Об аналитических свойствах функции Вейля оператора Штурма – Лиувилля с комплексным убывающим потенциалом Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1863 Уфимский математический журнал. Том 5. № 1 (2013). С. 36-55.

УДК 517.9

ОБ АНАЛИТИЧЕСКИХ СВОЙСТВАХ ФУНКЦИИ ВЕЙЛЯ ОПЕРАТОРА ШТУРМА - ЛИУВИЛЛЯ С КОМПЛЕКСНЫМ УБЫВАЮЩИМ ПОТЕНЦИАЛОМ

Х.К. ИШКИН

Аннотация. Изучаются спектральные свойства оператора Lß, ассоциированно-

ОО

го с квадратичной формой Lß[y] = f (|y/12 — ßx-Y|y|2)dx с областью определения

о

Qo = {y £ WKO, ж) : y( 0) = 0}, 0 <y<2, ß £ C, а также возмущенного оператора Mß = Lß + W. При условии (l + x7/2) W £ Ll(0, +ж) доказано существование конечного квантового дефекта дискретного спектра, которое ранее было установлено Л.А. Сахновичем при ß > 0,7 = 1, вещественном W, удовлетворяющем более жесткому условию убывания на бесконечности. Основной результат статьи — доказательство необходимости полученных ранее Х.Х. Муртазиным достаточных условий на W(x), при которых функция Вейля оператора Mß допускает аналитическое продолжение на некоторый угол из нефизического листа.

Ключевые слова: спектральная неустойчивость, локализация спектра, квантовый дефект, функция Вейля, преобразование Дарбу.

1. Введение

Оператор L, действующий в некотором гильбертовом пространстве H, условимся называть близким к самосопряженному, если L = L0 + V, где L0 самосопряжен, V компактен относительно L0, то есть D(V) D D(L0) и оператор V(L0 + i)-1 компактен. Если оператор L0 полуограничен снизу и при некотором r > 0 оператор (L0 + r)-1/2V(L0 + r)-1/2 компактен, то оператор L = L0 + V, где сумма понимается в смысле квадратичных форм, будем называть близким к самосопряженному в смысле квадратичных форм. Операторы, близкие к самосопряженным, составляют тот естественный класс несамосопряженных операторов, к которым применимы методы абстрактной теории возмущений, что позволяет получить результаты достаточно общего характера об асимптотическом поведении спектра и свойствах системы корневых векторов. Так, согласно теореме М.В. Келдыша [1], если L0 — самосопряженный оператор с дискретным спектром, функция распределения которого N(r, L0) (количество собственных значений, с учетом кратности, в интервале (—r, r)) удовлетворяет некоторому условию (К)1, то любой оператор L, близкий к L0, обладает свойствами:

а) система корневых векторов L полна в H;

Kh.K. Ishkin, On analytic properties of Weyl function of Sturm - Liouville operator with a decaying complex potential.

© Ишкин Х.К. 2013.

Работа поддержана Министерством образования и науки РФ (соглашение 14.B37.21.0358) и РФФИ (гранты №№ 12-01-00567-а, 11-01-97009-р_поволжье_а).

Поступила 15 января 2013 г.

1Это условие заключается в существовании некоторой функции y>(r) такой, что N(r,Lo) ~ ¡p(r) при r ^ +ж и <^(r) удовлетворяет тауберовым условиям Келдыша [1, 2], которые впоследствии были обобщены Б.И. Коренблюмом [3].

б) спектр оператора Ь имеет ту же асимптотику, что и спектр оператора Ь0, то есть при любом є > 0 спектр оператора Ь вне углов (|а^А| < є} и (|а^А — п| < є} конечен, и для функции N (г, Ь) — количества собственных значений оператора Ь, с учетом их алгебраических кратностей, в круге |А| < г — справедливо соотношение

При более жестких условиях на функцию N (г, Ь0) и порядок малости V можно получить утверждения о базисности (в каком-либо смысле) системы корневых векторов (см. [4] — [6]) и уточнить асимптотику собственных чисел вплоть до того, что можно вычислить регуляризованные следы (см.[7] и имеющиеся там ссылки).

Таким образом, любой оператор Ь, близкий к самосопряженному оператору Ь0 с функцией распределения спектра N (г, Ь0), удовлетворяющей условию (К), обладает свойством спектральной устойчивости в следующем смысле: любое возмущение Ь вида М = Ь + Ш, где Ш — Ь-компактен, обладает свойствами а) и б), где вместо (1) имеем

Известно (см., например, [8] и библиографию к ней), что операторы, не близкие к самосопряженным, такой устойчивостью не обладают. Предположим теперь, что L близок к самосопряженному оператору L0, спектр которого не дискретен, то есть a(Lc) = adisc(Lo) U ^ss(Lo), где Odisc(Lo) и aess(Lo)(= 0) — соответственно дискретная и существенная части спектра L0. Поскольку при относительно компактном возмущении существенный спектр не меняется (см.[9, с. 306]), то aess(L) = aess(L0) = 0. Пусть ^disc(L) = (Afc}£=!, где Afc пронумерованы с учетом алгебраических кратностей, и пусть существует конечный или бесконечный предел l = lim Ak.

Поставим вопрос: каков класс возмущений W, сохраняющих асимптотику дискретного спектра L в следующем смысле: собственные числа ^k оператора M = L + W можно пронумеровать так, что

сепарабельном гильбертовом пространстве Н можно превратить в самосопряженный оператор Ь0 + V с чисто точечным спектром, прибавив к нему оператор Гильберта - Шмидта,

V со сколь угодно малой нормой. Поэтому естественно ожидать, что классы возмущений Ш, сохраняющих асимптотику дискретного спектра операторов Ьі и Ь2, могут сильно отличаться даже в том случае, когда Ь1 и Ь2 близки к одному и тому же самосопряженному оператору. Кроме того, возмущения операторов могут быть однозначно определены по спектру (или по его части) только в исключительных случаях (см.[10] и Теорему 5 ниже). Так что представляется более корректной следующая

Задача 1. Дан оператор Ь, спектр которого обладает свойствами Р = Раі8с Л Ре88, где РашС и Ре88 — некоторые свойства соответственно дискретной и существенной частей спектра Ь. Требуется найти условия (по возможности необходимые и достаточные) на возмущения Ш, при которых спектр оператора М = Ь + Ш обладает теми же свойствами.

Конечно, задача в такой абстрактной форме вряд ли разрешима: не понятно, как выбрать свойства Ре88, еще более не понятно, как из свойств Р извлечь условия на Ш. Тем не менее, для отдельных классов операторов (например, дифференциальных) удается сформулировать условия (вполне естественные) на спектр и дать точное описание класса возмущений, сохраняющих эти свойства [11, 12].

N(r, L) ~ N(r, L0), r ^ +то.

(1)

N(r, M) ~ N(r, L), r ^ +to.

^к ~ Ак, к ^ то? (3)

Согласно теореме Вейля - фон Неймана [9, с. 648] любой самосопряженный оператор Ь0 в

(3)

Пусть

Рассмотрим семейство квадратичных форм Св [у] = /(|у'|2 — дв (ж)|у|2)^ж с областью опре-

о

деления ^0 = {у Є (0, то) : у(0) = 0}, где 0 < 7 < 2 считается фиксированным — мы будем изучать зависимость только от параметра в Є С (см. §2):

Лемма 1. С в — голоморфное семейство типа (А) на С, т.е. [9, с. 494]:

1)при каждом в Є С форма Св секториальна и замкнута;

2)для каждого у Є ^0 функция f (в) = Св [у] целая.

Из п.1) леммы 1 по теореме о представлении [9, с. 404] следует, что при каждом в Є С существует т-секториальный оператор Ьв, ассоциированный с формой С в. Семейство Ьв называется аналитическим семейством типа (В) (см. [9, с. 494]).

