Об аналитическом решении систем матричных неравенств, двойственных к~системам неравенств Ляпунова Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 681.5.011 ББК 32.965

ОБ АНАЛИТИЧЕСКОМ РЕШЕНИИ СИСТЕМ МАТРИЧНЫХ НЕРАВЕНСТВ, ДВОЙСТВЕННЫХ К СИСТЕМАМ НЕРАВЕНСТВ ЛЯПУНОВА 1

Поздяев В. В.2

(Арзамасский политехнический институт (филиал) Нижегородского государственного технического университета,

Арзамас)

Рассмотрены системы неравенств Ляпунова произвольного порядка. Представлен аналитический способ нахождения решений двойственных систем матричных неравенств. Детально рассмотрены некоторые частные случаи, дающие достаточные условия неразрешимости исходных систем неравенств Ляпунова.

Ключевые слова: линейные системы, матричные неравенства, неравенства Ляпунова.

Введение

Системы линейных матричных неравенств (ЛМН) — один из важнейших инструментов современной теории управления. Одна из причин этого — разнообразие задач, сводимых к задачам выпуклой оптимизации с участием ЛМН [4]. Другая — наличие эффективных алгоритмов численного решения последних.

Для практической работы с ЛМН существуют различные программные продукты, как включенные в состав интегрированных сред MATLAB, SCILAB, так и разрабатываемые независимо. Тем не менее, теоретический анализ свойств таких систем

1 Работа выполнена при частичной финансовой поддержке РФФИ (гранты №07-01-92166, №08-01-97036).

2 Владимир Васильевич Поздяев, кандидат физико-математических наук, старший преподаватель ([email protected]).

58

неравенств, начинающийся с вопроса об их разрешимости, может представлять для исследователя ничуть не меньший интерес. По этой причине аналитические результаты имеют особую ценность.

Ввиду высокой сложности задача установления разрешимости систем ЛМН аналитическим путем до сих пор не решена даже для кажущегося простым случая систем нескольких неравенств Ляпунова, возникающих, например, в задачах об устойчивости систем случайной структуры с неизвестными вероятностями перехода [8] и систем, описываемых дифференциальными включениями [5]. Результаты в этой области малочисленны и имеют ограниченное применение. Первые результаты были получены Каменецким и Пятницким [5]. В своей работе они связывают разрешимость системы неравенств Ляпунова с существованием сед-ловой точки некоторой функции. Однако явного критерия разрешимости ими предложено не было. Необходимые условия разрешимости приводятся в [6, 7]; необходимые и достаточные критерии разрешимости некоторого ограниченного класса систем ЛМН второго порядка представлены в [9, 10, 11]. (Отметим, что квадратичные функции Ляпунова и ЛМН как средство их нахождения являются не единственным инструментом решения упомянутых задач — особенно при изучении нелинейных систем. Например, в [1] рассматриваются нелинейные переключаемые системы специального вида, и для них приводятся достаточные условия существования и способы построения различных неквадратичных функций Ляпунова.)

Автором был сформирован подход, на основе которого были получены аналитические критерии разрешимости систем неравенств Ляпунова произвольного конечного числа динамических систем второго порядка [2]. Позже он был распространен на линейные матричные неравенства второго порядка произвольного вида [3]. Данный подход и полученные с его помощью результаты могут иметь преимущество перед численными методами в таких задачах, как, например, определение множества значений параметров, для которых линейная система второго порядка с

59

переключениями, матрицы режимов которой зависят от данных параметров, будет устойчивой или стабилизируемой (с квадратичной общей функцией Ляпунова).

В силу вышеупомянутой сложности общей задачи естественным развитием полученных результатов могут стать аналитические критерии разрешимости для различных конкретных типов систем ЛМН произвольного порядка. В данной работе рассматривается один из базовых типов таких систем, а именно, системы классических неравенств Ляпунова (произвольного порядка). Мы показываем, как аналитически находить различные типы решений двойственных систем ЛМН, получая таким образом достаточные условия неразрешимости исходных систем неравенств Ляпунова.

1. Двойственные системы

Известно [4], что неразрешимость системы

(1) Р> 0, АТр + РАг < 0, г = 1,...,т,

где Аг £ Мгахга, эквивалентна существованию симметричных матриц Q0, ..., Qm, не всех равных нулю, таких что

т

Q0 ^ 0, . . . , Qm ^ 0, Q0 = ^^(^АТ + А^г).

