О возможности генерации высокочастотного излучения в двухбарьерных РТД структурах с несимметричными барьерами конечной высоты и ширины Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 621.315.592:537.311.322

О ВОЗМОЖНОСТИ ГЕНЕРАЦИИ ВЫСОКОЧАСТОТНОГО ИЗЛУЧЕНИЯ В ДВУХБАРЬЕРНЫХ РТД СТРУКТУРАХ С НЕСИММЕТРИЧНЫМИ БАРЬЕРАМИ КОНЕЧНОЙ

ВЫСОТЫ И ШИРИНЫ

В. А. Чуснков

Построена аналитическая теория, взаимодействия инжектируемого моноэнергетического потока электронов с сильным переменным электрическим, полем, в двухба-рьерных РТД структура,х с несимметричными барьерами конечной высоты и ширины,. Вычислены токи поляризации, дана, оценка, мощности генерации электромагнитного излучения.

Ключевые слова: туннелирование, РТД структура, токи поляризации.

Задача о туннелировании электронов в двухбарьерньтх структурах (РТД структурах) с дельта-функциональньтми барьерами в слабом переменном электрическом поле eEa < hu (E и u - соответственно, амплитуда и частота переменного поля, a - ширина квантовой ямы) решалась в целом ряде работ (напр., в [1 3]).

Для РТД структур с симметричными барьерами конечной высоты и ширины такая задача решена в [4]. В сильном электрическом поле, когда

eEa < hu, £r > eEa, Г, hu (1)

(er и Г — соответственно, энергия и полуширина резонансных уровней), задача о туннелировании электронов в РТД структурах с дельта-функциональньтми барьерами ре-III6H£b в [5].

В данной работе эта задача решается для РТД структур с несимметричными барьерами конечной высоты и ширины. На рис. 1 изображена схема такой структуры.

1. Решение уравнения, Шредингера, для, электронов в РТД структура,х с несимметричными барьерами конечной высоты и ширины, в сильном переменном, электрическом поле. Слева (x < 0) к структуре (см. рис. 1) подводится поток электронов, про-

ФИАН, 119991, Москва, Ленинский пр-т, 53; e-mail: [email protected].

Рис. 1: Двухбаръерная резонансно-туннельная структура с резонансным уровнем er.

2

порциональныи q , с энергией s, мало отличающемся от энергии резонансного уровня er (s — £r = S << er). В области РТД действует переменное электрическое иоле E (t) = E cos ut с частотой ш и потенциалом

0,

x < 0;

U(x,t) = U(x)cos ut, U(x) = { —eEx, 0 < x < d;

—eEd, x > d.

Волновая функция электронов удовлетворяет уравнению Шредингера

д Ф Н2 д2 Ф

iH ж = — mx) ж + V (x)* + U w-

где (см. рис. 1)

m(x) = m(x < 0, b1 < x < a + b1, x > d), m(x) = mb(0 < x < bi, a + b1 < x < d).

(2)

(3)

В квазиклассическом приближении при условии (1) решение уравнения Шредингера (3) в указанных на рис. 1 областях значений х запишем в виде (см. [5]):

Фе(х,Ь) = 5 ехр(—ги0Ь + 1кх) + ехр(—ш0Ь — 1кх) • ¡ее (---Ь^

(5)

Ф^х, Ь) = ехр {—ш0Ь — к1х + гБи1(и1,х, Ь)}

+ ехр{—ш<дЬ + к1х + гБи 1(—и1,х,Ь)} • ¡-кг ( — — — Ь ) ;

х

Ф^(х,Ь) = ехр {—шоЬ + гк(х — 61) + гБиш(и,х,Ь)} • ¡к

х — Ьл

— Ь +

+ ехр{—г^оЬ — гк(х — 61) + гБиш(—и,х,Ь)} • ¡-и ( —

х Ь1

Ь

V

Ф2(х, Ь) = ехр {—ш0Ь — к2(х — а — Ь1) + гБи2(и2, х, Ь)}

' х — а — Ь1

--Ь| +

+ ехр{—г^оЬ + к2(х — а — 61) + гБи2(—и2,х,Ь)} • ¡-и2 [ — х—а—— — Ь

V2

х — 1

Ь

Фс(х,Ь) = ехр{—ш0Ь + гк(х — 1)} • Е

и0 = е/К, к = \/2те/К, кп = л/2тЬ(Уп — е)/К, V = Кк/т, vn = гКкп/ть,

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

е - энергия электрона, п = 1, 2,

•г, , , ч [ , и(х')

