CC BY
8
An efficient methodfor treating high-strength and hard steels by introducing an electric current into the cutting zone is presented. A device for intensifying the cutting process is proposed that makes it possible to distribute the electric current in the contact zone of the tool and workpiece in proportion to the contact electrical stresses, forming repulsive electrody-namic forces distributed over the surface. This makes it possible to reduce the coefficient of friction between rubbing surfaces: tools, workpieces and chips, and also in the plane of shear.
Key words: cutting zone, electric current, elastoplastic deformation, intensification.
Salnikov Sergey Vladimirovich, postgraduate, [email protected], Russia, Tula, Tula State University
УДК 539.3:534.26
О ВЛИЯНИИ НЕОДНОРОДНОГО ПОКРЫТИЯ УПРУГОЙ ПЛАСТИНЫ НА ОТРАЖЕНИЕ И ПРОХОЖДЕНИЕ ЗВУКА
Л. А. Толоконников, Нгуен Тхи Шанг
Рассматриваются задачи об отражении и прохождении звука через упругую однородную пластину с неоднородным упругим покрытием, когда покрытие нанесено на разные стороны пластины. Выявлены особенности отражения и прохождения звука при разных законах неоднородности материала покрытия.
Ключевые слова:звуковые волны, отражение и прохождение, упругая однородная пластина, неоднородное упругое покрытие, законы неоднородности.
Отражение и прохождение звука через плоский однородный изо-тропныйупругий слой изучалось во многих работах, например, в [1,2]. В работах [3, 4] рассматривалось отражение звука анизотропными однородными упругими пластинами. В [5, 6] обсуждалось прохождение звука через однородный изотропныйтермоупругий плоский слой.Исследовалось прохождение звуковых волн через плоские неоднородный изотропный уп-ругийслой [7] и трансверсально-изотропный неоднородныйупругий слой [8, 9]. В [10] рассматривалась задача об отражении и преломленииплоской звуковой волны неоднородным упругим плоским слоем, материал которо-гообладает анизотропией общего вида. В [11] изучалось прохождение звука через неоднородный анизотропный плоский слой, граничащий с вязкими жидкостями.Прохождение плоской звуковой волнычерез непрерывно-неоднородный и дискретно-неоднородный термоупругиеплоские слои, граничащие с невязкими теплопроводными жидкостями,рассматривалось в [12, 13].
Звукоотражение и звукопрохождение упругой пластины можно изменять с помощью покрытия в виде непрерывно-неоднородного упругого слоя. Такое покрытие можно реализовать с помощью системы тонких однородных упругих слоев с различными значениями механических параметров. Моделирование непрерывно-неоднородного по толщине слоя многослойной системой однородных слоев эквивалентно аппроксимации непрерывных функций, характеризующих переменные параметры непрерывно-неоднородного слоя, кусочно-постоянными функциями. Используя непрерывно-неоднородного упругое покрытие, можно получить требуемые акустические характеристики пластины, если подобрать соответствующие законы неоднородности для механических параметров покрытия.
Задача об отражении и преломлении плоской звуковой волны упругим плоским слоем с неоднородным по толщине покрытием решена в [14]. В [15] решены прямая и обратная задачи о прохождении плоской звуковой волны через однородную термоупругую пластину с непрерывно-неоднородным покрытием. Обратная задача об определении линейных законов неоднородности плоского упругого слоя, имеющего наименьшее отражение при заданном угле падения плоской звуковой волны решена в [16]. Работа [17] посвящена определению законов неоднородности транс-версально-изотропного плоского упругого слоя по коэффициенту прохождения плоской звуковой волны. Моделирование неоднородного покрытия упругой пластины с оптимальными звукоотражающими свойствами проведено в [18]. Задача определения толщины и вида зависимостей материальных параметров неоднородного покрытия конечной упругой пластины со сферической полостью, обеспечивающих требуемые характеристики отражения плоской звуковой волны, рассмотрена в [19].
