О явном виде метрик Бертрана Текст научной статьи по специальности «Математика»

19. Угольников А.Б. Классы Поста. М.: Изд-во ЦПИ при мех.-мат. ф.-те МГУ, 2008.

20. Post E.L. Two-valued iterative systems of mathematical logic // Ann. Math. Stud. 1941. 5.

21. Яблонский C.B., Гаврилов Г.П., Кудрявцев В.Б. Функции алгебры логики и классы Поста. М.: Наука, 1966. 3-15.

22. Марченков С.С. Об id-разложениях класса Pk над предполными классами // Дискрет, матем. 1993. 5, № 2. 98-110.

Поступила в редакцию 22.02.2013

УДК 511

О ЯВНОМ ВИДЕ МЕТРИК БЕРТРАНА

О. А. Загрядский1, Д. А. Федосеев2

Исследуется задача о поиске явного вида метрики вращения на римановых многообразиях Бертрана в координатах определенного вида. Демонстрируется связь с более ранними результатами М. Сантопрете.

Ключевые слова: многообразие Бертрана, поверхность вращения, гамильтоновы системы.

The problem of explicit form of the metric of revolution on Bertrand's Riemannian manifolds in particular coordinates is solved. Connections with earlier results due to M. Santoprete are discussed.

Key words: Bertrand's manifold, surface of revolution, Hamiltonian systems.

1. Введение. В работе fl] было введено понятие римановых многообразий Берт,рана, возникающих как конфигурационное пространство задачи о движении точки по замкнутым траекториям в потенциальном поле. В общем случае под многообразием Бертрана понимается двумерное риманово многообразие S ~ I х S1, где I с R — интервал, снабженное такой метрикой вращения

1 0

0 f 2(r)

(1)

в координатах (r, ( mod 2п), что на этом многообразии существует хотя бы один центральный потенциал (называемый бертрановским), обеспечивающий замкнутость определенного класса траекторий движения точки по поверхности в данном потенциальном поле. При этом указанные замкнутые орбиты, не являющиеся круговыми, задаются периодическими функциями r = r(() с минимальным положительным периодом Ф = где /3 £ Q>o — рациональная константа, называемая постоянной Берт,рама. В данной статье под римановыми многообразиями Бертрана понимается чуть более широкий класс многообразий, получающийся заменой требования замкнутости класса орбит требованием того, что некруговые орбиты этого класса задаются периодическими функциями r = r(() с минимальным положительным периодом Ф = Щ-, где /3 £ R>o — некоторая (не обязательно рациональная) константа.

В работе [1] было показано, что римановы многообразия Бертрана без экваторов (т.е. такие, что f '(r) = 0 на I) — это в точности те многообразия, риманова метрика которых может быть записана в

определенном явном виде (см. (3)) в некоторых координатах (в, ( mod 2п), таких, что в = 9(r), причем

1 2

/Л = ИЛИ Ц, =

f

многообразия Бертрана без экваторов, должна удовлетворять определенному дифференциальному уравнению (см. (2) ниже), где в — постоянная Бертрана. Важность этого дифференциального уравнения

1 Загрядский Олег Александрович — асп. каф. дифференциальной геометрии и приложений мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: grcpozagQmail.ru.

2 Федосеев Денис Александрович — асп. каф. дифференциальной геометрии и приложений мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: denfedexQyandex .ru.

заключается в том, что при помощи его анализа Сантопрете доказывает, что на таких римановых многообразиях может существовать не более двух центральных бертрановских потенциалов с точностью до аддитивной и положительной мультипликативной констант.

Будем говорить, что риманово многообразие вращения с метрикой (3) имеет первый тип, если ff'' — f'2 = const (это равносильно постоянству римановой кривизны многообразия), в противном случае будем говорить, что многообразие относится ко второму типу.

Данная работа посвящена доказательству того факта, что указанные два условия (представимость метрики в определенном виде в некоторых координатах и дифференциальное условие Сантопрете) эквивалентны. А именно справедлива следующая теорема.

