О волноводном распространении звуковых пучков в нелинейной среде. Обзор Текст научной статьи по специальности «Физика»

ISSN 0868-5886 НАУЧНОЕ ПРИБОРОСТРОЕНИЕ, 2016, том 26, № 3, c. 95-107

- МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ -

И МОДЕЛИРОВАНИЕ В ПРИБОРОСТРОЕНИИ

УДК 534.222

© Б. П. Шарфарец

О ВОЛНОВОДНОМ РАСПРОСТРАНЕНИИ ЗВУКОВЫХ ПУЧКОВ В НЕЛИНЕЙНОЙ СРЕДЕ. ОБЗОР

Обзор посвящен изложению условий, при которых возникает эффект самовоздействия акустических пучков в нелинейной среде. Для этого излагается формализм получения решения безразмерного уравнения Хохло-ва—Заболотской и нахождения соответствующих критериев подобия Хохлова, при которых возникает эффект самовоздействия акустических пучков. Приводятся различные формы уравнения Хохлова— Заболотской. Исследуется дополнительно вопрос, связанный с необходимой точностью задания параметров в уравнении Хохлова—Заболотской.

Кл. сл.: нелинейная акустика, самовоздействие акустических пучков, уравнение Хохлова—Заболотской, критерий подобия Хохлова

ВВЕДЕНИЕ

В практике научного приборостроения могут найти весьма полезное применение такие физические явления, как самофокусировка оптических (электромагнитных) пучков и самовоздействие акустических пучков в нелинейной акустике (содержание этих терминов раскрывается ниже). В настоящем обзоре речь пойдет о самовоздействии акустических пучков в нелинейной акустике.

В 1962 г. в работе [1], по-видимому, впервые было предсказано явление самофокусировки (электромагнитной) волны, вызванное возмущением свойств среды в области локализации волны по сравнению со свойствами невозмущенной среды. В работах [2, 3] было дано теоретическое обоснование возможности самофокусировки волновых пучков в соответствующих нелинейных оптических и плазменных средах. В работе [4] это явление наблюдалось экспериментально. В основе оптического явления самофокусировки пучков лежит возможность взаимной компенсации дифракционной расходимости и нелинейной рефракции. Это же характерно и для самофокусировки акустических волновых пучков. Самофокусировка таким образом вследствие антагонистичного взаимодействия нелинейной рефракции и дифракционной расходимости проявляется в том, что пучок под ее воздействием обладает малой пространственной расходимостью, что позволяет сохранять высокую фокусировку энергии, близкую к изначальной.

Пионерская работа [5], в которой приближенным уравнением нелинейной акустики ограниченных пучков (позднее названным уравнением Хох-

лова—Заболоцкой (УХЗ)) описывается математическая модель распространения ограниченных пучков в нелинейных средах без потерь, послужила мощным толчком к интенсивному изучению этой проблематики. В настоящее время насчитываются десятки работ, посвященных изучению методов решения и нахождения асимптотик принципиально нелинейного уравнения, каковым является УХЗ.

Наряду с УХЗ, справедливым для идеальных, нетеплопроводных сред, вскоре в работе [6] было получено уравнение, названное позже уравнением Хохлова—Заболоцкой—Кузнецова (УХЗК), пригодное для вязких теплопроводящих сред.

ВОЛНОВЫЕ ПУЧКИ

Согласно [7, с. 321] суперпозиция плоских волн с близкими по направлениям волновыми векторами может дать локализованное в поперечном направлении поле — волновой пучок с почти плоским волновым фронтом. Причем поперечные размеры пучка й значительно превышают длину волны Л, но малы по сравнению с длиной пучка. Величина й ограничена снизу пространственным соотношением неопределенности Ак • й > ж, где Ак — поперечный разброс волновых векторов, характеризуемый углом а = Ак/к , (к = 2ж / Л ). При а ■ 1 (малоугольное приближение) кй » 1. Такие пучки можно считать нерасходящимися „ й2

на расстояниях К < — .

Л

УРАВНЕНИЕ ХОХЛОВА—ЗАБОЛОЦКОИ

В русскоязычной литературе уравнение Хохло-ва—Заболоцкой (см., например, [5, 8, 9]) приведено первоначально в работе [5], хотя в аэродинамике околозвуковых потоков это уравнение было получено значительно раньше в [10]. Изложение вывода уравнения приведем, основываясь на работах [5, 8, 11]. Уравнение получено при следующих предположениях.

1. В качестве исходной модели движения жидкости принимается система уравнений Эйлера, описывающих распространение возмущений конечной амплитуды в идеальной жидкости без затухания (см., например, [8, с. 10]):

р(дУ+(¥ ] = _уР:

др + У( ру ) = 0, дt уи }

Р = Р (р).

(1)

(2) (3)

Ро

Г рУ

о

(4)

где у = -

при постоянном давлении и объеме соответственно; р0 и р0 — равновесные давление и плотность газа. Уравнение состояния для жидкостей, носящее название уравнения Тэта, — также в форме

(4)

*

Р

р

о у

(5)

2. Рассматриваются ограниченные пучки, распространяющиеся в слабонелинейных средах.

3. Поскольку пучок полагается квазиплоской волной, распространяющейся вдоль оси Ох, то по аналогии со случаем плоских волн конечной амплитуды (см., например, [8, гл. 2]) решение ищется в виде следующего анзаца [5], [8, с. 225]:

( х Л

ух,Р',р' = ¥ t--,|x,^Лy,sf|z ,

V со у

отражающее тот факт, что изменения всех величин поперек пучка происходят быстрее, чем вдоль пучка. Параметр | определен ниже; при условии

принятия анзаца ¥(...) справедливы оценки [9, с. 17]

дР' д^ _ дР. _ |

дх' дх' дх'

др' др' дух дух

ду' дz' ду' дz'

дР' дР' 3/2

----I .

