Об алгебрах Ли голоморфных аффинных векторных полей голоморфных линейных связностей с симметричным тензорным полем Риччи Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТНИК ТГГПУ. 2011. №1(23)

УДК 514.76

ОБ АЛГЕБРАХ ЛИ ГОЛОМОРФНЫХ АФФИННЫХ ВЕКТОРНЫХ ПОЛЕЙ ГОЛОМОРФНЫХ ЛИНЕЙНЫХ СВЯЗНОСТЕЙ С СИММЕТРИЧНЫМ ТЕНЗОРНЫМ ПОЛЕМ РИЧЧИ

© А.Я.Султанов

В статье изучаются алгебры Ли голоморфных аффинных векторных полей голоморфных линейных связностей, заданных на гладких многообразиях над алгебрами. Установлены максимальные вещественные размерности алгебр Ли голоморфных аффинных векторных полей. Построены примеры, доказывающие, что максимальные размерности алгебр Ли голоморфных аффинных векторных полей достижимы.

Ключевые слова: унитальная алгебра, коммутативная алгебра, ассоциативная алгебра, гладкое многообразие, голоморфная линейная связность, голоморфное аффинное векторное поле, алгебра Ли голоморфных аффинных векторных полей.

1. Основные понятия и факты

Рассмотрим унитальную коммутативную ассоциативную алгебру А конечного ранга т над полем М и А-гладкое многообразие Мп, размерности п [1: 102]. Главную единицу алгебры А обозначим 8 . Будем считать, что в алгебре А выбран некоторый базис (є1,є2,...,єт) и

єаєв =уа/є°, а 8 = 8аєа. Предположим, что на Мп задана голоморфная линейная связность V с нулевым тензорным полем кручения [1: 108]. Пусть Я - тензорное поле кривизны этой связности. Тогда для любых векторных полей X, У , 2 на Мп по определению имеет место тождество Я (X, У) 2 = VVУZ -VУVXZ - V[X,У^ .

Тензорное поле Риччи Яіс связности V определяется условием

Яіс(X,У ) = с; (Я (У, )Х) ,

где С - операция свертывания.

Если (и, Xі) - карта А-гладкого атласа многообразия Мп и (ді) (і = 1,2,...,п) - поле натурального репера на и, то

Я„= Я (д, д,)=С'(Я (д,, )д і ) =

= С1 (( д ® <яХк) = ) (д )Я° = Я3 .

1 \ Ук 3 / V 3 / ік і3

Обозначим через Яіс'+) и Яіс'- симметрическую и кососимметрическую части тензорного поля Яіс, определенные условиями

Яіс{+) (X, У ) = 2 (Яіс (X, У ) + Яіс (У, X)) ,

Яіс(- (X, У ) = 1 (Яіс (X, У ) - Яіс (У, X)) .

Пусть X - голоморфное векторное поле на Мп. Тензорное поле LXV типа (1, 2), определенное тождеством LXV(У, 2) = LX (V'У2)--V У (LXZ) - V[X У2 , называется производной Ли

линейной связности V вдоль X.

Используя операцию коммутирования дифференцирований, предыдущее тождество можно представить в виде следующего тождества LxV(У, 2) = [Lx, Vy ]2 ^,у]2 .

Определение [2]. Голоморфное векторное поле X называется аффинным относительно связности V , если LxV = 0 .

Если X - аффинное векторное поле, то имеют место тождества

Lx (^Я) = 0 ( = 0, 1, ...),

где V0Я = Я, Vх Я ^Я, V2Я = V(VЯ), ... - кова-риантные дифференциалы тензорного поля Я .

Поскольку производная Ли Lx тензорных полей коммутирует со свертываниями, то для аффинного векторного поля X имеем

LXЯic = 0. (11)

Кроме того, имеют место равенства Lx (VіЯіс) = 0 .

Обозначим через g (Мп) алгебру Ли над А

голоморфных аффинных векторных полей. Эта алгебра допускает структуру алгебры Ли над полем действительных чисел М. Эту алгебру Ли

обозначим через (g (Мп ))* .

Запишем условие (1.1) в локальных координатах.

Пусть (и, Xі) - локальная карта на Мп и р є и . Тогда из тождества

LXRic (Y, Z ) = X ( Ric (Y, Z )) -

- Ric (LXY, Z ) - Ric (Y, LXZ ) следует, что

dR (p)XS (p) + R(|)X\ (p) = 0

для каждого голоморфного аффинного векторно-

B

го поля X = Xs

_д_

dxs

относительно V, где

Из этих соотношений заключаем, что рассматриваемая матрица В имеет следующий вид:

(I А * ^

В =

0

2 A

XS ( p ) = d,X-( p ),

R ((-|: )=81R,(p )+8R (p).