Лемма 2. Оператор Ьв определяется следующим образом:

ЬвУ = —У" — ЗвУ>

Б(Ьв) = {у Є Ь2(0, +то) : у' Є АС[0, Ь] V Ь > 0, —у" — дву Є Ь2(0, +то), у(0) = 0}. (4)

Оператор Ьв при любом в Є С является близким (в смысле квадратичных форм) к самосопряженному оператору Ь0 := Ьв|в=0 (см. §2, Лемма 3), а потому [13, с. 133] ае88(Ьв) = ае88(Ь0) = [0, +то) V в Є С. Однако с дискретным спектром мы имеем совершенно другую картину (Теорема 1):

при 0 < |а^в| < п 0ашС(Ьв) состоит из бесконечного числа простых (алгебраиче-

ской кратности 1) собственных чисел, имеющих вид1 Ак(в) = — в2/(2-7)г&, к = 1, 2,... , где Гк \ 0, к ^ +то,

при п < |а^в | < п дискретный спектр оператора Ь(в) пуст.

Поэтому свойство Р, фигурирующее в Задаче 1, видимо, должно как-то зависеть от в.

В предлагаемой статье сформулировано некоторое свойство Рв (в терминах функции Вейля оператора Ьв) и получено необходимое и достаточное условие на функцию Ш(ж), при котором оператор Мв, который получается из Ьв заменой потенциала дв(ж) на дв (ж) + Ш (ж), также обладает свойством Рв. При этом оказалось, что это условие при комплексном параметре в существенно отличается от соответствующего условия в случае вещественного в.

Основной результат статьи — Теорема 6 (§5). Но прежде чем сформулировать ее, мы в §3 и §4 устанавливаем некоторые свойства соответственно аналитических (Теоремы 2, 3) и финитных (Теоремы 4, 5) возмущений оператора Ьв, наводящие в некотором смысле на основной результат.

Наш выбор Ьв в качестве невозмущенного оператора обусловлен следующим: операторы Штурма - Лиувилля с комплексным убывающим потенциалом изучены достаточно подробно (см. [14] —[19] и имеющиеся там ссылки), вместе с тем до сих пор остается открытым вопрос о степени необходимости известных достаточных условий на потенциал, при которых удается получить асимптотику дискретного спектра (см. Замечание 2). Ниже будет показано, что этот вопрос является частью Задачи 1.

2. СВОЙСТВА ОПЕРАТОРОВ Ьв

Доказательство Леммы 1. Пусть є > 0. Имеем — = д1(ж) + д2(ж), где

ж7

ді(ж) = {с■ ж>ж,<4' д2(ж) = ^—«і-

1 Здесь и всюду далее, если не оговорено другое, ветвь функции ха (а € К) выбираем так, что га > 0

при г > 0.

1 £

где число 6£ выбрано так, чтобы — < —- при х € (0,$£]. Тогда в силу известного нера-

х7 4х2

венства (см., например, [20, с. 132]) для всех у € ^0

^ у,^<£1у'!2 + Ce\\y\\2, (5)

с некоторой постоянной С£ > 0.

Следовательно, квадратичная форма ( — у, у ) ограничена относительно замкнутой по-

Vх7 )

ложительной формы С0[у] = ||у'||2, Д(С0) = ^0, и относительная грань равна нулю. Отсюда (см. [9, с. 425] следует пункт 1).

Утверждение 2) очевидно. Лемма доказана.

Доказательство Леммы 2. Обозначим через Св[у, V] полуторалинейную форму, задаваемую квадратичной формой С в [у] с помощью поляризационного тождества (см. [9, с. 387]):

1 3

Св М = т Е г-кСв [у + *к^у + гкV].

4 к=0

Ясно, что

СЮ

Св[У, ^ = / (у/^/ - (х)у^) ^ У, v € ^0.

0

Далее, обозначим через Дв правую часть (4) и докажем, что ^(Ьв) С Дв.

Пусть у € Д(Ь«) и ¿ву = f. Тогда по теореме о представлении

СЮ

(Л ^ = Св^ v] := J (у^' - ?в(х)у^) ^ v € (6)

0

Пусть (а, Ь) С (0, +то). Тогда равенство (6) верно для всех V, принадлежащих множеству

Я'аЪ = {у € а : у(х) = 0 при х € (^ Ь)}.

Пусть к — первообразная функции —f — дв(х)у на интервале (а, Ь):

к' = —f — дв(х)у п.в. на(а, Ь).

Тогда при всех V € ^ъ:

ю Ъ Ъ

У ^ + дв(х)у) г^х = —J к'г^х = J Ш'в^х.

0 а а

С другой стороны, из (6) имеем:

Ъ Ъ

! ^ + дв(х)у) ^х = J у'^х.

аа

Следовательно,

Ъ

(к — у'У^х = 0 для всех V € ааЪ. (7)

а

Обозначим через ^аь сужение Н — у' на (а, Ь). Тогда (7) означает, что

^аЬ ^ ^апТаЬ, (8

где ТаЬ — оператор с областью определения 0(ТаЬ) = {V Є (а, Ь) : ^(а) = ^(Ь) = 0}.

В свою очередь, (8) равносильно утверждению ^а, Е Kei^T^,)- Имеем T*b = — dx, D(T^b) = W2(a,b), так что ^ab = c = const п.в. на (a, b), откуда в силу произвольности a,b у' = h — c п.в. на (0, +то). Следовательно, у' Е AC[0,b] V b > 0 и

—у'' = / + qeт-е- Ley = —у'' + qe(х)У-

Докажем теперь, что Dp С D(L@). По определению оператора, ассоциированного с квадратичной формой (см. [9, с. 404]), если у Е Q0, w Е L2(0, +то) и равенство

Le [y,v] = (w,v) (9)

справедливо для всех v, принадлежащих ядру1 формы , то у Е D(L^) и L^у = w.

Покажем, что СО°(0, +то) является ядром для Lp. Замыкание СО°(0, +то) по норме

ОО

W2(0, +то) есть Q0, поэтому СО(0, +то) является ядром для формы L0 [y,v] = J y'v'dx

0

с D(L0) = Q0. Отсюда в силу неравенства (5) следует, что СО(0, +то) есть ядро для Le[у, v] при всех в Е C.

Пусть у Е De и / = —у'' — qe(ж)у. Тогда согласно (9)

СО

Le[y,v] = y (yV — q@(x)y) vdx = (f, v), для любого v E 00(0, +to). о

С другой стороны, интегрируя по частям, имеем:

СО

Le [y,v] = J(—y"— qe (х)У) vdx = (f,v)

о

следовательно, (f — w,v) = 0 для любого v E 00(0, +то). Но 00(0, +то) всюду плотно в L2(0, +то), следовательно, w = f п.в. на (a,b). Отсюда следует, что y E D(Lв) и ¿вy = — y/; — qe (x)y. Тем самым лемма доказана.

Пусть L0 = ¿в 1в=о, то есть L0y = —y", y E D(L0) = {y E W|(0, +то) : y(0) = 0}.

Справедлива

Лемма 3. Пусть q — оператор умножения на функцию x-Y. Тогда при любом r > 0 оператор K = (L0 + r)-1 q(L0 + r)-2 компактен.

Доказательство. Пусть $ > 0, Хі,Х2,Хз — характеристические функции промежутков (0,$), ($, 1) и (1, +то) соответственно. Тогда K = K1 + K2 + K3, где

K = (L0 + r)-1 qx»(L0 + r)-1, i = 1, 3. Поскольку ядро резольвенты (L0 + 1)-1 имеет вид:

G( ,) = j shxe-t, 0 < x < t,

G(x,t) = j e-xsht, 0 < t < x,

то qx2(L0 + 1)-1 — оператор Гильберта-Шмидта. Известно [13, с. 403], что если Н0 — положительный самосопряженный оператор, V — симметрический оператор с D(V) D D(H0), то из компактности оператора V(H0 + 1)-1 следует компактность (H0 + 1)-2 V(H0 + 1)-1. Поэтому оператор K2 компактен.

Далее, поскольку ||K31| < sup | qx3 |= $Y ^ 0,$ ^ 0, то для доказательства леммы

достаточно убедиться, что |K1|^ 0, $ ^ 0.