г=1

Если известно, что все матрицы Аг устойчивы (в последующих параграфах мы будем предполагать, что это условие выполняется), неравенство Р > 0 в (1) является излишним и его можно исключить или, эквивалентно, положить Qo = 0. В этом случае неразрешимость (1) эквивалентна разрешимости

т

Q1 ^ 0 . . . , Qm ^ 0 ^^(^АТ + А^г) = °.

г=1

Далее нас будет интересовать нахождение (ненулевых) матриц Qi ^ 0, удовлетворяющих последнему уравнению.

60

Каждая из матриц Qi ^ 0 может быть представлена в форме Qi = 9г9гТ = 9г1?гТ1 + ... + Qinqj, qi G Rnxri, где r = rank Qi и qij — j-й столбец Qi. Двойственная система ЛМН тогда сводится к следующему уравнению относительно векторов Xk и у к:

m m ri

(2) ^(QiAT + AiQi) = ^ ^(QijqjaT + AiQijqii) = i=1 i=1 j=1

r

= 5^(Xfc УТ + Ук Xt) = 0 k=1

где r = ^m=1 ri; векторы xk, k = 1,..., r, равны q11, q12, ..., Q1ri, q21, ..., qmrm; векторы Ук — соответствующим A1q11, . . . ,

Amqmrm.

В следующих разделах мы представляем результаты, характеризующие свойства решений данного уравнения, и используем их для определения его разрешимости и нахождения решений при r = 2 и r = 3. Первый случай дает более конструктивную версию критерия, приведенного в [11]. Второй является существенно новым результатом и представляет собой следующий по сложности этап установления (не)разрешимости системы неравенств Ляпунова.

2. Вспомогательные результаты

Временно забудем о происхождении векторов Xk и ук и рассмотрим уравнение

r

(3) M = ^(xk yj + ykxT) = 0

k=1

как самостоятельный объект. Следующие результаты составляют основу дальнейших построений.

Лемма 1. Если выполняется равенство (3), то хотя бы один из векторов x1 и у1 является линейной комбинацией xk, k = 2,..., r.

Доказательство. Пусть г — произвольный вектор, ортогональный ж2, ..., жг: = 0, к = 2,..., г. Тогда

(4) гтМг = (гтЖк + гтук г) =

&=1

т т т т т т

= г жщ г + г = 2(г Ж1 )(у ! г).

Поскольку М = 0, выполняется хотя бы одно из равенств ж^ = 0

и утг = 0.

Предположим теперь, что некоторые из таких векторов г ортогональны только Ж1, а некоторые — только у1, так что для некоторого г1 мы имеем жт г1 = 0, но утг1 = 0, а для некоторого г2 — жтг2 = 0, но утг2 = 0. В этом случае вектор г = г1 + г2 был бы ортогонален ж2, ..., жг, но не ж1 или у1: жтг = жтг2 = 0 и ут^ = утг1 = 0. Поскольку мы только что доказали невозможность этого, необходимо имеем, что все подпространство таких векторов г ортогонально ж1 или у1. Или, эквивалентно, что хотя бы один из векторов ж1 и у1 принадлежит подпространству, натянутому на ж2, ..., жг, откуда и следует утверждение леммы.

Лемма 2. Предположим, что ж2 не является линейной комбинацией жз,..., жг. Тогда из

Г Г

^2 Скжк = С1ж1 + С2ж2 + ^ Скжк = 0,

к=1 к=3

где не все ск равны нулю, следует

Г

-С2У1 + С1У2 + ^ 4 жк = 0

к=3

для некоторых ск, к = 3,..., г (при г = 2 дополнительные слагаемые исчезают).

62

Доказательство. Из изначального предположения следует, что не существует нетривиальной равной нулю линейной комбинации ж2,..., жг, так что с1 = 0, и

ЕсД

----;

сі

Д=2 1

м = (жд УТ + ^жТ) = Е((жД (УД - ~ уі)Т + (УД - ~ Уі)хТ )•

Л=1 к=2 Сі Сі

Пусть г — произвольный вектор, ортогональный жэ, ..., жг: жТ2 = 0, к = 3, • • •, п (просто произвольный вектор при г = 2). Тогда

Т Т с2 Т Т с2 Т

(5) гТМг = гТЖ2(у2-------Уі)Т2 + 2Т(у2--------УіМ-г =

сі сі 2

= — (гТЖ2)((сіУ2 - С2уі)Тг). сі

Поскольку М = 0, выполняется хотя бы одно из равенств жТ2 = 0 и (сіу2 — с2уі)Т2 = 0. Рассмотрим случай жТ2 = 0. Так как ж2 не является линейной комбинацией жэ, • • •, жг, существует последовательность 2^ ^ г, такая что жТ2^ = 0, жТ2^ = 0 для всех і = 3, • • •, г, і = 1, 2, • • •; следовательно, и в этом случае также (сіУ2 — С2Уі)Т2 = 1іш^^те(сіУ2 — С2Уі)Т2?- = 0. Таким образом, все векторы 2 рассматриваемого вида ортогональны сіу2 — с2уі, или, эквивалентно, сіу2 — с2уі принадлежит подпространству, натянутому на жэ, ..., жг, откуда и следует утверждение леммы.

