О возможности применения эквивалентности воздействий в аналитических решениях задач теории упругости Текст научной статьи по специальности «Физика»

ВЕСТНИК 4/2010

О ВОЗМОЖНОСТИ ПРИМЕНЕНИЯ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ ВОЗДЕЙСТВИЙ В АНАЛИТИЧЕСКИХ РЕШЕНИЯХ ЗАДАЧ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ

ABOUT THE POSSIBILITY OF THE USE OF THE EFFECT ECUIVALENSE IN ANALYTIC SOLUTIONS OF THE ELASTISITY

THEORY

В статье приведена возможность замены действия объемных сил действием вынужденных деформаций и поверхностных сил в аналитических решениях задач теории упругости.

The article substantiates the possibility of the change of the volume forces by the effects of the forced deformations and the surface forces in analytic solutions of the elasticity

В задаче механики деформируемого твердого тела все воздействия в зависимости от их присутствия в разрешающей системе уравнений подразделяются на поверхностные силы, объемные силы и вынужденные деформации.

Метод эквивалентности воздействий позволяет определить напряженно-деформированное состояние тела без воспроизведения условий ее работы [1]. Наибольший интерес представляет замена действия объемных сил действием вынужденных деформаций и поверхностных сил.

В качестве примера рассмотрим сферу с полостью в центре. Распределение объемных сил симметрично относительно центра и является линейной функцией одного лишь радиального расстояния г.

В силу симметрии ненулевыми будут лишь три компоненты напряжения, радиальная компонента <ГГ и две окружные компоненты а,. Они должны удовлетворять условию равновесия элемента шара в радиальном направлении [2]

аг г

где Я - компонента объемной силы в радиальном направлении. Тогда для радиального перемещения имеем следующее дифференциальное уравнение:

Э.К. Агаханов, М.К. Агаханов

E.K. Agahanov, M.K. Agahanov

ДГТУ, ГОУ ВПО МГСУ

theory.

(1)

Общее решение этого неоднородного уравнения имеет вид [3]

4/2010

ВЕСТНИК _МГСУ

с

U = Cr + с + U

(3)

где и - частное решение уравнения (3);

С1 и С2 - постоянные интегрирования, которые подлежат определению из граничных условий.

Объемные силы распределены по закону

R = -

Рг ~Р\ b - a

(r - a)

+ Pl

g

(4)

где р - масса единицы объема материала шара;

£ - ускорение свободного падения. Частное решение и имеет вид

U =

(l + v)(l - 2у)

Рг -Pi r3 +1 1Q(b - a) 4

4 -v)

Для компонентов напряжений имеем

a(R)= ECl _ 2EC2 1 g

Piair2

b - a

(3-v)

(5)

(l - 2v) (l + v)r3 2(l -v)

5(b - a)

(Рг ~Pl)

r +

Pl-?2ZPLa ,r

b - a

(6)

(R )_.

EC

a} ' =

, EC2 l

— + -<-T + -

(l - 2v) (l + v)r3 2(l -v)

L t^-pl)r 2 +

(l+

2

Pl a r

b — a

(7)

(r )

Определим постоянные Cl и C2 из условий, что напряжение <J; на внутренней и внешней поверхностях равно нулю. Тогда из формулы (6), имеем

Cl =-

(l ~ 2v)g J b2

E(l-v) I a3 -b3

(3 -v)(a + b)

lQ

(^2 - Pi )-

(a - b)

*a

b - a

(3 -v]a f \ a

Тф^2 ~Pl)+ 2

C2 ="

(l +v)a 3b3 g

2E(l -v)(a3 - b3)

(3 -v)(a + b)

b - a (a - b)

(p2 "Pl)

Pla

b - a

10 4 ' 2

Внося значения С1 и С2 в выражения для компонентов напряжений и перемещений, получим

b3

(l-у)! a3 -b3

(3 -v)( a + b) lQ

(P2 -Pl )--2 (P2 a - bPl )

r

ВЕСТНИК 4/2010

(Л "Л)-

10(Ь - а)

А а | +

Ь - а

а ЪЬ ь

(3 -у\а + Ь) 10

(а -Р1 ) + 1 (аР2 - ЬР1 )

а> ' =

[а^ЬР)

+ 4^(а "А >2 +1 а 1}

10(Ь - а у 2 1 2 ^ Ь - а ) )

(3 -у\а + Ь)

(1 -у)! а3 -Ь3

10 (А "А)"1(Аа "ЬЛ)

^^ {рг-а )-а

10(Ь - а)

А а ,-

Ь - а

3 >3

а Ь

2(а3 - Ь3)

■ (1 + 3У)

(3 у\а + Ъ) ^2 _Р1) + | ^ _ ьР1 )

и ^ ) = ■

(1 - 2у)8 I1 -у)Е

10(Ь - а)

Ь3

(а ~Р1 У 2 +

2 , (1 + 2у) 4

А а 1г!