В силу голоморфности векторного поля X и тензорного поля Риччи имеем

dR (p)=sjfA„ w,

d,X-(p) = ((X:, (p)).

Положим Xs = X;£ v и SadakXSv = XV . Тогда

XS (p), XsVv (p) будут удовлетворять системе линейных однородных уравнений:

8ЛК, (p )K’y‘.+ R („|а) >1 = 0, (1.2)

где

R )+s:,Ks (p))r'". (1.3)

Отсюда заключаем о справедливости следующего предложения.

Предложение 1.1. Если ранг матрицы с элементами R(jS^) не меньше, чем р, то

dimR (g(Mn)) < m(n2 + n)-р, где m - ранг алгебры А, n - размерность А-гладкого многообразия Mn.

2. Голоморфные аффинные векторные поля линейных связностей с симметричным тензорным полем Риччи

Рассмотрим голоморфные линейные связности V без кручения на Мп. Положим, что

Ric ф 0. Тогда в некоторой карте (, хг) будем иметь Ru (p)ф 0 хотя бы для одного индекса i. Можно считать, что a = R11 (p )ф 0. Пусть rank a = r , тогда ранг матрицы A с элементами

a va ^ т '-s

ар = avYр , линейного оператора La, действующего на А по правилу La (х) = ax, равен r .

Построим матрицу B , составленную из элементов (1.3), соответствующую строкам (т1,)

(, >1), (т11) и столбцам (!“) ( > ^ (а) .

По формулам (1.3) найдем

B (т1 ,| I1a) = tjRv11 (p )Ka=^‘A:=(ln_1 ® A)a

где In-1 - единичная матрица порядка n -1, I ® A - тензорное произведение матриц. Отсюда следует, что rank B = r (n -1) + r = rn .

На основании предложения 1.1 заключаем, что имеет место

Теорема 2.1. Если тензорное поле Риччи линейной связности V является симметричным и Ru (p) = a для некоторого индекса i, причем rank a = r, то

dimR (g (Mn)) < m (n2 + n)- rn =

= mn2 +(m - r)n, (n > 2).

Приведем примеры, показывающие, что указанная оценка достигается.

Для этого рассмотрим в An линейные связности V , определяемые условиями

Vad k = Ajk д i,

где A’jk = 8Р + 8’jPk , а <Pk = р(д,) - координаты голоморфной 1-формы р. Для тензорного поля кривизны R положим R (дt, д, )дk = Rhkijдh. Тогда

Rkh, = 8* (р, -Pjt) + Spik -SPjk , где

Py = дiPj - PiPj . Составляющие тензорного поля Риччи Ric имеют вид: Rki = npk - pki.

Уравнение LXV= 0 равносильно системе дифференциальных уравнений

д]кГ + 5)LXPk + 8lkLxpj = 0, (2.1)

где LXPk = XSдsPk +PSдX .

Пример 2.1. Линейную связность V на An зададим условиями

Ajk = 8)Рк + 8Pj, Рк = a = 0

rank a = r , r ф 0 .

Тогда Py = a8\8\, поэтому

Rh, = aS\ (Stf - 8*8)) , Rkl =(n - 1)a^ . Из :

этих

■n-T (8*Rki -8‘r„ ).

соотношений получим: =

Из этих равенств следует равносильность условий Ьх (у*Я) = 0 и Ьх (у*Юс) = 0 .

Условия ЬхШс = 0 примут вид

а (^Х1 + д)х]з) = 0 . Поэтому условие ЬхШс = 0

равносильно системе

аХ,1 = 0. (2.2)

Для 1-формы р имеем Ьхрк = аХ 1д1к + ах1 X] .

Учитывая (2.2), получим

Ьхрк = ах д]. (2.3)

Продифференцируем соотношения (2.2):

а (дкх\ ) = 0. (2.4)

Из (2.1), учитывая (2.3), выразим дкх]:

д ,х1 =-д!ах д1 -д1ах д1 = -2ад!д1 х1.

к I к II к к I

Подставив их в (2.4), получим -2а2д1кд]х1 = 0 . Но а2 = 0 . Значит, новых соотношений для х1 и х, мы не получим. Отсюда следует, что условия

Ьх (V‘Я1с) = 0 равносильны условиям (2.2). Система дифференциальных уравнений ЬхV = 0 и (2.2) вполне интегрируема.