Теорема. Пусть S ^ (a, b) х S1 — двумерное многообразие с координатам,и (r, p mod 2п) и римановой метрикой ds2 = dr2 + f2(r)dp2, где f (r) — гладкая функция на (a,b) и f'(r) = 0 на (a,b). Тогда если функция f (r) удовлетворяет уравнению

в4 — 5(-f"f + f '2)в2 — 5f ''ff'2 + 4f ''2f2 — 3f'''f'f2 + 4f '2 = 0 (2)

для, некоторой константы в £ К>о, то это риманово многообразие (S,ds2) является многообразием Бертрана в смысле работы [1], т.е. существуют координаты, (9,p mod 2п), такие, что 9 = 0(r) и метрика в этих координат,ах имеет вид

, 2 d92 dp2

(Iq2 =__I__L.__(Ч)

(92 + c-t0-2)2 /л2 (в2 + с-t9~2)7 w

где /л, с и, t — некоторые вещественные константы, /л > 0. При этом /л £ {/5>§}- Более того, если

/f" ~ f'2 = const (риманово многообразие вращения первого типа), то ff" — f'2 = для, i £ {1,2}, t = 0, /л = jj; если ff" — f'2 ф const (многообразие второго типа), то t ф 0, ¡л =

(

многообразия с метрикой (3)) функция f (r), полученная, при записи метрики в виде (3), т.е. такая, что /2(г(0)) = ¿Hffi+c-te-'1)' зависимость г = г(@) от 9 определяется из равенства г'(в) = (в+с — td~2)~l,

удовлетворяет уравнению (2) для, константы, /3 := ^ при t ф 0, для, любой константы, /3 £ {т;,^} при t = 0.

Двумерные римановы многообразия вращения вообще и римановы многообразия Бертрана в частности являются также интересным объектом изучения с точки зрения теории интегрируемых систем. Гамильтонова система на многообразиях Бертрана вполне интегрируема по Лиувиллю; благодаря тому что явный вид метрики данных римановых многообразий и бертрановских потенциалов на них известен, оказывается возможным вычислить бифуркационные диаграммы и меченые молекулы, т.е. полные инварианты лиувиллевой эквивалентности, для этих систем. (Подробнее о гамильтоновых системах и меченых молекулах (инвариантах Фоменко-Цишанга) см., например, работы [3-5].)

2. Явный вид римановой метрики на многообразиях Бертрана. Докажем теорему. Для этого докажем предварительно лемму о явном виде функции f в координате 9 = 9(r).

Лемма 1. Пусть в условиях прямой теоремы функция f = f (r) удовлетворяет уравнению (2). Тогда, существуют единственные константа /л > 0 и такая функция, в = в (г), что в'(г) = -^jjr^pj и имеет место равенство

/2 с*«)) -

где c,t — вещественные константы. При этом ¡л £ Более того, если /f"—f'2 = const (многообразие

первого типа), то /f" — f'2 = для, г £ {1,2}, t = 0,/л = если /f" — f'2 ф const (многообразие второго типа), то t ф 0, ¡л =

Для доказательства леммы 1 докажем следующую лемму о том, что для риманова многообразия второго типа уравнение (2) относительно функции f (r), полученное в работе [2] М. Сантопрете, эквивалентно уравнению относительно функции f (r(9)), используемому в работе [1] (см. (5) ниже). Под эквивалентностью уравнений следует понимать следующее: если функция f (r) является решением одного уравнения, то функция f(r(9)), где в'(г) = является решением другого уравнения; и наоборотб если функ-

ция g(9) := f (r(9)), где 9(r) определена выше, является решением второго уравнения, то функция f (r) является решением первого уравнения.

Лемма 2. Пусть ¡3 > 0 и функция / = /(г) > 0; причем //" — //2 ф — //" — //2 ф — /?2 и //'' — /'2 = 0 г<^е неравенства предполагаются выполненными при всех г € (а, Ь). Пусть замена в = в(г) удовлетворяет соотношению в'{г) = у и г = г (в) — обратная замена, где /л = ^ > 0, г = 1, 2, —

любая константа. Тогда, дифференциальное уравнение третьего порядка, относительно функции /(г)

в4 — 5(—/''/ + /'2)в2 — 5/"//'2 + 4/' '2 /2 — З/'"/'/2 + 4/'2 = 0 (4)

эквивалентно существованию констант С1,е2 € М,с = 0, дм которых функция /(г(в)) удовлетворяет дифференциальному уравнению первого порядка

^Т^МГ -4(^ + 62). (5)

Доказательство. Доказательство леммы проведем по шагам, каждый из которых — эквивалентный переход между уравнениями.