гБи 1(±и1,х,Ь) = ^ ах——- сое иЬ, 3 Щи 1| о

(11)

г, , , ч [ , и(х')

(±и,х,Ь) = ^ ах—— сое иЬ, I Ки

(12)

/ , ч [ , (х')

гБи 2(±и2,х,Ь) = ^ ах——г сое иЬ,

а+Ь1

КЫ

(13)

а ¡е {—X — Ь), ¡±к1 (±X — ь), ¡±к (±^ — Ь), ¡±к2 (±— ^ Е — Ь нроиз-вольные функции туннелирования от указанных в скобках аргументов, связь между

которыми определяется из граничных условий. В систему функций (5) (9) введены, в отличие от [5], волновые функции электронов в барьерах: Ф^х^), Ф2(х,^.

Отпивая волновые функции (5) (9) и потоки электронов на границах барьеров, начиная с правой границы правого (коллекторного) барьера и кончая левой границей левого (эмиттерного) барьера, получим уравнение для единой функции туннелирова-ния F(±a/v ± bl/vl ± b2/v2), зависящей от восьми сдвинутых аргументов. При условии

ua/v << 1, ubn/\vn\ << 1, (14)

которое в практически интересных случаях выполняется до частот u ~ 10l3 c_l, и дополнительном условии

a/v >> bn/\vn\, Suw >> Sun, knbn = const (15)

уравнение для функции туннелирования зависит литтть от двух аргументов и принимает

aa

G • F(z) + Re2ika • A(t) • F(z + 2T) = Y(t), z = -a - t, T = (16)

vv

G = 4ch(fcibi)ch(fc2b2) - ( 1 - ^ - S\i(kibi)úi(k2b2)+

+2^ - e^ Sh(kibi^h(k2b2) + 2i Q- - e^ ch(kibi>h(k262), (17)

R = ( 1+ei) (Jr+e^ sh(kibi>h(k2b2), (18)

A(t) = exp(-2iSW cos ut), Y(t) = 4qexp(ika - iSW cos ut), (19)

i» = (m ) "2, Sw = 2 'U0-u- (1 + 2* ) . (20)

\m Vn - ej 2 ñu v V a J

Подчеркнем, что условие knbn = const сохраняет неизменной вероятность туннелирования электронов через барьеры. Уравнение (16) отличается от подобного уравнения, рассмотренного в [5], более сложной зависимостью функций G, R от параметров структуры. Применяя способ решения уравнений типа (16), рассмотренный в [5 7], получим

со

F(z) = -дГа • Фо^)e-ika • j drx • exp j-(Г - i5)n - iW sinu(z + Ti)

0

00

\F(z)\2 = q2r2 • J dTi exp[-(Г - ВДх 0

х ! 1т2 ехр[— (Г + г8)г2] • ехр[гА вт иг + гВ сое иг], о

W

Ки

1

Фо(г) = ехр г— вт иг , W = - и (аН1 + ^-1

2

W W

А = — [соеит2 — соеит1 ], В = — [втит2 — втитА, Ки Ки

Г = ег ■

X

а +1 ^ в-

К п=1,2

{\К1\\К2\ — ^11|^2|}£=£ 4Я1г Я2гсЬ. к1г Ь^Ь к2г Ь2

-х

Уа ег \ Спг

1

>= + Спт 1 ^Ъ-кпт Ьп +

+ кпг Ьп

Уп- е.

Спт ) (1 t Ь кпг Ьп)

г \ Спг

1

Г

4Г

о=

{\К1\\К2\ — ^2\}£=£г' 1

I О Ь I . , , .

^пип) 1 ьпт

Кп = 2с11 кпЬп + г ( Сп — 1 ) ЭЬкпЬп

Сп

11

1/2

гп г ( Сп + £ I ShknЬn, Япг Л 1 + , ( £ Спт I th кпг Ьп

V Сп/ у 4 У^пт )

Энергия резонансных уровней ег определяется из уравнения

tg(2krа) = Ьг/Бг, Ьг = 2

С- — Ък2Ь2 + (С- — С2 ] с!ЪкЬ

Бг

4с«1к1Ь1С«1к2Ь2 — ( С1 — С^ С2

(21)

(22) (23)

(24)

(25)

(26)

(27)

Уравнения (21). (22). (24). (26), (27) приводят к более сложной зависимости функции туннелирования Е(г), энергии ег и ширины Г резонансных уровней от параметров

Го

ризации в РТД структурах с несимметричными барьерами. в ранее опубликованных теориях отсутствует.