Опишем алгебру Ли g (Мп) голоморфных

аффинных векторных полей рассматриваемого пространства.

Уравнение ЬхV = 0 в координатах равносильно следующей системе дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка

дj дкх1 + ах1 дд +дд ) = 0. (2.5)

Из соотношений ах\ = 0 следует, что

ах1 = А1 е А, поэтому система (2.5) может быть представлена следующим образом

дд х + А1д; (д + хдк ) = 0 Отсюда следует, что аА1 = 0 ,

дкх1 + А1 (д + хд'к ) = С'к, Ск е А, (2.6)

причем аС] = 0 (к = 1, 2, ..., п). Из уравнений

(2.6) находим

х1 = -А1 х1 х1 + Скхк + С1, С1 е А. Поскольку ах1 = А1 и аА1 = 0 , а аС] = 0 , то из равенства

х1 = -А1 (х1 )2 +С] хк +С1

следует, что А1 = аС1, и получаем следующее координатное представление произвольного аффинного векторного поля х :

х = {-аС1 х1 к + С(хк + С3) ,

где С1 = Саеа, Ск = С]каеа - произвольные элементы алгебры А, удовлетворяющие условию

аС] = 0 .

Иначе эти условия можно представить в виде < Cl = 0, (2.7)

где a^ = avyVa - элементы матрицы A линейного оператора La. По условию элемент a имеет ранг r ф 0, значит, rank A = r, поэтому ранг системы

(2.7) равен nr. В силу сказанного среди параметров Ci, , C i число независимых параметров

равно mn2 + n (m - r) .

Пример 2.2. Линейную связность V на An

определим коэффициентами

А =8)Рк +8Р, где рк = a8\, a е А, причем a2 = a . Пусть rank a = r ф 0 . Тогда ptj = —рр = -aS\8\, поэтому Rhj =-a8\ (8881-88),

Rb =(1 - n) a48l (28)

Из этих соотношений следует, что

Rhj= nbt (8hRk.-8hRkJ). (2.9)

Из полученных равенств (2.9) следует, что условия LX (VtR) = 0 равносильны условиям

LX (VtRic) = 0 (t = 0, 1, ...).

Запишем в координатах условие LXRic = 0 : Xs д R + RjXS + RsXS = 0, где XS =дiXS. Отсюда, учитывая (2.8), получим a (8'X; +8 x1 )=0.

Следовательно, условие LXRic = 0 равносильно системе линейных однородных уравнений

aX,1 = 0. (2.10)

Для 1-формы р имеем LXpk = aXk . Значит, в системе (2.10) LXpk = 0. Дифференцируя соотношения (2.10), получим a(дkXi1) = 0 . Но в силу соотношения (2.1) д sX1 = 0, поэтому новых условий на X1, X, мы не получим.

Система (2.1) и (2.10) вполне интегрируема. Из (2.1) следует, что

X1 = AjxJ + A, (2.11)

где A, А, е A. Учитывая (2.10) и (2.11), получим aA, = 0. Разложив a и A по базису (г1, s2, ..., sn) алгебры А, перепишем последние соотношения:

a a A>f= °. (2.12)

Матрица A с элементами apT = aay°TP является матрицей линейного оператора La , поэтому rank A = r . Значит, система (2.12) относительно неизвестных Аур имеет ранг mn.

Таким образом, среди параметров Aja, Ла -координат элементов Лз , Л относительно базиса (є1, є2, ..., єп), число независимых параметров равно mn2 + п (m - r). Значит, над полем действительных чисел алгебра Ли g (Mn) векторных полей, координаты которых определены равенствами (2.11) и (2.12), имеет размерность mn2 + п (m - r) .

Определение [2]. Число r0, такое, что r0 = min {rank a | a Ф 0 и a e A} , называется

сингулярным рангом алгебры А.

Следствием доказанной теоремы 2.1 является Теорема 2.2. Пусть Mn (п > 2) A-гладкое многообразие, V - голоморфная линейная связность на M и Ric = Ric(+) Ф 0, тогда

dimR (g (Mn ))* < mn2 +(m - r0), где m = dimRA, r0 - сингулярный ранг алгебры A.

Из теоремы 2.1 следует также Теорема 2.З. Если тензорное поле Риччи линейной связности V является симметричным и Ru (p) = a для некоторого индекса i, где a - регулярный элемент алгебры A, то

dimR ( g (Mn )Г < m’,

причем эта оценка - точная.

