CC BY
46
ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
2013 Управление, вычислительная техника и информатика № 4(25)
УДК 336:51
Г.А. Медведев
О ВРЕМЕННОЙ СТРУКТУРЕ ДОХОДНОСТИ. 7. НОВАЯ ВЕРСИЯ
В отличие от предыдущих статей серии при анализе временной структуры процентных ставок предлагается рассматривать временную переменную не как дюрацию краткосрочной процентной ставки (там временная переменная зависит от параметров рассматриваемых моделей, что затрудняет сравнение доходностей для одних и тех же реальных сроков до погашения), а как некоторое не зависящее от параметров модели нелинейное преобразование временных сроков, позволяющее отображать всю временную ось на интервал единичной длины. Использование такого подхода проиллюстрировано при анализе свойств кривой доходности и форвардной кривой для одно-, двух- и трехфакторных моделей процентных ставок.
Ключевые слова: процентные ставки доходности, аффинная модель, функции временной структуры, одно-, двух- и трехфакторные модели.
Будем считать, что для я-факторной модели аффинной доходности предполагается, что вектор состояния финансового рынкаХ(/) = (ХьХ2, ...,Хя)Т следует однородному по времени марковскому процессу, порождаемому стохастическим дифференциальным уравнением
йХ(р> = |а(Х(ф Ж + ст(Х(0) ёЖ(Г) с я-вектором дрейфа ц(х), (яхт)-матрицей волатильности ст(х) и т-вектором W(t) независимых стандартных винеровских процессов [1]. При этом вектор дрейфа ц(х) и матрица диффузии ст(х)ст(х)Т должны быть аффинными функциями относительно переменных х, а рыночные цены риска такими, что ст(х)Х(х) - я-вектор с аффинными компонентами относительно переменных х:
я я
ц(х) = К(9 - х), ст(х)ст(х)Т = а + ХР,х,, ст(х)Х(х) = | + ^П,х,. (1)
1=1 ,=1
Здесь К, а и р, - (яхя)-матрицы; 9, £, и п, - я-векторы, х, - компоненты вектора х. Эти свойства для я-факторной модели аффинной доходности приводят к следующим обыкновенным дифференциальным уравнениям для функции А(т) и компонент вектора В(т) = (В1(т), В2(т), ., Вя(т)), т - срок до погашения:
А'(т) = (§ - К9)ТВ(т) + В(т)Та В(т)/2, А(0) = 0; (2)
В/(т) = ф, - В(т)Т(п, + К) - В(т)Тр, В(т)/2, В(0) = 0. (3)
В уравнении для В,(т) символ К, обозначает ,-й столбец матрицы К, 1 < , < я. Если среди переменных состояния имеется краткосрочная процентная ставка г, то компоненты вектора ф по экономическому смыслу доходности должны определяться так, чтобы фг = 1, а остальные компоненты равны нулю. Кривая доходности „(т, х) и форвардная кривая /т, х) определяются через функции А(т) и В(т) по формулам
„(т. х) = хТ В(т) ~ А(т), /(т, х) = хт ^ - ^М. (4)
т ё т ё т
Вслед за функциями А(т) и В(т) доходности у(т, х) и/(т, х) определяются на неограниченном интервале сроков погашения т е[0, да]. Поэтому их визуальный сравнительный анализ на всем интервале изменения сроков до погашения т затрудняется этой неограниченностью. Для устранения этого недостатка в [1] предложено в качестве временной переменной т для измерения сроков до погашения использовать меру дюрации Вг(т) краткосрочной процентной ставки r. Тогда неограниченный интервал т е [0, да] будет отображаться в конечный интервал Br е [0, Вг(да)], Вг(да) < да. Такой подход описан в [1] для серии одно-, двух- и трехфакторных моделей. Он улучшает визуализацию сравнительного анализа кривых доходности, однако имеет существенный недостаток, заключающийся в том, что Вг(да) зависит от всех параметров модели, что влечет зависимость длительности интервала [0, Вг(да)] от любого из этих параметров. Вследствие этого, изменение любого параметра модели приводит к изменению временной шкалы. Это хорошо иллюстрируется, например, рис. 3 из статьи 5 серии [1], где интервал изменения дюрации процентной ставки существенно меняется с изменением волатильности модели. В настоящей статье предлагается другое преобразование временной переменной, которое отображает неограниченный интервал изменения сроков погашения т е [0, да] в единичный интервал [0, 1] независимо от параметров модели.