Шаг 1. Введем обозначение Л,(г) := /(г)/''(г) — /'2(г). Используя его, перепишем уравнение (4):

в4 + 5^(г)в2 — 3/(г)/' (г)Ь' (г) + 4^2(г) = 0. (6)

Шаг 2. Теперь введем функцию 7](в) := (^2 = |г Лр(г(в)) •

Проверкой устанавливается справедливость следующих равенств:

Подставляя их в уравнение (6), получаем эквивалентное ему уравнение в новых обозначениях:

1 + 5пв (в) — Зпв'в (в)п(в) + 4пв2 (в) = 0. (7)

Шаг 3. Домножим уравнение (7) на-§— и приведем подобные.

Докажем, что такое преобразование — эквивалентный переход в случае г/ ф —0. Поскольку /(г) > 0 и /'(г) / 0 на области определения, то 7](в(г)) ф 0. Далее, по условию леммы г/ ф —| и г]' ф 0.

Так как г/(в) + | ф 0 и левая часть этого соотношения является гладкой функцией, она сохраняет знак на области определения. Положим е := sgn(г/(в) + После преобразования получаем следующее уравнение:

(У + - (»/ + 1) Й (»/ + т" + (»/ + »/)

---1-1 = 0. (8)

г]2 Ы + жУ2 в.

п' + 1

со, (9)

7] |7]' + ||

где со — некоторая константа, причем п' = 0 и со = 0, поскольку в противном случае п'(в) = — 1, что противоречит условию леммы.

Шаг 5. Осталось показать, что в случае п' = —1 уравнение (9) эквивалентно уравнению

1

Г](в) = с1(в + с2)-3--(в + с2), (10)

где С1,С2 — некоторые константы, такие, что С1 = 0 и в + С2 = 0 в интервале изменения пер еменной в,

причем г] ф 0,7]' ф 0,7]' ф ~2, 7]' ф —1. При этом |с 11 = Ц, Со(в + Сг) < 0.

4 с0 Импликация (10) (9) доказывается простой подстановкой. Докажем обратную импликацию.

п в.

3 erf'

4

- = Со-

Решая его как уравнение относительно П , ввиду со = 0 (так как П = —1) получим эквивалентное равенство

" 4

= 9 + С2,

_3_

Со

где С2 — произвольная константа интегрирования. Решая последнее уравнение, имеем

. 1

V +4

г](в) = С1(в + с2)-3 -^(в + с2)+с3 для с\ = что эквивалентно уравнению (10), поскольку из (7) следует равенство нулю константы

с0

интегрирования c-3.

Этот шаг завершает доказательство леммы 2. ■

Докажем лемму 1. Прежде всего докажем единственность пары (р, 9), удовлетворяющей условию леммы. функция р29(г) определена с точностью до аддитивной константы. Если для одной из этих констант f (r) имеет требуемый вид, то ни для какой друг ой константы f (r) не будет иметь требуемого вида даже с

точностью до мультипликативной константы. Поэтому функция р29(r) единственна. Докажем, что р > 0

~ —2 единственна. Другой константе р > 0 и замене в = (д)20 соответствует функция /(г(0)) = t~_2 .

А значит, р = р.

(р, 9)

Случай 1. Предполжим сначала, что ff" — f12 ф — , //" — //2 ф —¡З2. При этом неравенства, как и выше, предполагаются выполненными при всех r £ (a, b). По лемме 2 функция f (r(9)) удовлетворяет уравнению (5), где ci = 0. Проинтегрируем уравнение (5) по 9. С одной стороны,

Г 1 ш1Ш>,ш 1 1 г-г, 1 ^

В то же время интегрирование правой части дает

J (ci{в + с2)"3 - ±(0 + с2)) сW = -±Cl(0 + с2)"2 - 1(0 + с2)2 + с5.

Поскольку условие на 9(r) дано с точностью до прибавления константы, функцию 9(r) можно заменить

на функцию 0(г) — с2, отсюда имеем при р := ^

/2(г№) = -«-*)•

где t = —4c1, c = —8(c5 — c4).

Случай 2. Теперь рассмотрим случай риманова многообразия первого типа, когда hh = 0, а потому П = 0 (см. обозначения для п в доказательстве леммы 2, шаг 2). Из уравнения (2) в форме (6) находим h = —/?2 или h = —if, т.е. rf = —1 или rf = —

Если rf = —а, где а = 1 или то при /л := имеем г] = (а/3)2 dfl^(e)) = а^f(r(e)) = + const. Интегрируя это уравнение по 9 аналогично случаю 1 и выбирая подходящим образом замену 9(r), имеем

ав2 1

f2(r(9)) =

(92 + c) р2(92 + c)'

что и требовалось.

