О замкнутых классах трехзначной логики, порожденных симметрическими функциями Текст научной статьи по специальности «Математика»

54

ВЕСТН. моек. УН-ТА. СЕР.1, МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. 2008. №4

УДК 519.716

О ЗАМКНУТЫХ КЛАССАХ ТРEХЗНАЧНОЙ ЛОГИКИ, ПОРОЖДEННЫХ СИММЕТРИЧЕСКИМИ ФУНКЦИЯМИ

А. В. Михайлович

В работе изучаются свойства функций трехзначной логики. Рассматривается задача о существовании базисов для некоторых семейств замкнутых классов.

Э. Пост [1,2] описал структуру всех замкнутых (относительно операции суперпозиции) классов булевых функций. При этом он показал, что все эти классы имеют конечный базис. В к-значных логиках (к > 3) этот результат не сохраняется. В работе Ю.И.Янова и А. А. Мучника [3] показывается, что в Р^ при к > 3 существуют замкнутые классы как со счетным базисом, так и без базиса. Следует отметить, что порождающие системы замкнутых классов в этих примерах состоят из симметрических функций, которые принимают значения из множества {0,1}, причeм ненулевые значения принимаются на наборах, состоящих только из единиц и двоек. В данной работе изучаются замкнутые классы функций трeхзначной логики, порождающие системы которых обладают вышеперечисленными свойствами. Все необходимые определения можно найти в [4].

Пусть Е = {0,1, 2}. Через Еп обозначим множество наборов а = (а\, а,..., ап), где а\, а2, ...,ап € Е, п > 1. Функцией трeхзначной логики называется функция, все переменные которой принимают значения из множества Е и которая сама также принимает значения из Е. Множество всех функций трeх-значной логики обозначается через Р3. Замыкание множества функций О С Р3 относительно операции суперпозиции обозначается через [О]. Пусть Е С Р3 — некоторый замкнутый класс. Множество функций А С Е называется базисом класса Е, если [А] = Е и для любого множества В С А, В = А, выполняется неравенство [В] = Е. Положим Оп = {1, 2}п\{1}п, п > 1. Обозначим через Р (п)

множество функций из

Рз, зависящих от п переменных, принимающих значения только из {0,1} и равных нулю на всех наборах из множества Еп\Оп. Положим Р = У Р(п). Отметим, что каждая функция /(х\,... ,хп) € Р обладает

следующим свойством: если существует набор <3 € Вп, такой, что /(а) = 1, то функция / существенно зависит от переменных х1,...,хп. Будем называть функцию монотонной, если она монотонна относительно порядка 0 < 1 < 2. Функции /(х1,... ,хп) и д(у1,... ,уп) из Р3 называются конгруэнтными, если одна из них получается из другой переименованием переменных без отождествления (обозначение / = д).

Пусть А С Р3, а Ф — некоторая формула над А. Будем обозначать через Ф(х1,... ,хп) формулу, которая содержит символы переменных х1 ,...,хп и не содержит символов других переменных. Значение формулы Ф на наборе <3 = (а.1 ,...,ап) обозначается через Ф(<3). Формула Ф над А называется простой, если она имеет вид д(х^,...,хп), где д € А, а х,...,хгп — символы переменных, п > 1. Пусть Ф(х1,... ,хп), С1, ...,Сп — формулы над А. Будем обозначать через Ф(С1,... ,Сп) формулу над А, полученную из Ф(х1,..., хп) подстановкой на место каждого вхождения переменных х1,..., хп формул С1,..., Сп соответственно.

Множество всех наборов из Еп, которые получаются друг из друга перестановкой компонент, будем называть слоем. Слой из Вп, содержащий е единиц и й двоек, обозначим через С < е,й >, где 0 < е < п, 0 < й < п, е + й = п.

Функция / (х1, ...,хп) из Р называется симметрической, если для любого слоя С <е,й> из Оп и для любых наборов а, 3 € С <е,й> выполняется равенство / (а) = / ((3). Функцию / (х1,...,хп) будем называть т-слойной симметрической функцией, если для некоторых чисел е1,..., ет, й,1,..., йт, таких, что 0 < е1 < ... < ет < п, 0 < йт < ... < й1 < п, е^ + й^ = п для всех г = 1, 2,...,т, функция / равна единице на всех наборах из множества С <е1, й,1> и ... и С <ет, йт> и нулю на всех остальных наборах из Еп. Типом функции /(х\,..., хп) назовем набор чисел (^г, Ц-,..., ^г, ^г), где с — наибольший общий делитель чисел е1,..., ет, й,1,..., йт. Множество всех т-слойных симметрических функций из Р будем обозначать через Яушт, т > 1, множество всех немонотонных т-слойных симметрических функций —

через Яушт.

