Об аналитических свойствах L-функций числовых полей Текст научной статьи по специальности «Математика»

О >< и - z0,z > +dF(zn)< и\у >, Vm = (jc,v) e grF, we В,

или

О >< u - z0,z >, Vu e gr/-' + dF(z0)' ({°.v)* Ю ■ Таким образом, получаем

г е -К+(z0, grF + dF (z0) • ({0Д.} x Я)) (16)

Из результатов [5, с. 222] следует, что

АГ(^(г0)) = [К(ф0-у|)]\ VveQ(z0). (17)

Преобразуем конус из соотношения (16), используя лемму 1 из [4J и соотношение (17). При любом veQ(z0) получаем

- K+{z0,ffF + dF(z0) ■ ({0 у} х tí)) = -[K(grF - {дг0} x H'(z„))]+ =

= -k((x0>v)>grF)-/r((x0>v),{jc0}x^(z0))]+ = (18)

= -Kf((*o.v),grF) n {A' x К(5||y0 - v¡¡)}. Подставляя в соотношение (16) выражение (18), учитывая условие (15) и соотношения (4), имеем

z е {X х д\\у0 - v||} п -К +((*0,v),grF), Vv е Q(z0).

Откуда и следует справедливость формулы (6) в данном случае. Теорема доказана.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Минченко ЛИ., Борисенко ОФ.. Грицай СП. Многозначный анализ и возмущенные задачи нелинейного программирования Минск: Навука i тэхшка, 1993

2. Иоффе А.Д., Тихомиров ВМ. Теория экстремальных задач М Наука, ¡974

3. Пшеничный Б.Н. Выпуклый анализ и экстремальные задачи М Наука, 1980

4. Дудов С.И. Субдифференцируемость и супердифференцнруемость функции расстояния//Мат. заметки 1997 Т 61, №4 С. 530-- 542.

5 Демьянов В. Ф.. Васильев Л.В. Недифференцируемая илтимизапия М Наука,

1981.

УДК 511.23

О. А. Королева

ОБ АНАЛИТИЧЕСКИХ СВОЙСТВАХ / -ФУНКЦИЙ ЧИСЛОВЫХ НОЛЕЙ

Пусть К - конечное, нормальное расширение поля к, и - группа Га-луа этого расширения. Пусть {М(ц)}, цеС - представление группы О матрицами над полем комплексных чисел. Характер х(М-). связанный с данным представлением, определяется на элементах д как след матрицы М(д).

/.-функция Артина определяется следующим образом [1]:

р I

К/к Р

н{ру

где произведение берется по веем простым, неразветвленным над К, идеа-

' К/к'

лам поля к и где

Р

- автоморфизм Фробениуса простого идеала рас-

ширения К/к

В случае абелевого расширения и простого характера х ¿-функция Артина, за вычетом множителей, относящихся к простым разветвленным идеалам, совпадает с ¿-функцией Дирихле.

Известная гипотеза Артина [2] предполагает, что в случае неглавного характера ¿-функция (1) определяет целую функцию.

Брауэр [3] доказал, что ¿-функция (1) представима в следующем

виде:

гЩз^к/цТ

ь(5Л,к/к)=-

где К / ¿,, К/QJ - циклические расширения, а X;. Ху ~ простые характеры

этих циклических расширений.

В связи с решением (в отдельных случаях) гипотезы Артина представляет интерес задача разложения ¿-функции циклического расширения в произведение ¿-функций абелевого расширения поля рациональных

чисел (2

В этом направлении доказаны следующие утверждения ТЕОРЕМА 1 Пусть каК - циклическое расширение, где К - абелево расширение поля (¿. Тогда имеет место разложение

¡к^К/к^П/^К/О), /

где произведение берется по всем характерам х,, полученным в результате продолжения характерах с подгруппы Са/(К/к) на группу Оа/(К/О).

ТЕОРЕМА 2 Пусть к абелево над каК - циклическое расширение и К с ¿, где ¿ - круговое расширение поля к. Тогда существует такое абелево расширение ¿, поля (2, что имеет место разложение

I

где произведение берётся по [¿г: о] характерам поля ¿,.

Основным моментом доказательства является доказательство того факта, что в рассматриваемом случае для каждого характера Дирихле х

Л

расширения kczK существует такой характер х поля Q , для которого

Л

х(РЬХИР))-

Отметим, что утверждения теорем 1 и 2 позволяют уточнить в отдельных случаях, например в случае бесквадратного расширения, известный результат Брауэра о мероморфности /,-функции Артина. Брауэр показал, что /--функцию Артина можно представить в виде

П £»(*.*/) -, (2)

П^.Ху)

>=1

где ¿,, Lj - /.-функции Дирихле, отвечающие характерам Дирихле циклических подгрупп. Результаты теорем 1 и 2 позволяют производить сокращения в представлении (2).

Заметим также, что задача разложения ¿-функции поля к в произведение ¿-функций поля рациональных чисел Q представляет самостоятельный интерес в связи с решением других задач теории ¿-функций.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 1 Алгебраическая теория чисел / Под ред. Дж Касселса, А Фрелиха. M Мир,

1969.

2. Brauer R. On Artin's ¿-series with general group characters // Ann Math 1947. Vol 48 P 502 - 504

3 Arlin E. Uber eine neue Art von ¿-Reihen // Abh Math. Semin Univ Hamburg, 1923. Vol 3. P 89 - 108.

УДК 511.13

М. В. Кудрявцев

ОЦЕНКА РАЦИОНАЛЬНОЙ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКОЙ СУММЫ СО ЗНАМЕНАТЕЛЕМ рп

Пусть п £ 2 - целое число, р - нечетное простое число, Ор - кольцо целых р -адических чисел, х(х) ~ характер Дирихле по модулю р, /(д:) = Р(х)/()(х), где Р(х)уО(х) - многочлены с целыми рациональными