CC BY
34
Секция «Математические методы моделирования, управления и анализа данных»
УДК 681.5.015
Н. С. Козлова Научный руководитель - О. В. Шестернева Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева, Красноярск
О ЗАДАЧЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ТИПА НЕЛИНЕЙНОСТИ В МОДЕЛЯХ ВИНЕРА
Рассматривается идентификация линейной части и нелинейного элемента динамической системы, представленной с помощью модели Винера. Определение нелинейной части производится в ходе эксперимента путем варьирования входного воздействия в системе. Идентификация линейной части осуществляется с помощью использования восстановленной зависимости, имеющей место в нелинейном элементе.
Модель Винера состоит из последовательного соединения двух блоков: линейного динамического и нелинейного с однозначной статической характеристикой. Имеется объект, относящийся к классу нелинейных динамических систем, на который действует гненаблюдаемое случайное воздействие, и(^ -входные переменные объекта, х(^- выходные переменные объекта, и{х{ - соответствующие наблюдения переменных процесса, которые далее будем для простоты обозначать {и}г = 1, N . Доступная априорная информация содержит только выборки измерений входных и выходных переменных объекта [1].
Для имитации линейной части объекта используем дифференциальное уравнение второго порядка, причем коэффициенты уравнения выберем таким образом, чтобы система была устойчива: у"^) + 0.5/(0 + /(0 = и(0 .
Для определения коэффициентов воспользуемся методом наименьших квадратов
Мсот!-1
™ = X (У - (°х2} + Ъх} + с))2
j=0
^ min.
a,b,c
После решения системы линейных алгебраических уравнений получаем следующую зависимость: у(х) = 0.499х2 + 2.977х + 2 .
Рис. 1. Динамика линейной части объекта
Для имитации нелинейного элемента используем следующую зависимость:
F (y) = 0.5 y2 + 3 y + 2.
Определим тип нелинейности системы в ходе эксперимента, путем варьирования входного воздействия в системе. С объекта будет получена следующая выборка: {uixi }i = 1, N . Входное воздействие выбираем из класса u = const, измеряем выходной параметр после окончания переходного процесса, получаем следующую выборку: {UjXj } j = 1, Nconst, где
Nconst - число параметров на входе, взятых из класса u = const [2]. В данной работе Nconst = 10, а
u е{1,2,3,..., 10} . Здесь х- - это выходное значение
динамического объекта при входном воздействии u j
в установившийся момент времени (при Т = 10).
На основании полученной выборки можно предположить вид аналитической зависимости (рис. 2) нелинейного элемента, так в данном случае нелинейный элемент является параболой (y(х) = ax2 + bx + c).
Рис. 2. Точки выборки, полученной для определения вида нелинейности
Проведем идентификацию линейной части системы. Так как снять данные непосредственно с линейной части невозможно, предположим, что коэффициент передачи линейной части равен единице. Подавая на вход объекта исследования функцию Хэвисайда будем измерять выходные переменные, получим выборку измерений {и^ }г = 1, N . Для идентификации линейной части выборку {и.х. }г = 1, N преобразуем к виду {иу }г = 1, N, где у^ - предполагаемый выход
линейной части, используя восстановленную зависимость, имеющую место в нелинейном элементе у (/) = ^-1( х(/)).
А именно: 0.499/,2 + 2.977у + (2 - ) = 0 при
г = Тм
У, =
-b +-yjb2 - 4 • a • (c - xi)
2 • a
Корень y, =
-b--y/b2 - 4 • a • (c - xt) 2 • a
квадратичного
уравнения отбрасывается.
По выборке {uiyi }г = 1, N можно восстановить переходную характеристику в линейной части, с помощью непараметрической оценки регрессии:
^ - и
X yt •Ф
y(t) =-
с
X Ф
t - tj C
i=1
i =1
Актуальные проблемы авиации и космонавтики - 2014. Информационные технологии
Рис. 3. Непараметрическая модель динамической системы
Показана работоспособность предлагаемого алгоритма и применимость к задаче построения нелинейных динамических систем типа Винера. Описанный метод построения и исследования модели позволяют
производить моделирование технологических процессов и систем, имеющих нелинейную структуру.