2. Вычисление токов в ВТД. Ток электронов I через волновую функцию Ф определяется формулой

р К

(28)

рК

I = — - {ф*уф — фуф*}.

2т(х)

Подставляя в (28) волновые функции (5) (9), предварительно выразив входящие в них функции туннелирования через единую функцию туннелирования (21) (связь между

г

е

г

2

г

г

ними определяется в процессе сшивания волновых функций (5) (9) и потоков электронов на границах барьеров; мы не приводим этих громоздких выражений), получим ток в квантовой яме - IW(x, t), в эмиттере - Ie(t), в первом барьере - Ii(t), во втором барьере - I2(t), в коллекторе - Ic(t):

Iw(x,t) = evi^\F(z)\2 + 1 + ^ • sh2k2b2 • [\F(z)|2 - \F(Z)\2] j , (29)

x — a — b1 x — a — b1

z =--t, z =---t,

v v

Ie(t) = Ii(t) = Iw (bi,t), I2(t) = Ic(t) = Iw (a + bi,t). (30)

Из (29), (30) следует, что задача сводится к вычислению тока в квантовой яме IW(x,t). Активную составляющую тока, пропорциональную cos —t, вычислим с помощью фурье-преобразования:

2ж/ш

ICW(x) = — dt cos —t • IW (x,t). (31)

n J 0

Подставив (29) и (21) в (31), после достаточно сложных вычислений получим ток ICW(x) и приведенный ток Icw-

Icw(x) = 2 2Г^1 — —S2 + a + bl — x — (—Si + 2^)1 , (32)

—2 + 41^ a I2 J

a 2

Icw = 1 / dxIcw(x) = 2 { 2rSi — —S2 + 1 — (—Si + 2^2)) , (33) a —2 + 4Г2 2 Г2

0

(п+1)ж/ш

^ ■ / —t\ —t Si = dte-rt • JW в sin у j sin St cos —, (34)

n=0 J,

пж/ш

(п+1)ж/ш

S2 = £ / dte-rt • J А в sin у ) sin St sin , (35)

n=0 2 2

пж/ш

еЕа ( &А 1 1 а Л 1 \ 2,о,, /ч

в = (1+2а)- Г2 = 2 Д«2 + ^ (36)

Изложенным выше способом находим также реактивную составляющую тока (х) и постоянную составляющую тока 10 (в) в сильном переменном электрическом поле:

4Г0 \ .с , от^с а + Ь1 - х ш

Isw (x) = 2 , "J —Si + 2rS2--1-^(2rSi — —S2U , (37)

—2 + 4Г2 a Г2

(n+i)n /ш

Г2 ^ í Í t\

lo = dte-rt • jJ в sin у) cos Si, (38)

п=0 J. ^ '

пп/ш

где J0 (в sin Щ2г) - функция Бесселя нулевого порядка.

Формулы (32) (38) позволяют получить выражения для токов в ряде интересных для практических приложений случаев. Мы рассмотрим наиболее важный из них.

3. Резонансное туннелирование в сильном переменном электрическом поле. При ш = S >> Г (квантовый режим); £nr << 1, knrbn >> 1 (предельно сильные барьеры) из (24) (26), (34) (36) получим (см. (10), (20) и [8]):

Г=^ {£l exp(-2kir bi) + & exp(-2k2r b2)} , (39)

kr a

1 Í £i £2 1 Г/Го = - \ exp(k2rb2 - kirbi) + -f- exp(kirbi - k2r^2) \ , (40)

2 L £2r £ir J

Г/Г2 = 1 jl + ( £t-) exp[2(k2r b2 - kir bi)]} , (41)

* = вГ • JK2) = ^ J2(e)- (42)

Подставив (42) в (33), находим приведенный ток в квантовой яме

I- = шГ^ (4Г2 + ш2ГГ2) • 4J2 (f) . (43)

При симметричных барьерах (kirbi = k2rb2, Г0 = Г2 = Г)

4 ,2 ( в

= ю- <44>

Формула (44) совпадает с формулой (113) в [5], полученной в модели РТД с 6-функциональньтми барьерами.