Точность оценки следует из рассмотренного примера 2.2. Достаточно положить a = S , где S

- главная единица алгебры А. Базис алгебры Ли голоморфных аффинных векторных полей

(g (Mn ) составляют векторные поля: єадs,

єаxJдh (а = 1,2, ..., m ; s, j = 1, 2, ., n ;

h = 2, 3, ..., n).

Сингулярный ранг rO алгебры А не меньше

единицы. Поэтому справедлива следующая теорема

Теорема 2.4. Вещественные размерности алгебр Ли голоморфных аффинных векторных полей пространств (Mn, V) (п > 2) с симметричным тензорным полем Риччи Ric ф 0 над алгебрами ранга m не больше, чем mn2 + п (m -1).

Указанная в этой теореме граница - точная. Для доказательства этого в примере 2.1 в качест-

ве алгебры А возьмем алгебру плюральных чисел М (єт-1) и положим а = єт-1.

Базис алгебры (g (Мп) составляют векторные поля

є а (-єт-1 х1 Xід. +д1) , євхкд1, є ахкдк, є а дк,

где по 1 ведется суммирование от 1 до п; в = 2, ..., т ; к = 1,2, ...,п ; к = 2,3,.,п ;

а = 1,2,...,т .

3. Голоморфные аффинные векторные поля на многообразиях над квадратичными расширениями поля действительных чисел

Существуют с точностью до изоморфизма три квадратичных расширения алгебры М : алгебра М(і) комплексных чисел, алгебра М(є)

дуальных чисел и алгебра М (е) двойных чисел.

Сингулярный ранг алгебры М (і) равен 2.

Поэтому имеет место

Теорема 3.1. Максимальная вещественная размерность алгебры Ли голоморфных аффинных векторных полей комплексного многообразия Мп с голоморфной линейной связностью V с ненулевым симметричным тензорным полем Риччи равна точно 2п2.

Точность оценки можно установить при помощи примера 2.2, где А = М(і) , а = 1. Базис алгебры (g (Мп ))* составляют векторные поля дк, ідк, х]дк, іх]дк (к = 2,3,.,п; 1 = 1,2,...,п ). Алгебры дуальных чисел М (є), двойных чисел М (е) имеют сингулярный ранг г0 = 1. Поэтому справедлива

Теорема 3.2. Максимальная размерность алгебры Ли голоморфных аффинных векторных полей А-гладкого многообразия Мп со связностью V с ненулевым симметричным тензорным полем Риччи равна точно 2п2 + п , если А является алгеброй М(є) или М(е).

Точность оценки устанавливается на основе построенных выше примеров.

Если А = М(є), то выберем естественный

базис алгебры А: є0 = 1, є1 =є и в примере 2.1

положим а = є . Тогда базис алгебры ( (Мп ))*

будут составлять векторные поля

-єх^х1 д. +д1, єд1, єхк д1, хк дк, єхк дк, дк, єдк,

(1,к = 1,2,.,п; к = 2,3,.,п).

В случае, когда А = М (е) выберем базис с элементами е1 = ■]( - е), е2 = 2( + е) и в примере 2.2 положим а = е1. Тогда базис алгебры к (Мп)) составят векторные поля

е]д 1, е2д 1, е2х3д], е1 х-3дИ, е2х-3дк (1,3 = !,2,...,п ; И = 2,3,...,п).

1. Вишневский В.В., Широков А.П., Шурыгин В.В.. Пространства над алгебрами. - Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1985. - 262 с.

2. Султанов А.Я. О вещественных размерностях алгебр Ли голоморфных аффинных векторных полей // Изв. вузов: Математика. - 2007. - №4. -С.54-67.

ON THE LIE ALGEBRA OF HOLOMORPHIC AFFINE VECTOR FIELDS OF HOLOMORPHIC LINEAR CONNECTIONS WITH SYMMETRIC RICCI TENSOR FIELD

A.Ya.Sultanov

The author of the article studies the Lie Algebra of holomorphic affine vector fields of holomorphic linear connections defined on smooth manifolds over Algebras. He establishes maximal real dimension of the Lie Algebras of holomorphic affine vector fields, and constructs the examples that prove that the maximum dimension of the Lie Algebras of holomorphic affine vector fields may be obtained.

Key words: Unital Algebra, Commutative Algebra, Associative Algebra, Smooth Manifold, Holomorphic Linear Connection, Affine Holomorphic Vector Field, Lie Algebra of Holomorphic Affine Vector Fields.

Султанов Адгам Яхиевич - кандидат физико-математических наук, профессор кафедры алгебры Пензенского государственного педагогического университета им.В.Г.Белинского.

E-mail: [email protected]

Поступила в редакцию 23.01.2011