Замечание 1. Вместо ж і, ж2, уі и у2 мы можем рассматривать здесь жі, ж^-, у и у^- для произвольных і,і = ^••^г, і = і. Более того, для любого к мы можем поменять местами жд и уд. и применить данную лемму к новому набору векторов. В целом, данная лемма описывает некоторый трансформирующий оператор, который, будучи применен к нетривиальной нулевой

линейной комбинации векторов Uk (каждый из которых является одним из векторов жд и yk), заменяет два из них соответствующими векторами Vk (каждый из которых является другим из пары жд, yk), переворачивая коэффициенты при них из (c^, Cj) в (—Cj, Ci), и заменяет все остальные коэффициенты на некоторые новые неизвестные величины — результатом чего является новая нетривиальная нулевая линейная комбинация нового набора векторов.

Замечание 2. Предположение о линейной независимости в лемме 2 по отношению к проблеме (2) может быть ложным для специально подобранных систем или при r > n. Однако в остальных случаях оно выполняется, и далее мы будем считать его истинным в расширенной форме, подразумеваемой предыдущим примечанием.

3. Простейший случай: две пары векторов

Пусть m = 2 и (2) имеет решение с rank Q1 = rank Q2 = 1. Обозначим ж1 = qii, y1 = A1q11; ж2 = q21, y2 = A2q21. Лемма 1 утверждает, что с1ж1 + с2ж2 = 0 или c1A1x1 + с2ж2 = 0 для некоторых ненулевых C1 и C2. Лемма 2 дополняет эти уравнения равенствами —c2A1x1 + c1A2x2 = 0 и —с2ж1 + c1A2x2 = 0, соответственно. В матричной форме данные варианты могут быть записаны как

(6)

(7)

C1 E C2E x1

— C2A1 C1A2 _ X2

C1A1 C2E x1

E 2 C — C1A2 X2

= О,

О

и

где Е — единичная матрица. Для существования нетривиальных решений данных систем необходима вырожденность соответству-64

ющих матриц коэффициентов:

(8) det

c1E c2E

—C2A1 C1A2

= det(c2A2 + c2A1) = О

в первом случае и

(9) det

C1A1 C2E

—C2E C1A2

= det A2 det(cjA1 + c2A2 ) = О

во втором. Совместное решение (6) и (8), или (7) и (9) дает нам матрицы Q1 = x1xT и Q2 = x2xT, из чего вытекает следующий результат.

Теорема 1. Если m = 2 и (2) имеет решение с

rank Q1 = rank Q2 = 1, так что Q1 = x1xT и Q2 = x2xT, данное решение может быть найдено из (6) и (8), или же из (7) и (9), где c1 = О и с2 = О. Из существования такого решения следует неразрешимость исходной системы (1).

Уравнение (8) эквивалентно требованию вырожденности пучка матриц 3 ст7[0;те) [А1, А2]; уравнение (9) — требованию вы-

по-

рожденности пучка матриц ст7[0;те) [Аі, А- ]. С учетом этого лученное нами достаточное условие неразрешимости (1) схоже со следующим результатом, приведенным в [11] (теорема 3.1; формулировка незначительно изменена для соответствия контексту).

Теорема 2. Пусть А1 и А2 — две гурвицевы матрицы в Мга

такие, что существует решение Р = Рт ^ 0 уравнений Ляпу-

3 Здесь мы используем обозначения и термины из [11]. Пучком матриц ст7[о;то)[Аі , А2] называется семейство матриц вида ^(7) = А1 + 7А2, 7 Є [0; то). Пучокматриц ^7[0;то)[А1, А2] называется невырожденным, если £(7) невырождена для всех 7 Є [0; то), и вырожденным в противном случае. Необходимым и достаточным условием невырожденности ^7[0;то)[А1, А2] является отсутствие у данной пары матриц неположительных вещественных обобщенных собственных значений.

