Об алгоритме управления объектом с запаздыванием Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математические методы моделирования, управления и анализа данных

УДК 62-506.1

А. С.

Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева, Россия, Красноярск

ОБ АЛГОРИТМЕ УПРАВЛЕНИЯ ОБЪЕКТОМ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ

Рассматриваются некоторые вопросы моделирования дискретно-непрерывных процессов. Основной акцент сделан на проблемы моделирования процессов и объектов в условиях непараметрической неопределенности, а также на случае, когда задача идентификации не укладывается в рамки параметрической и непараметрической теории.

При построении моделей дискретно-непрерывных процессов возникает ситуация, когда априорных сведений недостаточно для определения параметрической структуры модели. Построение модели таких процессов отлично от стандартного подхода идентификации. Последнее делает актуальным рассмотрение нового класса задач идентификации.

Рассмотрим схему, приведенную на рисунке, иллюстрирующую задачу идентификации для одного объекта.

к

Общая схема идентификации

На рисунке приняты следующие обозначения: и(?) е 0.(и) с Я — вектор входных управляемых переменных: и(?) е О(и) с Ят — вектор входных неуправляемых переменных; х(?) е О(х) с Яп — вектор выходных переменных, — случайные возмущения, действующие на объект, М {X} = 0, Б{X} <¥ ; Нц(?), Н"(?), Нх(?) - случайные помехи измерений соответствующих переменных процесса; М {Н} = 0, Б {Н} <да; ? - непрерывное

время. Ии, И", Нх - каналы связи, включающие в себя средства контроля, приборы для измерения наблюдаемых переменных; и?, и1, х1 - измерения переменных процесса через интервал времени Д? в дискретном времени; т - запаздывание.

Сформируем критерий оптимальности: Ж = М {(х(г + т) - X)2 | и, т} = шт, где X - оценка вектора выхода объекта х(? + т). Используя необходимое условие минимума Ж по хх, получим х = М{Х\", ц}.

Непараметрическая оценка регрессии для векторного случая имеет вид

-I х^тПФ

(и Л

1=1

-и;

Л I

С и

ПФ

1=1

( "1 - и1 ^

¿+1_1_

С' х с

1ПФ

;=1 1=1

л I

С и

ПФ

1=1

( и+1 - иЛ

с:

(1)

где Ф(-) - колоколообразная функция и параметр размытости удовлетворяют некоторым условиям сходимости [1].

При численном исследовании был взят объект, описываемый уравнением вида

хт = 0,6((и - 3)3 - 2) + 0,3((и2 + 2)3 + 4) +

+ 0,1(("з -1)3) + и.

Моделирование осуществлялось в обстановке случайных помех, действующих на выходе объекта. Первоначальный вход был взят случайным образом из области технологического регламента. Отметим, что при синтезе алгоритма идентификации информация о виде уравнения описывающего объект не использовалась, но характеристики «вход-выход» взаимно однозначные. Управление моделью осуществлялось по следующему алгоритму:

^ т I". ПФ ;=1 1=1 Ги^'-и/ } п ПФ 1=1 Г х*+1+/ - х * ^

С и V ^ 0 х V С 0

^ т 1ПФ ;=1 1=1 Ги^ -и/ ' п Пф 1=1 (х 1 х * \ Ая+1+т А +Ди

С и V ^ 0 Сх V ^ 0

где и - оценка вектора входа; Дих+1 - изучающая добавка; х* - заданный выход [1].

Решетневские чтения

Задание усложнялось тем, что на модель накладывалось следующее условие: достижение задающего воздействия с учетом стремления к минимуму функции стоимости. Обучающая выборка при проведении исследования отсутствовала, поэтому использовался алгоритм адаптации при активном накоплении информации.

Желаемый выход был достигнут достаточно быстро, но при этом управление моделью продолжилось, пока не был достигнут стоимостной минимум.

Проведенные исследования показывают довольно хорошее качество работы данной непараметрической модели.

Библиографический список

1. Медведев, А. В. Элементы теории непараметрических систем управления / А. В. Медведев // Актуальные проблемы информатики, прикладной математики и механики. Ч. III. Информатика. Новосибирск ; Красноярск : Изд-во СО РАН, 1996. С. 87-112.

A. S. Orlova

Siberian State Aerospace University named after academician M. F. Reshetnev, Russia, Krasnoyarsk ABOUT CONTROL ALGORITHM WITH LAG

Some problems of discrete-continuous processes modeling are considered. The main emphasis is either in the processes and objects modeling in condition of non-parametric uncertainty or in the case when the problem of identification is not in limits of parametric and non-parametric theory.

© Орлова А. С., 2009

УДК 517.977.5

В. А. Охорзин

Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева, Россия, Красноярск

ЧИСЛЕННО-АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ

Рассматривается численно-аналитический метод решения задач управления в среде МаШСЛБ

Современные вычислительные среды позволяют использовать как символьные, так и численные вычисления. При нахождении решений задач оптимального управления часто приходится проводить громоздкие символьные вычисления при сведении задачи оптимального управления к двухточечной краевой задаче. Целью данной работы является автоматизация решения задачи оптимального управления с помощью вычислительной среды МаШСАБ, для которой исходными данными служит только постановка задачи.

Пусть задана система дифференциальных уравнений

dx|dt = /(х, и, t), х е Ят, и е Я", t е [?п, tk ],

х$п) = х", ) = хк, (1)

где х - состояние системы; и - управление; t - время; tn, ^ - начальное и конечное время.

lk

I = J F(x, u)dt

® min.

u

(2)

Для решения этой задачи составляют гамильтониан [1]

Н = -Р(х, и) + (р • /(х, и, t)) (3)

и удвоенную систему двухточечной краевой задачи оптимального управления

dx|dt = /(х, и, t), dp|dt = -дН/дх, (4)

дН/ди = 0 ® и0(х, р). (5)

Используя выражение (5), исключают функцию управления и^) из уравнений (4).

Приведем реализацию алгоритма на примере нелинейной нестационарной системы второго порядка. Правые части дифференциальных уравнений (1), временной интервал, начальное и конечное состояние имеет следующую запись в системе МаШСАБ (операторы набраны прямым шрифтом):

f(t,x):=

" 1+x1 " T "2"

5 tn:=0 tk:=1 xn: xk:

t • X0 + u 0 3

.(6)