Введем переменную и соотношением и = 1 - ехр[-рт], где р - параметр преобразования, р > 0. При таком преобразовании шкалы изменения сроков до погашения т неограниченный интервал [0, да] возможных значений сроков погашения отображается в единичный интервал [0, 1] изменения переменной и. Заметим, что введенное преобразование обеспечивает взаимно однозначное соответствие между переменными и и т, когда всякому фиксированному сроку до погашения тк соответствует единственное значение переменной u = uk = 1 - ехр[-ртк], и наоборот, всякому фиксированному значению переменной u = uk > 0 соответствует единственный срок до погашения тк = - ln(1 - uk)/p > 0.
Таким образом, используя преобразование переменной т = - ln(1 - u)/p в соотношениях (4), вместо функций доходностей у(т, x) и /т, x), заданных на неограниченном интервале т е [0, да], можно получить функции Y(u, х) и F(u, х), заданные на конечном интервале u е [0, 1]. Функции Y(u, х) и F(u, х) имеют практически те же свойства, что и доходности у(т, х) и /(т, х), поэтому могут рассматриваться как их эквиваленты.
Рассмотрим это более детально. Пусть значения тк и uk связаны соотношениями тк = - ln(1 - uk)/p и соответственно uk = 1 - ехр[-ртк].
По определению Y(uk, х) = у(- ln(1 - uk)/p, х) = у(тк, х) для всех тк е [0, да], uk = = 1 - ехр[-ртк]. Поэтому область возможных значений Y(uk, х) полностью совпадает с областью возможных значений у(тк, х), тк е [0, да]. Заметим, что взаимоотношения между функциями F(u, х) и /(т, х) точно такие же, как и между функциями Y(u, х) и у(т, х). Так что достаточно рассмотреть только одну пару функций Y(u, х) и у(т, х), чтобы иметь представление о свойствах другой пары F(u, х) и/т, х).
Предельные значения функций Y(u, х) и у(т, х) на границах области определения функций совпадают:
lim у (т, х) = lim Y(u, х), lim у(т, х) = lim Y(u, х).
т^0 u^ü т^да u ^1
Пусть у(т, х) возрастает (убывает) в окрестности точки т = тк. Вектор перемен-
ных состояния х рассматриваем здесь и всюду далее как набор фиксированных
параметров. Тогда функция У(и, х) будет возрастать (убывать) в окрестности точки ик = 1 - ехр[-ртк]. Это следует из соотношений
дУ (и, х) дУ(т, х) ё т ду(т, х) ё (- 1п(1 - и)/ р) 1 дУ(т, х) 1 > ^
ди дт ёи дт ёи р(1 - и) дт р(1 - и)
справедливых для всех р > 0 и 0 < и < 1. Заметим также, что справедливо следующее соотношение между производными
д_ дт
= р(1 -и). (5)
1п(1-ы)/р ды
Если при некотором значении т = тк функция у(т, х) имеет максимум (минимум), то функция У(ы, х) будет иметь максимум (минимум) в точке ык = 1 - ехр[-ртк].
К сожалению, свойство выпуклости функции у(т, х) на некотором интервале значений т может не обеспечить выпуклости функции У(ы, х) на соответствующем интервале значений переменной и, так как для выполнения неравенства
2^/.. г,., „Л
д 2У (и, х) 1
ды2 р2(1 - и)2
д У(т, х) + ду(т, х) дт2 Р дт
> 0
т=-1п(1-ы)/р
д2 У(т, х) ду(т, х)
необходимо, чтобы ------------^--->-р------!—, для чего недостаточно усло-
дт2 дт
д 2 у(т, х) „
вия -------— > 0, так как наклон кривой доходности у(т, х) может быть и отрица-
д 2
тельным.
Если при некотором значении т = тк имеет место неравенство у(тк, х) < Л(тк, х) (или у(тк, х) > Лтк, х)), то справедливо неравенство У(ик, х) < Н(ик, х) (или У(ик, х) > Ник, х)) в точке ик = 1 - ехр[-ртк].
Основываясь на этих свойствах, можно полагать, что функции У(и, х) и Н(и, х) достаточно хорошо отражают свойства кривых доходности, заданы на конечном интервале переменной и, которая не связана с параметрами модели, и могут служить для описания свойств доходности на всем интервале изменения сроков погашения. В связи с этим в дальнейшем У(и, х) и Н(и, х) будут называться тоже кривой доходности и форвардной кривой соответственно. Относительно параметра р, определяющего переменную и, заметим, что при изображении кривых на рисунках значением этого параметра можно устанавливать долю интервала [0, 1], которую желательно выделить для представления интересуемых сроков погашения. Например, если желательно, чтобы на 90 % длины интервала [0, 1] были представлены сроки до погашения, не превышающие Т, значение параметра следует выбирать равным р = 1п10/Т.
