CC BY
30
УДК 539.3
В. М. Буре, В. В. Карелин
Вестник СПбГУ. Сер. 10. 2015. Вып. 2
О ЗАДАЧЕ ПЛАНИРОВАНИЯ РАБОТЫ ТЕРМИНАЛА
Санкт-Петербургский государственный университет, Российская Федерация,
199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7/9
Предположим, что недалеко друг от друга расположены терминалы нескольких компаний. Каждая компания осуществляет транспортировку и хранение грузов. Если ее терминал переполнен, то она может арендовать часть складских помещений терминала другой компании. Если терминал компании недостаточно загружен, то часть помещений может быть сдана в аренду другой компании. Аренда части терминала другой компании и транспортировка грузов с одного терминала на другой требуют дополнительных расходов. Кроме того, желательно заранее предвидеть необходимость аренды части помещений другой компании, так как организация аренды и транспортировка грузов требуют некоторого времени и дополнительных финансовых ресурсов. Таким образом, следует долгосрочно планировать работу терминала и резервировать финансовые ресурсы в целях обеспечения дополнительных расходов. Поток грузов носит стохастический характер и не полностью известен заранее. Рассмотрена задача планирования работы терминала в рамках упрощенной математической модели. Динамика процесса загрузки терминала задается разностным стохастическим уравнением с управлением. Сформулированы общие подходы к задаче управления, целью которого является обеспечение допустимых условий функционирования терминала. Для ряда практически важных случаев найдены оптимальные управления. Библиогр. 12 назв.
Ключевые слова: терминал, оптимальные управления, управление запасами, случайные величины.
V. M. Bure, V. V. Karelin
ON THE PROBLEM OF PLANNING THE TERMINAL
St. Petersburg State University, 7/9, Universitetskaya embankment, St. Petersburg,
199034, Russian Federation
Assume that terminals of several companies are not far apart. Each company provides transportation and storage of goods. If a terminal of some company is crowded, then the company can rent a storage space in a terminal of another company. If a terminal of some company is not loaded, then a part of the premises may be leased to another company. Rental of the terminal to another company and the transportation of goods from one terminal to another require additional costs. It is desirable to anticipate the need for the rental of the premises of another company, as the organization of rent and transportation of goods require some additional time and financial resources. Therefore, long-term planning of financial resources is necessary in order to provide additional costs. Cargo flow is stochastic in nature and is not fully known in advance. In this paper, we consider the problem of scheduling of a job of a terminal in a simplified mathematical model. The dynamics of the boot process of the terminal is determined by the stochastic equation with control. A general approaches to the problem of optimal control with the purpose to ensure acceptable conditions for the functioning of the terminal are formulated. For a number of practically important cases the problems of the optimal control are solved. Bibliogr. 12.
Keywords: inventory management, terminal, optimal control, random variables.
Буре Владимир Мансурович — доктор технических наук, профессор; e-mail: <vlb310154@ gmail.com
Карелин Владимир Витальевич — кандидат физико-математических наук, доцент; e-mail: [email protected]
Bure Vladimir Mansurovich — doctor of technical sciences, professor; e-mail: <[email protected]
Karelin Vladimir Vitalievich — candidate of physical sciences, associate professor; e-mail: vlkarelin@ mail.ru
Введение. В последние годы усилился интерес к прикладным трудно формализуемым задачам теории управления. Не претендуя на полноту изложения, укажем лишь несколько публикаций в этом направлении, появившихся в последнее время [1-8]. Предположим, что в относительной близости друг к другу расположены однотипные терминалы нескольких компаний. Каждая компания осуществляет транспортировку и хранение грузов. Если ее терминал переполнен, то она может арендовать часть складских помещений терминала другой компании для хранения вновь поступивших грузов, и, наоборот, если терминал компании не достаточно загружен, то часть складских помещений может быть сдана в аренду другой компании. Аренда части терминала другой компании и транспортировка грузов с одного терминала на другой требуют дополнительных расходов, кроме того, желательно заранее предвидеть необходимость аренды части помещений другой компании, так как осуществление аренды и транспортировка грузов требуют определенного времени и дополнительных финансовых ресурсов. Следовательно, необходимы долгосрочное планирование работы терминала и резервирование финансовых ресурсов в целях обеспечения дополнительных расходов, при этом поток грузов в целом носит стохастический характер и не полностью известен заранее. Рассматриваемая задача близка к проблематике управления запасами [8-11], но обладает некоторыми особенностями в части постановки задачи, о которых было сказано выше.