В настоящей работе исследуется влияние непрерывно-неоднородного покрытия однородной упругой пластины на отражение и прохождение плоской звуковой волны при расположении покрытия на разных поверхностях пластины и разных законах неоднородности механических параметров материала покрытия.
1. Рассмотрим однородную изотропную упругую пластину толщиной Н, материал которой характеризуется плотностью ро и упругими постоянными 1 о и т о. Пластина имеет покрытие в виде неоднородного по толщине изотропного упругого слоя толщиной И. Полагаем, что модули упругости 1 и т материала неоднородного слоя описываются дифференцируемыми функциями координаты г, а плотность р - непрерывной функцией координаты г: 1 = 1(г), т = т(2), Р = Р(г). При этом декартова система прямоугольных координат х, у, г выбрана таким образом, что ось х лежит в плоскости, разделяющей однородный слой и неоднородное покрытие, а ось г направлена вниз по нормали к поверхности пластины (рис.1). Пластина с покрытием помещена между двумя полупространствами, заполненными идеальными однородными жидкостями, которые имеют плотности р1, р2 и скорости звука С1, С2 соответственно.
Пусть из полупространства с отрицательными значениями г на пластину с покрытием падает под произвольным углом плоская гармоническая звуковая волна, волновой вектор к^ которой лежит в плоскости х, г Будем рассматривать два случая расположения покрытия на пластине: покрытие расположено со стороны, падения плоской волны и с противоположной стороны.
Определим отраженную и прошедшую через слой с покрытием
волны.
Поскольку волновой вектор к^ падающей волны лежит в плоскости х, г и, следовательно, возбуждающее поле не зависит от координаты у, а неоднородность материала покрытия проявляется лишь по оси г, то возбужденные волновые поля в жидкостях, в упругом однородном слое и в неоднородном покрытии не будут зависеть от координаты у .
Рис. 1. Геометрия задачи
2. Сначала рассмотрим случай, когда неоднородное покрытие расположено на нижней поверхности пластины, то есть со стороны, противоположной падению плоской волны (рис. 1б).
Потенциал скорости падающей волны записывается в виде
y 0 = Ao exp(z[£ix + kiz (z + H) - wt ]}, (1)
где Ao - амплитуда волны; kix =ki sin0o, kiz = ki cos 60 - проекции волнового вектора ki на оси координат x и z соответственно; ki = w/q - волновое число в верхнем полупространстве z < -H; 0o - угол падения плоской волны, составляемый нормалью к фронту волны с осью z; w - круговая
частота; t - время. В дальнейшем временной множитель e~iwt будем опускать.
Потенциалы скорости отраженной от пластины у и прошедшей через нее у 2 волн являются решениями уравнений Гельмгольца [1]
Ду у + к 2 у у =0, у = 1,2, где к2 = м/с2 - волновое число в нижнем полупространстве г > И.
Эти потенциалы скорости будем искать в виде
У1= 4ехр{/[к1х - к1г (г + Н)]}, у2= ^ехр^х - к2г (г - И)]}, (2) где к2х, к2г - проекции волнового вектора прошедшей волны к 2 на оси
2 /2 2
координат х и z; z = V k2 - ^2х . При этом согласно закону Снеллиуса И k2х = klx.
Распространение малых возмущений в однородном изотропном упругом слое описывается двумя волновыми уравнениями для продольных и поперечных волн, которые в случае установившихся колебаний переходят в уравнения Гельмгольца [l]
DY + kfY = 0, ДФ + kfo = 0,
где Y и Ф - скалярный и векторный потенциалы смещения; ki = w/с/ и
kt = w/cx - волновые числа продольных и поперечных упругих волн;
с/ = ЛI(1 о о)/Ро и сх = д/mо/Ро - скорости продольных и поперечных волн соответственно. При этом вектор смещения частиц упругого однородного слоя u о = grad Y + rot Ф (div Ф = о).
Так как рассматриваемая задача является двумерной, то Ф = Ф(х, z)ey, где ey - единичный вектор оси y. Тогда векторное уравнение относительно Ф сведется к одному скалярному уравнению Гельмгольца относительно функции Ф( х, z).