ду' дz'

Система (1)-(3) является полной и состоит из законов сохранения импульса (1) и массы (2), а также уравнения состояния (3). Уравнение состояния для газа предполагается адиабатическим [8, с. 10]:

Поперечные компоненты скорости,

обусловленные расходимостью пучка, имеют

порядок малости |32 [8, с. 226], [9, с. 17]

ду

_х

ду'

- — I/ — -

ду

_х_

д2'

I

удельные теплоемкости

4. Уравнение Хохлова—Заболоцкой выводится

с точностью до О (|2 ) .

Фигурирующий выше безразмерный параметр I определяется следующим образом [5, 8]:

р

Р0

■м,

где эмпирические параметры I и р для различных жидкостей табулированы, например, в [12, с. 166, 167] (величину р* называют внутренним давлением, параметр Г характеризует отклонение жидкости от закона Гука [12, с. 162] и формально

дс2 р

определяется так: Г = 1 +---0 [8, с. 10], с —

др с2

скорость звука). Таким образом, уравнения состояния для газов и жидкости имеют одинаковый вид, различаясь только двумя входящими в них параметрами.

где с0 — скорость распространения слабого сигнала (скорость звука в приближении линейной акустики); у — вектор скорости жидкости; р0, р' соответственно равновесное и возмущенное

значения плотности жидкости (газа); р0 — равно*

весное давление для газа и р0 = р для жидкости. Величина р' для жидкости определяется так [8, с. 225]:

р' = с02р'+(Г-1) с02р'2/2р0. После принятия обозначений

т = t--;

У

= 4му-

х = I;

у

у

2

с

Р

с

с

Р

с

V

х

с

0

Г

с

z

и несложных преобразований исходной системы (1)—(3) в работах [5], [8, с. 227], [9, с. 19] для величины р' получено уравнение Хохлова— Заболоцкой

а д2р'2 д2р' с0

2 дт дхдт 2

+ -0- А2р' = 0,

(6)

у +1 е у +1 где а =-=-; е = —:— — нелинейный

2р0С0 р0с0

2

д2 д2

параметр среды [8, с. 27]; А2 =—- +---. В (6)

ду дz

и далее штрихи у независимых пространственных переменных опускаются. Учитывая значение а , (6) перепишется в виде

у +1 д2р'2 д2р' с0

4р0с0 дт2 дхдт 2 2

+ ^ А2р' = 0 .

(6а)

Если пучок обладает аксиальной симметрией, то (6) перепишется так (см., например, [5, (10)]):

а д2р'

2 дт дхдт 2

д р' + с0

( д2 +1 д_ дг2 г дг

р' = 0, (6б)

Г 2 2 где г =д/ у + z

Наконец приведем уравнение (6б) в виде, представленном в [8, с. 227]:

д ( ,др др

—I ар —---—

дт\ дт дх

+ ^ 2

( д2 1 д

-2 +--

дг г дг

\

р' = 0. (6в)

(18)), а в случае уравнения для Ух это будет коэффициент —.

с

УРАВНЕНИЕ ХОХЛОВА—ЗАБОЛОЦКОЙ—КУЗНЕЦОВА

В работе [6] уравнения (6) были уточнены для случая вязкой, теплопроводной жидкости. В нотации работы [13] уравнение для параксиального волнового пучка конечной амплитуды в вязкой, теплопроводящей среде имеет вид

а д2ра д2р'

с,

2 дт дхдт 2

+ А 2р' = -

Ь дър< 2р0с03 дт

(7)

1 1

т] ид — сдвиго-

Как отмечено в [5], [13, гл. 9], [9, гл. 2, § 1], уравнение (6) учитывает одновременно и нелинейные искажения, и поперечные изменения возмущения, обусловленные дифракционной расходимостью. Поэтому можно утверждать, что уравнение Хохлова—Заболоцкой описывает во втором приближении распространение ограниченных пучков в нелинейных средах без потерь, т. е. является приближенным уравнением нелинейной акустики ограниченных пучков.

Отметим, что таким же по структуре уравнениям удовлетворяет возмущение давления р' или

колебательная скорость ух . Это следует из справедливости линейной зависимости функций р' , р', и Ух, верной с точностью до членов порядка

с

ц: р' = ср' и V = — р' [9, с. 18, 19]. Отличие

х р0

заключается лишь в наличии корректирующего множителя у коэффициента а . В случае уравнения для р' это будет коэффициент —- (см. далее

Здесь Ь = д + —п + к

3 с

V ^ -р;

вая и объемная вязкости; к — коэффициент теплопроводности. Как видно, уравнение (7) получается из уравнений (6) добавкой неоднородного члена, учитывающего вязкие и теплопроводящие свойства среды.

Отметим, что для нелинейных уравнений УХЗ (6) и УХЗК (7) характерна квадратичная нелинейность, а, например, при описании поведения оптических (электромагнитных) пучков возникает кубическая нелинейность (см., например, [2]).

ОБОБЩЕННЫЙ ВИД УХЗ

В работах [14, 15] дана обобщенная форма записи УХЗ:

дт

Гдр~-е р' ^ - Ь (р')} = С0 А 2 р'. дх с0р0 дт ) 2

(8)

Здесь р ' — акустическое давление (такое же уравнение записывается и для возмущения плотности р' и для колебательной скорости); Ь(...) — линейный (в общем случае интегро-диф-ференциальный) оператор. Хронологически первым применил форму (8) В.П. Кузнецов [6]

Ь (р })=

Ь д2 р1 2р0с03 дт2

Другие варианты использования оператора Ь (. ) приведены в работах [14, 15].

