CC BY
44
УДК 530.145 Вестник СПбГУ. Сер. 4, 2005, вып. 4
А. Г. Антпипов, И. В. Комаров О ВЫЧИСЛЕНИИ СПЕКТРА
КВАНТОВОЙ ТРЕХЧАСТИЧНОЙ ЦЕПОЧКИ ТОДЫ
Разделение переменных. Квантовал периодическая цепочка Тоды представляет собой вполне интегрируемую систему с гамильтонианом
Я = + 2лг+1 = хи (1)
3=1 3=1
в координатном представлении р^ = —гд^, где параметр Ъ > 0 характеризует величину взаимодействия между частицами. Интегрируемость системы доказывается в рамках Я-матричного формализма квантового метода обратной задачи рассеяния [1]. Для этого вводятся зависящие от спектрального параметра и матрицы перехода
/ - .а /Г.— Т г \ / и — ги-ъ V ие \ . .. ,т
удовлетворяющие фундаментальным коммутационным соотношениям
12 2 1 Л(щ — иг) Ь] (и 1) Ь] (щ) —Ь] (иг) Lj (щ)Н(и1 - иг),
1 2 где Ь]= Ь^ ® I, I ® Ь3. а
0 0 0 \ и —г 0 —г и 0 0 0 и-г
- рациональная Д-матрица. Из фундаментальных коммутационных соотношений для матриц перехода и ультралокальности
1 2
(и!),Ьк (и2)] = о, 3,к И, }фк,
следует, что матрица монодромии
также удовлетворяет указанным соотношениям:
Щщ - гг2) Г Т Ы = Г (гх2) Т (щ)Л(гц - и2) • (2)
Отсюда вытекает коммутативность следов матрицы монодромии Ь(и) = А (и) + -О(и) при различных значениях спектрального параметра:
[«Ы,«(и2)]= 0. (3)
(с) А. Г. Антипов, И. В. Комаров, 2005
Я(и) =
(и —г 0 0 V о
След матрицы монодромии - полином степени N по спектральному параметру:
. N
t(u) = ^ JN~3 u3i J0 = 1 •
3=0
Из (3) следует, что коэффициенты полинома Ij, j = 1,... ,N, образуют набор попарно коммутирующих интегралов движения
[IjtIk] = 0, j,k=l,...,N.
Первый интеграл представляет собой полный импульс системы:
N
¿=1
второй - связан с энергией (1)
4-й-я.
Рассмотрим спектральную проблему для набора взаимно коммутирующих операторов 1к, к = 1...., Лг, или, что эквивалентно, для следа матрицы монодромии:
ф = т(и)Ф , (4)
где Ф не зависит от параметра и.
Первым шагом решения указанной проблемы является разделение переменных [2-4]. Его смысл заключается в переходе к представлению, в котором волновые функции факторизуются, и общая задача сводится к решению набора одномерных задач с общим набором собственных чисел 13, j — 1,..., N.