нова

АтP + PAi = — Ri ^ 0, i G {1, 2}

для некоторых положительно полуопределенных матриц Ri ранга n — 1. Предположим также, что не существует решения P = PT > 0 системы строгих матричных неравенств Ляпунова

ATP + PAi < 0, i g{1, 2}.

Тогда хотя бы один из пучков матриц а7[о;те)[А1, А2] и

СТ7[0;те)[А1, А-1 ] вырожден.

Данная теорема рассматривает один из типов пограничных конфигураций матриц A1 и A2, когда описываемые ими динамические системы не имеют строгой общей функции Ляпунова, но имеют нестрогую с дополнительными ограничениями на правые части соответствующих уравнений Ляпунова (rank Ri = n — 1). Отметим без доказательства, что для пограничных конфигураций введение этих дополнительных условий эквивалентно намерению искать решения системы двойственных матричных неравенств именно того типа, которому посвящен данный параграф. Наиболее существенным преимуществом нового результата (теорема 1) является то, что он применим не только к пограничным конфигурациям и, кроме того, является более конструктивным, позволяя непосредственно находить решения двойственной системы ЛМН.

4. Три пары векторов

Рассмотрим случай r = 3 и предположим, что никакие Qi,

i = 1,..., m, не равны нулю. Тогда имеет место одна из следующих конфигураций:

• m = 2, rankQ1 = 1, rank Q2 = 2:

Ж1 = 911, У1 = Ашь Ж2 = 921, У2 = А2921,

ж3 = 922, Уз = А2922;

• m = 2, rank Q1 = 2, rank Q2 = 1:

Ж1 = 911, У1 = А1911, Ж2 = 912, У2 = А1912,

жз = 921, Уз = А2921;

• m = 3, rank Q1 = rank Q2 = rank Q3 = 1:

X1 = 911, У1 = А1911, X2 = 921, У2 = А2921,

x3 = 931, Уз = Аз9з1.

Первые два варианта можно рассматривать как частные случаи последнего, в которых две из матриц А^ i = 1, 2, 3, совпадают. В данном параграфе мы остановимся на матрицах Qi ранга 1, а одну из оставшихся конфигураций рассмотрим далее в качестве примера.

Как и ранее, начнем с двух возможностей, предоставляемых леммой 1:

(10) С1Х1 + С2Ж2 + С3Ж3 = 0 или

(11) С1А1Ж1 + С2Ж2 + С3Ж3 = 0,

где не все Ci, i = 1, 2, 3, равны нулю; из второго примечания к лемме 2 следует, что ни одно из Ci не является нулем. Рассмотрим вариант (10). Применение трансформации, описанной в первом примечании к лемме 2, к слагаемым, содержащим ж и Ж2, Ж2 и ж3, ж3 и x1, дает три следующие линейные комбинации:

(12) —С2У1 + С1У2 + с'з^з = 0,

(13) c1x1 — С3У2 + С2У3 = 0,

(14) С3У1 + 4^2 — С1У3 = 0.

Возьмем (12) и применим трансформацию снова, на этот раз ко второму и третьему слагаемым (y2 и ж3):

(15) С'/У1 — с'зЖ2 + С1У3 = 0.

В силу второго примечания к лемме 2 все нулевые линейные комбинации каждого конкретного набора жд и уд могут отличаться только скалярным множителем. Сравнивая (15) и (14), получаем C3 = C2. Применив трансформацию к у1 и ж3 в (12), получаем комбинацию

—с'зЖ1 + С2У2 — С2У3 = 0,

которая после сравнения с (13) дает c1 = c;3. Учитывая, что Ук = Аджд, мы можем записать (10) и (12)-(14) в матричном

67

:ь с' = сі = с2 = с3)

С1Е С2Е сзЕ

—С2А1 С1А2 с'Е

с'Е —сЗА2 С2А3

С3А1 с'Е —С1А3

Х1

Х2

Хз

Умножением строк и столбцов матрицы коэффициентов на подходящие скалярные величины эта система может быть далее приведена к виду

Е Е Е

—71^1 72 А2 Е

Е —72А2 7зАз

71^1 Е —7зАз

С1Х1

С2Ж2

С3Ж3

0

где 7г = с0/с2, с0 = с1с2сз/с;. Отметим особо, что все величины 7г имеют одинаковые знаки. Кроме того, сумма последних трех блочных строк новой матрицы коэффициентов равна первой строке, так что одна из соответствующих линейных комбинаций является излишней. Исключая, например, первую строку, мы получаем матрицу 3п х 3п

С =

—71А1 72А2 Е

Е —72А2 73А3

7і Аі Е —7з Аз

ядро которой нас и интересует. Таким образом, мы приходим к следующей последовательности шагов.