БЕЗРАЗМЕРНАЯ ФОРМА ЗАПИСИ УХЗ

В работах [15-17] УХЗ для пучков авторами этой формы записано в безразмерном виде

0

_8_ ~дв

'дУ дV'

--V -

да 8в

N

4

( Я2-

82У 1 8У

- + —

Л

8^ 4 84

(9)

Здесь V = р' р0 (или V = р'/ р0), где р (р') — возмущение плотности (акустического давления) среды относительно равновесного значения р0

(р0); р0 (р0) — исходная амплитуда поля р' (р') или его пиковое значение, если исходный сигнал является импульсным; в = ют = = ю^ - х / с0) — безразмерное ("запаздывающее") время в движущейся системе координат, нормированное на обратную частоту (в этом случае ю = 2л f , f — частота) или длительность импульсного сигнала (в этом случае, очевидно, ю = 1/ А^, А^ — длительность импульса); 4 = = г / а — нормированная поперечная координата, где а — радиус пучка; а = х / хзн — нормированная продольная координата, а хзн — расстояние образования разрыва или нелинейная длина (см. [8, с. 34], [15, 16])

3

_ С0р0 _ С0р0

17]

N =

2с0 р0 2с0 р0

2 2 2 2 ею а р0 ею а р0

(10)

Отсюда имеем для хС1

к 2 XDlF = ^ а

к=ю.

ляющей алгоритм учета самовоздействия акустических пучков, этот коэффициент также равен %, однако в этой работе (по всей вероятности, вследствие описки) число N определяется выражением

N =

2с0р0 = 2с0р0

I I

2 2 2 2 ею а р0 ею а р0

, отличным от (10), при

еюр0 ею р0

Число N (критерий Хохлова), являющееся единственным критерием подобия в уравнении (9) (характеризующее отношение нелинейной хзн

и дифракционной хсш длин N = равно [15-

Отметим, что существуют и другие модификации УХЗ, отраженные в обзоре [18] (см., например, выражения [18, (12)-(15)] и в [19-21]).

Замечание. Следует отметить некоторый разнобой авторов безразмерного УХЗ в записи уравнения (9) [15-17]. Так, в исходной работе [17] коэффициент при N в выражении (9) равен единице (там частично используются другие независимые переменные). В обзоре [15] этот коэффициент равен 'Л, а в работе [16] он, как и в выражении (9) у нас, равен %. При этом N определено во всех случаях выражением (10). В работе [21], опреде-

том что рассматривается то же УХЗ. Нами в Приложении были проведены самостоятельные выкладки по приведению уравнений (6)-(6в) для возмущения плотности р' к безразмерному виду (9), в результате чего подтверждено, что коэффициент при N в (9) равен %.

О РЕШЕНИЯХ УХЗ

Отметим, что уже в момент публикации работы [5] было ясно, что общее решение уравнений (6)-(6в) в аналитическом виде представляет собой крайне сложную задачу. Насколько можно судить, до настоящего времени не найдено общего точного решения УХЗ. Поэтому заметные усилия ученых были направлены на получение точных частных решений, асимптотических и численных решений этой проблемы (см. монографию [19]). Были также исследованы некоторые свойства этого уравнения. Обо всем этом подробно изложено в обширном обзоре [15], посвященном 40-летию опубликования УХЗ в работе [5].

О САМОВОЗДЕЙСТВИИ (САМОЛОКАЛИЗАЦИИ) АКУСТИЧЕСКИХ ПУЧКОВ

Вначале отметим, что, в отличие от явления самофокусировки оптических (электромагнитных) пучков, в нелинейной акустике принято говорить о самовоздействии акустических пучков [20] по причине "занятости" термина "самофокусировка", обозначающего в акустике другие процессы. В акустике применяется также термин "самолокализация" [21]. Под этими терминами понимается волноводное (или самолокализованное по поперечным координатам) распространение волновых пучков различной природы.

В акустике это явление может быть вызвано различными причинами (см. обзор [15]), такими как тепловое самовоздействие акустических пучков, формирование потоков жидкости в поле мощной ультразвуковой волны, а также вследствие возможности взаимной компенсации дифракционной расходимости и нелинейной рефракции при неинерционном (нетепловом) проявлении нелинейности.

По-видимому, в работе [21] впервые теоретически показана возможность пространственного волноводного распространения акустических пуч-

х

с

0

ков именно в условиях взаимной компенсации дифракционной расходимости и нелинейной рефракции, найдены точные решения, описывающие характерные профили волны в пучке, указана возможная схема практической реализации этого явления. Полученное решение являет собой пример асимптотически универсальных волн в неодномерном случае в том смысле, что, сформировавшись на каком-то расстоянии от источника, далее при распространении пучка волна не меняет своей характерной формы (стационарное решение). Ранее в одномерном случае такая асимптотическая универсальность была отмечена для пилообразной плоской волны [18]. Однако, в отличие от разрывной пилообразной волны, решение, найденное в [21], является гладким. Ниже приводятся основные результаты, полученные в работе [21].

За основу берется УХЗ в безразмерном виде (9). В стационарном по продольной координате а дУ

случае, т. е. при -= 0, УХЗ (9) сводится к нелида

нейному стационарному по а уравнению

N ( д2У 1 дУ

4

Л

- + —

$ д$

+=0.

дв дв

N дУ д тгдУ п

--- +—У— = 0.

4 ду2 дв дв

(11а)

У (в, у ) = Y2 (у )(в-Т )2 - ^ (у):

Y2'( у ) + Y22 ( у ) = 0, 8

у)+-N ^ (у К (у )=о.

(13)

Найденное решение (12) уравнения (11а) представляет собой периодически повторяющиеся по в симметричные куски параболы с изменяющимися вдоль координаты у крутизной ее ветвей и смещением параболы по вертикали относительно оси в (см. [21, рис. 2]). Полученное решение является непрерывным и превращается в нуль в поперечном направлении за пределами пучка, включая его внешнюю боковую границу. Это же в [21] отмечается и для решений уравнения (11) в случае аксиально-симметричного пучка.

Наконец в [21] вычислены значения критерия Хохлова для уравнений (11) N3 и (11а) ^ (нижний индекс здесь отражает исходную пространственную размерность уравнений), которые равны соответственно

(11)

N3 « 0.35, N2 «1.22 .

(14)

(15)

или, будучи редуцированным для плоского случая

( х, у),

КРАЕВЫЕ И НАЧАЛЬНЫЕ УСЛОВИЯ ПРИ РЕШЕНИИ УХЗ

Для уравнений (6) типа ХЗ и (7) типа ХЗК обычно ставится такое краевое условие [15]:

В [21] подробно рассматривается уравнение (11а) и отмечается лишь факт того, что полученные для него результаты легко экстраполируются на решения уравнения (11).