Пусть Т — разбиение множества Яушт на классы, состоящие из конгруэнтных функций. Положим Т(/) = {д € Яушт | д = /}. Определим отношение частичного порядка ^т на множестве Т. Пусть /(х1,...

, хп), д(х]1,..., х^) € ЯуШт (Э = Эт при всех 8 = г, в,г = 1,... ,р). Соотношение Т(/) ^т т (д) справедливо тогда и только тогда, когда / и д — функции одного типа и п кратно р. В этом случае будем также писать / ^т д, сравнивая / и д как представителей классов Т(/) и Т(д) соответственно. Будем

ВЕСТН. МОСК. УН-ТА. СЕР.1, МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. 2008. №4

55

говорить, что выполняется неравенство Т(/) Ут Т(д), если справедливо соотношение Т(/) ^т Т(д) и Т(/) = Т(д) (т.е. / Щ д). Отметим следующее свойство функций, сравнимых относительно введенного отношения порядка. Пусть / ^т д, а С < ег,йг > и С < аг,Ъг > — слои, на которых функции / и д соответственно принимают значение 1, г = 1,...,т. Тогда для некоторого натурального числа д выполняются равенства ег = даг, йг = дЪг.

Пусть Н С Яушт, Н — множество попарно неконгруэнтных функций. Множество Н называется цепью, если любые два элемента множества Н сравнимы относительно порядка ^т (как представители классов конгруэнтных функций). Пусть С С Яушт, С — множество попарно неконгруэнтных функций. Цепь Н называется максимальной цепью множества С, если для любой цепи Н\ С Яушт, такой, что Н С Н\, Н = Н1, цепь Н\ не является подмножеством множества С. Функция / £ Н называется верхней гранью цепи Н, если для любой функции д £ Н выполняется неравенство / ^т д. Очевидно, что Н С [{/}].

Нетрудно доказать следующие свойства функций из Яуш+.

I

Лемма 1. Пусть /(х1,... ,хп) £ Яуш+, I > 1, Ф(х1,... ,хп) — некоторая формула над А = У Яушг,

г=1

реализующая функцию /, а Ф1 — некоторая подформула формулы Ф, имеющая вид д(В1,..., Вт). Пусть (3,3 — произвольные наборы из Еп, такие, что Ф1(с3) = 0, Ф(3) = 1. Тогда

1) Ф(а) = 0, Ф1(Д) = 1;

2) среди формул В1,..., Вт есть символы всех переменных из множества {х1,..., хп}, причем каждый из них встречается одинаковое число раз.

Приведем набросок доказательства. Первая часть леммы очевидна. Из определения функций множества Р следует, что среди подформул В1,..., Вт формулы Ф есть символы переменных. Поэтому для доказательства второй части леммы достаточно показать, что если существуют переменные хг,х^ £ {х1 ,...,хп}, такие, что среди формул В1,..., Вт переменная хг встречается р раз, а переменная х^ — д раз, р > д > 0, то функция д принимает значение 1 на наборах из к > I слоев. Отсюда получаем, что д £ А, что противоречит условию, а следовательно, р = д > 0, т.е. среди формул В1,..., Вт есть символы всех переменных из множества {х1,... ,хп}, причем каждый из них встречается одинаковое число раз.

Из леммы 1 следует

Лемма 2. Пусть /(х1,..., хп) £ Яуш+, I > 1, Ф(х1,..., хп) — формула над А С Яушг, реализующая функцию /, а Ф1 — некоторая простая подформула формулы Ф, имеющая вид д(х^ ,...,хгт), д £ А, хг1,..., хгт £ {х1,..., хп}. Тогда выполняется неравенство д /.

В следующей теореме устанавливаются свойства замкнутых классов, порожденных т-слойными симметрическими функциями (см. также [5]).

Теорема. Пусть С — произвольное множество попарно неконгруэнтных функций из Яушт, т > 1, а Е = [С]. Тогда справедливы следующие утверждения.

(1) Класс Е имеет конечный базис тогда и только тогда, когда множество С содержит конечное число функций.

(2) Класс Е имеет счетный базис тогда и только тогда, когда С содержит бесконечное число функций и каждая функция, принадлежащая С, содержится в некоторой конечной максимальной цепи множества О.

(3) Класс Е не имеет базиса тогда и только тогда, когда С содержит бесконечное число функций и найдется функция Н £ С, такая, что Н не принадлежит никакой конечной максимальной цепи множества С.