Если $ < 1, то для любого u E L2(0, +то) имеем

(K1u,u) < 4$2-Y ^ 1 x-2(L0 + 1)-1 u, (L0 + 1)-1 u^ .

1По определению (см. [9, с. 397]), линейное подпространство ОУ множества Qo называется ядром формы С в, если замыкание сужения С в на О совпадает с £д.

В силу принципа неопределенности [21, с. 192]

1 Г™ і

4 (х-2у,у) </ ЬТ= 11Ьо2 УІ^ V у Є а.

і

поэтому (Ки, и) < 462-71|¿02 (¿о + 1)-1 и||2 < 462-7||м||2. Отсюда поскольку для любого ограниченного самосопряженного оператора А на всем гильбертовом пространстве Н = вир|(Аи,и)| [22, с. 240] , то ЦК1Ц < 462-7 —— 0, 6 —— 0. Лемма доказана.

Теорема 1. Справедливы утверждения:

1) при 0 < |а^в| < 2-гп ) состоит из бесконечного числа простых (геометрической кратности 1) собственных чисел, лежащих на луче а^(—А) = , а именно,

ГО

^"іІІ8С(Ьв) І ] Ак (в)

к=1

и

Ак (в) = -в2/(2-7)Гк, (10)

где —гк — занумерованные в порядке возрастания собственные числа самосопряженного оператора Ь (то есть |^=г), которые имеют асимптотику

Гк

С ■ (к — 1 /4)-2т/(2-т) , к ^ +то, С

27

2-7

:іі)

2) при ‘2-гп < |а^в | < п дискретный спектр оператора пустт;

3) при всех в Є С оператор Ь@ на полуоси [0, +то) не имеет ни собственных значений,

ни спектральных особенностей [23, с. 456]: (0,А) = 0 V А > 0, где (ж, А) — решение

уравнения (19), удовлетворяющее оценке (20) .

Доказательство. Из равенства аа^^в) = ^^(¿в) следует, что утверждения 1) — 3) достаточно доказать при 0 < а^в < п.

Докажем 1). Рассмотрим однопараметрическое семейство унитарных растяжений из ¿2(0, +то) [иш^](ж) = е2р(ешх), где и € К. Имеем

иш^Ц-1 = е-2шЬе(2_7)Ш ,и € С. (12)

Отсюда согласно лемме 1 следует, что семейство операторов Т(и) = Цш¿1и—1 есть аналитическое семейство типа (В) на всей комплексной плоскости С. Так как — Гк — простое собственное значение оператора Т(0), то по теореме Х11.13 из [13] при малых и € С вблизи —Гк существует единственное собственное значение Ак (и) оператора Т (и), аналитические около и = 0. С другой стороны, при вещественных и оператор Т(и) унитарно эквивалентен оператору ¿1, так что Ак (и) = —Гк при всех малых вещественных и. Из аналитичности Ак (и) следует, что Ак (и) = —Гк при всех достаточно малых и € С. Ясно, что это утверждение остается верным, если 0 заменить на любое и0 € С такое, что — Гк € а,18С(Т(и0)).

Пусть 0 < |ащв| < п (при а^в = 0 равенство (10) превращается в тождество). Положим ив = 2—;(1п | в | +*(а^в)). Покажем, что е2шв(—Гк) — собственное значение оператора Ь@. Отсюда будет следовать (10).

Поскольку е(2-7)^в = в, то в силу (12) достаточно доказать, что —Гк € (Т(ив)). Пусть

/в = [0,ив]. Обозначим через 3$ множество всех и € 1р, при которых —Гк € а^^Т(и)). Так как 0 € , то Зв = 0. Из сказанного выше следует, что Зв открыто в /в. С другой

стороны, поскольку ¿в аналитическое семейство типа (В), то по (12) таким же свойством обладает и семейство Т(и), и € С, поэтому если ип — и и — Гк € а,18С(Т(ип)) при всех п, то — Гк € а(Т(и)). Но по (12) и Лемме 3

аезз(Т (и)) = е-2(/т^[0, +то) (13)

и Іти* = —

> - п

следовательно, при всех и € /в точка —Гк лежит вне ае88(Т(ип)).

Значит, если и € /в и ип — и, —Гк € а^^Т(ип)), то — Гк € а^^Т(и)). Это означает, что множество Зв замкнуто в /д. Таким образом, Зв является замкнутым и открытым непустым подмножеством /в. Следовательно, Зр = /в. Тем самым равенство (10) доказано.

Докажем (11). Пусть —г, г > 0, — собственное значение оператора ¿1. Тогда для соответствующей собственной функции / имеем

— /"(ж) — f (ж) = —Г ■ f (ж^ ж> 0,

Заменой

С = (^ж)

(2-т)/2

/ (0)

2 — 7

Г

— (2-т)/2

приходим к задаче

#(0)

^ ■ # 0,

где Р(С) = 4^2С“ — (| — ^2) С 2, ^ = 1/(2 — 7), а = 27/(2 — 7).

Таким образом, г € а,18С(Ь1) тогда и только тогда, когда

2

2 — 7

Г

— (2—7)/2

:14)

:15)

16)

— собственное значение задачи (14) — (15). Асимптотика спектра задачи (14) — (15) хорошо известна [24]:

^к ~ (Сопк)2а/(2+а), к ^ +то, С0 =

Отсюда и из (16) следует (11).

2) Сначала докажем, что а^^в) = 0 при а^в = п. Предположим противное: пусть

существует А0 € а^^в) при некотором в = Ь ■ е~—^пг,Ь > 0. Пусть / - нормированная собственная функция, соответствующая А0, тогда из соотношения А0 = ||/' ||2 — в (ж-7/, /) видно, что

— < а^А0 < 0. (17)

Положим Т(и) = и(и)Ьви-1(и). Имеем Т(и) = е-2ш¿ве(2-г)^

так что

г| — т

Ь

в.

;18)

Пусть / = [0, — у]. Из соотношения (13) следует, что при всех и € / А0 € ае88(Т(и)), так что рассуждая так же, как и при доказательстве пункта 1), получим, что А0 € ааьзС(Т(—у)). Отсюда в силу (18) А0 > 0, что противоречит с (17).

Теперь докажем, что а,^ (¿в) = 0 при -I-Yп < а^в < п. Снова предположим противное: пусть при некотором в0 = Ь0 ■ еъво, Ь0 > 0, -п < 00 < п, оператор ¿во имеет

собственное значение А0. Тогда — п + 00 < argА0 < 0 и, рассуждая так же, как в случае а^в = 1 п, получим, что А0 € а,;8С(Т(и)) Уи € [0, — у], то есть а^^в) = 0 при

00 — -i-1 п < argв < 00. Отсюда в силу того, что а^^в) = 0 при а^в = п, имеем а^^в) = 0 при 2—7п < argв < шт(п, (2 — 7)п}. Если 7 < 1, то доказательство 2) закончено. Если 7 < 2(1 — 1/(к + 2), к € N то повторяя предыдущую процедуру еще к раз, мы покажем, что а,;8С(Ьв) = 0 при 2^п < argв < п. Тем самым утверждение 2) доказано.

0

2

2

2

3) Пусть Л Є С\[0, +то) и в Є С. Далее пусть а = а(Л,в) > 0 такое, что Л + вж 1 = 0 при ж > а. Тогда (см., например, [25, с. 34]) уравнение

—у"(ж) — зв(ж)У(ж) = Л ■ У(ж) (19)

имеет решение у в(ж, Л), для которого верна ВКБ-оценка :

ув(ж, Л) ~ (Л + Зв(ж))-1/4 ехр ^iJ (Л + Зв(г))1/2 ^ [1 + О (жі/2—1)] , ж ^ +то. (20)

Тогда для тв(Л) — функции Вейля оператора Ьв — справедлива формула

т ув(0,Л)

тв (Л) = ^(М) ■

В работе [18] показано, что функция тв (Л) допускает аналитическое продолжение через разрез по полуоси [0, +то) на бесконечнолистную риманову поверхность по формуле

тв (Л) = в—г^твеі(2-1) (е2г^Л), уь(0, Л) = 0. (21)

Допустим, что 0 < а^ в < п и Л0 > 0 — полюс тв (Л). Тогда из (21) при ^ = — а^ в/(2 — 7) следует, что точка е—2гаг®в/(2—7)Л0 является полюсом функции т|в|(Л), то есть собственным значением самосопряженного оператора Ь|в|, что невозможно.