При к2гЬ2 >> к\гЪ\ [коллекторный барьер сильнее эмиттерного; см. (39)^(41)]

8 т2 (в

lew = -Jïyf ) • (45)

При kirbi >> k2rb2 (эмиттерный барьер сильнее коллекторного)

8 j2 ( в ) ^ v _ V2 - Sr

lew = Ji x • Zi2\Zi2 = —-exp[-2(kirbi - k2r62)]. (46)

в V 2 ) Vi - Sr

Из (44)-(46) следует, что приведенный ток 1сщ в случае более сильного коллекторного барьера на один-два порядка (как ПОКЗЗЫВЗДОТ оценки) больше приведенного тока в случае более сильного эмиттерного барьера и в два раза превышает приведенный ток в случае симметричных барьеров. Во всех трех случаях ток уменьшается при в ^ 0, а с ростом в пробегает ряд максимумов с убывающей высотой. Максимумы разделяются минимумами, в которых ток обращается в нуль. При амплитуде переменного поля Ет = 2.72Ни/еа (вт = 2.72) приведенный ток принимает максимальное значение (первый максимум)

о

1сш (вт) = —^?(вт/2) = -0.84, (47)

вт

почти равное (по абсолютной величине) постоянному резонансному току в случае симметричных барьеров, т.е. (см. (38))

1о(в = 0,6 = 0, Го = Г) = 1. (48)

Заключение. Найдены волновые функции и функция туннелирования для электронов в резонансно-туннельном диоде с несимметричными барьерами конечной высоты и ширины в сильном электромагнитном поле путем решения уравнения Шредингера с граничными условиями, выражающими равенство волновых функций и потоков электронов на границах барьеров.

Показано, что в квантовом режиме (6 = Ни >> Г) выражение для активного тока поляризации в случае РТД с симметричными барьерами конечных размеров совпадает с выражением, полученным в модели РТД с симметричными ¿-функциональными барьерами.

Вычислены токи поляризации, энергия и ширина резонансных уровней. Показано, что зависимости токов поляризации, энергии и ширины резонансных уровней от параметров структуры в случае РТД с несимметричными барьерами конечной высоты и ширины отличаются от зависимостей, которые следуют из теории РТД с 6-функциональньтми барьерами.

Показано, что в квантовом режиме в случае РТД с несимметричными барьерами конечных размеров, когда вероятность туннелирования электронов через коллекторный барьер много меньше вероятности туннелирования электронов через эмиттерньтй барьер, отрицательный активный переменный ток при Е & 2.8Ни/еа достигает максимального значения, равного (по абсолютной величине) 84% от постоянного резонансного тока, 10 (Г0 = Г Е = 6 = 0) = 1.В этих условиях возникает возможность усиления и

генерации электромагнитных волн. Мощность генерации на частотах ш = 1012 — 1013 с-1 может достигать 105 — 106 Вт/см2.

При симметричных барьерах активный переменный ток достигает значения, равного 40% от постоянного резонансного тока.

Если вероятность туннелирования электронов через эмиттерньтй барьер много меньше вероятности туннелирования электронов через коллекторный барьер, то активный переменный ток становится на один-два порядка меньше постоянного резонансного тока; в такой же степени уменьшается и мощность генерации излучения.

При низких частотах (ш << Г) токи поляризации в РТД и мощность генерации излучения не зависят от соотношения вероятностей туннелирования электронов через эмиттерньтй и коллекторный барьеры.

Автор благодарен B.C. Виноградову. А.А. Горбацевичу. И.И. Иванчику. К).В. Копа-еву. В.В. Капаеву. В.Н. Мурзину за обсуждение работы и ценные замечания.

Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства образования и науки РФ (ГК № 16.513.11.3079), РФФИ (ДО И- 02-01182), Программы Президиума РАН "Основы фундаментальных исследований нанотехнологий и наноматериалов". Программ фундаментальных исследований ОФН РАН "Современные проблемы радиофизики" (IV.12) и "Физические и технологические исследования полупроводниковых лазеров, направленные на достижение предельных параметров" (III.7).

ЛИТЕРАТУРА

[1] И. В. Беляева, Е. И. Голант, А. Б. Патпковский, ФТП 31, № 2, 137 (1997).

[2] Е. И. Голант, А. Б. Патпковский, ТМФ 120, № 2, 332 (1999).

[3] В. Ф. Елесин, ЖЭТФ 116, 704 (1999).

[4] В. А. Чуенков, Краткие сообщения по физике ФИАН, 37(10), 21 (2008).

[5] В. Ф. Елесин, ЖЭТФ 124, № 2(8), 379 (2003).

[6] Д. Г. Соколовский, М. К). Сумецкий, ТМФ 64, № 2, 233 (1985).

[7] D. Sokolovski, Phys. Rev. В 37, № 8, 4201 (1988).

[8] И. С. Градтптейн, И. М. Рыжик, Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений (Наука, Москва, 1971), стр. 697, 702, 982.

Поступила в редакцию 1 ноября 2012 г.