Доказательство. Достаточность. Существование конечного базиса в случае (1) очевидно. Рассмотрим случай (2). Пусть А С С — множество всех (попарно неконгруэнтных) функций, являющихся верхними гранями конечных максимальных цепей множества С. Очевидно, что множество А счетно и все функции из А попарно несравнимы. Поскольку по условию каждая функция из С лежит в некоторой конечной максимальной цепи, то [А] = Е. Покажем, что для любой функции д(х^...,хр) £ А выполняется соотношение д £ [А\{д}]. Предположим, что это не так. Пусть формула Ф(х1,...,хр) над А\{д} реализует функцию д. Тогда если Ф содержит некоторую простую подформулу вида /(х^,... ,хгп), то по лемме 2 справедливо неравенство / д. Получили противоречие с тем, что все функции множества А несравнимы. Следовательно, д £ [А\{д}]. То есть А — базис класса Е. Таким образом, достаточность для случая (2) доказана.

Докажем достаточность для случая (3). Предоположим, что класс Е имеет базис А и существует некоторая функция Н(х1 ,...,х3) £ С, которая не содержится ни в какой конечной максимальной цепи множества С. Пусть функция / £ А реализуется некоторой формулой Yf над С. Преобразуем произ-

вольную формулу Ф над A в формулу п(Ф) над G следующим образом. Если формула Ф имеет вид Xi, то п(Ф) = Xi. Пусть формула Ф имеет вид f (Bi,..., Bp), где B\, ...,Bp — формулы над A или символы переменных, и пусть формулам B\,...,Bp над A уже сопоставлены формулы n(Bi),..., n(Bp) над G соответственно. Тогда п(Ф) = Yf (n(B\),... ,n(Bp)).

Рассмотрим функцию f £ A и некоторую формулу Yf над G, реализующую функцию f. Легко видеть, что существует некоторая подформула Ф вида g(B\,...,Bm) формулы Yf, такая, что g £ [A\{f}]. Покажем, что подформула Ф простая. Пусть Фд(xi,... ,xm) — некоторая формула над A, реализующая функцию g(xi,..., xm). Тогда формула п(Фд) реализует функцию g над G. В формуле п(Фд) есть подформула вида g(Ci,..., Cm). По лемме 1 среди Ci,..., Cm встречается символ каждой переменной из множества {xi,... ,xm}. Следовательно, все подформулы Ci,... ,Cm являются символами переменных. Поэтому подформула Ф простая. Покажем, что функция g является верхней гранью некоторой конечной максимальной цепи множества G. Предположим, что существует функция g'(xi,... ,xr) £ G, такая, что g' У1 g. Легко показать, что g' £ [A\{f}]. Поэтому любая формула над A, реализующая функцию g', содержит подформулу вида f (Bi,..., Bn), где Bi,...,Bn — некоторые формулы над A. Пусть Ф^,..., xr) — произвольная формула над A, реализующая функцию g'. Рассмотрим формулу п(Ф). Поскольку формула Ф содержит подформулу вида f (Bi,..., Bn), то формула п(Ф) содержит подформулу вида g(Di,..., Dm). Из леммы 1 следует, что среди Di,... ,Dm встречается каждая переменная из множества {xi, ...,xr}. Но поскольку g' У1 g, то r > m. Получили противоречие. Следовательно, для любой функции g' £ G выполняется соотношение g' ^i g, т.е. g является верхней гранью для некоторой конечной максимальной цепи в G. Таким образом, для любой функции f (xi,... ,xn) £ A каждая формула Yf, реализующая функцию f, содержит простую подформулу g(xi1 ,...,xim), такую, что g — верхняя грань некоторой конечной максимальной цепи множества G.

По условию существует функция h(xi,..., xs) £ G, не содержащаяся ни в какой конечной максимальной цепи множества G. Пусть Ф^^,... ,xs) — формула над A, реализующая функцию h, а Ф! — некоторая простая подформула формулы Ф^, имеющая вид f (x^,... ,xin). Поскольку формула Yf (x^,... ,xin) содержит простую подформулу g(xjl,...,xjm), такую, что g — верхняя грань некоторой конечной максимальной цепи множества G, то и в формуле ..., xs)) найдется какая-то простая подформула вида g(xj,... ,xjm), такая, что g — верхняя грань некоторой конечной максимальной цепи множества G. В силу леммы 2 выполняется неравенство g Уi h. Следовательно, h лежит в конечной максимальной цепи H Q G, для которой функция f является верхней гранью. Получили противоречие. Следовательно, класс F не имеет базиса.