Постановка задачи. Опишем задачу планирования работы терминала в рамках упрощенной математической модели. Пусть хг - объем груза на терминале в период времени Ь, который может означать, например, день, неделю или какой-либо другой промежуток времени. За текущий период времени на терминал поступает новый груз. Пусть - объем груза, поступившего за период времени Ь, кроме того, за тот же период времени с терминала может быть вывезено некоторое количество груза, обозначим его п ■ Динамика функционирования терминала может быть описана разностным уравнением
Хг+1 = хг + & - Пг, (1)
где неотрицательные случайные величины предполагаются взаимно независимыми и одинаково распределенными, аналогично неотрицательные случайные величины гц также взаимно независимые и одинаково распределенные, при этом случайные величины и гц взаимно независимы между собой. Из сказанного следует, что случайные величины = — Цг взаимно независимы и одинаково распределены.
В рамках рассматриваемого формализма естественным образом возникает следующая задача. В течение некоторого периода времени может произойти переполнение терминала либо, наоборот, терминал может оказаться недостаточно заполненным и его функционирование будет нецелесообразным. Будем предполагать, что заданы константы а и в, которые указывают допустимые пределы для изменения переменной хг, выход за эти границы приводит к экономическим потерям. Введем в уравнение (1) управление иг■ Содержательный смысл введенного управления заключается в том, что некоторое количество груза можно перевозить на данный терминал с другого терминала в ситуации его незагруженности и, наоборот, увозить с данного терминала, если последний перегружен. Интересна задача выбора программного управления на некоторый промежуток времени [1,п], т. е. на некоторое количество периодов времени, например, на месяц, если период времени составляет неделю. Выбор некоторого программного управления представляет собой директивный план работы терминала на п периодов времени и позволяет оценить ожидаемые затраты, связанные с организацией грузоперевозок. Разумеется, в действительности управле-
ние окажется другим и будет основываться на реальной загруженности терминала, но выбранное программное управление дает возможность оценить ожидаемые расходы на организацию дополнительных перевозок грузов между терминалами в целях рационального распределения загрузки складских помещений. С учетом введения программного управления уравнение (1) приобретает вид
xt+1 = Xt + ut + £t - It- (2)
Один из возможных подходов к выбору управления заключается в решении следующей оптимизационной задачи. Будем выбирать программное управление из условия максимизации вероятностей
P {а < xt < ß}, t = 1,...,n.
Формально критерий можно записать таким образом:
max min Pia < xt < в}, (3)
ueDte{i,..,n}
где D — область допустимых значений вектора управлений; U = (ui,..., un-i) — вектор программных управлений. Возможен и другой подход; может быть задана экзогенная допустимая вероятность y выхода за границы интервала (а, ß), в этом случае вектор управлений следует выбирать так, чтобы обеспечить выполнение неравенств
P{а < xt < ß} > 1 — Y, t = 1,...,n. (4)
Основные результаты и обсуждение. В качестве закона распределения случайных величин St можно выбирать разные распределения, например нормальное распределение, или можно задавать распределения взаимно независимых случайных величин и nt, после чего находить распределение случайных величин St по заданным распределениям случайных величин и nt.
Лемма 1. Пусть S — случайная величина; u,a,ß G R, тогда, если функция распределения случайной величины S непрерывна на вещественной прямой, то существует решение задачи
u* = arg max P{а ^ u + S ^ ß}
uER
и для любого
е G (0, max P{а < u + S < ß})
uER
существует ue — решение уравнения
е = P{а < u + S < ß}.
Доказательство. Заметим, что, ввиду непрерывности функции распределения случайной величины S, имеем
P{а < u + S < ß} = Fg(ß — u) — Fg(а — u),
где Fg (x) - функция распределения случайной величины S. Дальнейшее доказательство непосредственно следует из свойств функций распределения [12] и свойств непрерывных функций. Лемма доказана.
Пусть
k
Ck = 53 St> к t=1
Теорема 1. Предположим, что функция распределения одинаково распределенных случайных величин öt непрерывна на вещественной прямой, и пусть
max P{а ^ u + Zk ^ ß} ^ 1 — y
uER
для любого к = 1,...,n. Тогда существует программное управление UY = (u1}1,..., un,Y), для которого выполнены неравенства
P{а < xt < ß} > 1 — y, t = 1,...,n.
Доказательство. Заметим, что
k-1
xk = xo + ut + Zk-i. t=i
При любых фиксированных значениях xo,ui,... ,uk-2, в силу леммы 1, может быть выбрано управление uk-1, для которого
P{а < xk < ß} > 1 — Y.
Теорема доказана.
Теорема 2. Предположим, что функция распределения случайных величин öt непрерывна на вещественной прямой, пусть D = Rn, тогда существует программное управление U* = (u*,... ,u*n), являющееся решением задачи (33), т. е. программное управление, для которого выполнено
U* = arg max min Wa < xt < ß\.
Доказательство. Заметим, что
k-1
xk = xo + ut + Zk-1. t=1
При любых фиксированных значениях xo, u1,..., uk-2, в силу леммы 1, можно быть выбрано управление uk-1, для которого вероятность P{а ^ xt ^ ß} достигает максимально возможного значения. Теорема доказана.