Если в Є К и Ув(0, Л0) = 0 при некотором Л0 > 0, то ув(0, Л0) = 0, следовательно, вронскиан функций у в и ув в нуле равен 0. Но функция ув (ж, Л0) также является решением уравнения (19), и в силу (20) вронскиан у в и ув равен 2І.

Таким образом, ни при каком в Є С оператор Ьв не имеет положительных собственных значений и спектральных особенностей. То, что 0 не является собственным значением или спектральной особенностью, следует из того, что У в (ж, 0) с точностью до постоянного

множителя совпадает с функцией /(ж) = ^жН(1) (2^-\/вж(2—7)/2), где V = 1/(2 — 7), Н(1) — функция Ханкеля и /(0) = 0 [25, с. 190]. Теорема доказана.

Замечание 1. Формула (21) уточняет утверждения 1) и 2): для каждого фиксированного к собственное число Лк (в) оператора Ьв при возрастании (убывании) аргумента в от 0 до 7п (соответственно до —п ) двигается по окружности |Л| = —Лк(|в|) от точки Лк(|в|) < 0 против часовой стрелки (соответственно по) и попадает на [0, +то) — существенный спектр Ьв■ При дальнейшем росте | а^в| Лк(в), являясь полюсом аналитического продолжения функции Вейля на следующий лист, продолжает свое движение по той же окружности.

3. Вычисление квантовых дефектов Введем в рассмотрение семейство операторов

Мв = Ьв + Ш

где Ш — оператор умножения на комплекснозначную измеримую функцию Ш (ж), удовлетворяющую условию

/ (1 + ж7/2)|Ш(ж)|^ж < то. (22)

0

В работе [19] при в > 0,7 =1 и вещественном Ш, удовлетворяющем оценке:

1Ш(ж)| - І/2ж—‘^(()|' где 1/2, (г — 3/2)(2 — о < (23)

было показано, что |^к(в)}°° — собственные числа оператора Мв, пронумерованные в порядке возрастания, — имеют асимптотику (ср. с (10) и (11))

^к(в) ~ —в—2/(2—7)С(к — 1/4 + 5в)—27/(2—7), к ^ +то, (24)

где z-2/(2-Y) > 0 при z > 0, константа C определена по формуле (11), 8р — некоторая не зависящая от k вещественная константа, которую называют квантовым дефектом [26]. Легко проверить, что из (23) следует (22).

Мы покажем, что формула (24) остается справедливой и при комплексных W, удовлетворяющих (22) и дополнительному условию, которое выполняется автоматически в случае вещественных W (см. Замечание 2). Также будет доказано, что в случае

0 < arg в < “-рп для выполнения (24) вместо (22) достаточно потребовать, чтобы W имело аналитическое продолжение W в некоторый угол {— arg в/(2 — Y) < arg z < 0 и чтобы (22) выполнялось только на луче arg z = — arg в/(2 — Y).

3.1. Случай в > 0. Всюду в этом пункте мы считаем параметр в фиксированным, поэтому в обозначениях всех объектов, если нет особой необходимости, мы не будем указывать зависимость от в.

Лемма 4. Пусть в > 0. Тогда уравнение

—У" + (—qe + W )y = 0 (25)

имеет 2 линейно независимых решения e±(x), удовлетворяющие асимптотическим оценкам

e+^x) ~ (qe(x))-1/4+v/2(±i)v exp ^±г J (x)dx^ , x ^ +to, v = 0,1. (26)

Доказательство. Рассмотрим уравнения

e±(x) = u±(x) — J sin(yft \/qe(r)dr^ x7/4t7/4 ^Y(4i6 Y)t-2 + W(t)^ e±(t)dt, (27)

где u± означает правую часть (26). Легко проверить, что любое решение (27) является и решением (25). Покажем, что при достаточно больших x > 0 уравнение однозначно разрешимо, и его решение удовлетворяет (26).

Для е± = e±/u± имеем

е± = 1 + А±е±, (28)

где А интегральный оператор с ядром

A±(x,t) = / ±2i(1 — exp(±2iSiVqeIT)dT))tY/2(t-2 + W(t)), i>x>0,

| 0, 0 < t < x.

Из условия (22) следует, что при любом b > 0 оператор А± ограничен в пространстве C[b, +то), и его норма стремится к 0 при b ^ . Следовательно,

e±(x) ~ 1, x ^ +то, (29)

откуда следует (26) при v = 0. Чтобы получить (26) при v =1, продифференцируем (28) и подставим туда (29).

Теорема 2. Пусть в > 0, и функция W удовлетворяет оценке (22) и условию e±(0) = 0. Тогда для собственных чисел (в) оператора Ыр (при надлежащей нумерации) справедливо разложение (24), где 5в вычисляется по формулам (48), (36) и (26).

Замечание 2. Если функция W вещественна, то условие e±(0) = 0 выполняется, так как e-(x) = e+(x) и W(e-, e+) = 2i = 0.

Возмущение W(x), не удовлетворяющее условию e±(0) = 0, строится довольно просто. Пусть = e+|^=0 и b > 0 : e+(b) = 0. Далее пусть <^(x) = x^(x), где ^(x) — произвольная дважды непрерывно дифференцируемая и не имеющая нулей на [0, b] функция,

удовлетворяющая условиям:

*(0)=0, *(Ь) = ^, *(Ь) = Ь-АЦ^.

Положим

Г 0, х > Ь,

Ж(Х) I ^ - «в(x), 0 < х < Ь

Тогда б+(х) = <^(х) при х € [0, Ь], так что б+(0) = 0.

Доказательство Теоремы 2 разобьем на леммы.

Согласно Лемме 4 уравнение

—у'' + (—«в + еЖ )У = °. (30)

имеет 2 решения б± (е, х), для которых справедливы оценки (26), равномерные по е из любого компакта К С С.

Лемма 5. При любом фиксированном х > 0 б±(е,х) — целые функции по е.

Доказательство. Функции е±(е,х) удовлетворяют уравнению

е Г

б±(е,х) = б±(0, х) + — (е+(0, х)е-(0, ¿) — е-(0, х)б+(0, ¿)) Ж(¿)е±(е, ¿)^£.

*/X

Отсюда, полагая е±(е,х) = е±(е,х)(1 + х)-т/4, будем иметь

е±(е, •) = е±(0, •) + еА±е±(е, •), где оператор А действует по формуле

1 Г+ГО

А/ = ^ (б+(0,х)е-(0,¿) — е-(0,х)е+(0,¿)) (1 + ¿7/2) Ж(¿)/(¿)^£.

*/X

Ясно, что А — вольтерров оператор в пространстве С[0, +то), так что

ГО

е±(е, •) = £ екАк[е±(0, •)].

к=0

Отсюда следует утверждение леммы.

Пусть ^0(е, х) — решение уравнения (30), удовлетворяющее начальным условиям

р(е, 0) = 0, р'(е, 0) = 1. (31)

Имеем

e-(е, 0)е+(е,х) — 6+ (е 0)е-(е,х)

<Ме,х) = ----------------- ----------------------------------------. (32)

Так как б±(1,х) = б±(х), то по условию Теоремы 2 б±(1,0) = 0. Тогда, поскольку

б±(0, 0) = 0 (см. Замечание 2), то согласно Лемме 5 найдется кривая /, соединяющая точки

0 и 1, такая, что б±(е, 0) = 0 V е € /.

Обозначим через <^(е,х, А) решение уравнения

—у' + (—«в + еЖ )У = ^ (33)

удовлетворяющее начальным условиям (31).