Функции Y (х, z) и Ф( х, z) будем искать в виде
Y = Bi exp[i(k/хх + k/zz)] + B2 exp[i(k/xx - khz)], (3) Ф = Ci ехрр^х + k^z)] + C2 exp^k^x - k^z)], (4)
где k/z =tJkj - k^ , k\z = -Jkt - ktx . Согласно закону Снеллиуса klx = kxx = klx.
Компоненты вектора uо записываются через функции Y и Ф следующим образом:
о
5Y ЭФ
ux
о
Эх Эz Э¥ ЭФ
ux = — +
Эz Эх
Связь между компонентами тензора напряжений о-0 и составляю-
щими вектора смещения u° в однородной пластине имеет вид [2о]
ды и
°0х _ 1 о ^У и0 + 2|10 -Мх, о^ = 1 л и0 + 2ц 0
ды
дх
дг
о
г С0 _м
, О хг _м 0
ды0
+
дм.
дг дх
Распространение упругих волн в неоднородном покрытии описывается общими уравнениями движения сплошной среды [20], которые при отсутствии массовых сил для установившегося режима движения имеют вид
до
хх
дх
до хг 2 / ч
+ ^ = -®2Р( г)ых. дг
до
хг
дх
+ = -®2Р(г)ыг. (5)
дг
Соотношения между компонентами тензора напряжений о ^ и вектора смещения и в неоднородном покрытии сохраняют тот же вид, что и для однородной пластины. Только упругие постоянные 10 и М0 следует заменить модулями упругости 1 _ 1( г) и | _ М( г).
Согласно закону Снеллиуса зависимость составляющих вектора смещения и от координаты х будет иметь вид ехр(/£1хх). Поэтому составляющие вектора и будем искать в виде
ы
х
_ их(г)ехр(1кХхх), ыг _ из(г)ехр(1кХхх).
(6)
Подставляя выражения (6) в уравнения (5) и учитывая соотношения между компонентами тензора напряжений и вектора смещения и , получим систему линейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка относительно неизвестных функций и^( г) и из( г)
ли" + ви' + си = 0
т
где и = (и\,из) ; Л, В,С - матрицы второго порядка:
0 ^ _ Г |М 1кХх (1 + м)л
¡к1х (1 + м) 1' + 2|м'
(7)
Л =
|
0
1 + 2|м
В
С =
^ 2 2 - к1х (1 + М) + « р
¡к1х М' 22 ■к^м + ю р
1к1х1
Штрихи означают дифференцирование по г.
Коэффициенты А^, Bj, Cj (] =1,2) в выражениях (2), (3), (4) и
функции и1( г), и 2( г) из (6) подлежат определению из граничных условий.
Граничные условия на поверхностях, соприкасающихся с жидкостями, заключаются в равенстве нормальных скоростей частиц упругой среды и жидкости, равенстве на них нормального напряжения и акустического давления, отсутствии касательных напряжений
г = - Н:
г = к:
- = V, .
г 1г -
= -Д, О =0,
■¡Шг = ^2 г, О гг 366
-P2, О хг =°.
(8) (9)
На внутренней поверхности покрытия при переходе через границу раздела упругих сред должны быть непрерывны составляющие вектора смещения частиц, а также нормальные и тангенциальные напряжения
z = о: их = ио, uz = ио, о zz = о^, о xz = o°xz, (Ю)
Э(уо + yi) , , Эу 2
где viz - о , Pl= ipiw(¥о +¥l) и V2z = Р2 = Ф2®У2 -
Эz Эz
нормальные компоненты вектора скорости частиц жидкостей и акустические давления в полупространствах z < -H и z > h соответственно.