1. Построить матрицу Сь

2. Найти ненулевые величины 7^, г = 1, 2, 3, имеющие одинаковые знаки, такие, что С вырождена. Если решение не найдено,

68

то или двойственная система ЛМН неразрешима или ее решения принадлежат другим конфигурациям (возможно, с другим суммарным рангом r).

3. Найти CiXi как соответствующие части нетривиального решения Giz = 0.

4. Умножить CiXi на vTYT, получив векторы

ж' = signciy/|cojxi. Поскольку общие скалярные множители векторов Ж', также как и их знаки, не имеют существенного влияния на соответствующие решения двойственной ЛМН, найденные векторы ж' являются допустимыми значениями Ж'.

5. Положить Q = ж'ж'Т; подставить полученные матрицы в (2) для проверки.

Второй вариант (11) отличается от первого (10) лишь тем, что векторы xi и yi или, эквивалентно, E и Ai в первом столбце матрицы Gi, меняются ролями:

" —YiE 72А2 E

G = Ai —Y2 A2 Y3A3

Yi E E —Y3A3

Таким образом, мы доказали следующую теорему.

Теорема 3. Если т = 3 и (2) имеет решение с

rank Qi = rank Q2 = rank Q3 = 1, так что Qi = ж^^ Q2 = ж2жТ и Q3 = ж3жТ, данное решение может быть найдено с помощью построения матриц Gi и/или G2 и применения к ним указанной выше последовательности шагов. Из существования такого решения следует неразрешимость исходной системы (1).

Замечание 3. Другие конфигурации Q из числа указанных в начале параграфа можно свести к данной путем рассмотрения троек матриц (Ai, A2, A2) или (Ai, Ai, A2) вместо (Ai, A2, A3).

5. Пример

Рассмотрим систему неравенств Ляпунова (1) со следующими устойчивыми матрицами:

' -0,485 0,88І 0,302

Ai = 0,309 -0,805 0,008

-0,880 -0,332 0,072

-0,836 0,373 0,693

А2 = -0,448 -0,362 -0,399

-0,039 0,І60 -0,326

Ни один из пучков матриц [Ai, A2] и [Ai, A-1 ] не является вырожденным, так что критерий, приведенный в параграфе 3, здесь неприменим. Покажем, однако, что существует решение двойственного уравнения (2) с rank Q1 = 2 и rank Q2 = 1. В соответствии с параграфом 4, формируем матрицу G2 из тройки (A1,A1,A2) вместо (А1,А2,Аз):

" -YiE Y2 E —Yi . .0

G2 = Ai 2 Y2 1 Y3A2 =

YiE E —Y3 A2 0 . . 0,326y3

Определитель det С2 является многочленом шестой степени от трех переменных 7^, кубическим относительно каждой переменной по отдельности. Уравнение det ^2 = 0 имеет бесконечно много решений, образующих поверхность в пространстве величин 7^ (как отмечалось ранее, нас интересуют только решения в октантах, где все т* имеют одинаковые знаки). Мы можем произвольным образом выбрать две из них, например, 71 и 72, из 70

множества, образованного проекцией данной поверхности на соответствующую координатную плоскость, а затем решить уравнение det = 0, чтобы найти третью. Границы такой проекции могут быть найдены построением неявно заданной поверхности det С2 = 0 или, более формально, анализом дискриминанта ^(71,72) полинома det С2 относительно 73 (рис. 1).

В данном случае допустимые значения 71 и 72 находятся внутри двойного сектора в первом и третьем квадрантах. Взяв произвольную точку в этом секторе, например, 71 = 1, 72 = 3, и решив det ^2 = 0 относительно 73, получаем два положительных корня: 3,827 и 10,544 (рис. 2). Возьмем первый из них, подставим

7 = [1 3 3,827] в ^2 и найдем любое нетривиальное решение

С22 = 0:

2 = [0,299 0,428 -0,132 0,014 -0,042 ...

0,704 -0,206 0,295 -0,289]Т . Извлекая векторы Жг, получаем 911 = Ж1 = /Ы [21 22 2з]Т = [0,299 0,428 -0,132]Т ,

Рис. 2. Сечение det G2 = 0 плоскостью y1 = 1

912 = Х2 = VN [Z4 Z5 z6]T = [0,024 -0,073 1,219]T ,

921 = X3 = VN [Z7 Z8 ZgjT = [-0,403 0,577 -0,565]T .