Получим уравнения для определения функций У(и, х) и Н(и, х). Для этого естественно применить равенства (4), приспособленные для переменной и. Используем в (4) подстановку т (и) = - 1п(1 - и)/р и формулы дифференцирования (5), введя обозначения а(и) = А(т(и)) и Ь(и) = В(т(и)). Тогда получим
а(и) - хтЪ(и) ( т ёЪ(и) ёа(и) \
У (и, х) = р——-:—, Н(и, х) = р(1 -и) I х—------------------------------ —I. (6)
1п(1 - и) V аи аи )
Для определения функций а(и) и Ъ(и) можно использовать уравнения (2) и (3), что с помощью (5) приводит к уравнениям
р(1 - и)а'(и) = (| - К9)ТЪ(и) + Ъ(и)ТаЪ(и)/2, а(0) = 0; (7)
р(1 - и)Ъ/(и) = ф, - Ъ(и)Т(п,- + К) - Ъ(и)Тр,- Ъ(и)/2, Ъ,(0) = 0. (8)
Определим теперь функции доходности У(и, х) и Н(и, х) для моделей, исследовавшихся в [1], и проанализируем их свойства. Приведенные ниже численные результаты, иллюстрирующие поведение функций доходности, основаны на наборе параметров, найденных Д. Аном и Б. Гао [2], приспосабливавшим модель Даффи
- Кана для описания динамики процесса годовой ставки доходности одномесячных бумаг Казначейства США для периода наблюдения с января 1960 г. по февраль 1991 г.
1. Однофакторная модель Даффи - Кана
Модель Даффи - Кана использует процесс краткосрочной процентной ставки г(/) в форме [1]
ёг(/) = к(9 - г(/))ё/ + /2кВ—^—— ёЩ/), г(0) > гш, (9)
V 9-гт,
где параметры 9 и В являются константами, но позже при расширении модели до двух- или трехфакторной они будут предполагаться диффузионными процессами 9(/) и В(/).
Функции У(и, х) и Н(и, х) для этой модели находятся в аналитическом виде, а в качестве переменной состояния х здесь используется краткосрочная процентная ставка г = г(/):
-1
Ъ(и) = |--------^т— + К
,(1 - и)-е / р-1
У(и,г) = гм + (9-г,,)Iк + е Ъ(и>^к 1п(1+гНи»/уК ^ V К 1п(1 + уЪ(и)) - 1п(1 - Щи))
Н(и, г) = г + (9 - гш,)[кЪ(и) - (К -V) С, Ъ(и) - уК й, Ъ(и)2]
где
Г " ~2 Г- (е-к -Хст) тг (е + к + Хст) 2кВ г - гт,
е =\(к + Хст)2 + 2ст , V = ---------------, К = ---------------------------------------------------, ст =-, С =-—
2 2 9-'т, 9-'т,
Рыночная цена риска X и нижняя граница процентной ставки г1п, являются фиксированными параметрами модели. На рис. 1 представлены примеры функций доходности У (и, г) и Н(и, г) для набора параметров Ана - Гао:
к = 0,1347; 9 = 0,0762; г1п, = 0,03315 при г = 0,05, X = 0,1.
Рис. 1 иллюстрирует монотонное уменьшение доходности с ростом волатильности процесса краткосрочной процентной ставки. Причем интересно отметить, что для малых дисперсий форвардная доходность превышает ставку доходности до погашения для любых сроков т. Однако с ростом дисперсии картина меняется и уже доходность до погашения доминирует над форвардной ставкой также для любых сроков до погашения. Критическое значение дисперсии, меняющее картину, находится из равенства = к.