Библиографические ссылки
1. Агафонов Е. Д., Шестернёва О. В. Математическое моделирование линейных динамических систем ; Сиб. гос. аэрокосмич. ун-т. Красноярск, 2010. 92 с.
2. Вятченников Д. Н., Кособуцкий В. В., Носенко А. А., Плотникова Н. В. Идентификация нелинейных динамических объектов во временной области // Вестн. ЮУрГУ. 2006. № 14.
© Козлова Н. С., 2014
УДК 519.6
А. А. Коромыслова Научный руководитель - М. Е. Семенкина Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева, Красноярск
ГЕНЕТИЧЕСКИЙ АЛГОРИТМ ДЛЯ АВТОМАТИЧЕСКОГО ФОРМИРОВАНИЯ СИСТЕМ НА НЕЧЁТКОЙ ЛОГИКЕ
Предлагается генетический алгоритм для автоматической настройки лингвистических переменных и базы правил для систем, основанных на нечёткой логике, с одновременным выбором наиболее информативных признаков.
В настоящее время интеллектуальные информационные технологии (ИИТ) используются во многих отраслях науки. Это обусловлено увеличивающимися вычислительными мощностями современных компьютеров, которые применяются для решения практических задач, и способностью систем, использующих ИИТ, эффективно решать широкий круг задач.
К часто применяемым ИИТ относятся и системы, основанные на нечеткой логике (НЛ). При использовании данного вида систем необходимо проектировать базы правил и настраивать лингвистические переменные. Лучший способ решения этих задач - работа с экспертом. Однако это не всегда представляется возможным. Поэтому предлагается использовать генетический алгоритм [1].
В данной работе был реализован генетический алгоритм для настройки систем на нечёткой логике (вАРЬ). Для кодирования лингвистических переменных генерировались бинарные строки, к которой далее применялись операторы генетического алгоритма. Где первые два бита отвечают за вид функции принадлежности, а остальные за её параметры. В данной работе одновременно использовались три вида функции принадлежности: треугольная, трапецеидальная и гауссова [2]. Далее к популяции таких хромосом применяются операторы генетического алгоритма, тем самым находится оптимальное решение.
Для формирования базы правил так же использовалась бинарная хромосома. Количество битов на одно правило зависело от размерности задачи. Для записи правила использовался Питтсбургский подход, а для вывода алгоритм Мамдами. Результаты тестирования генетического алгоритма для настройки систем основанных на нечёткой логике представлены в табл. 1.
Тестирование проводилось при помощи разработанной программной системы по следующим правилам:
- при каждых настройках генетического алгоритма выполнялось по 100 запусков;
- количество поколений 1000;
- количество индивидов 500;
- размер выборки 500.
- объем обучающей выборки 70 % от общего числа точек, а тестовой - 30 %;
- результаты представлены для лучших настроек генетического алгоритма;
- ошибка по всем запускам усреднялась (в таблице - «Средняя») и минимальная из найденных («Лучшая»);
- в каждом запуске считалась ошибка аппроксимации по формуле
100%
еггог = -
г!
,=0У - Ц
п ■ У - У
| тах шт |
вА-РЬ решает задачу с приемлемой точностью. Однако точность заметно падает при росте размерности. Чтобы оставить точность на приемлемом уровне, используя меньше ресурсов, предлагается производить выбор наиболее информативных признаков.
Генетический алгоритм для автоматической настройки систем на нечёткой логике с выбором наиболее информативных признаков (вЛ-РЬтри!) почти не отличается от предыдущего метода. Только к хромосоме для базы правил сначала записываются все входные переменные, по одному биту на признак. При инициализации признак считался неинформативным с вероятностью 0,5.
Результаты тестирования разработанного алгоритма представлены в табл. 2.