Интеграл импульса центра масс 1\ имеет сплошной спектр, спектр остальных интегралов движения дискретный. Собственная функция спектральной задачи (4) ищется в виде интеграла по вспомогательному «квазиимпульсному» пространству размерности ЛГ—1:
Ф(х1,...,а;/0 = (5)
ОС ОО / N-1 \
Г [ Чр+ 2 I*" = ... е ^ к=1 > К (Xl,...,XN-l\Vl,...,VN-l)Ф(Vl,...1VN-l)dVl...dVN-l■
—oc — ОО
Чтобы Ф(«1,..., илг-1) раскладывалась в произведение сомножителей, каждый из которых зависит только от одной из переменных Vj, на ядро интегрального преобразования (5) накладывается условие
С^ЖСх^ь-.ад-О =0, j = lt...,N-l. (б)
Ядро строится с помощью соответствующим образом нормированных волновых функций открытой цепочки Тоды, состоящей из N — 1 частиц, совпадающих с функциями Уиттекера [5]. Величины г>1,... интерпретируются как значения интегралов движения открытой
цепочки, генератором которых является оператор С (и), коммутирующий с собой при различных значениях спектрального параметра. С учетом полиномиального характера зависимости С от и условие (6) эквивалентно
N-1
С(и)К (х | «1,..., 1 ) = -УЬех» ]~[ (7)
}=1
В частности, коэффициент при ик 2 дает
ЛГ-1
-г дкК(х\уг,... ,«дг_ 1) = - У] ук К (х [ VI,. ■. ,VN-1) ■
к= 1 4=1
Экспоненциальный множитель в (5) фиксирует значение первого интеграла - полного импульса системы:
Л'
-г'
4=1
ЛГ-1
Е/ "1-1 1 — .IV 1 I \ ' ' « < 1
а е^ к=1 > ЛГ(х|гл,...,ад_1) =Р е V *=» > К (х | гл,..., ум-1 ) 1 •
Операторы А(ьк) и 0(ьк), примененные к А'(х| VI,...,ад_1), осуществляют сдвиг на ±» по переменной ад. В самом деле, использовав вытекающее из фундаментальных коммутационных соотношений (2) операторное равенство
С{и)А(ь) = ((и - « - 1)А{у)С{и) + гЛ(и)С(и)) ,
из (7) получаем
ЛГ-1
С(и)А(ьк)К (y:\vi,.= - ]](и-Ьз-1б$)А(ъ>к-)^/Ьех" .
Учитызая значение коммутатора [^4(ад), л/ЬеТЛГ] — —гС{ук), приходим к тому, что действие С (и) на функцию К{х \..., ад-И,...) ~ А(ук)К (х |..., ад, ■ • •), к — 1,..., М — 1, представимо в виде
ы-1
С(и)К (х|... ,ад+г,...) = -у/Ье"" -г6$)К(у:\...,ьк+1,...) .
Аналогично, оператор £>(ад) осуществляет сдвиг на (—г)
К(х ]..., ад -»,...) ~ И(ьк)К (х |..., ук,. ■.), & = !,..., N—1.
ТГгЧТТЛТ/ЗиОЫ-Т^О А( _ п\Т}(лл.\ I* - 1 АТ _ 1 ТУ /4-11Г-СПУТТТЯТХ Т^" (•хг\я\. /11.. . >\ ТТГЧТ1-ОЛ ТТТХГГ1 ТУ
' "/с V\ vfCJl - -Ч • ■ • " | , . - . , ЬМУ — 1 ) XV
домножению ее на числовой коэффициент, представляющий собой квантовый детерминант [1]
А (ьк - г/2) = А(ук- г) В (ук) - В (ук - г) С(ьк) = Ь*.
Принимая во внимание значение детерминанта, зафиксируем зависящий от ад, ■.. , ад-1 нормировочный множитель функции АГ(х|г>1,...,ЗД-1)с помощью равенств
А(ук)К (х |..., ад,...) = »"Ь"/» К (х |..., ад-И,...),
(8)
След матрицы монодромии при любом значении спектрального параметра восстанавливается, с учетом асимптотики при и —> оо, посредством интерполяции Лагранжа по точкам
Ук, к = 1,..., N—1,
/ N-1 \ ЛГ-1 ЛГ— 1 N-1
+ П -Ч^ММ+ЯМ) • (9)
\ 4=1 / 4 = 1 4=1 3=1,]фк Ьк
Условия, накладываемые на коэффициенты Ф(г)1,.., г)лг—1), следуют из подстановки интеграла (5) в (4). Используя (8) и (9), получаем
7 7 м^+'Е1«*]**// Л,~1 \ ЛГ~1 t(u)Ф= ... Л > (и+Р+ ад) П (и-ьк)К{*\«,,...,+
-ос -оо V4 *=1 ' к=1
+ Г*К(х 11)1,..., ад-г,..., ил'-1 Ф(«1,..., ад-1) ¿ш ... .