Лемма 6. В условиях Теоремы 2 при П(г, М) Э А ^ 0

?(е, |А|-1/2,А) = Д|А|-7/8

д

(22—^7|А|-(2-7>/4 + ^)) + О (А(2-

дх^(е, |А|-1/2, А) = ДУ5|А| 1/8 сов(|—||А|-(2-1>/4 + ад) + О (А<2-’>/4)

(34)

(35)

где оценка остаточных членов равномерна по argЛ,е £ /,

л/ё—(^7о)ё+(ё7о), s(е) = in :

A=V e_(e 0)е+(е 0), s(e)=lnJ e^(g’ 0), (36)

ветви -^/z, in z выбраны так, что они положительны при z > 1.

Доказательство. Функция <^(е, х,Л) является решением уравнения

Л Í x

<^(е,х, Л) = ^(е,х) - — (e+(e,x)e_(e,t) - e_(e,x)e+(e,t)) <^(e,t,—)dt, (37)

2i J о

которое заменой (¿?(е,х,Л) = <^(е,х, Л)(1 + x)_Y/4, <£0(е,х) = <^0(е, х)(1 + x)_Y/4,

е±(е,х) = е±(е,х)(1 + x)_Y/4 преобразуется в уравнение

^ = ^о + в(е, Л)<£,

где В(е, Л) действует по формуле

Л Г x

B(е,Л)/ = -^ J (e+(e,x)e_(e,t) - e-(e,x)e+(e,t)) í7/2^(t)dt.

Так как в силу оценок (26)

sup |е±(е,х)| < с0 < то,

x<0, eGÍ

то норма оператора B(е, Л) в пространстве C [0, |Л|_1/2] удовлетворяет оценке

||В(е,Л)|| = O (|Л|<2_1"»/4) , Л ^ о,

равномерно по е £ /. Отсюда и из оценок (26), а также (3.2) следует (34). Чтобы получить (35), нужно продифференцировать (37) и воспользоваться полученной оценкой для <^(е, х, Л). Лемма доказана.

Теперь мы построим решение уравнения (33), принадлежащее L2(|Л|_1/2, +то).

Введем обозначения. Пусть

Q(r, M) = {Л = ^ + iv : —r < ^ < 0, |v| < M|^|(2+7)/(2т)|,

где r > 0, M > 0. Далее пусть

аЛ = ^— Л^ , ф(х,Л) = У у/—Л — qe(t)dt, P(х,Л)^У ^/л + q^(t)dt.

Лемма 7. При выполнении условия (22) уравнение (33) имеет решение v(e,x,—), для

которого верны следующие оценки:

а) при фиксированном Л £ [0, +то) и х ^ +то

v(e,x,—) ~ 2(—Л — qe(х))-1/4exp(—Q(x,—)); (38)

б) при Q(r, M) Э Л ^ 0

v(e |Л|-1/2,Л) ~ (Л + qe(|Л|-1/2))-1/4 [sin (р(|Л|-1/2,Л)+ п/4) + o(1)] , (39)

—v(e, |Л| 1/2,Л) ~ (Л + qe(|Л| 1/2))1/4 [— cos (P(|Л| 1/2, Л) + п/4) + o(1)] . (40)

_д дх

Доказательство такое же, как и Леммы 6. Опишем только, как выбираются эталонные решения и соответствующее интегральное уравнение. Рассмотрим в области Д0 = {А < 0,х>ад} положительную функцию

/ о \ 2/3

С(x, А) = ( 2^(х,А)

и продолжим далее по аналитичности. Легко проверить, что при А< 0 и 0 < х < ад

3 \2/3

5(х,Л) = — I 2 Р(х,Л)

Положим

^1(х,Л)= C'_1/2Bi(C (X,Л)), V2 = C'_1/2Ai(C (х,Л)) (41)

где Ai(£), Bi(£) - функции Эйри [25, с. 169].

Из асимптотических формул для функций Эйри вытекают следующие соотношения:

при ReQ ^ +то

vfc(х, Л) ~ 1(—Л — qe(х))_1/4 exp ((—1)к_^(х,Л)) [1 + O (Q-1^,—))] , к = 1, 2, при ReP ^ +то

^1(х,Л) ~ (Л + qe(х))_1/4 [cos(P(х,Л) + п/4) + O (Р_1(х,Л))] ,

V2(х, Л) ~ (Л + qe(х))_1/4 [sin (Р(х,Л)+ п/4) + O (Р_1(х,Л))] , vi (х, Л) ~ (Л + qe(х))1/4 [sin(P(х, Л) + п/4) + O (Р_1(х,Л))] , v2(х,Л) ~ (Л + qe(х))1/4 [— cos (Р(х,Л)+ п/4) + O (Р_1 (х,Л))] .

Рассмотрим уравнение

г+ГО

v^,x, Л) = v2(x,—) — е / (v^x, —)v2(t, Л) — v2(x,—^^t, Л)) W(t)v(e, t, —)dt. (42)

x

Согласно (41) W(v1, v2) = —1, так что v(е,x, Л) является решением уравнения (33). Далее, действуя так же, как при доказательстве Леммы 6, получим оценки (38) — (40).

Замечание 3. Из доказательства видно, что для выполнения оценки (38) вместо (22) достаточно потребовать, чтобы W £ L1(0, +то).

Доказательство Теоремы 2. Пусть M(в, е) = Le + eW, е £ C. Из оценки (38) следует, что при любом Л £ [0, +то) v^, •, Л) £ L2[|Л|_1/2, +то), так что Л — собственное значение оператора M(в, е) тогда и только тогда, когда

ф(е,Л):= (^(е,х,Л)Ме,х,Л))Цл|-!/2 = 0, (43)

где

(/ g)(x) = f (x)g'(x) — //(x)g(x). (44) Подставляя сюда асимптотические формулы (34), (34) и (39), (40), получим

Ф(е, Л) = — А/вФ0(е, Л) + o(1), П(г, M) Э Л ^ 0, (45)

где

Ф0 (е, Л) = sin ^У /л + qe(t)dt + п/4 + S^)^ , (46)

и оценка остаточного члена равномерна по е £ l.

Обозначим через Л&(в, е)(к = 1, 2,...) пронумерованные в порядке возрастания отрицательные корни функции Ф0(е, Л). Имеем (см. (10))

(в,е) ~ (в^1 — 2 ^^(е)к ^ , к ^ +то. (47)

Из соотношений (43) — (47) на основании Теоремы Руше заключаем, что для всякого а > 0 найдется K £ N такое, что при всех к £ N : к > K и е £ l в кру-

ге (е,а) = {|Л — Лк(в,е)| < а|Лк(в)|к_1} содержится ровно 1 простое (алгебраической кратности 1) собственное значение оператора M(в, е). Назовем это а-свойством.

Обозначим через ^П(в,є)(п = 1, 2,...) собственные числа оператора М(в, є), пронумерованные в порядке убывания модулей с учетом алгебраических кратностей. Из (10), (11) и определения В;(є, а) следует, что существуют а0 > 0, К0 Є N такие, что при всех

0 < а < а0 и к < К0 круги В; (є, а) попарно не пересекаются. Выберем 0 < а < а0 так, что Кст > Ко. Покажем, что при всех к > Кст ^(в, є) Є В;(є, а) для всех є Є І.

Договоримся о некоторых обозначениях. Пусть є = є(і), 0 < і < 1, — некоторая параметризация кривой І. Для точек єі = є(іі) и є2 = є(і2) будем писать єі -< є2, если ¿і < і2. Далее, если а < Ь, то через ІаЬ будем обозначать дугу {є Є І : а -< є -< Ь}.

Допустим теперь, что при некотором т > К0 и $ Є І ^т(в,$) Є Вт(^, а). Из Леммы 5 и формулы (36) следует, что функция Ат(в, є) непрерывна по є на кривой І. Поэтому семейство окружностей Гт(є, а) = {|А — Ат(в,є)| = а|Ат(в)|т-1} будет совершать непрерывное движение при движении є по кривой І. Функция ^т(в,є) также непрерывна на І (следует из аналитичности функции Ф(в, є) на І). Поэтому на дуге І0^ найдется точка £ такая, что ^т(в,£) лежит на окружности Гт(£, а) и ^т(в,є) лежит вне Вт(є,а) при всех є У £. В силу а-свойства на Гт(£, а) должно найтись хотя бы одно собственное значение оператора М(в,£), отличное от ^т(в,£). Тогда круг Вт(£,а1), где а1 > а, содержит хотя бы 2 собственных значения оператора М(в, £), что противоречит а-свойству.