-----•--------1------------1----------*—і-------------------------1-■-1
0 0,2 0,4 0,6 0,8 и
Рис. 1. Функции доходности Г(и, г) (пунктирные линии) и Ди, г) (сплошные линии) для различных значений дисперсии процентных ставок тії): В = 0,0002 (верхняя пара кривых); 0,002892 (оценка Ана - Гао); 0,02; 0,2 (нижняя пара кривых). Маркеры горизонтальной оси обозначают реальную продолжительность срока до погашения: ромб - 1 год, треугольник -10 лет, квадрат - 30 лет. Кружком отмечены предельные значения функций для т = 0 (слева) и т = <ю (справа). Текущее состояние г(ґ) = г = 0,05
2. Двухфакторные модели
Для перехода к двухфакторной модели нужно выбрать дополнительную переменную состояния. Это можно сделать, предположив, что ею является либо параметр 9, либо параметр В. В первом случае 9 рассматривается как стохастически изменяющееся локальное (по времени) среднее 9(0 процентной ставки, а во втором - В становится стохастическим процессом В(-) ее локальной (по времени) дисперсии. Рассмотрим оба этих варианта. В первом случае уравнение (5) однофакторной модели преобразуется в пару уравнений
&(-) = кг(9(-) - г(-))Л + J2krВr-rC-)—— dWr(t), г(0) > гш; (10)
\ 9о - ^
йЮ(-) = к9(9о - 9(-))й- + 2кеВ9 9(-) - Гы dW9(t), 9(0) > гм. (11)
V 9о - ^
В этом случае вектор переменных состояния Х(-) = (г(-), 9(-))Т, а параметры системы, определяемые соотношениями (1), имеют представления
.сад)=ч9-А-(-»=(ко -к)(9о);
ст(Х(0)ст(Х(ї))Т = а + £ РгХг (ї) = І =1
Г 2кГВГГІПЇ 90 - Г!ПГ > 0 Г 2кгВг > 0 Г 0 0 >
2к9 В9 гіп£ 90 - гіпї V + 9 О 1 іт п '-ъ г (0 + 0 V 2к9 В9 9(ї);
0 V V 0 0 V 90 - гіпї V
a(X(t))X(X(t)) = I + XnX- (t) =
( 2krDrXr > ( 0 Л
+ e о 1 ir n r (t) + 2ke DeXe e(t)
I 0 , e О - ir
( 2krDrkrrM ^
0q - rinf 2ke De^e rinf
0Q - rinf J
Поэтому уравнения для определения функций a(u) и b(u) согласно (7), (8) принимают вид
р(1 - u)a’(u) = - 2/eDrVmf br (u) - fkee0 + 2keDeA-9rinf '1 be (u) -e0 - rinf I e0 - rinf J
- br2(u) - keDerinf be2(u), a(0) = 0,
'inf
'inf
p(1 - u)br'(u) = 1 - I kr + 2krDrXr j(u)--------------------krDr fr2(u), br(0) = 0,
p(1 - u)be ’ (u) = kr br(u) -I k0 +
'inf
2ke DeXe
be(u) -
'inf
ke Der
inf i,2
be2(u), be(0) = 0.
Уравнение для br(u) может быть решено аналитически
( „ Л-1
br(w) =
(1 - u)
~er/ Р
-+ У
- 1
где
er = ,, I kr +
r r “r
4krDr
, у = I (8. + + 2kAK
К V 'М ^ V 1пГ
Однако уравнение для й9(и) и, следовательно, для а(и) можно решить только численно.
Функции доходности для текущего состояния (г(/) = г, 9(/) = 9) определяются по формулам (6).
Рассмотрим теперь второй вариант перехода к двухфакторной модели. Он соответствует применению двухфакторной модели Васичека - Фонга [3], в которой используется модель с квадратным корнем в форме Даффи - Кана. Примем, что в дополнение к краткосрочной ставке г(/) состояние характеризует локальная по времени дисперсия О(р)'. Х(() = (г(/), -0(/))Т. Тогда случайный процесс динамики переменных состояния описывается уравнениями
йг(р> = кг(90 - г(Г))Ж + Л/2кг£>01) ёШг(1); (12)
dD(t) = kD(Dr - D(t))dt + j2kDS dWD(t), D(0) > D inf, (13)
Dr - Di
inf
где Б, и £ - стационарные среднее и дисперсия процесса Б(') соответственно. Поэтому соотношения (1) определяют структуру модели следующим образом:
=де-д,»=^ ¿)(Б;:2(',)У
2=1
ст(Х(0)ст(Х(0)Т = а + £ р,.Х,. (Ґ) = -
0
0
0 25Д
ад
+ | 2кг 01В(Г), 5 = —^ ' 0 25І д.-П
т£
»(Х«».«-» = 5 + ^п,Х,<0 = -| 25,1пм ) + (
В(Г ).
1 = 1 у — 1п1 у у--.