За счет сдвигов ад — г —► ад и ад+г —> ад можно добиться того, чтобы выражение под знаком интеграла было однородным по К(к | ы,..., ад_ 1):
¿(и)Ф =
г // N-1 ч N-1
Г Г М -Р-г VI, / / .—. \ ___
-ад) Ф(г»г,..., ад-1)
7 7 // ^ ^
= ... е\ k=1 J K(x\vi,...,VN-I) ((«--Р+5^«») П^-1
-L -L vv ] 4=1
tijJj^Vb-vjl jJ^kvk-i-vj
-H~'v Д —~—:—■—Ф(«1, • • • , ад+г,- ■ ■ ,vn-i) I dvi .. .dvN-i ■ . t1,. ад +1 - Vj j /
Чтобы выполнялось ¿(-и)Ф = т(и)Ф = (иЛ + PuN~1 + l2UN~2 +...-)- необходимо потре-
бовать
¿N¿,N/2 тт (Ю)
N-1
+ П Т vj Ф(г)1,.■ ,ад-0 = т(ад)Ф(«1,• ■ .,щ-0 •
Г л vk +г — «j
Тогда выражение в круглых скобках будет представлять собой произведение Ф(гл,..., ад-i) на интерполяционную формулу полинома т(и). Уравнение (10) допускает решения в мультипликативной форме
лг—1
Ф(г)Ь ... ,ад-0 = Д (vi - vj) Д <pk(vk)• i<j к= 1
Произведение разностей позволяет избавиться от дробных сомножителей, а в оставшемся уравнении происходит разделение переменных, причем каждая из функций ipk должна удовлетворять одному и тому же уравнению Бакстера
{vs + PvN-1 + /2гЛ-2 + .. . + InMv) = bN/'2 (iN<p(v - г) + i~Nip(v + 0) ■ (И)
Мы пришли к разностному уравнению со сдвигом по мнимой оси. Из условия сходимости интеграла (5) на решения (11) <p(v) накладываются требования достаточно быстрого убывания по вещественной оси
( Nn \
tp(v) ~ ехр--—1«| , v ±оо. (12)
Уравнение (11) с граничными условиями (12) является набором задач рассеяния вдоль мнимой оси V от —оо до +оо для любой начальной вещественной части ьг. Анализ показал [2], что для того, чтобы аналитическое продолжение решений (11) на вещественную ось удовлетворяло условиям (12), собственные числа соответствующей матрицы рассеяния должны совпадать с корнями Лг-й степени из единицы = ехр (тгдг/№~), где д = 0,1,..., Л* —1. Теоретически, это позволяет проквантовать интегралы движения, причем собственные числа матрицы рассеяния можно связать со свойствами симметрии волновой функции в исходном представлении [7].
Однако представленное построение еще не дает алгоритма для численных расчетов, так как возникающие в конечном итоге матрицы не поддаются редукции.
Решение уравнения Бакстера. Ниже изложен способ решения уравнения Бакстера для трех частиц (Лг = 3), позволяющий получить достоверные численные результаты. Он инспирирован работой [б], в которой рассматривалась двухчастичная цепочка Тоды. В [6] исследовалось уравнение Шредингера для системы с выделенным центром масс, представляющее собой фурье-образ (11). Действительно, для N — 2 ядро интегрального преобразования (5) равно ехр(—гг^хх), т. е. волновые функции в исходном и разделенном представлениях оказываются связанными между собой обычным преобразованием Фурье. Анализ особых точек уравнения Шредингера привел в [6] к поиску решения разложением по волновым функциям сильного поля (в пределе Ь -»■ оо).
Итак, будем находить решение разностного уравнения Бакстера в виде
+оо
<¿3 (у) = I ешф{г)йг. (13)
—оо
Тогда на 1р(г) возникает дифференциальное уравнение третьего порядка
ф"'(г) + 1Рф"(г) + 12 ф'(г) + г 13 ф(г) + 2 Ъ* вшЬ(;г) ф(г) = 0. (14)
Наличие ненулевого импульса легко учесть, введя в волновую функцию фазовый множитель ф(г) = ехр(гРг)ф(г) и откорректировав значения второго и третьего интегралов; в дальнейшем уравнение будет рассматриваться в системе центра масс Р — 0. Обобщенная задача Штурма-Лиувилля для (14) ставится следующим образом: найти такие 12, 1з > чтобы решение дифференциального уравнения было
a) голоморфным в полосе |9(г)| <
b) убывало при —> ±оо в той же полосе.