Замечание! Теоремы 1 и 2 доказывают существование программных управлений, гарантирующих решение задач (2)-(4). Однако задача синтеза управлений, обеспечивающих решение этих задач, при наличии ограничений на управления, может и не иметь решения. Если у задачи синтеза есть решение, вызывает интерес конструирование наиболее экономных управлений. Целесообразно рассматривать дополнительную оптимизационную задачу, которая сводится к выбору на множестве управлений, оптимальных в смысле задач (3) и (4), т. е. таких управлений, которые обладают дополнительными оптимальными свойствами с целью уменьшения экономических затрат на управление. Предположим теперь, что взаимно независимые случайные величины St, t = 1, ....n, подчиняются нормальному распределению со средним ц и дисперсией а2.
Теорема 3. Пусть случайная величина S распределена нормально с математическим ожиданием л и дисперсией а2, величины u^,ß G R, тогда
и* = arg maxP{a ^ и + 8 ^ /3} = —— ¡л.
uER 2
Доказательство. Оно следует из симметричности относительно математического ожидания и унимодальности плотности нормального распределения [12]. Теорема доказана.
Следствие 1. Управление U* = (u*,... ,u*n_ 1) вида
а + ß
и1 = -х0 Н-----ц,и2 = ■■■ = ип_1 = -fj,
является решением задачи (33), если управление U* G D.
В работе [3] показано, что для другого критерия оптимальности управление из следствия 1 оказывается также оптимальным.
Следствие 2. Управление U* = (u*,... ,utn_1) вида
. а + ß
и1 = —хо Н-----/л, и2 = ■ ■ ■ = ип_1 =
является решением задачи (4), если
1 — y G (0, maxP{а < u + S < ß}).
uE R
Предположим, что случайные величины и nt распределены экспоненциально с параметрами Л* и Л2 соответственно, т. е. плотность распределения имеет вид
( ) = j Л exp(—Л^x), x> 0, fi(x) [0, x < 0,
где fi — плотность распределения £t; f2— плотность распределения nt.
Лемма 2. Предположим, что случайные величины £t и r/t распределены экспоненциально с параметрами Л* и Л2 соответственно, тогда плотность распределения St = £t — nt имеет вид
fs(x)
£2a-exp(-Ai|x|), x > 0,
Доказательство. Утверждение сразу следует из справедливости формулы
сю
fs(x) = J fi(y)h(y - x)dV-
max(0 ,x}
Лемма доказана.
Дальнейшее рассмотрение проведем для частного случая, когда Ai = A2 = A. Теорема 4. Предположим, что случайные величины и гц распределены экспоненциально с параметром A, тогда
и* = arg maxP(a ^ и + 8 ^ ß) = —7-^--
ueR 2
Доказательство. Из леммы 2 следует, что при условии справедливости Ai = Л2 = Л распределение случайной величины St = £t — Vt симметрично относительно нуля, плотность распределения унимодальна, максимальное значение функции плотности распределения достигается в нуле, по мере удаления аргумента от нуля функция плотности монотонно убывает, поэтому утверждение теоремы очевидно. Теорема доказана.
Замечание2.В общем случае решение задачи также существует и зависит от конкретных значений параметров Ai и A2.
Следствие 3. Если случайные величины £t и r/t распределены экспоненциально с параметром Л, то управление U* = (u**, . ..,u*n) вида
* Ai + Л2 * * „ и1 = -х0А----, и2 = ... = ип_1= О
является решением задачи (33), если управление U * G D.
Следствие 4. Управление U * = (u**,..., u*n_ *) вида
* Ai + Л2 * * „ u1 = -x0-\----, u2 = ... = un_1 = 0
является решением задачи (4), если
1 — y G (0, maxP(a < u + S > fî).
uER
Заключение. В работе рассмотрена задача планирования работы терминала в рамках упрощенной математической модели. Динамика процесса загрузки терминала задается разностным стохастическим уравнением с управлением. Сформулирована общая задача управления, целью которого является обеспечение допустимых условий функционирования терминала с максимальной вероятностью или заданной гарантированной вероятностью. Рассмотрены два примера, когда оптимальные управления находятся аналитически.
Литература
1. Belzunce Felix, Martinez-Puertas Helena, Ruiz Jose M. Onallocation of redundant components forsys temswith dependent components // European J. of Operational Research. 2013. Vol. 230, N 3. P. 573-580.
2. Sobhani A., Wahab M. I. M., Neumann W. P. Investigating work-related ill health effects in optimizing the performance of manufacturing systems // European J. of Operational Research. 2015. Vol. 241, N 1. P. 708-718.
3. Tang W., Zheng J., Zhang J. Viability decision of linear discrete-time stochastic systems with probability criterion // J. Control Theory Appl. 2009. Vol. 7, N 3. P. 297-300.