Это позволяет написать уравнения (7) - (8) для функций а(м) и Ь(м) в следующем виде
р(1 - ы)а'(ы) = - кгВоЬг(и) - (квВ- + 25ХвВт{)Ьв(м) - бВ^ЬВ (м), а(0) = 0; р(1 - м)Ь-(м) = 1 - кгЬг(м), Ьг(0) = 0; р(1 - м)Ьи'(м) = - 2ХгкгЬг(м) - (кв + 25Ав)Ьв(м) - к-Ь-(м) - бЬВ (м), Ьв(0) = 0.
Как и в предыдущем случае, уравнение для Ьг(м) может быть решено аналитически
Ь(м) = -^(1 - (1 - м) к-1р),
кг
но уравнения для ЬВ(м) и соответственно для а(м) решаются только численно. Функции доходности для текущего состояния Х(/) = (г(/) = г, В(/) = В) определяются по формулам (6).
Результаты вычислений функций доходности У(м) и ^(м) для моделей (9), (10), (11) и (12), (13) для сравнения представлены на рис. 2. Вычисления проводились для параметров, обеспечивающих для всех моделей одинаковые значения стационарного среднего 90, стационарной дисперсии Вг и параметра быстродействия кг при следующих значениях переменных текущего состояния: г = 0,05; 9 = 0,06; В = 0,005.
Рис. 2. Функции доходности У(ы) (пунктирные линии) и ^(«) (сплошные линии) для различных моделей: модель (9) (верхняя пара кривых); модель (10), (11) (средняя пара кривых); модель (12), (13) (нижняя пара кривых). Маркеры горизонтальной оси обозначают реальную продолжительность срока до погашения: ромб - 1 год, треугольник - 10 лет, квадрат - 30 лет. Кружком отмечены предельные значения функций для т = 0 (слева) и т = <ю (справа)
2=1
Из рис. 2 видно, что для выбранных параметров доходности, получающиеся из однофакторной модели, доминируют над доходностями, определяемыми двухфакторными моделями для всех сроков до погашения.
3. Трехфакторные модели
При переходе к трехфакторным моделям переменными состояния становятся краткосрочная ставка г(0, ее локальное (по времени) среднее 9(0 и ее локальная (по времени) дисперсия В(0, Х(0 = (г(0, 9(0, В(0)Т. Все эти компоненты состояния считаются диффузионными стохастическими процессами. Рассмотрим несколько возможных способов задания таких процессов. Первый может быть назван расширенной моделью Васичека - Фонга [3], второй использует модель Чена в интерпретации Дэя - Синглтона [4], а третий представляет так называемую модель ББР8 [5].
В расширенной модели Васичека - Фонга стохастическая дисперсия В(0 процесса краткосрочной ставки г(0 порождается однофакторной моделью Даффи -Кана (в [3] использовалась модель Кокса - Ингерсолла - Росса), а стохастическое среднее ставки г(0 - процессом с возвращением к среднему 90 со стохастической волатильностью, определяемой В(0. Так что уравнения для переменных состояния Х(0 = (г(0, 9(0, В(0)Т имеют вид
dг(0 = кг(9(0 - г(?))Ж + 42кгВЦ) dWг(0;
d0(O = ке(е0 - 0(О)^ + оу/2кеD(t) dWe(t);
(14)
(15)
dВ(t) = кВ(Вг - В(0)^ + ^2кВБ В(?) °м dWВ(t), В(0) > Вы > 0. (16)
Вг - Вmf
Здесь Вм - нижняя граница для процесса дисперсии В(0 процентной ставки; Вг -стационарное среднее процесса дисперсии В(0, а £ - стационарная дисперсия процесса дисперсии В(0. Для более компактной записи в дальнейшем изложении удобно ввести обозначение б = кВБ/(Вг - В1п-).
Соотношения (1) имеют вид
Г К -к„ 0 veo - г (t) ^
mX(0) = K(e - X(t)) =
0 ке
0 0
0
е0 -e(t)
Dr - D(t)
Г0 0 0 А Г 2k
a(X(t))a(X(t))T = a + £ РгХг (t) = -i=1
0 0
0
0 0 25B
inf
(
a(X(t))X(X(t)) = | + £ nX (t) = -
i =1
0 0
25X nDn
Г 2k, 0 0 N
0 2кео2 0
0 0 25
V
Г 2кгXr >
+ 2кест2Хе D(t).