Условие Ь) нужно соблюсти, чтобы подстановка (13) была корректной; условие а) обеспечивает стремление к нулю при V —> ±оо не медленнее ехр(— ^Н) - см. (12).
Три линейно независимых решения уравнения (14) различаются асимптотическим поведением при г —» ±ос. Лишь одно из них, с асимптотикой
ехр (-3у/Ье^'А
—Ьщ-1- <15)
удовлетворяет требованию Ь); таким образом, искомые функции должны убывать сверхэкспоненциально.
Комплексное сопряжение (14) приводит к аналогичному уравнению, но с противоположным знаком у /3. Следовательно, если /3 фО, то каждому уровню энергии системы соответствуют, по крайней мере, две взаимно сопряженные волновые функции, различающиеся знаком третьего интеграла движения.
Вещественная компонента волновой функции - четная, мнимая - нечетная
ip(z) =ф(-г).
Чтобы описать состояние системы в пределе сильного поля, сделаем в (14) подстановку
вместо значений интегралов возьмем их асимптотические при Ь —> оо разложения
h =3b + V3(l+l)Vb+ ..., I3 = \/3т b + ... .
Будем требовать выполнения (14) с точностью до членов порядка Ь1. Приравнивание нулю коэффициента при Ь3/2 дает f(z) = 6cosh(z/3). Аналогичный коэффициент при Ь1 приводит к дифференциальному уравнению первого порядка, откуда получаем g(z). Окончательно волновые функции в разделенном представлении в пределе сильного поля выглядят так:
exp (-буЕсовЬ (f)) /cosh (D-sin (f) У /cosh(f - if Л * cosh (§)+ sin (f) l^cosh(f) +sin(f) J [cosh (I+ q)J ■
Отметим, что (16) находится в согласии с асимптотикой (15). Квантование производится исходя из требования а) к аналитическим свойствам волновых функций. Чтобы ipoo(z) не имела особенностей - ветвлений или полюсов - в точках z = ±f г, необходимо положить
I = 0,1,2,... ,
(17)
m = ±/,±(/-2),±(i-4),...
(ветвления во втором и третьем множителях в (16) взаимно компенсируются).
Волновые функции при различных I, т линейно зависимы; среди них удобно выделять линейно независимую последовательность, используя полюсные характеристики. Функции с т = I, неэкспоненциальные асимптотические части которых являются степенями
x(z) ■■
---УЗ, -~у3/ | , —-у» Ч, , = .Sinh(f+^) cosh(f) +sin(f) / Vcosh (§ + *!) У cosh(f -%)'
имеют полюса т-го порядка в точках я = г(?£- + 6тт), пё2 и не имеют особенностей в 2 = г(^+б7гп), гг€ сопряженные им функции с т = —I, определяемые
/cosh (f)- sin (f)\ 1/2 /cosh(f -г|)\ "1/2 = .sinh(|-^) l^cosh (f) + sin (f) J ^ cosh (f + if) J cosh (f + '
x{z)
напротив, обладают полюсами в г = г(~ + б7гп), п £ Z. Коэффициенты разложения волновых функций в ряд Лорана в окрестностях этих точек суть коэффициенты разложения по системе базисных функций {... ,х2{г),х{г), 1,х(г),х2(г),...}. На рис. 1 рядом с точками, определяющими значения интегралов в пределе сильного поля, показаны соответствующие волновые функции в виде линейных комбинаций базисных.