В силу проблематичности получения общего решения нелинейного уравнения (11а) в [21] рассматривается его частное физически обоснованное решение

р\8 = F (Б + ц( Б)].

(16)

(12)

удовлетворяющее следующим требованиям:

1) это искомое решение должно быть локализовано и симметрично по поперечной координате;

2) решение должно иметь непрерывный во времени профиль.

Здесь у — нормированная поперечная координата; Т = 2жп , п = 0,±1,±2,... — произвольная константа для образования периодического по в решения. Функции Yi, i = 0,2 после подстановки (11а) в (12) должны удовлетворять уравнениям

Здесь р — давление на поверхности Б, излучающей волну, на которой задаются начальная амплитуда F и фаза ц/ колебаний, происходящих

во времени по закону ). Как правило, исходный фронт полагается плоским или слабо искривленным, сферическим, для создания сфокусированного пучка. При этом краевое условие ставится на границе при х = 0 для кругового в поперечном сечении пучка и имеет соответственно вид

рЬ

= F ( г )ф[г ];

= F (г )Ф

t + -

2с0 Кк

(17а)

(17б)

Здесь К — радиус кривизны исходного волнового фронта. В работах [9, 16, 17] и др. эти условия конкретизируются. Так, в работах [16, 17], в которых впервые было приведено УХЗ в безразмерном виде, краевое условие на плоскости х = 0 ставится так:

2

г

х=0

Р x=0 = Poe

sine = p0e r la sin6 =

' - Г2 l Ct ■

= p0e sin ct

(17в)

санным для поля p , учитывая, что p =

Р .

8 a ,8p' dp' + c0

8т

cl Р 8т 8x

V 0

^ 82

2

1 8

2 + "" 8r r 8r

Р = 0. (18)

Заметим, что уравнение (18) отличается от (6в)

наличием у параметра а множителя —-. Уравне-

с0

ние (18) в безразмерном виде также, как и уравнение (6в), преобразуется к уравнению (9) (см. Приложение), где величина V равна в случае уравне-

I

ния (18) (обозначения описаны выше) V = р'/ р0.

Начнем рассмотрение со следующего краевого условия [9, с. 30], эквивалентного (17а):

p '(t, r)| =-F (r) sinct,

(19)

( r^

V C J

F (r) = A exp —2 , и (19) в этом случае описыва-

в данном случае равен N = - 2 2

srn a A

вие (19) с учетом (17в) преобразуется к виду

V

= -F(4)sin6, F(4) = F(r),

4 = r l a .

(20)

Тогда исходная краевая задача (18), (19) преобразуется к краевой задаче (9), (20).

В [9] подробно рассмотрено также обобщение гауссова пучка при задании функции F (г ) в виде

(напомним, что т = ^--и при х = 0 справедливо

с0

т\ = t).

I х=0 '

В работе [9], посвященной получению численных решений УХЗ, приведенные краевые условия конкретизируются, а их разнообразие увеличивается. Далее при постановке начально-краевых условий будем оперировать с уравнением (6в), запи-

F ( r ) = exp (-rn),

(21)

где п — безразмерный параметр. При больших значениях п (21) описывает платообразные распределения с довольно резким переходом в область тени.

В случае распространения сфокусированного пучка в нелинейной среде при рассмотрении уравнения (18) ставится следующее граничное условие [9, с. 52]

p ' (^ X r )l x=0 =- F ( r ) si

(

Sine

2

t + -

2Rkc0 J

(22)

Здесь Rk — радиус кривизны волнового фронта;

F ( r ) = A exp

r2

V C J

. Второе слагаемое под знаком

синуса в (22) учитывает в квазиоптическом приближении сферичность фазового фронта.

В случае рассмотрения безразмерного УХЗ (9) краевое условие (22) преобразуется к виду [9, с. 54]

Vа=0 =- eXP Н2 ) Sin

( р2\ 2Р

(23)

где F (г) — функция, зависящая от г , определяет амплитудное распределение на границе х = 0 (обычно в качестве F (г) принимается функция

ет гауссов пучок; A = const; a — эффективный радиус пучка). Тогда в (9) за величину V принимается значение V = p У A , где A — максимальное значение функции F (r) (как правило, это

осевое значение). И следовательно, в этом случае при трансформации от уравнения (18) к уравне-

I

нию (9) во всех величинах p0 должно быть заменено на A, в том числе и в параметре N, который

2c4p0

0 0 . Краевое усло-

Здесь 3 — безразмерный параметр, характеризует геометрическую сходимость по отношению к дифракционной расходимости, равный, согласно [9, с. 54], отношению радиуса кривизны к дифрак-

я

ционной длине ¡3 = —- .

ка

Таким образом, в случае распространения сфокусированного пучка в нелинейной среде краевая задача имеет вид (18), (22) для размерного УХЗ и (9), (23) для безразмерного УХЗ.

О МОДЕЛЬНОЙ РЕАЛИЗАЦИИ ВОЛНОВОДНОГО РАСПРОСТРАНЕНИЯ (САМОЛОКАЛИЗАЦИИ) АКУСТИЧЕСКИХ ПУЧКОВ

Автору данного обзора неизвестны результаты проведения модельных расчетов по синтезу звукового поля для волноводного распространения (самовоздействия) звуковых пучков. Однако (далее цитата из [21]) "численные результаты, приведенные в [9, 18] (согласно нашей нумерации; прим. авт.), показывают, что когда для изначально сфокусированного звукового пучка эффекты нелиней-

r la

2

c

0

ности и дифракции равнозначны (т. е. N ~ 1) и когда длина образования разрыва хзн превышает фокальную длину (радиус кривизны исходного фронта), то тогда в фокальной зоне пучка формируется дугообразный волновой профиль ... это значит, что при более тщательном подборе требуемых параметров область фокуса сама создает необходимые условия для дальнейшего волновод-ного распространения звукового пучка в условиях компенсации эффектов самовоздействия (дифракционной расходимости и нелинейной неинерционной рефракции)".