V 25Xd ,
D(t);
'D^'inf /
Это позволяет получить систему уравнений (7), (8) для функций a(u) и b(u): Р(1 - u)a'(u) = - кее0^е(и) - (kDDr + 2dXBD,ni)bB(u) - 5Dinf bD (u), a(0) = 0, p(1 - u)br'(u) = 1 - krbr(u), br(0) = 0,
р(1 - и)Ье'(и) = к-Ь-(и) — кеЬе(и), Ье(0) = 0. р(1 — и)Ьо'(и) = — 2к-Х-Ь-(и) — 2кеа ХеЬе(и) — (ко + 25Ао)Ьо(и) —
- кгЬ2(и) — кеа2Ье(и) — 5 Ь2В (и), Ьо(0) = 0. Уравнения для Ьг(и) и Ье(и) могут быть решены аналитически
Ъг(ы) =
1 - (1 - ы)К!р
кг
Ь ( ч 1 + (1 — и)кг'р кг (1 — и)ке/р Ье(и) = — +------------------------,
ке к- — ке ке(к- — ке)
но уравнения для Ь0(и) и соответственно для а(и) решаются только численно. Функции доходности У(и) и ^(и) для текущего состояния Х(0 = (-(0 = -, е(0 = е, .0(0 = .О) определяются по формулам (6).
В модели Чена переменные состояния удовлетворяют системе стохастических дифференциальных уравнений:
dr(0 = /МЖО - г(і))йі ^2кгБ(ґ) dWX0;
d0(ґ) = ке(Є0 - 0(0)^ + 2ке Яе
0(0 -ем
dWе(ґ), 0(0) > 0м > 0;
(17)
(18)
dD(t) = kD(D- — 0(0)^ + 4/2к0£ 0) ^ ^ГО(0, 0(0) > > 0. (19)
°- —
Заметим, что в этой модели процессы е(?) и 0(0 являются независимыми диффузионными процессами, описываемыми одномерными моделями Даффи - Кана. Для недостижимости нижних границ 0м и процессов е(0 и 0(0 необходимо
выполнение известных условий Феллера (е0 — ет£)2 > 0е и (0- — 0т£)2 > & Для компактности далее будем также использовать обозначения
у = ке Ое /(00 —етГ), 5 = ко8 /(О- — 0шГ).
Соотношения (1) имеют вид
(кг -кг
ц(Х(0) = К(0 - Х(ґ)) =
ке
0
0 ^(0- -0
0-г (ґ) 00 -0(ґ)
Я - Я(ґ),
а(Х(ґ))а(Х(ґ))Т = а + £ргХг (ґ) =
(0 0 0 > (0 0 0 > ( 2кг 0 0 >
0 с 2 0 + 0 2У 0 0(ґ) + 0 0 0 Я(ґ)
10 0 28ДПҐ .у 10 0 0 .у 1 0 0 25 у
п ( 0 Л ( 0 ^ ( 2кг К Л
а(Х(ґ))Х(Х(ґ)) = | + ХпХ- (ґ) = - 2У^е01^ + 2уХе е(ґ) + 0
2=1 ч25Ку Ч 0 у Ч 25К Я у
Я(ґ).
2 =1
С учетом этого система уравнений (7), (8) для функций a(u) и b(u) получается следующая:
р(1 - u)a'(u) = - (&е90 + 2yXe9mf)be(u) - (kDDr + 25A,DDmf)bD(u) -
- Yeinf b9 (u) - SDinf bD (u), a(0) = 0, p(1 - u)br'(u) = 1 - krbr(u), br(0) = 0,
p(1 - u)be '(u) = krbr(u) - (ke + 2yXe)be(u) - y b^ (u), be(0) = 0,
p(1 - u)bD'(u) = - 2krXrbr(u) - (kD + 25A,D)bD(u) - krb2(u) - Sb^(u), bD(0) = 0.
К сожалению, из этих уравнений аналитически решается только уравнение для br(u):
br(u) = [1 - (1 - u) k'lp ]/ kr,
остальные допускают только численное решение.
Для определения функций доходности Y(u) = Y(u | r, e, D) и F(u) = F(u | r, e, D) используются формулы (6).