I
2S3+3I2+6X+8X-4 2г3+ЗЛбг+8г-4
• • • «
х* \ 4I2+4Xj+12X+12£-7 ' х*
\ ' \ '
N 2Х2+Ъх+АХ-2 2я2+ЗЗ;+4Я-2 /
• • •
-2 4 X1
2z+2ä-l
£
/ х
г4
/X
-5
-4
-3 -2 -1
т
Рис. 1. Спектр интегралов движения и волновые функции в пределе сильного поля. После выделения сверхэкспоненциальной и экспоненциальной асимптотик
ехр (—блЛсозЬ (|))
V<,Z) cosh(f) +sin(f) уравнение (14) в переменных (х,х) приобретает вид
_ д^ф (х,х)
dxkdxi~k
= 0,
]=и к=о
где ~ полиномы степени не выше ] + 3:
ро = ~Рз = § (х2 - х + I)3 ,
Р2 = -р\ = - (х2 - X + I)2 (х2 - X + 1) ,
р02 = -ро = з (х2 - X + 1) (х3 - (0 + 2) х2 + (40 + 1) х - х - 0) ,
Р/ = -р\ = -12 (х3 - х3) + 18/3 (х2 - х2) - 18/3 (х - х),
= -ро = 6х4 - (12/3+18) х3 + ((54-9/2)0+17) х2+ + (27 (2» япЬ(§) -1)02 + (54-9/2)0+п) х + 6х2 - (180+6) х + ((24-9/2)0+5) , Р0° = 2 (х3 - х3) - (60 + 6) (х2 - х2) + ((24—9/2)0 + б) (х - х) + + (27 (2гзтЪ(|) (72 - 1)+/3)02 + 6г'йтЬ(|)0)
(18)
и введены ооозначения
Результатом действия дифференциального оператора Т> на ф является функция, которая в общем случае экспоненциально растет при z -> ±оо и поэтому не раскладывается по системе {... ,х2,х,1,х, х2,...} (действительно, хк, & = 0,1,..., демонстрирует иное поведение при больпшх z\ lim-^j.^ xk(z) — ехр(+г§&)). Тем не менее Т>ф удается разбить на две составляющие. Одна из них - целая функция, экспоненциально растущая при 2 —> ±оо, т. е. представляющая собой линейную комбинацию sinh | и cosh коэффициенты которой определяются разложением исходной функции ф. Вторая составляющая стремится к комплексным постоянным при г —> ±оо и обладает полюсами в точках 2 = ¿(^f+б7тп) и z — г(~+6тгп), п£ Z. что позволяет разложить ее по системе
г = г(-~+б7Гтг) и г = г(^Чбтггг), г {.. .,х ,х, 1,х,х2,...}. Доказыва
функций {... ,х ,х, х ,...}. Доказываемая индукцией по к формула
«зтЬ хк =4 - уДЕ *т((к-№) х> - сов((*-1)$) +
+ гсоэ(^) зтЬ(|) + эт(^) созЬ(|)
является ключевой для осуществления указанного разбиения на составляющие. Резюмируя вышесказанное, действие дифференциального оператора V уравнения (18) в пространстве представления X - линейной оболочке функций ..., х2, х, 1, х, х2,... -можно записать следующим образом:
Т>ф = а(ф)а+ с(ф) созЬ(~) +Т>'ф.
Здесь ТУ - линейное отображение X X, авис- 1-формы на X. Формы я и с связаны между собой, так как являются соответственно вещественной и мнимой компонентами выражения
1086 (втЬ$'(*)) | + (54>/3(1 - Ь)Ь - 6л/ь) ■ (19)
Приравнивание нулю (19) на нетривиальном ядре ТУ дает дополнительную связь, что позволяет найти возможные значения обоих интегралов движения, т. е. описать спектр. Итак, интегралы движения определяются исходя из требования одновременной разрешимости обоих условий:
(20)
С (ф) = о <£> 5 (ф) = 0 .
Вычисления и результаты. Условия (20) представляют собой однородную систему линейных уравнений, где неизвестными являются коэффициенты разложения волновой функции с выделенной асимптотикой ф по функциям {... ,х2, х, 1, х,х2,...}. Редукция оператора ТУ дает 2п + 1 уравнение на 2п + 1 неизвестное (п - количество рассматриваемых низших степеней х; плюс столько же сопряженных, плюс постоянная х° = х° = 1). Дополнительное уравнение возникает из условия с(ф)- = 0. В результате система оказывается переопределенной. Задача состоит в том, чтобы вычислить те значения выступающих в роли свободных параметров /2, /з. при которых система имеет нетривиальное решение.
Указанная задача решалась посредством минимизации функции F(l2, h), построенной следующим образом: из набора уравнений, связанных с V, выбрасывалось одно, что позволяло прийти к нетривиальному решению. Тогда F(h,h) определялась как сумма квадратов косинусов углов между найденным вектором и двумя векторами, задающими оставшиеся уравнения. Очевидно, что координаты точки нулевого минимума - искомые значения интегралов движения. Минимизация функции выполнялась методом оврагов.