Из приведенных результатов очевидна "технология" модельного эксперимента. Приведем один из ее возможных вариантов применительно к аксиально-симметричным пучкам:

1) рассматривается полупространство х > 0;

2) в начало координат помещается фокусирующий аксиально-симметричный излучатель звукового сигнала конечной амплитуды;

3) уравнение ХЗ в безразмерной форме (9) решается при варьировании критерия Хохлова N в окрестностях предсказанного в [21] значения (16), а также при вариациях радиуса кривизны излучателя;

4) задача может считаться решенной, если при некоторых указанных параметрах (радиусе кривизны зеркала и критерии Хохлова N3) начиная с некоторого удаления от зеркала пучок приобретает стационарное волноводное состояние в продольном направлении.

ПРИЛОЖЕНИЕ

Приведение УХЗ (6в) и (18) к безразмерному виду

Ниже приведены цепочки преобразований уравнений (6в) и (18) к безразмерному виду. Уравнение (6в):

,др' др' Л с0 Г б2 15

1) —1ар'^- -1 + С0 дт\ дт 8х I 2

дг2 г дг

р = 0,

2) р = рУ,

(

3) бТ

' Л

арУ "Т0-дт

дх

+Со

^б2

1 д

- + —

дг г дг

РоУ = о,

т

;(Р0)

дУ

дУ Л

4) —\а(ро) У—-ро— 1 + ^0р

дт

дх I 2

( д2 +1 д_ дг2 г дг

У = 0,

5) Т = в ,

СО

6) dт = -^в,

со

~ а а

7) — = с—, дт дв

8) ю-8-] асо(рп)

дв I \ 0!

дУ Л с ' Г б2 1 б

дУ

дв

дх

\

- +--

дг г дг

У = 0,

9) х = х8Ь X,

10) ± = ± А,

дх хл 8Х

2

2

11) ю —

8в

(

аю

8V р0 8V

( р0 )2 V

8в х8Ь 8Х

+ у р0

^ 82

1 8

- +—

8г г 8г

V = 0,

12) г = аЯ,

13) 8.=1А,

8г а 8Я

14) ю —

8в

(

аю

8V р0 8V

( р0 )2 V

8в хл 8Х

+ С0 р

2 а2

( 82 1 8 -г +--

8Я2 Я 8Я

V = 0,

15) А

8в

(

аю

р)

л2 8¥ юрй 8¥

V

8в х8Ь 8Х

+ С0 Яс 2 а2

(82

1 8

Л

■/ + — 8Я2 Я 8Я

V = 0,

16) —

8в

2 •,8V ю 8V аю рV----

. 8в х8Ь 8Х ^

+

2 а2

82 1 8

—г +--

8Я2 Я 8Я

V = 0,

17) а =-

р0с0

18) —

8в

' 8V р0с0ю 8V

ею PoV^ -8в

хл 8Х

+

р0с0 1

2 1 ( 82

2 а2

18

—2 +--

8Я 2 Я 8Я

V = 0,

19) хл =

с0р0 I

еюр,0

20) — 8в

(

ею2ру дУ - еюр0р0С0ю 8У_

8в с г, р 8Х

\

+

р0с02 1

2 ^ ^ 82

с0р0 8Х 2 а

\

т 8 ( 2 V 8V 2 ' 8V > рс2 1 21) ~8вкею р0/8в ~еюр0~8х)+—02

1 8

\

■/ + — 8Я2 Я 8Я

V = 0,

21 ( 82 1 8 +—

Л

8Я2 Я 8Я

V = 0,

22) 81 -811+.

8в{ 8в 8Х 1

23) N =

4р0

С 82

2ею2 а2р0

1 8

\

- +— 8Я2 Я 8Я

V = 0,

2с02р0

2 2 ею а р0

„„8 (тrдV дV Л N

24) —I V---1 + —

8в\ 8в 8X1 4

82

18

Л

- + — 8Я2 Я 8Я

V = 0.

£

Уравнение (18):

1) Мар<^1 + С0

8т I 8т 8х ) 2

(

82 1 8

—г +--

8г г 8г

\

р = 0,

2) р' = Рг.

С,,

f

3) дт

a fôp ' ôp '

V Со

2 дт ôx

( ô2

1 ô

■ +--

ôr r ôr

p ' = 0,

4) p ' = p0V,

5) li a p0V-PV-

дт c дт ôx

+ Со

( д2

1 д

- +—

ôr r ôr

pV = 0,

6) £

л

a 2т,ôV ôV

~ PoV~*--p0lT

V c0 дт ôx

+—p0 2

( ô2 +1 д_ ôr2 r ôr

V = о,

7) т = в,

со

8) dт = —dв,

а

m д д

9) — = а—, дт дв

10) а —

дв

\

a 2тг ôV ôV

—аP2V^ - p0^~

V c0 дв ôx

+ — p0 2

( д2

1д

■ +--

ôr r ôr

\

V = о,

11) x = xsh X,

12) = ^ ±,

ôx xsh ôX

13) а —

дв

« 2V — - pL ôV

V Со2 ^ дв xsh ôX

+ — pо 2

(ô2

1д

- +—

ôr r ôr

V = о,

14) r = aR,

15) A=1A,

ôr a ôR

16) а —

дв

aap 2v ôV - pL ôV

V Со2 ^ дв xsh ôX

+ Со p

2 a2

( ô2

1д

Л

+ —

ôR2 R ôR

(

17) —

дв

a

- а2 p0V—-

ôV аpG ôV

дв xsh ôX

+Со p

2 a2

V д2

(

18) —

дв

a 2 ôV а ôV —а p0V----

V Со2 дв xsh ôX у

+Со 2.