Подставим выражения (2), (3) и (4) в граничные условия. В результате получим выражения для коэффициентов A-, B-, C- (j = i,2) и четыре условия для нахождения частного решения системы дифференциальных уравнений (7):
Ai = Ао + (/ю/ kiz )[klz (Blell - B2 e2l )+ klx (Cielx + C 2 e2 x )], A2 =-«k2z )U 3 (h),
Bj = р1-и1(о) + р2-и3 (о) + P3j, Cj = ji (о)+ g2 jU (о) + 73-, j = l,2,
(AU' + EU)z=о = D, (AU' + FU)z=h = о, (ii)
где
-iklzH iklzH -ikX7H ikX7H
ell = e lz , e2i = e lz , eix = e xz , e2x = e xz ;
выражения для коэффициентов bmj, gmj (m = l,2,3; j = l,2) и элементов
матриц E , FиDявляются весьма громоздкими и их приводить не будем.
Отметим, что коэффициент отражения Al и коэффициент прозрачности А2 могут быть вычислены только после нахождения значений функций) Ul(z) и U3(z) на поверхностях покрытия z = о и z = h.
Для определения этих значений необходимо найти поле смещения в упругом неоднородном слое, то есть решить краевую задачу (7), (ll).
Теперь рассмотрим случай, когда неоднородное покрытие расположено на поверхности пластины со стороны падения плоской волны (сверху) (рис. iа). Решение задачи для этого случая приведено в работе [l4]. Схема решения аналогична изложенному выше.
3. На основе решений рассмотренных задач были проведены расчеты модулей коэффициентов отражения | Ai | и прозрачности | A2 | для упругой пластины с непрерывно-неоднородным покрытием. Исследовались угловые и частотные зависимости.
Построенные краевые задачи для двух случаев расположения покрытия решены с помощью математического пакета Maple.
Полагалось, что амплитуда падающей волны Aо равна единице, а отношение толщины покрытия h к толщине однородного слоя H, равно о,2. Рассматривалась алюминиевая пластина толщиной H = l м
367
(р0 = 2,7 • 103 кг/м3, 10 = 5,3 • 1010 Н/м2, то = 2,6 ■ 1010 Н/м2) с покрыти-
3 3
ем на основе поливинилбутираля, находящаяся в воде (р1 =р2 = 10 кг/м , С1 = с2 = 1485 м/с). Расчеты проводились как для однородного покрытия с
плотностью р = 1,07 • 103 кг/м3 и модулями упругости 1 = 3,9 • 109 Н/м 2, ~ 8 2
~ = 9,8 • 10 Н/м , так и для неоднородных покрытий, механические характеристики которых менялись по толщине слоя по закону
р = р /(2), 1=1, т=~.
Были проанализированы отражение и прохождение звука для линейных и квадратичных законов неоднородности покрытия, расположенного с разных сторон однородной пластины.
Рассматривались следующие линейные и квадратичные законы неоднородности:
для покрытия, расположенного снизу,
Ж *) = а1
Г 2 Л
--+1,5
V И у
/5 (2) = «5
2 - И
\2
+ 0,5
/2( 2) = а2
, /б( *) = «6
2
- + 0,5 V И
(«1 = «2 = 1);
22
V И у
+ 0,5
(«1 = «2 = 6/5);
для покрытия, расположенного сверху,
( 2 Л г
М2) = «3 -т + 0,5 , /4(2) = «4 И
V
У
V
* +1,5 И
(«3 = аА =1);
у
/7(2)= «7
22
V И у
+ 0,5
/8( 2) = «8
2 + И
2
+ 0,5 ( «1 = «2 = 6/5).
Множительaj (у = 1,2,...,8) выбран так, чтобы среднее значение функции /у (2) по толщине слоя было равно единице.
Зависимости /1( 2) и /2( 2) (/>( 2) и /з( 2)) выбраны такими, что их графики являются зеркальным отражением друг друга относительно прямой 2 = И/2, а графики зависимостей /3(2) и /2) (/7(2) и /8(2)) -зеркальным отражением относительно прямой 2 = -И / 2. При этом на внутренней поверхности покрытия 2 = 0 функций /1 и /4 ( /5 и /8) достигают максимумов, равных 1,5 «у, а на внешней поверхности - минимумов,
равных 0,5 «у. Функции /2 и /3 (/б и /7) достигают тех же максимальных и минимальных значений, но уже на внешней и внутренней поверхностях покрытия.