Таким образом, ^(в,є) ~ А;(в,є), к ^ +то, равномерно по є Є І. Отсюда, в силу равенств (в, 1) = (в) и

А;(в, 1) = с [к — 1/4 + ¿0]-2

где

2y

7

¿0 = - —, (48)

П

следует (24). Теорема доказана.

Замечание 4. В работе [27] аналогичным методом вычислен квантовый дефект оператора Дирака на полуоси.

3.2. Случай 0 < argß < 2п. Так как случаи —2-2п < arg < 0 и 0 < arg ß < 2—1п

абсолютно равноправны, ограничимся случаем 0 < argß < п. Пусть wg = — ас-в, Цд = {z : wg < argz < 0}, Цд(R) = Цд П {|z| < R}, Ep(Q), где p > 1 и П — область, ограниченная спрямляемой жордановой кривой 7, — класс Смирнова [28, с. 203] — множество функций f (z), аналитичных в области П и таких, что для некоторой последовательности спрямляемых кривых 7„, стягивающихся к 7,

i |f (z)|p|dz| <C,

Jin

где C не зависит от n.

Далее, если f ЄЄ Lpoc[0, +то), p > 1, то будем говорить, что f допускает аналитическое продолжение /(z) в угол Цд, если V R > 0 /(z) Є Ep(Ug (R)) и при почти всех x > 0 угловое граничное значение функции f в точке x совпадает с f (x).

Теорема 3. Пусть

а) функция W Є L2oc(0, +то) и допускает аналитическое продолжение W(z) в угол Цд так, что W(z) ^ 0, z ^ то равномерно по wg < arg z < 0 (на лучах arg z = 0 и arg z = wg предел понимается в смысле почти всюду);

б) функция W(x) = W(xeiWß) удовлетворяет оценке

/ (1 + xY/2)|W(x)|dx < то, (49)

Jo

в) е±(0) = 0, где е± получаются из е± заменой в (25) —qg(x)+W(x) на —|в|x-Y+e2wßiW(x).

Тогда для собственных чисел (в) оператора Mß (при надлежащей нумерации) справедливо разложение (24), где iß вычисляется по формулам (48), (36) и (26) при W (ж) = в2шв W (ж).

Доказательство Так как W £ L2oc(0, +то) и W ^ 0, ж ^ +то, то оператор W(L0 + 1)-1 (W — оператор умножения на функцию W(ж)) есть равномерный предел операторов Гильберта - Шмидта (см. доказательство Леммы 3), а потому компактен. Следовательно, aess(Mß) = [0, +то). Далее, действуя так же, как при доказательстве п. 1) Теоремы 1, получим

^ (в ) = е2шв V* (в),

где {rk(в))ь=1 — собственные числа оператора L|ß| + e2^e*W, которые в силу условий б),

в) и Теоремы 2 имеют разложение (24). Теорема доказана.

Замечание 5. При комплексных в для получения разложения (24) на возмущение W пришлось наложить гораздо более жесткие требования (аналитичность в угле Uß) по сравнению со случаем в > 0. В связи с этим возникает вопрос, насколько необходимо условие аналитичности. В §5 мы покажем необходимость (с некоторыми оговорками) этого условия.

4. ФинитныЕ возмущения

В работе [18] показано, что в условиях Теоремы 3 функция Вейля (см. (62)) оператора Mß допускает мероморфное продолжение в угол

Yß = {2п < arg А < 2(п + arg в/(2 - y))}, (50)

и ее полюса в этом угле образуют ограниченное множество и могут скапливаться только к лучу arg А = 2(п + arg в/(2 — Y)). В этом параграфе мы сформулируем 2 утверждения, которые в некотором смысле подтверждают необходимость условия аналитичности возмущения W для выполнения указанных свойств функции Вейля и тем самым подсказывают выбор свойства P, фигурирующего в Задаче 1.

Теорема 4. Пусть W финитна (suppW С [0, b]), ив некоторой полуокрестности точки b допускает представление

W (ж) = (b — x)nV (ж),

где n > 0, V(b — 0) существует, конечен и не равен 0.

Тогда функция Вейля оператора Mß допускает мероморфное продолжение в угол Yß, которое имеет неограниченную последовательность полюсов около луча arg А = 2п :

Afc ~ (у + гП2+ 2 1Пk + И , k ^ +^. (51)

Доказательство. То, что функция Вейля оператора Mß допускает мероморфное продолжение в угол Yß, следует из рассуждений работы [18] (см. Теорему 2 и Замечание 4). Формула (51) доказывается точно так же, как в [29] (см. Теорему 3).

Следующий результат — аналог известной теоремы Амбарцумяна — нам представляется вовсе неожиданным — возможность восстановления возмущения только по части спектра носит исключительный характер и может быть реализована крайне редко.

Теорема 5. Пусть функция W — финитна и суммируема на своем носителе. Тогда если adiSC(Mß) = adiSC(Lß), то W = 0 п.в. на (0, +то).

Доказательство. Введем обозначения. Пусть $(ж, А) и C(ж, А) — решения уравнения

—у" + (—iß + W )У = АУ (52)

удовлетворяющие условиям

S(0, Л) = 0, S'(0, Л) = 1, C(b, А) = 1, C'(b, А) = 0,

и пусть

S0(x,A) = S(x,A)|w=0 , C0(x,A) = C(x,A)|w=0 . (53)

Далее обозначим через v0(x,A) решение уравнения (19), удовлетворяющее асимптотическому соотношению (20) при всех A G [0, +то).

Пусть b > 0 : supp W С [0,b]. Тогда собственные числа оператора Mß суть корни

уравнения (см. (44))

(S,v0)(b) = 0. (54)

Так как при x > b W(x) = 0, то

S(x, A) = ai(A)S0(x, A) + a2(A)C0(x, A), (55)

где a1(A) = (C0,S)(b), a2(A) = -(S0,S)(b). Подставляя (55) в (54) и учитывая, что (S0,v0)(b) = (S0,v0)(0) = —v0(0,A), (C0,v0)(b) = v0(b, A), для собственных чисел оператора Mß будем иметь

—ai(A)v>0(0, A) + ß2(A)v0(b, A) = 0. (56)

По условию теоремы adisc(Mß) = adisc(Lß) = {Ak}f°, где Ak ^ 0, k ^ то. Тогда V k G N, v0(0, Afc) = 0. Покажем, что v'0(b, Ak) = 0 при достаточно больших k. Действительно, если бы это было не так, то спектр задачи

—у''— iß У = Ay> 0 < x < b У(0) = y'(b) = 0

имел бы предельную точку в нуле, что невозможно в силу дискретности спектра этой задачи.

Тогда из (56) следует, что a2(A^) = 0, начиная с некоторого номера. Но a2(A) — целая функция, поэтому a2(A) = 0, так что (55) принимает вид

S(x, A) = a1(A)S0(x, A), x > b.

Целая функция a1(A) не имеет нулей (если бы a1(A0) = 0, то S(x,A0) = 0), так что

a1 (A) = ер(Л), где P(A) — целая. Имеем ln |a1(A)| = O(A1/2), A ^ то, так что P(A) = const,

то есть a1(A) = const.

Далее,

pb pb

01(A) = (C0, S)(0) + / (C0S" — C0'S)dx = 1 + / WC0Sdx.

