования показали, что для реализации данной конструкции на ПЛИС необходимо 19 LUT. Это более чем в 2 раза меньше по сравнению с реализацией 8-битовой подстановки с использованием координатных функций. Результаты оценки количества GE, необходимых для реализации подстановки типа «А», показали, что необходимо лишь 147 GE — примерно в 5,5 раз меньше, чем требуется для реализации произвольной 8-битовой подстановки при помощи координатных функций, и почти в 446 раз меньше, чем при реализации этого же отображения с использованием памяти.
Полученные результаты позволяют утверждать, что подстановки, рассмотренные в [16], могут быть использованы при синтезе стойких низкоресурсных примитивов. В [17, 18] подстановки, обобщающие конструкции [16], потенциально могут использовать меньше ресурсов ПЛИС и СБИС, как, например, следующая подстановка
xi, y G F2m, i = 1, 2, для реализации которой необходимо реализовать две подстановки на двоичных векторах длины 4, по две операции сравнения и сложения и два мультиплексора (подстановка типа «G», рассмотренная в [17]):
a = x-1, b = x-1, c = a • b, d = a • x2; S (x1,x2) = (У1,У2) ,
c =0, _ (b, d = 0,
y2 =
c =0, I d, d = 0.
ЛИТЕРАТУРА
1. Shannon C. Communication theory of secrecy systems. // Bell System Technical J. 1949. No. 28. P. 656-715.
2. Rebeiro C., Selvakumar D., and Devi A. S. L. Bitslice implementation of AES // Cryptology and Network Security. 2006. P. 203-212. https://link.springer.com/chapter/10.1007/ 11935070_14.
3. Boss E., Grosso V., Tim Guneysu T., et al. Strong 8-bit sboxes with efficient masking in hardware //J. Cryptographic Engineering. 2017. No. 7(2). P. 149-165.
4. Kutzner S., Nguyen P. H., and Poschmann A. Enabling 3-share threshold implementations for all 4-bit s-boxes // LNCS. 2013. V.8565. P. 91-108.
5. Canteaut A., Duval S., and Leurent G. Construction of lightweight s-boxes using Feistel and MISTY structures (full version) // Cryptology ePrint Archive. 2015. No. 2015(711).
6. Lim C.H. CRYPTON: A New 128-bit Block Cipher - Specification and Analysis. http: //citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.52.5771. 1998.
7. Gerard B., Grosso V., Naya-Plasencia M., and Standaert F.-X. Block ciphers that are easier to mask: How far can we go? // LNCS. 2013. V. 8086. P. 383-399.
8. Matsui M. New block encryption algorithm MISTY // LNCS. 1997. V. 1267. P. 54-68.
9. Grosso V., Leurent G., Standaert F.-X., and Varici K. Ls-designs: Bitslice encryption for efficient masked software implementations // LNCS. 2014. V. 8540. P. 18-37.
10. Standaert F.-X., Piret G., Rouvroy G., et al. ICEBERG : An involutional cipher efficient for block encryption in reconfigurable hardware // LNCS. 2004. V.3017. P. 279-299.
11. Rijmen V. and Barreto P. The Khazad Legacy-Level Block Cipher. https://www. researchgate.net/publication/228924670_The_Khazad_legacy-level_block_cipher. 2018.
12. Lim C.-H. A revised version of Crypton - Crypton v1.0 // LNCS. 1999. V. 1636. P. 31-45.
13. Stallings W. The Whirlpool secure hash function // Cryptologia. 2006. No. 30(1). P. 55-67.
14. Perrin L., Udovenko A, and Biryukov A. Cryptanalysis of a theorem: Decomposing the only known solution to the big APN problem (full version) // Cryptology ePrint Archive. 2016. No. 2016(539).
15. De la Cruz Jimenez R. A. On some methods for constructing almost optimal s-boxes and their resilience against side-channel attacks // Cryptology ePrint Archive. 2018. No. 2018(618).
16. Fomin D. New classes of 8-bit permutations based on a butterfly structure // CTCrypt'18. 2018. https://ctcrypt.ru/files/files/2018/09_Fomin.pdf
17. Fomin D. On the way of constructing 2n-bit permutations from n-bit ones // CTCrypt'19. 2019 (в печати).
18. Фомин Д. Б. О подходах к построению низкоресурсных нелинейных преобразований // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2018. Т. 25(4). С. 379-381.
УДК 519.17 DOI 10.17223/2226308X/12/40
О ПАРАМЕТРАХ ГЕНЕРАТОРА РАУНДОВЫХ КЛЮЧЕЙ
АЛГОРИТМА 2-ГОСТ
В. М. Фомичев, А. М. Коренева, А. И. Тулебаев
Необходимость защиты информации в условиях ограниченных ресурсов определяет актуальность построения облегченных реализаций для известных криптографических алгоритмов. В 2014 г. была представлена низкоресурсная реализация ГОСТ 28147-89 под названием 2-ГОСТ. Несмотря на достоинства, схема имела потенциал в части усиления криптографической стойкости, в том числе за счёт модификации ключевого расписания. В 2018 г. предложен новый алгоритм генерации раундовых ключей для 2-ГОСТ на основе регистра сдвига длины 8 над множеством двоичных векторов длины 32. Вместе с тем параметры обратной свя-