Отметим, что покрытия, расположенные по обе стороны пластины, обладают одинаковыми свойствами для соответствующих законов неоднородности. Если рассматривать изменение свойств покрытий по толщине в направлении оси г, то видим, что плотность покрытий будет одинаково возрастать при законах неоднородности /2 и /4 (/5 и /§) и одинаково убывать при законах / и /3 (/5 и /7).
На рис. 2 и рис. 3 приведены зависимости коэффициента отражения от угла падения плоской волны при волновом размере пластины к\И = 10 для линейных законов неоднородности.
0.80.60.40.20 10 20 30 40
ео
Рис. 2. Зависимости коэффициента отражения от угла падения плоской волны для линейных законов неоднородности /1 и /2
\\ \\ Л—\\ // и \ I X/ \ 1 и
О 10 20 30 40
Рис. 3. Зависимости коэффициента отражения от угла падения плоской волны для линейных законов неоднородности /3 и /4
На рис. 4 и рис. 5 представлены частотные зависимости коэффициента прозрачности при наклонном падении плоской волны на пластину ( 00 = р /6) для квадратичных законов неоднородности.
Пунктирные линии соответствуют однородному покрытию, сплошные и штриховые - неоднородным покрытиям разных видов, указанных в подрисуночных подписях.
Сравнение угловых и частотных зависимостей показывает заметное влияние неоднородности материала покрытия на прохождение звука через пластину с покрытием. Это проявляется в смещении максимумов и минимумов коэффициентов отражения и прозрачности и изменении их уровней.
369
Рис. 4. Частотные зависимости коэффициента прозрачности для квадратичных законов неоднородности /5 и /5
О 10 20 30
Рис. 5. Частотные зависимости коэффициента прозрачности для квадратичных законов неоднородности /7 и /8
В работе [16] было обнаружено, что плоский неоднородный по толщине слой неразличим по отраженному и преломленному полям для линейных законов неоднородности, симметричных относительно оси ординаты г. Расчеты, проведенные на основе полученных в настоящей работе решений рассмотренных задач при Н ® 0, подтвердили этот эффект для симметричных линейных и нелинейных законов неоднородности.
При отражении и прохождении звука через однородную упругую пластину с неоднородным покрытием указанный эффект не наблюдается.
Однако анализ результатов численных исследований выявил интересную особенность. Угловые и частотные зависимости оказываются идентичными для покрытия снизу при неоднородности вида/1(г) (/2(г)) и для покрытия сверху при неоднородности вида /г) (/з(г)). Тот же эффект наблюдается и для квадратичных законов неоднородности /5(г) (/б( г)) - покрытие снизу и /$( г) (/7( г)) - покрытие сверху.
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 16-41-710083) и Правительства Тульской области.
Список литературы
1. Шендеров Е.Л. Волновые задачи гидроакустики. Л.: Судостроение, 1972. 352 с.
2. Бреховских Л.М. Волны в слоистых средах. М.: Наука, 1973.
344 с.
3. Лонкевич М.П. Прохождение звука через слой трансверсально-изотропного материала конечной толщины // Акустический журн. 1971. Т. 17. Вып. 1. С. 85-92.
4. Шендеров Е.Л. Прохождение звука через трансверсально-изотропную пластину // Акустический журн. 1984. Т. 30. Вып. 1. С. 122129.
5. Ларин Н.В. Прохождение звука через однородный термоупругий плоский слой // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. 2015. Вып. 3. С. 145 - 153.
6. Ларин Н.В. Анализ резонансного рассеяния звука термоупругой пластиной // Известия Тульского государственного университета. Технические науки. 2017. Вып. 4. С. 109-123.
7. Приходько В.Ю., Тютекин В.В. Расчет коэффициента отражения звуковых волн от твердых слоисто-неоднородных сред // Акустический журн. 1986. Т. 32. Вып. 2. С. 212-218.