0 0 0 С другой стороны (см., например, [30, с. 13]), при A ^ +то

C0(x,A) — cos л/Ax + O(A-1/2), (57)

S (x,A) - sin^Ax + O(A-1), (58)

A

равномерно по x G [0,b]. Отсюда имеем a1(A) = 1 + O(A-1/2), A ^ +то, следовательно, a1 (A) = 1, то есть

S(x, A) = S0(x, A), x > b, A G C. (59)

Далее,

C(x, A) = b(A)C0(x, A), x > b, (60)

где b(A) = — (S0, C)(b) = — S0(A). Найдем b(A). Так как

v0(x, A) = C(x, A) + mß(A)S0(x, A),

то (59) и (60) следует

v(x, A) = b(A))v0(x, A), x > b,

так что mg (Л) = Ь(Л)тв (А) или

ка)=тв(Л).

тв(Л)

При больших Л равномерно по arg Л £ [0, 2п] имеем [30, с. 82]

те (Л) ~ ¿VA + O(1), тв(Л) ~ ¿VA + 0(1).

Следовательно, целая функция Ь(А) ограничена на С, поэтому Ь(А) = 1, поэтому те (А) = т^ (А), откуда в силу единственности решения обратной задачи [31, с. 202] Мв = ¿в, то есть Ш = 0 п.в.

5. Основной РЕЗУЛЬТАТ

Договоримся о некоторых терминах. Пусть Цв — угол, введенный в пункте 3.2. Будем говорить, что некоторая локально суммируемая на [0, +то) функция f допускает меро-морфное продолжение f в угол Цв, если

а) V Я > 0 функция f в области Цв(Я) имеет конечное число полюсов -1,... , так, что функция

П

/ - ^ О(-) й=1

где (-) — главная часть разложения Лорана f в точке , принадлежит Е1(Цв(Я)),

б) при почти всех х £ (0, +то) угловое граничное значение функции f в точке х равно

f (х).

Далее, будем говорить, что полюс -0 функции f (-) удовлетворяет условию безмонодром-ности, если в некоторой окрестности и точки -0 справедливо разложение

( + 1) т-1

У (-) = ~( )2 + ^ Л(- — ¿0)2й + (- — ¿0)2™гт(^) , (61)

- -'о)2 ¿0

где т £ М, гт(-) — аналитична в и.

Замечание 6. Известно [32], что условие (61) необходимо и достаточно для того, чтобы все решения уравнения —y" + fy = Ay при всех значениях параметра А были однозначны в окрестности U точки z0. Следуя [33], мы его будем называть условием безмонодромности.

Пусть W £ L*(0, +то). Тогда согласно Замечанию 3 уравнение (52) имеет решение v(x, А), которое при А £ [0, +то) удовлетворяет оценке (38). Известно, (см., например, [18] или [31, Гл. 2]) что при каждом фиксированном x > 0 функции Ve(x,A) и v'ß(x, А) аналитичны в C \ [0, +то) и непрерывны вплоть до верхнего и нижнего берегов разреза по А > 0, и нули ve(0, А) образуют ограниченное множество Л. Следовательно,

me (А)=VH (62)

— функция Вейля оператора Мд(Л) — мероморфна в C \ [0, +то), ее полюса образуют ограниченное множество, могут скапливаться только к лучу [0, +то) и Мд(Л) непрерывна в {А = 0 : 0 < arg Л < 2п} \ Л.

Теперь мы готовы сформулировать основной результат. Пусть 0 < arg ß < п (случай —2п < argß < 0 аналогичен). Рассмотрим оператор Мд = Le + W, где функция W £ L:(0, +то).

Теорема 6. Пусть функция W имеет мероморфное продолжение W(z) в угол Цв так, что

(a) каждый полюс функции W(z) удовлетворяет условию безмонодромности,

(b) функция W(x) := W(егшвx), x > 0, суммируема на (0, +то),

(c) существует некоторое бесконечное множество Л' С {Л = 0 : — 2^e < arg Л < 2п}, имеющее хотя бы одну конечную предельную точку Ао = 0, что при всех Л £ Л'

v'(0, Л)£ (0, Ле2^в) — е“^вv(0, ЛУ (0, Ae2i^e) = 0, (63)

где v(x,u) — решение уравнения

—v'' + (—|ß |x-Y + W )v = uv, (64)

удовлетворяющее оценке (38).

Тогда тд(Л) — функция Вейля оператора Мд — имеет мероморфное продолжение т в (Л) с области C \ [0, +то) в угол Уд (см. (50)) такое, что

rnß(и) := вг^втв (e_2i^eи) (65)

является функцией Вейля оператора L^| + W.

Обратно, если тв (Л) имеет мероморфное продолжение т,в (Л) в угол Уд так, что (65) является функцией Вейля оператора L^| + V с некоторым V £ L*(0, +то), то W имеет мероморфное продолжение W(z) в угол Цв, при этом выполнены (a) — (c), причем

W (x) = V (x).

Доказательство. Согласно (62) и определению v(x,u) функция Вейля оператора ¿|в| + W имеет вид

- I ^ у/(0,и) (г.гЛ

тв (и) = щй'. (66)

Далее, в силу сказанного выше функции Vß(0,и) и vß(0,и) аналитичны в C \ [0, +то) и непрерывны вплоть до верхнего и нижнего берегов разреза по и > 0, и нули Vß(0,и) образуют ограниченное множество М. Следовательно, левая часть (63) аналитична в угле {Л = 0 : — 2^в < arg Л < 2п}, непрерывна до его сторон, кроме точки 0. Поэтому равенство

(63) выполняется при всех Л £ {Л = 0 : — 2^в < arg Л < 2п}, то есть

тв (Л) = е“^в rnß (е2^в Л) , — 2цд < arg Л < 2п, Л £ Л U Л'', (67)

где Л'' = e_2i^eМ. Но правая часть определена и при Л £ Уд \ Л'', откуда получаем аналитическое продолжение тд(Л) в область Уд \ Л''. Равенство (65) следует из (66) и (67).

Докажем теперь обратное утверждение. Пусть тд(Л) имеет мероморфное продолжение т в (Л) в угол Ув так, что (65) является функцией Вейля оператора + V с некоторым

V £ L*(0, +то). Введем в рассмотрение семейство ломаных Га = [а,0] U [0,аегшв], а > 0, с

параметризацией

а(1 — 2t), 0 < t < 1/2,

ае^в(2t — 1), 1/2 <t < 1.

Далее положим

W(z) = / W(z), z>0,

( ) | e_2i^e V (e_i^ez), z = e_i^er, r > 0,

и введем семейство операторов Штурма - Лиувилля Та, а > 0, которое определяется следующим образом:

Т«У = —y''(z) + (—^(z) + W(z))y(z), z £ ^

D(Ta) = {y : y,y'£ AC(Га), —y'' + (—^ + W)y £ L2(Г0), y(a) = y^) = 0},

где штрих означает дифференцирование вдоль Га Пусть <£а(-, А) — решение уравнения

-y"(z) + (—qe (z) + W (z)y(z) = A2y(z), (68)

удовлетворяющее начальным условиям

d

= 1.

d

<£a(a,A)=0, — ^a(z,A)

Положим Фа(Л) = ^а (аегшв). Тогда Л2 собственное значение оператора Та тогда и только тогда, когда

Фа(А) = 0. (69)

Функция Фа(Л) — четная. Обозначим {Лга}0 корни уравнения (69), лежащие в верхней полуплоскости, занумерованные в порядке возрастания модулей с учетом алгебраических кратностей. Из Леммы 2 работы [34] следует, что за исключением конечного числа An лежат в угле {—^ < arg А < п}.

Лемма 8. Если (65) является функцией Вейля оператора L^| + V, то

пп

An -тг, п ^ +то. (70)

а(егшв — 1)’ v у

Доказательство. Пусть

(0, —< а < п,

а, п < а < п — ,

b, 0 < а < —.