Необходимость. Покажем, что класс F может иметь конечный базис только тогда, когда число функций в G конечно. Предположим, что класс F имеет конечный базис, но при этом множество G содержит бесконечное число функций. Возможны два случая: либо каждая функция из G лежит в некоторой конечной максимальной цепи множества G, либо существует функция h G, которая не принадлежит никакой конечной максимальной цепи в G. Выше показано, что в первом случае класс F имеет счетный базис, а во втором случае не имеет базиса. Получили противоречие с тем, что базис класса F конечный. Очевидно, что в случаях (2) и (3) множество G не может состоять из конечного числа функций. Аналогично случаю (1), предполагая, что в случае (2) существует хотя бы одна функция, не принадлежащая никакой конечной максимальной цепи множества G, получаем, что класс F не имеет базиса, что противоречит условию. Если в случае (3) каждая функция из G лежит в некоторой конечной максимальной цепи в G, то получаем, что класс F имеет счетный базис, что противоречит условию.

Таким образом, теорема доказана.

Автор выражает благодарность А. Б. Угольникову за постановку задачи и постоянное внимание к работе.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проекты № 05-01-00994, 08-01-00863), программы "Ведущие научные школы РФ" (проекты НШ-5400.2006.1, НШ-4470.2008.1) и программы фундаментальных исследований Отделения математических наук РАН "Алгебраические и комбинаторные методы математической кибернетики" (проект "Синтез и сложность управляющих систем").

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Post E.L. Introduction to a general theory of elementary propositions // Amer. J. Math. 1921. 43, N 3. 163-185.

2. Post E.L. The two-valued iterative systems of mathematical logic // Ann. Math. Stud. Princeton Univ. Press. 1941. 5.

3. Янов Ю.И., Мучник А.А. О существовании fc-значных замкнутых классов, не имеющих конечного базиса // Докл. АН СССР. 1959. 127, № 1. 44-46.

4. Яблонский С.В. Введение в дискретную математику. М.: Высшая школа, 2001.

5. Михайлович А.В. О некоторых свойствах симметрических функций трехзначной логики // Мат-лы IX Между-нар. семинара "Дискретная математика и ее приложения" (М., МГУ, 18-23 июня 2007 г.). М.: Изд-во Центра прикладных исследований при механико-математическом факультете МГУ, 2007. 165-167.

Поступила в редакцию 07.11.2007

УДК 519.6

МЕТОД СТАБИЛИЗАЦИИ ПО ПРАВОЙ ЧАСТИ ДЛЯ СИСТЕМЫ ОБЫКНОВЕННЫХ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

А. Б. Калинина

В работе рассматривается задача построения поправки к функции правой части обыкновенного дифференциального уравнения, обеспечивающей требуемое поведение решения. Приводятся математическая постановка задачи, теорема существования искомой поправки, алгоритм ее построения и результаты численных расчетов.

Постановка задачи. Рассмотрим систему дифференциальных уравнений

и = A-u + h(u,v), v = A+v + g(u, v),

где и G R, v G Rm, k + m = n. Пусть A± = (A±)T, spec A- лежит слева от мнимой оси, spec A+ — справа от мнимой оси, функции g и h непрерывно дифференцируемы в некоторой окрестности нуля и равны нулю вместе со своими первыми производными в нуле. Пусть заданы uo G Rk, vo G Rm, T G R и такая (m x т)-матрица B, что spec B лежит не правее мнимой оси.

Требуется найти такой постоянный вектор f (vo,T,B) G Rm, чтобы для системы

U = A-u + h(u, v), v = A+v + g(u, v) + f, u(0) = uo, v(0) = vo

в момент времени T выполнялось условие

v(T ) = eBT vo = vi. (3)

Для решения задач асимптотической стабилизации при t G [0, то) необходимо многократно корректировать поведение решения в течение небольших интервалов времени T.

Замечание. Задача асимптотической стабилизации по граничным условиям рассматривалась в работах [1, 2], по начальным данным — в работе [3].

Алгоритм решения. Отметим, что решение задачи (2), (3) удовлетворяет системе интегральных уравнений

(t) = И tUo + / И (t-s) h(u(s),v(s))ds, Jo

(t)= e-A+(T-t)vl - Г e-A+(s-t)g(u(s),v(s))ds - Г e-A+(s-t) fds. tt

у(г) = е

Если исходная задача линейна (т.е. д,Ь = 0), то из условия ^(0) = уа получим уравнение для искомой поправки

[ !° = е-Л+тV! - у°.