Нахождение Q1 = 911qT1 + 9129T2 и Q2 = 9219T1 и подстановка результата в (2) показывает, что полученные матрицы действительно являются решениями двойственной системы ЛМН, и, таким образом, исходная система (1) для заданных матриц A1 и А2 неразрешима.

6. Заключение

В данной работе показано, как аналитически находить решения системы ЛМН, двойственной к системе неравенств Ляпунова, с суммарным рангом r = m=1 rank Qi, не превышающим 3. Случай r = 2 дает более конструктивную версию известного ранее критерия; случай r = 3 является существенно новым результатом, представляющим собой следующий по сложности этап установления разрешимости системы неравенств Ляпунова. Те же базовые леммы и общий подход, продемонстрированный в параграфе 4, могут быть применены и к поиску решений с более высокими значениями суммарного ранга. Конечно, в этом случае сложность анализируемых полиномов будет существенно выше,

72

что делает важным структурный анализ матриц коэффициентов и их определителей. Это особенно актуально, когда m невелико, а индивидуальные ранги матриц Qi превышают единицу.

Литература

1. АЛЕКСАНДРОВ А.Ю., ПЛАТОНОВ А. В. Об абсолютной устойчивости одного класса нелинейных систем с переключениями // Автоматика и телемеханика. - 2008. - №7. -С. 3-18.

2. ПАКШИН П. В., ПОЗДЯЕВ В. В. Критерий существования общей квадратичной функции Ляпунова множества линейных систем второго порядка // Известия РАН. Теория и системы управления. - 2005. - №4. - С. 22-27.

3. ПАКШИН П. В., ПОЗДЯЕВ В. В. Условия разрешимости системы линейных матричных неравенств второго порядка // Известия РАН. Теория и системы управления. -2006. - №5. - С. 5-14.

4. BOYD S., EL GHAOUIL., FERON E., BALAKRISHNAN V. Linear matrix inequalities in system and control theory. -SIAM, 1994.

5. KAMENETSKII V.A., PYATNITSKII YE. S. An iterative method of Lyapunov function construction for differential inclusion // System and Control Letters. - 1987. - V. 8. -P. 445-451.

6. OOBA T., FUNAHASHI Y. Two Conditions Concerning Common Quadratic Lyapunov Functions for Linear Systems // IEEE Trans. Automat. Contr. - 1997. - V. 42, №5. - P. 719721.

7. OOBA T., FUNAHASHI Y. On a Common Quadratic Lyapunov Function for Widely Distant Systems // IEEE Trans. Automat. Contr. - 1997. - V. 42, №12. - P. 1697-1699.

8. PAKSHIN P. V. Robust Stability and Stabilization of the Family of Jumping Stochastic Systems // Nonlinear Analysis, Theory, Methods and Applications. - 1997. - V. 30. - P. 28552866.

9. SHORTEN R. N., MASON O., O’CAIRBRE F., CURRAN P. A unifying framework for the circle criterion and other quadratic stability criteria // Proceedings of the European Control Conference. - Cambridge, 2003. - P. 1-6 (CD-ROM).

10. SHORTEN R. N., NARENDRA K. Necessary and sufficient conditions for the existence of a common quadratic Lyapunov function for a finite number of stable second order linear time-invariant systems // International Journal of Adaptive Control and Signal Processing. - 2002. - V. 16. - P. 709-728.

11. SHORTEN R.N., NARENDRA K. S., MASON O. A result on common quadratic Lyapunov functions // IEEE Trans. Automat. Control. - 2003. - V. 48, №1. - P. 110-113.

ON AN ANALYTICAL SOLUTION OF SYSTEMS OF MATRIX INEQUALITIES DUAL TO LYAPUNOV INEQUALITY SYSTEMS

Vladimir Pozdyaev, Arzamas Polytechnical Institute of Nizhny Novgorod State Technical University, Arzamas, Cand.Sc., assistant professor ([email protected]).

Abstract: Systems of Lyapunov inequalities of arbitrary order are considered. A way to analytically find solutions of dual matrix inequality systems is presented. Some particular cases are considered in detail, providing sufficient conditions of original Lyapunov inequality systems’ infeasibility.

Keywords: linear systems, matrix inequalities, Lyapunov inequalities.

Статья представлена к публикации членом редакционной коллегии Б. Т. Поляком.