4. Якушев В. П., Карелин В. В., Буре В. М. Байесовский подход в задаче управления кислотностью среды // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10. Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. 2013. Вып. 3. С. 168-179.
5. Karelin V. V., Bure V. M. Optimal allocation of a collective use center // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10. Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. 2014. Вып. 4. С. 36-43.
6. Полякова Л. Н., Карелин В. В., Буре В. М., Хитров Г. М. Точные штрафные функции в задаче управления одной системой массового обслуживания // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10. Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. 2015. Вып. 1. С. 75-82.
7. Bayram Armagan, Solak Senay, Johnson Michael. Stochastic models for strategic resource allocation in nonprofit foreclosed housing acquisitions // European J. of Operational Research. 2014. Vol. 233, issue 1. P. 246-262.
8. Мышков С. К., Полякова Л.Н., Тарасова В. В. О применимости численных методов негладкого анализа к решению линейно-квадратичной задачи оптимального управления с неполной информацией // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10. Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. 2005. Вып. 4. С. 130-136.
9. Рыжиков Ю. И. Теория очередей и управление запасами. СПб.: Питер, 2001. 384 с.
10. Таха Хэмди А. Введение в исследование операций. 6-е изд. / пер. с англ.; под ред. В. Ю. Тюп-ти. М.: Издат. дом «Вильямс», 2001. 912 с. (Hamdy A. Taha. Operations Research An Introduction.)
11. Donald C., Waters J. Inventory control and management. Chichester; New York: J. Wiley, 391 p.
12. Буре В. М., Парилина Е. М. Теория вероятностей и математическая статистика. СПб.: Изд-во «Лань», 2013. 416 с.
References
1. Belzunce Felix, Martinez-Puertas Helena, Ruiz Jose M. Onallocation of redundant components forsys temswith dependent components. European J. of Operational Research, 2013, vol. 230, no. 3, pp. 573-580.
2. Sobhani A., Wahab M. I. M., Neumann W. P. Investigating work-related ill health effects in optimizing the performance of manufacturing systems. European J. of Operational Research, 2015, vol. 241, no. 1, pp. 708-718.
3. Tang W., Zheng J., Zhang J. Viability decision of linear discrete-time stochastic systems with probability criterion. J. Control Theory Appl., 2009, vol. 7, no. 3, pp. 297-300.
4. Yakushev V. P., Karelin V. V., Bure V. M. Bajesovskij podhod v zadache upravlenija kislotnost'ju sredy [Bayesian approach for control soil acidity]. Vestn. of St. Petersburg University. Series 10. Applied mathematics. Computer science. Control processes, 2013, issue 3, pp. 168-179. (in Russ.)
5. Karelin V. V., Bure V. M. Optimal allocation of a collective use center. Vestn. of St. Petersburg University. Series 10. Applied mathematics. Computer science. Control processes, 2014, issue 4, pp. 36-43. (in Russ.)
6. Polyakova L. N., Karelin V. V., Bure V. M., Chitrow G. M. Tochnye shtrafnye funkcii v zadache upravlenija odnoj sistemoj massovogo obsluzhivanija [Exact penalty function in the problem of a queuing system]. Vestn. of St. Petersburg University. Series 10. Applied mathematics. Computer science. Control processes, 2015, issue 1, pp. 75-82. (in Russ.)
7. Bayram Armagan, Solak Senay, Johnson Michael. Stochastic models for strategic resource allocation in nonprofit foreclosed housing acquisitions. European J. of Operational Research, 2014, vol. 233, issue 1, pp. 246-262.
8. Myshkov S. K., Polyakova L. N., Tarasova V.V. O primenimosti chislennyh metodov negladkogo analiza k resheniju linejno-kvadratichnoj zadachi optimal'nogo upravlenija s nepolnoj informaciej [On the applicability of numerical methods of nonsmooth analysis to the solution of a linear quadratic problem of optimal control with incomplete information]. Vestn. of St. Petersburg University. Series 10. Applied mathematics. Computer science. Control processes, 2005, issue 4, pp. 130-136. (in Russ.)
9. Rizhikov Y. I. Teorija ocheredej i upravlenie zapasami [Queuing theory, and inventory management]. St. Petersburg, Peter Publ., 384 p. (in Russ.)
10. Hamdy A. Taha. Vvedenie v issledovanie operatsiy [Operations Research An Introduction]. Moscow, Williams Publ., 2001, 912 p. (in Russ.)
11. Donald C., Waters J. Inventory control and management. Chichester; New York, J. Wiley, 2003, 391 p.
12. Bure V. M., Parilina E. M. Theory of Probability and Mathematical Statistics. St. Petersburg, "Lan" Publ., 2013, 416 p. (in Russ.)
Статья поступила в редакцию 17 февраля 2015 г.