Таким образом, в рассматриваемом случае лемма доказана. Случай 3. Докажем лемму 1 в общем случае, используя случаи 1 и 2.

Рассмотрим два замкнутых подмножества С\ := Н~1{—/?2), С2 := Н~1{—интервала (а, Ъ). Очевидно, что они не пересекаются и их дополнение в (а, Ь) есть объединение попарно непересекающихся

интервалов. Если С и С = 0, получаем мучай 1. Если С и С = (а, Ь), то в силу связности интервала С = (а, Ь) или С2 = (а, Ь), т.е. получаем случай 2. Пусть С1 и С2 = (а, Ь), т.е. (а, Ь) \ (С1 и С2) = 0, (а, Ь). Пусть I = (а',Ь') — один из этих интервалов. Согласно случаю 1, на / функция /(г(в)) имеет требуемый вид. Если один из концов интервала I принадлежит (а, Ь) П С1, в силу (9) на / имеем п' = — 1 т.е. I С С1, что приводит к противоречию. Значит, один из концов I принадлежит (а, Ь) П С2- В силу случая 1 лемма верна на интервале I, следовательно, ввиду гладкости / на его замыкании в (а, Ь) имеем г](в) = с\ + (в + с2)~3 — + с2) + сз. Подставим явный вид г/ в уравнение г/ = — Получим в рассматриваемом конце этого интервала

Но это невозможно, поскольку С1 = 0. Полученное противоречие показывает, что С и С = ^и С и С = (а, Ь), т.е. возможны лишь случаи 1 и 2.

Таким образом, лемма 1 полностью доказана. ■

Доказательство теоремы. Для завершения доказательства первой части теоремы подставим полученный в лемме 1 вид для функции /2(г(в)) в риманову метрику (1). Будем иметь

2 _ (Ш2 (1^р2

— ~7~7Го ! т о \ о

(ö2 + С - tö-2)2 ^2(ö2 + С - tö-2)'

Второе (т.е. обратное) утверждение теоремы следует из того, что для римановой метрики (3) при t ф 0,ß = — соответствующая функция f(r(6)) удовлетворяет дифференциальному уравнению (5) для некоторой константы ci G R,ci = 0,С2 =0 (см. доказательство леммы 1, случай 1), а потому (в силу леммы 2) функция /(г) удовлетворяет уравнению (2). При t = 0,—^=ß £ функция f(r(6)) удо-

влетворяет следующему аналогу дифференциального уравнения (5) при с\ = с2 = 0: j^j Я(г(е)) = (см. доказательство леммы 1, случай 2), а потому = rf = —а, т.е. ff" — //2 = — ß2 или — поэтому

h(r) = //'' — f '2 удовлетворяет (6), и f (r) удовлетворяет (2). ■

Авторы приносят благодарность А. Т. Фоменко за постановку задачи, A.B. Борисову, Е. А. Кудрявцевой, И.Х. Сабитову и A.B. Щепетилову за полезные замечания и обсуждения.

Работа выполнена при поддержке гранта Правительства РФ по договору № 11.G34.31.0054, гранта РФФИ № 13-01Ч)0664-а и гранта программы "Ведущие научные школы РФ" НШ 1410.2012.1.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Загрядский О.А., Кудрявцева Е.А., Федосеев Д.А. Обобщение теоремы Бертрана на поверхности вращения // Матем. сб. 2012. 203, № 8. 39-78.

2. Santoprete М. Gravitational and harmonic oscillator potentials on surfaces of revolution //J. Math. Phys. 2008. 49, N 4. 042903.

3. Fomenko A.T. Symplectic geometry. Methods and applications. Second revised edition. N.Y.: Gordon and Breach, 1995.

4. Fomenko А. Т., Konyaev A.Yu. New approach to symmetries and singularities in integrable Hamiltonian systems // Topol. and Its Appl. 2012. 159. 1964-1975.

5. Фоменко A.T. Топологический инвариант, грубо классифицирующий интегрируемые строго невырожденные гамильтонианы на четырехмерных симплектических многообразиях // Функц. анал. и его прил. 1991. 25, вып. 4. 23-35.

Поступила в редакцию 20.02.2013