2 a2

V

2

1 ô

—г +--

ôR2 R ôR

V = о,

V = о,

ô2

2

1д

+ —

ôR2 R ôR

V = о,

19) a =£

2 3

С РоСо

2

2

С

20) — дв

д ( ЯГ/ ^ ятл Л

ею2р^^- ^ дУ

дв

** дХ

+

Р0с03с0 1 ( д2

2 а2

1 д

\

дR2 + R дR

V = 3,

21) =

Со Ро ею р0

(

22) —

дв

ею р0У--

дV ею ророс0ю дV

\

+

РоС

4( д2

- сш и0г

дв I 3

8

дв со3Ро дХ ) 2а2

дV 2 дУ* Л + Росо41 д2 ) 2а2

~дв - ею рп- 0 дХ

дV" , Росо ( д2 1 д

1 д

\

-+— дR¿ R дR

V = 0,

1 д

- + —

V = 0,

дву дв дХ) 2ею а2р0

- + — дR¿ R дR

V = 0,

25) N = ^ ею а р0

„^ д (тrдV дVЛ N

26) —I V---| + —

дв{ дв дХ) 4

д2

1д

Л

■/ + — дR¿ R дR

V = 0.

д

О точности задания параметров при решении УХЗ

Указанный вопрос требует специального исследования. При оценке значимости точности параметров задачи следует исходить из того, что основное уравнение УХЗ получено с точностью О (¡и2), поэтому нет нужды задавать параметры

задачи с точностью больше той, которая приведет к превышению базовой точности (см., например, рассуждения на эту тему в работе [6]). Вначале поэтому опишем технику оценки ¡л.

Оценка величины ¡л

Согласно изложенному выше, суперпозиция плоских волн с близкими по направлениям волновыми векторами может дать локализованное в поперечном направлении поле — волновой пучок с почти плоским волновым фронтом. Поэтому правомерно использование отношений возмущений полей давления р'и плотности р' к их равновесным значениям р0, р0, а также колебательной скорости и и равновесной скорости звука с0, характерных для поля плоской звуковой волны [11, с. 20]; это отношение в нелинейной акустике обозначают через

Р_ р0

С02Р0

(П1)

Приведем также выражения для объемной плотности энергии и интенсивности (силы) звука в гармонической плоской звуковой волне [22, с. 14]. Объемная плотность энергии Е в плоской волне равна

Е = -Р— = Р0и 2. Р0С0

(П2)

Интенсивность (сила) звука J в такой волне равна [22, с. 14]

J = р' и = с0Е = Р0с0и =

2_ Р

Р0с0

(П3)

С помощью выражений (П1)-(П3) можно связать величины л, Е и J. Например, из (П3) имеем

Е = Р0и 2 = Роcо2U2, J = Росои 2 = Росо3и2.

(П4) (П5)

В случае гармонического сигнала в выражениях (П4) и (П5) вместо величины и2 должна появиться эффективная величина и0 / 2, где и0 — амплитуда поля и. Тогда выражения (П4), (П5) преобразуются к виду

2 2 и0 _ Р0с0

17 — „ -о _ Го^о ,,2 Е = Роу = — и ■

(П4а)

и

с

0

2 3

J = 0 c uО = Po^L и2. J Hobo 2 2

(П5а)

Здесь Е и J — соответствующие осредненные за период значения величин Е и /.

Таким образом, зная параметры поля в квазиплоском пучке, можно по объемной плотности звуковой энергии Е (Е) или силе звука / (/ ) оценить параметр ¡.

Отметим, что реальные возмущения малы по сравнению с равновесными значениями. В качестве ориентира сошлемся на пример из [9, с. 17]: при излучаемой интенсивности звука / = 0.3 Вт/см2

возмущение плотности или колебательная скор' ^

рость в воде таковы, что —— 10-5, — ~ 10-5.

р0 С0

Каноническое уравнение ХЗ первоначально было опубликовано в виде (6) для избыточной (возмущенной) плотности р'. На практике вместо уравнения (6) может оказаться удобнее рассматривать УХЗ в терминах избыточного давления р' (18). Наконец оба приведенных выше размерных УХЗ могут быть представлены в единой безразмерной форме (9) с критерием Хохлова, определяемым выражением (10) в терминах амплитуды р0 избыточного давления либо амплитуды р0 избыточной плотности.

В уравнениях (6) и (18) присутствуют два постоянных параметра: а и с0 . Как отмечалось выше, уравнения (6) и (8) содержат члены, не превышающие порядок О (¡и2) . Поэтому при оценке

точности, с которой должны задаваться параметры а и с0 , целесообразно пренебрегать избыточной точностью их оценки. Пусть, например, параметр а исходно известен с точностью а0. Если его оценить с точностью О (5) по отношению к а0

а = а0 + 5а1,

где величины а0, а1 — величины одного порядка, то в уравнениях (6) и (18) появятся дополнительные члены. Те из них, которые превысят порядок

О (¡2), должны быть отброшены так же, как были

отброшены соответствующие члены при изначальном выводе этих уравнений. В этом состоит первый очевидный подход при оценке необходимой точности задания параметров уравнений (6) и (18). Для его реализации необходимо только оценивать параметр и с помощью техники, описанной выше.

Второй возможный подход оценки необходимой точности параметров, фигурирующих в УХЗ, является не столь очевидным и отталкивается от представления УХЗ в безразмерном виде (9), (10). Кроме того, ниже при описании этого подхода учитывается тот факт, что самовоздействие звуковых пучков, описываемых УХЗ, возможно в малой окрестности некоторого значения критерия N (см. выше).

Рассмотрим УХЗ в безразмерном виде (9), (10). Как видно из (9), его решение определяется только

значением параметра N (10). Реально величины

* *

из этих уравнений р0, а , a , p0 и р0 можно считать известными. Нелинейный параметр среды

у +1

s = —— и невозмущенная скорость звука c0 могут зависеть от учета ряда факторов, таких как температура, коэффициент всестороннего сжатия, вязкость, соленость и т. д. Зависимость от термодинамического параметра T (температуры) здесь не рассматривается, т. к. это приведет к необходимости решения связанной системы уравнений, в которой помимо УХЗ должно будет фигурировать уравнение сохранения энергии либо уравнение теплопроводности, т. к. от поля T зависят и давление, и плотность жидкости.