Обозначим ^(z, А) решение уравнения (68), удовлетворяющее условиям ^(ßa) = 1, ^'(Ba, А) = —¿А. Положим

e±(z, A) = (A2 + pe) 1/4 exp ^±i J /А2 + pedt^j

i2 + Pe) ' ex^ ±i

где Pe = qe ' (1 — Xr), Xr — характеристическая функция круга |z| < r, r > а. Тогда ф удовлетворяет уравнению

1 íz

ф(г, A) = -\/Ae(Z, A) + — (e-(z, A)e+(t, A) — e+(z, A)e-(t, A))Ve(t, А)ф(^ A)dt,

2i./ b„

где Ve = Xrqe — W + J2 ((Pe + A2)-1/4) (pe + A2)1/4. Отсюда для функции ф) = ф/(^Аб-) будем иметь

ф = 1 + А(А)ф,

где

A(A)f=/ (1—exp(2i/ /a2+Ped^^(a2+Pe)-1/2ve(t,A)f(t)dt.

Легко проверить, что оператор A(A) ограничен в пространстве C(Г), и его норма в этом

пространстве допускает оценку O(A-1), I ^ то, равномерно по 0 < arg А < п — w. Отсюда

имеем

ф(г, А) ~ VAe(Z, А) (1 + O (А-1)) , А ^ то, (71)

равномерно по z £ Г, 0 < arg А < п — w.

Тогда

^a(z,A) = ф(а, А)ф^,А) /* ф-2(t,A)dt

J а

при достаточно больших А и —w^ < а < п. Следовательно,

Ф а (А) - А-1в-Ла(1+егш }Fa (А), (72)

z=a

где

р aeiw

Fa(À)=/ ^-2(t,A)dt. (73)

J a

Согласно (71) при достаточно больших À из угла {0 < arg À < п — w}

^(z, À) ~ VAe(Z, À)(1 + O (A-1) , Г э z ^ то.

Следовательно,

Л+ГО Г+ГО

ve(x, À) = Co^(x,àW ^-2(t,À)dt, уз(x,À) = C1^(xeiWß, À) / ^-2(teiWß, À)dt, (74)

J x J x

где C0,1 = const.

Из условия леммы следует, что функции ve и у? удовлетворяют равенству (63) (при всех À, в которых определены функции уз и уз), откуда в силу равенств (72) получим

J ^-2(i, À)dt = 0,

что ввиду (73) дает

Л + ГО /*гоегш

Fa(A) = / ^-2(t,À)dt — / ^-2(t, À)dt.

Ja J аегш

Подставляя сюда (71), будем иметь

Fa(À) - 21À (e2iAa(1 + O (A-1) — e2iAaei"(1 + O (A-1)) =

= 2^ß2iAa (l — e2iAa(1-ei"} (1 + O (A-1))) , A ^ то,

равномерно по — < arg À < п. Отсюда и из (72) следует утверждение леммы.

Теперь остается только применить Теорему 2 из [11], согласно которой из соотношения (70) следуют a) — с). Теорема доказана.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Келдыш М.В. О собственных значениях и собственных функциях некоторых классов несамосопряженных уравнений// ДАН СССР. Т. 77. № 1. 1951. C. 11-14.

2. Келдыш М.В. Об одной тауберовой теореме// Труды матем. ин-та им. В.А. Стеклова. Т. 38. 1951. C. 77-86.

3. Коренблюм Б.И. Общая тауберова теорема для отношения функций// ДАН СССР. Т. 88. № 5. 1953. C. 745-748.

4. Агранович М.С. Спектральные свойства задач дифракции. В кн.: Войтович Н.Н., Кацене-ленбаум В.З., Сивов А.Н. Обобщенный метод собственных колебаний в теории дифракции. М. 1977.

5. Маркус А.С., Мацаев В.И. Теоремы сравнения спектров линейных операторов и спектральные асимптотики. Тр. Московского математического общества. 1982.

6. Шкаликов А.А. О базисности корневых векторов возмущенного самосопряженного оператора. Теория функций и дифференциальные уравнения, Сб. статей. К 105-летию со дня рождения академика Сергея Михайловича Никольского. Тр. МИАН. Т. 269. М. 2010. С. 290—303.

7. Садовничий В.А., Подольский В.Е. Следы операторов// УМН. Т. 61(371). № 5. 2006. С. 89— 156.

8. Davies E.B. Non-self-adjoint differential operators// Bull. London Math. Soc. V. 34. № 5. 2002. P. 513-532.

9. Т. Като. Теория возмущений линейных операторов. M.: Мир. 1972.

10. Ambarzumian V.A. Uberline Frage der Eigenwerttheorie// Zs. f. Phys. V. 53. 1929. P. 690-695.

11. Ишкин Х.К. О критерии локализации собственных чисел спектрально неустойчивого оператора// Докл. РАН. Т. 429. № 3. 2009. С. 301-304.

12. Ишкин Х.К. Об условиях локализации предельного спектра модельного оператора, связанного с уравнением Орра - Зоммерфельда// Докл. РАН. Т. 445. № 5. 2012. С. 506-509.

13. Рид M., Саймон Б. Методы современной математической физики. Т. 4. M.: Мир. 1982.

14. Наймарк М.А. Исследования спектра и разложения по собственным функциям несамосопряженного дифференциального оператора 2-го порядка на полуоси// Тр. Моск. матем. об-ва. Т. 3. 1954. С. 181 - 270.

15. Лянце В.Э. О дифференциальном операторе со спектральными особенностями. I// Матем. сб. Т. 64(106). № 4. 1964. С. 521--561.

16. Лянце В.Э. О дифференциальном операторе со спектральными особенностями. II// Матем. сб. Т. 65(107). № 1. 1964. С. 47-103.

17. Павлов Б.С. О несамосопряженном операторе Шредингера на полуоси. I — III// В сб. "Проблемы математической физики". Вып. 1. 1966. С. 102-132; Вып. 2. 1967. С. 102-132; Вып. 3. 1968. С. 59-80.

18. Муртазин Х.Х. О свойствах резольвенты дифференциального оператора с комплексными коэффициентами// Мат. заметки. Т. 31. № 2. 1982. С. 231-244.

19. Сахнович Л.А. О спектре радиального уравнения Шредингера в окрестности нуля// Матем. сб. Т. 67(109). № 2. 1965. С. 221 - 243.

20. Глазман И.М. Прямые методы качественного спектрального анализа сингулярных дифференциальных операторов. M.: Физматгиз. 1963.

21. Рид M., Саймон Б. Методы современной математической физики. Т. 2. M.: Мир. 1978.

22. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. Т. 1. M.: Мир. 1977.

23. Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы. М.: Наука. 1969.

24. Муртазин Х.Х., Амангильдин Т.Г. Асимптотика спектра оператора Штурма-Лиувилля// Матем. сб. Т. 110(152). № 1. 1979. С. 135-149.

25. Федорюк М.В. Асимптотические методы для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука. 1983.

26. Зоммерфельд А. Строение атома и спектры. Т. 1. М.: Гостехиздат. 1956.

27. Ишкин Х.К., Муртазин Х.Х. О квантовом дефекте оператора Дирака с неаналитическим потенциалом,// ТМФ. Т. 125. № 3. 2000. С. 444-452.

28. Привалов И. И. Граничные свойства аналитических функций. М.,Л.: ГИТТЛ, 1950.

29. Ишкин Х.К. О спектральной неустойчивости оператора Штурма-Лиувилля с комплексным потенциалом,// Дифф. уравнения. Т. 45. № 4. 2009. С. 480 - 495.

30. Левитан Б.М., Саргсян И.С. Операторы Штурма - Лиувилля и Дирака. М.: Наука. 1988.

31. Юрко В.А. Введение в теорию обратных спектральных задач. М.: Физматлит. 2007.

32. Duistermaat J. J., Grünbaum F. A., Differential equations in the spectral parameter// Commun. Math. Phys. V. 103. 1986 P. 177-240.

33. Обломков А. А. Безмонодромные операторы Шредингера с квадратично растущим потенциалом,// ТМФ. Т. 121. № 3. 1999. С. 374--386.

34. Ишкин Х.К. О необходимых условиях локализации спектра задачи Штурма - Лиувилля на кривой/// Мат. Заметки. Т. 78. № 1. 2005. С. 72 - 84.

Хабир Кабирович Ишкин,

Башкирский государственный университет, ул. З. Валиди, 32,

450074, г. Уфа, Россия E-mail: [email protected]