Основной трудностью при поиске минимума является его предварительная локализация. Эта трудность была обойдена за счет исследования эволюции спектра /2, /3 по параметру Ь. Действительно, спектр в пределе сильного поля вычисляется аналитически (см. (17))
lim /2 = ^ + 1, Ига I3 = т.
Ь—>оо Ь—юо
Двигаясь в сторону меньших Ь - производя на каждом шаге экстраполяцию значений /2, /3 на основе данных, полученных на предыдущих шагах, можно эффективно предсказывать локализацию минимума и лишь затем приступать к процессу минимизаций как таковому. Величина шага также определяется данными экстраполяции: чем большее изменение наблюдается, тем меньше шаг, и наоборот.
На рис. 2 представлены результаты расчетов по представленной выше схеме - несколько низших термов интегралов движения при изменении параметра Ь в пределах от Ю-2 до 10+3. Термы помечены числами, характеризующими поведение интегралов в пределе сильного поля. Для третьего интеграла показана лишь положительная часть спектра (отрицательная часть - зеркальное отражение положительной относительно оси ОЬ). При Ь > 10 кривые достаточно хорошо описываются своими асимптотическими значениями; первое пересечение изображенных термов /3 обнаруживается лишь при Ь » 0,345. Что касается термов fo, то можно предположить полное отсутствие их пересечений; таким образом, заданная упорядоченность значений энергии сохраняется для любого Ь. Отметим также наблюдаемую монотонность кривых как /о, так и /3.
Значения интегралов, вычисленные при различной величине (п) базиса (6 = 1)
п [3,3] [5Д]
h h h /3
9 12 15 18 21 24 27 30 10,9084830255 10,9090060285 10,9089077384 10,9089092172 10,9089092478 10,9089092430 10,9089092429 10,9089092422 9,1879305858 9,1891600451 9,1890191748 9,1890215598 9,1890216127 9,1890216106 9,1890216029 9,1890216018 14,8939058689 14,9947597571 14,9907132956 14,9906727849 14,9906723171 14,9906723663 14,9906723648 14,9906723644 3,7562219030 3,8404799355 3,8372889812 3,8372895487 3,'8372941667 3,8372937715 3,8372937728 3,8372937725
М аду ям а [7] 10,9089 9,1890 14,9907 3,8373
Результаты расчетов сравнивались с представленными в [7], где исследовалась трех-частичная цепочка Тоды при фиксированном Ь = 1 (таблица). Несмотря на совершенно иную расчетную модель - Мацуяма рассматривал систему в исходном представлении, в
Рис. 2. Эволюция спектра интегралов движения по параметру Ь.
осцилляторном базисе, результаты совпали с точностью до приведенных в [7] четырех знаков после запятой. Отметим, что для достижения этой сравнительно небольшой точности в [7] приходилось рассматривать существенно больший базис (п = 165).
Summary
Antipov A. G., Komarov I. V. On quantum 3-particle Toda lattice spectrum computation.
The method of variable separation is applied to find the spectrum of 3-particle quantum periodic Toda lattice. Strong field limit in separated representation is analytically considered. Numerical data are presented.
Литература
1. Корепин В. А., Боголюбов H. M., Изергин А. Г. Квантовый метод обратной задачи и корреляционные функции. М., 1992. 2. Gutzwiiler М. С. // Ann. of Phys. 1981. Vol. 133. P. 304-331. 3. Sklyanin E. K. // Progr. Theor. Phys. Suppl. 1995. Vol. 118. P. 35-60. 4. Kharchev S., Lebedev D. 11 Lett. Math. Phys. 1999. Vol. 50. P. 53-77. 5. Kharchev S., Lebedev D. // JETP Lett. 2000. Vol. 71. P. 235-238. 6. Комаров И. В., Цыганов А. В. // Вестн. Ленингр. ун-та. Сер. 4. 1988. Вып. 2 (№ 11). С. 69-72. 7. Matsuyama А. // Ann. of Phys. 1992. Vol. 220. P. 300-334.
Статья поступила в редакцию 19 апреля 2005 г.