Предлагается следующий механизм оценки границ точности параметров s и c0 при решении уравнения ХЗ в безразмерном виде (9), (10). Пусть в результате его решения получена некая кривая S = S (N) зависимости эффекта самовоздействия от критерия подобия N . Согласно [21], эта кривая имеет единственный экстремум при N = N0, когда эффект самовоздействия максимален S0 = = S (N0) = max . При всех остальных известных величинах в (10) при N = N0 будет определено

и отношение

°0

V s /0

для поля избыточного давле-

ния или

°0

V s /0

для поля избыточной плотности.

Если выделить окрестность точки Ы0 такую, что для точек N < N и N > N кривая впервые достигла какого-либо еще приемлемого значения (например 51 = S2 = 0.7 • S(Ы0), где = S(N ) , S2 = 5 (Ы2)), то очевидно, что нет смысла улуч-

шать точность отношений

Со или Со

s s

0

, при-

0

ближая их к реальным, если результирующее

значение N вышло за границы интервала

NN1,n2].

Таким образом, в рамках этого раздела Приложения предложены два подхода для обоснования априорной точности расчетов некоторых параметров при решении задач, связанных с УХЗ.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Аскарьян Г.А. Воздействие градиента поля интенсивного э.-м. луча на электроны и атомы // ЖЭТФ. 1962. Т. 42, № 6. С. 1567.

2. Таланов В.И. О самофокусировке электромагнитных волн в нелинейных средах // Изв. вузов. Радиофизика. 1964. Т. 7, № 5. С. 564-565.

3. Chiao R.Y., Garmire E., Townes C.H. Self-trapping of optical beams // Phys. Rev. Lett. 1964. Vol. 13. P. 479482. Doi: 10.1103/PhysRevLett.13.479.

4. Bjorkholm J.E., Ashkin A.A. Cw self-focusing and self-trapping of light in sodium vapor // Phys. Rev. Lett. 1974. Vol. 32, no. 4. P. 129. Doi: 10.1103/PhysRevLett.32.129.

5. Заболоцкая Е.А., Хохлов Р.В. Квазиплоские волны в нелинейной акустике ограниченных пучков // Акуст. журн. 1969. Т. 15, № 1. С. 40-44.

6. Кузнецов И.П. Уравнения нелинейной акустики // Акуст. журн. 1970. Т. 16, № 4. С. 548-553.

7. Физическая энциклопедия. Т. 1. М.: БРЭ, 1988. 704 с.

8. Руденко О.В., Солуян С.И. Теоретические основы нелинейной акустики. М.: Наука, 1975. 287 с.

9. Бахвалов Н.С., Жилейкин Я.М., Заболоцкая Е.А. Нелинейная теория звуковых пучков. М.: Наука, 1982. 176 с.

10. Lin C., Reissner E., Tsiegn H. On two-dimensional non-steady motion of a slender body in a compressible fluid // J. Math. and Phys. 1948. Vol. 27, no. 3. P. 126-140. Doi: 10.1002/sapm1948271220.

11. Виноградова М.Б., Руденко О.В., Сухоруков А.П. Теория волн. М.: Наука, 1979. 384 с.

12. Зарембо Л.К., Красильников В.А. Введение в нелинейную акустику. Звуковые и ультразвуковые волны большой интенсивности. М.: Наука, 1966. 520 с.

13. Бахвалов Н.С., Жилейкин Я.М., Заболоцкая Е.А., Хохлов Р.В. Распространение звуковых пучков конечной амплитуды в диссипативной среде // Акуст. журн.

1978. Т. 24, № 4. С. 473-479.

14. Руденко О.В., Солуян С.И., Хохлов Р.В. Проблемы теории нелинейной акустики // Акуст. журн. 1974. Т. 20, № 3. С. 449-457.

15. Руденко О.В. К 40-летию уравнения Хохлова-Заболоцкой // Акуст. журн. 2010. Т. 56, № 4. С. 452462.

16. Руденко О.В., Солуян С.И., Хохлов Р.В. К нелинейной теории параксиальных звуковых пучков // ДАН СССР. 1975. Т. 225, № 5. С. 1053-1055.

17. Руденко О.В., Солуян С.И., Хохлов Р.В. Ограниченные квазиплоские пучки периодических возмущений в нелинейной среде // Акуст. журн. 1973. Т. 19, № 6. С. 871-876.

18. Руденко О.В. Нелинейные пилообразные волны // УФН. 1995. Т. 165, № 9. С. 1011-1036. Doi: 10.3367/UFNr.0165.199509b.1011.

19. Гурбатов С.Н., Руденко О.В., Саичев А.И. Волны и структуры в нелинейных средах без дисперсии. М.: Физматлит, 2008. 496 с.

20. Руденко О.В., Сапожников О.А. Явления самовоздействия пучков волн, содержащих ударные фронты // УФН. 2004. Т. 174, № 9. С. 973-989. Doi: 10.3367/ UFNr.0174.200409c.0973.

21. Маков Ю.Н. Волноводное распространение звуковых пучков в нелинейной среде // Акуст. журн. 2000. Т. 46, № 5. С. 680-684.

22. Акустика в задачах / Под ред. С.Н. Гурбатова и О.В. Руденко. Изд. 2. М.: Физматлит, 2009. 336 с.

Институт аналитического приборостроения РАН, г. Санкт-Петербург

Контакты: Шарфарец Борис Пинкусович, [email protected]

Материал поступил в редакцию: 12.07.2016

ISSN 0868-5886

NAUCHNOE PRIBOROSTROENIE, 2016, Vol. 26, No. 3, pp. 95-107

ABOUT WAVEGUIDE PROPAGATION OF SOUND BEAMS IN A NONLINEAR MEDIUM. OVERVIEW

B. P. Sharfarets

Institute for Analytical Instrumentation of RAS, Saint-Petersburg, Russia

The review is devoted to the presentation of the conditions under which we obtain the effect of self-action of acoustic beams in a nonlinear medium. For this, we describe the formalism of obtaining the solution of the di-mensionless Khokhlov—Zabolotskaya equations and finding appropriate Khokhlov similarity criteria, in which there is effect of self-action of acoustic beams. Provides various forms of Khokhlov—Zabolotskaya equations. Examines the issue associated with accurately set parameters in the Khokhlov—Zabolotskaya equation.