В модели BDFS используются переменные состояния X(t) = (r(t), e(t), D(t))T, удовлетворяющие системе уравнений
dr(t) = kr(e(t) - r(t))dt + y¡2krD(t) dWr(t); (20)
de(t) = ke(e0 - e(t))dt + y¡2keDe dWe(t);
(21)
ёБЦ) = к0(Бг - БЦ))Ж + 4\2kpS ^ £>(0) > > 0. (22)
А -
Фактически, эта модель является частным случаем модели Чена, когда 9^ ^ -да (см. уравнение (18)). В этом случае у ^ 0, но у9м ^ - к909, и мы имеем
(кг -кг 0 А(90 - г(/) А
9о -9(/)
M-(X(t)) = K(e - X(t)) =
0 ke
0 0
0
Dr - D(t)
n ' 0 0 0 > f 2kr 0 0 >
a(X(t))a(X(t))T = а + £ РгХг (t) = - 0 -2ke De 0 + 0 0 0 D(t)
i=1 10 0 28Dinfj l 0 0 2S j
n f 0 ^ f 2kr Xr ^
a(X(t))X(X(t)) = | + £niXi (t) = - -2keXe De + 0
i=1 12SXDDinf j 125Xd j
D(t).
Это позволяет получить уравнения для функций а(и) и Ь(и) в следующей форме: Р(1 - и)а'(и) = - (90 - 2^9^9)к9Ь9(и) - (к^Д- + 2ЪХо0'т^)Ьо(и) +
+ к9^9 Ьд (и) - Ь^ (и), а(0) = 0,
р(1 - и)ЬГ(и) = 1 - кгЬг(и), Ьг(0) = 0, р(1 - и)Ь9'(и) = кгЬг(и) - к9Ь9(и), Ь9(0) = 0,
p(1 - u)bD(u) = - 2kr'krbr(u) - (ko + 2SX¿)bD(u) - Kb2 (u) - SbD(u), bo(0) = 0.
Здесь аналитически решаются только уравнения для Ьг(и) и Ье(и):
Ьг(и) =
1 - (1 - и)к'!р
кг
= ± + (1 - Ц)К1 Р - Кг (1 - “>‘°1Р ,
Ке кг - Ке Ке (Кг - Ке)
а остальные уравнения приходится решать численными методами.
Результаты вычислений функций доходности У(и) и £(и) для моделей (14) -(16), (17) - (19) и (20) - (22) представлены на рис. 3. Вычисления проводились для параметров, обеспечивающих для всех моделей одинаковые значения стационарного среднего и стационарной дисперсии при следующих текущих значениях переменных состояния: г = 0,05; е = 0,06; Б = 0,005.
Рис. 3. Функции доходности У(и) (пунктирные линии) и Ди) (сплошные линии) для трехфакторных моделей: модель (14) - (16) (верхняя пара кривых); модель (17) - (19) (средняя пара кривых); модель (20) - (22) (нижняя пара кривых). Маркеры горизонтальной оси обозначают реальную продолжительность срока до погашения: ромб - 1 год, треугольник -10 лет, квадрат - 30 лет. Кружком отмечены предельные значения функций для т = 0 (слева) и т = <ю (справа)
Из рис. 3 можно заключить, что для принятого набора параметров все три трехфакторные модели практически определяют доходность одинаково. Исключение составляет область продолжительных сроков до погашения (более 30 лет), в которой доходности существенно расходятся. При этом модель ББР8 предусматривает резкий спад доходности для больших сроков до погашения. Это, видимо, объясняется тем, что в этой модели локальное среднее краткосрочной процентной ставки следует гауссовскому процессу, в принципе, допускающему наличие отрицательных значений процентной ставки, что может приводить к падению доходности. Для принятого набора параметров вероятность отрицательных значений е(/) в рассматриваемом случае равна 3,710-6. Сравнение рис. 2 и 3 позволяет заключить, что с увеличением размерности моделей определяемые ими ставки доходности уменьшаются.