Ь - а I I

3 /.3 а - Ь

(3 -уХ а + Ь)

10 (а "А) + "2(Аа-ЬА)

+

(3 -у)а2 ( \ а

+Тф^-АНз

(3 -у)( а + Ь)

* ""Ъе°^-

2(1 -у)Е(а3 - Ь3)

(1 + у)(1 _ 2у)g

(1 -у)Е

10 (А ~Р1)+1 (аА " ЬР1 )

+ -

А -А Гз +1 10(Ь - а) 4

А а

Ь - а

(8)

Согласно полученным в [1] выражениям, для заменяющих воздействий имеем

(1-2у) Е

Р2 "А.г2 +

2(Ь - а)

А а г

Ь — а

Р = -

Р2 ~Р1 г 2 + 2(Ь - а)

А а Г

Ь - а

Я.

(9)

(10)

Выражения для определения напряжений и перемещений от заменяющих воздействий имеют вид [2]

/ _ _ л ( 4 "

(4-) I1 -" (1 -V)

СТ"^ =

А - А

5(Ь - а)

(г 5 - а 5 )+

А -^Аа4 "а4

ч

Ь — а

2

1

■ +

2

Г

Я

3

Г

4/2010

ВЕСТНИК

_МГСУ

3

а Рг-Р\[иъ ъ\ 1Ь " а )

* -^а;

Ь — а

/

(Ь 4 - а 4)" 2

1_„ Р2 ~Р1 (.5 5 \

1Ь -а 5

А-^Л а4 "а

Ь-<

2

(¿¡)_ I1 - 2у)Е ' " (1 -у)

Г -а 1+1 Р1

4 4

Р2 ~Л ( 5 „5 Р2 - Р1 Л Г' - а'

10(Ь

Ь-<

4

Р2 ~Р1 10(Ь - а)

(Ь5 - а5 )+

А а^ " а^

Ь — а

4

- +

^ - а 5

^а П*' -а4 Ь - а I 2

Р2 "А г2 +

2(й- а)

А "А ,

А--Г-а 1г

Ь - а

4 4

-а5 М* * ^ Г " а

(б5 - а5 )-

I1 + У)а3 Р2 ~Р1

{р3 - а3) |_10(й- а)

+ - а5)

(й3 - а3) _ 5(б-а) '

\ ,4 4

р1 -^А а К6 "а

Ь - а ) 4 1

Ь - а

4

2

Г

А-^А а У1 Ь - а I 2

^(Р) = £

г 3 ,3

а - Ь

г(Р ) =

А ~А Ь 2 +

2(б- а)

^^ а 2 +

2(Ь- а)

Ь 2 +

2{Ъ- а)

Л а

V Ь -а ,

33

- а 1+

а3 (й

р1 а 1а а3(й3 - г3 1

Ь - а

А а \Ь

Ь - а

а 2 +

2(Ь- а)

У Ь3 (2г3 + а3)-т^а а3 (2

А _PlZ.PLа \а а3 (2г3 + Ь3 ^ Ь - а

(11)

3

г

3

г

3

3

Г

2

Г

ъ

ъ

ВЕСТНИК МГСУ

4/2010

U ^ =

(я3-b3 )e

1(1 "

Pi ~Р\ lib - а)

(b5 - а5 )+

Л

Рг ~Pi Ъ - а

(b4 - а4)

r +

(1 + v)

2

Pi - Pi 2(6 - а)

(а 3b

5 - b 3а5 )+fA -Pl^ а \ b - а

(а3b4 -b\A\

Согласно установленным в [1] зависимостям полученные выше для напряжений и перемещений выражения должны удовлетворять следующим соотношениям:

о? )=ajr P

U (R) = U M- и 0

(12)

Подставляя в эти зависимости выражения (8), (10), (11) можно убедиться в том, что они тождественно удовлетворяются.

Аналогично можно получить решение для любого симметричного относительно центра распределения объемных сил. Если функция объемных сил аппроксимирует распределение плотностей в геосферах, то сфера представляет собой модель земного шара, находящегося под действием сил собственного веса.

Литература

1. Савостьянов В.Н., Агаханов Э.К., Об эквивалентности воздействий в статической задаче механики деформируемого твердого тела, Изв. Вузов, Строительство, Новосибирск, 1995,

№10, с.26-30.

2. Тимошенко С.П., Гудьер Дж., Теория упругости. М., Наука, 1975, 576с.

3. Эльсгольц Л. Э., Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление, М., 1969, 424 с.

и

ЬИвгаШгв

1. Savost'yanov V. N., Agakhanov E. K. About the effect equivalence in the static problem of the mechanics of deformable solids. Proceedings of higher educational establishments, Construction, Novosibirsk, 1995, № 10, p. 26-30.

2. Timoshenko S. P., Goodyear G. Elasticity theory. Moscow, Nauka, 1975, 576 p.

3. Elsgolts L. E. Differential equations and calculus of variations. Moscow, 1969, 424 p.

Ключевые слова: эквивалентность воздействий, объемная сила, вынужденные деформации, поверхностная сила, компоненты напряжения

Key words: effect equivalence, volume force, forced deformation, surface force, stress components

129337, г. Москва, Ярославское шоссе д.,26, МГСУ, кафедра сопротивления материалов 8(499) 183-85-59

E-mail автора', [email protected]

Рецензент:Купавцев Владимир Владимирович, к.ф.-м.н., профессор ГОУ ВПО МГСУ