Keywords: nonlinear acoustics, self-action of acoustic beams, Khokhlov—Zabolotskaya equation, Khokhlov similarity criterion

REFERENСES

1. Askaryan G.A. [Impact of a gradient of the field of an intensive electromagnetic beam on electrons and atoms]. ZHETF [Journal of Experimental and Theoretical Physics], 1962, vol. 42, no. 6, pp. 1567. (In Russ.).

2. Talanov V.I. [About self-focusing of electromagnetic waves in nonlinear environments]. Izestiya vuzov. Radi-ofizika [News of higher education institutions. Radiophys-ics], 1964, vol. 7, no. 5, pp. 564-565. (In Russ.).

3. Chiao R.Y., Garmire E., Townes C.H. Self-trapping of optical beams. Phys. Rev. Lett., 1964, vol. 13, pp. 479-482. Doi: 10.1103/PhysRevLett.13.479.

4. Bjorkholm J.E., Ashkin A.A. Cw self-focusing and self-trapping of light in sodium vapor. Phys. Rev. Lett., 1974, vol. 32, no. 4, pp. 129. Doi: 10.1103/PhysRevLett.32.129.

5. Zabolockaya E.A., Hohlov R.V. [Quasiflat waves in nonlinear acoustics of limited bunches]. Akusticheskij zhurnal [Acoustic journal], 1969, vol. 15, no. 1, pp. 40-44. (In Russ.).

6. Kuznecov I.P. [Equations of nonlinear acoustics]. Akusticheskij zhurnal [Acoustic journal], 1970, vol. 16, no. 4, pp. 548-553. (In Russ.).

7. Fizicheskaya enciklopediya [Physical encyclopedia]. Vol. 1. Moscow, BRE Publ., 1988. 704 p. (In Russ.).

8. Rudenko O.V., Soluyan S.I. Teoreticheskie osnovy neli-nejnoj akustiki [Theoretical bases of nonlinear acoustics]. Moscow, Nauka Publ., 1975. 287 p. (In Russ.).

9. Bahvalov N.S., Zhilejkin Ya.M., Zabolockaya E.A. Neli-nejnaya teoriya zvukovyh puchkov [Nonlinear theory of sound bunches]. Moscow, Nauka Publ., 1982. 176 p. (In Russ.).

10. Lin C., Reissner E., Tsiegn H. On two-dimensional non-steady motion of a slender body in a compressible fluid. J. Math. and Phys., 1948, vol. 27, no. 3, pp. 126-140. Doi: 10.1002/sapm1948271220.

11. Vinogradova M.B., Rudenko O.V., Suhorukov A.P. Teoriya voln [Wave theory]. Moscow, Nauka Publ., 1979. 384 p. (In Russ.).

12. Zarembo L.K., Krasilnikov V.A. Vvedenie v nelinejnuyu akustiku. Zvukovye i ultrazvukovye volny bol'shoj inten-sivnosti [Introduction to nonlinear acoustics. Sound and ultrasonic waves of big intensity]. Moscow, Nauka Publ., 1966. 520 p. (In Russ.).

13. Bahvalov N.S., Zhilejkin YA.M., Zabolockaya E.A., Hohlov R.V. [Distribution of sound bundles of finite amplitude in the dissipative environment]. Akusticheskij zhurnal [Acoustic journal], 1978, vol. 24, no. 4, pp. 473-479. (In Russ.).

14. Rudenko O.V., Soluyan S.I., Hohlov R.V. [Problems of the theory of nonlinear acoustics]. Akusticheskij zhurnal [Acoustic journal], 1974, vol. 20, no. 3, pp. 449-457. (In Russ.).

15. Rudenko O.V. [To the 40 anniversary of the equation of Khokhlov—Zabolotskaya]. Akusticheskij zhurnal [Acoustic journal], 2010, vol. 56, no. 4, pp. 452-462. (In Russ.).

16. Rudenko O.V., Soluyan S.I., Hohlov R.V. [To the nonlinear theory of paraxial sound bunches]. DANSSSR [DAN USSSR], 1975, vol. 225, no. 5, pp. 1053-1055. (In Russ.).

17. Rudenko O.V., Soluyan S.I., Hohlov R.V. [Limited qua-siflat bunches of periodic indignations in the nonlinear environment]. Akusticheskij zhurnal [Acoustic journal], 1973, vol. 19, no. 6, pp. 871-876. (In Russ.).

18. Rudenko O.V. [Nonlinear sawtooth waves]. UFN [UFN], 1995, vol. 165, no. 9, pp. 1011-1036. (In Russ.). Doi: 10.3367/UFNr.0165.199509b.1011.

19. Gurbatov S.N., Rudenko O.V., Saichev A.I. Volny i struk-tury v nelinejnyh sredah bez dispersii [Waves and structures in nonlinear environments without dispersion]. Moscow, Fizmatlit Publ., 2008. 496 p. (In Russ.).

20. Rudenko O.V., Sapozhnikov O.A. [The phenomena of self-influence of bunches of the waves containing shock fronts ]. UFN [UFN], 2004, vol. 174, no. 9, pp. 973-989. Doi: 10.3367/UFNr.0174.200409c.0973. (In Russ.).

21. Makov Yu.N. [The waveguide distribution of sound batova i O.V. Rudenko. Second Edition. Moscow, Fizmat-bunches in the nonlinear environment]. Akusticheskij lit Publ., 2009. 336 p. (In Russ.).

zhurnal [Acoustic journal], 2000, vol. 46, no. 5, pp. 680-684. (In Russ.).

22. Akustika v zadachah [Acoustics in tasks]. Ed. S.N. Gur-

Contacts: Sharfarets Boris Pinkusovich, [email protected]

Article received in edition: 12.07.2016