Заключение
В статье предлагается рассматривать временную переменную, описывающую срок до погашения бескупонных облигаций, как результат не зависящего от параметров модели изменения процентной ставки нелинейного преобразования и(т) временных сроков, позволяющего отображать временную ось на интервал единичной длины. Этот способ имеет преимущества перед применением в качестве меры времени дюрации В(т) краткосрочной процентной ставки, поскольку при применении дюрации временная переменная зависит от параметров рассматриваемых моделей, что затрудняет сравнение доходностей для одних и тех же реальных сроков до погашения. Показано, что функции доходности Y(u) и F(u) обладают практически теми же свойствами, что кривая доходности до погашения у(т) и форвардная кривая _Дт) соответственно, за исключением (в некоторых случаях) свойств, связанных со второй производной, так как они удобнее, поскольку позволяют визуально анализировать доходности на всей оси времени. Использование такого подхода проиллюстрировано при анализе свойств кривой доходности и форвардной кривой для одно-, двух- и трехфакторных моделей процентных ставок. Для этого сформулированы математические модели динамики переменных состояния для всех этих случаев (всего шесть различных моделей), выведены уравнения для функций временной структуры и при возможности найдены их аналитические решения. Поскольку большая часть уравнений может быть решена только численно, проведены численные расчеты для всех шести моделей и проведены сравнения функций доходностей, характеризующих их временную структуру. Расчеты проводились для набора параметров, основанных на оценках Д. Ана и Б. Гао [2], приспосабливавших однофакторную модель Даффи - Кана для описания динамики процесса годовой ставки доходности одномесячных бумаг Казначейства США для периода наблюдения с января 1960 г. по февраль 1991 г. Ими были получены следующие значения (в обозначениях настоящей статьи) kr = 0,1347; 90 = 0,0762; Dr = 0,002892; rmf = 0, 03315. Остальные параметры моделей были приняты следующими: k9 = 0,01347; D9 = 0,0002892; 9inf = 0, 03315; kD = 0,01347; S = 1,882x10-7; Dinf = 0,0001; Xr = 0,1; X9 = XD = 0,1. Текущие значения параметров состояния во всех случаях выбирались следующими: r = 0,05; 9 = 0,06; D = 0,005. Параметр преобразования временных сроков во всех случаях был р = = 0,0767528. В этом случае короткие сроки до погашения (менее 1 года) занимают 7,4 % интервала, средние сроки от 1 года до 10 лет - 46,2 % интервала, сроки от
10 лет до 30 лет - 36,4 % и сроки, превышающие 30 лет, занимают 10 %. С увеличением параметра р перераспределение интервала происходит в пользу более коротких сроков.
ЛИТЕРАТУРА
1. Медведев Г. А. О временной структуре доходности. 1-6 // Вестник ТГУ. УВТиИ. 2012.
№ 1(18). С. 102-111; № 2(19). С. 102-111; № 3(20). С. 71-80; № 4(21). С. 89-99; 2013.
№ 2(23). С. 64-74; № 3(24). С. 113-122.
2. Ahn D.-H., Gao B. A parametric nonlinear model of term structure dynamics // The Review of
Financial Studies. 1999. V. 12. No. 4. P. 721-762.
3. Fong H.G., Vasicek O.A. Fixed-income volatility management // J. Portfolio Management.
1991. Р. 41-56.
4. Dai Q., Singleton K. Specification analysis of affine term structure models // J. Finance. 2000.
V. 55(5). P. 1943-1978.
5. BDFS: Balduzzi P., Das S., Foresi S., Sundaram R. A simple approach to three factor affine term structure models // J. Fixed Income. 1996. V. 6. P. 43-53.
Медведев Геннадий Алексеевич Белорусский государственный университет
E-mail: [email protected] Поступила в редакцию 19 августа 2013 г.
Medvedev Gennady A. (Belarusian State University). On term structure of yield rates. 6. The new version.
Keywords: yield interest rates, affine model, yield curve, forward curve, Duffie-Kan one-factor model, three factor model, Fong - Vasicek two-factor model, Chen three-factor model, BDFS three-factor model.
In paper it is proposed to consider a time variable that describes term to maturity of zerocoupon bonds as result of nonlinear transformation of the temporary terms that are independent on parameters of interest rate dynamics model, allowing to map the time numerical axis into an interval of unit length. This way has advantages before application as a measure of time of a duration of a short-term interest rate because at the duration application the time variable depends on parameters of considered models that complicates a comparison of yields for the same real terms to maturity. It is shown that resulting yield functions possess practically the same properties as a yield to maturity curve and a forward curve, except for (in certain cases) properties connected with the second derivative. At the same time they it is more convenient because allow to analyze visually the yields on all time axis. Use of such approach is illustrated in the analysis of properties of the yield curve and the forward curve for one-factor model of Duffie - Kan, Fong - Vasicek two-factor model and three-factor models of interest rates: Fong - Vasicek expanded model, Chen model and the BDFS model. In paper the mathematical models of dynamics of the state variables for all these cases (six various models) are formulated, the equations for functions of term structure are deduced and (when it is possible) their analytical solutions are found. As the main part of the equations can be solved only by calculations, numerical calculations for all six models are carried out and comparisons of yield functions characterizing their term structure are carried out. Calculations were carried out for a set of the parameters based on estimates, published by D. Ahn and B. Gao, fitting one-factor Duffie - Kan model for the description of dynamics of process of an annualized one-month U.S. Treasury bill rate for the supervision period from January, 1960 to February, 1991. Calculations showed that the increase of model dimension implies the decrease of yield rate.