8. Скобельцын С.А., Толоконников Л.А. Прохождение звуковых волн через трансверсально-изотропный неоднородный плоский слой // Акустический журн. 1990. Т. 36. Вып. 4. С. 740-744.
9. Ринкевич А.Б., Смирнов А.Н. Распространение упругих волн в неоднородной трансверсально-изотропной пластине // Дефектоскопия. 2000. № 8. С. 78-83.
10. Толоконников Л.А. Отражение и преломление плоской звуковой волны анизотропным неоднородным слоем // Прикладная механика и техническая физика. 1999. Т. 40. № 5. С. 179-184.
11. Толоконников Л.А. Прохождение звука через неоднородный анизотропный слой, граничащий с вязкими жидкостями // Прикладная математика и механика. 1998. Т. 62. Вып. 6. С. 1029-1035.
12. Ларин Н.В., Толоконников Л.А. Прохождение плоской звуковой волны через неоднородный термоупругий слой // Прикладная математика и механика. 2006.Т. 70. Вып. 4. С. 650-659.
13. Толоконников Л. А., Ларин Н.В. Прохождение звука через термоупругий дискретно-неоднородный плоский слой, граничащий с теплопроводными жидкостями // Прикладная механика и техническая физика. 2017. Т. 58. № 1. С. 108-116.
14. Толоконников Л.А., Юдачев В.В. Отражение и преломление плоской звуковой волны упругим плоским слоем с неоднородным покрытием // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. 2015. Вып. 3. С. 219-226.
15. Ларин Н.В. Определение законов неоднородности покрытия термоупругой пластины, обеспечивающих наименьшее звукоотражение // Известия Тульского государственного университета. Технические науки. 2016. Вып. 11. Ч. 2. С. 216-234.
16. Ларин Н.В., Скобельцын С.А., Толоконников Л.А. Определение законов неоднородности плоского упругого слоя с заданными звукоотра-жающими свойствами // Акустический журн. 2015. Т. 61. № 5. С. 552-558.
17. Скобельцын С. А. Определение параметров неоднородности анизотропного упругого слоя по прохождению звука // Известия Тульского государственного университета. Технические науки. 2016. Вып. 7. Ч. 2. C. 246-257.
18. Ларин Н.В., Скобельцын С. А., Толоконников Л. А. Моделирование неоднородного покрытия упругой пластины с оптимальными звукоот-ражающими свойствами // Прикладная математика и механика. 2016. Т. 80. Вып. 4. С. 480-488.
19. Скобельцын С. А. Оценка свойств покрытия конечной упругой пластины с полостью, обеспечивающих заданные параметры отражения звука // Известия Тульского государственного университета. Технические науки. 2017. Вып. 7. C. 83-92.
20. Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир, 1975. 872 с.
Толоконников Лев Алексеевич, д-р физ.-мат. наук, профессор, tolokonnikovla@,mail.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет,
Нгуен Тхи Шанг, магистрант, nguyensangnb@,gmail.com, Россия, Тула, Тульский государственный университет
ABOUT THE INFLUENCE OF AN NON-UNIFORM COVERING OF THE ELASTIC PLATE ON SOUND REFLECTION AND TRANSMISSION
L.A. Tolokonnikov, Nguyen Thi Sang
The problems about sound reflection and transmission through an elastic homogeneous plate with an non-uniform elastic covering when the covering is put on the different parties of a plate is considered. The features of sound reflection and transmission for different inhomogeneity laws of a covering material are revealed.
Key words: sound waves, reflection and transmission, elastic homogeneous plate, non-uniform elastic coating, inhomogeneity laws.
Tolokonnikov Lev Alexeevich, doctor of physical and mathematical sciences, professor, tolokonnikovla@,mail.ru, Russia, Tula, Tula State University,
Nguyen Thi Sang, undergraduate, nguyensangnb@,gmail.com, Russia, Tula, Tula State University
