О вероятностных характеристиках модифицированных кодов Бергера в схемах функционального контроля Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

Вопросы технической диагностики УДК 681.518.5:004.052.32

131

О вероятностных характеристиках модифицированных кодов Бергера в схемах функционального контроля

В. В. Сапожников, Вл. В. Сапожников, Д. В. Ефанов, А. А. Блюдов

Петербургский государственный университет путей сообщения Кафедра «Автоматика и телемеханика на железных дорогах»

[email protected]

Аннотация. Анализируются вероятностные характеристики модифицированных кодов с суммированием, имеющих приложение в практике синтеза схем функционального контроля. Рассмотрены свойства по обнаружению искажений на случай потенциального возникновения сбоев в блоке основной логики.

Ключевые слова: схема функционального контроля; код Бергера; модифицированный код Бергера; информационные разряды; необнаруживаемая ошибка; вероятность.

1 Введение

При организации схем функционального контроля [1]—[3] часто используются свойства помехоустойчивых кодов [4], [5]. Наиболее удобными для применения являются разделимые коды: в них выделяется информационный вектор длины m и контрольный вектор длины к. Контрольный вектор содержит контрольные разряды, получаемые по информационным разрядам по правилам построения заранее выбранного кода.

В схеме функционального контроля (рис. 1) информационному вектору соответствуют выходы fi(x), fi(x), ..., fm(x) контролируемого логического устройства fx), а контрольному вектору - выходы gi(x), g2(x), ..., gk(x) дополнительного блока g(x). Таким образом, код формируется на параллельных выходах обоих блоков fix) и g(x).

В процессе функционирования во внутренней структуре блока основной логики fix) не исключены сбои, имеющие

различную природу возникновения [6], которые могут повлиять на результаты вычислений функцийf1(x),f2(x), ..., fm(x). С целью фиксации нарушений в работе схемы выходы блоков fix) и g(x) объединяются на входах самопроверяемого тестера (СПТ), который проверяет факт принадлежности формируемого вектора заранее выбранному коду [7].

Настоящая работа посвящена изложению результатов исследований возможностей по обнаружению искажений на выходах контролируемого блока f(x) за счет использования модифицированных кодов с суммированием единичных разрядов [8]—[10]. Рассматривается случай потенциального возникновения искажений только в информационных разрядах кодовых векторов при безошибочности контрольных векторов. Это актуально, поскольку блоки fix) и g(x) в системе функционального контроля реализуются раздельно (см. рис. 1) и возникновение искажений в обоих блоках одновременно исключено.

132

Вопросы технической диагностики

2 Модифицированные коды Бергера

Модифицированный код с суммированием (RS(n, т)-код) в сравнении с классическим кодом с суммированием (кодом Бергера [11], S(n, т)-кодом) может обнаруживать большое количество ошибок в информационных разрядах. Для получения контрольных векторов кодов используются следующие правила.

1. Подсчитывается вес информационного вектора г.

2. Выбирается модуль М = 2b; b = ] log 2 (m + 0[-1.

3. Вес г берется по выбранному модулю W = (r)modM.

4. Подсчитывается специальный коэффициент а как сумма по модулю два заранее выбранных информационных разрядов.

5. Подсчитывается результирующий вес информационного слова V = W + аМ.

Для примера в табл. 1 даны несколько векторов, принадлежащих RS(8, 5)-коду, для которого коэффициент a = x5 Ф x4 Ф x3.

ТАБЛИЦА 1 Некоторые векторы RS(8, 5)-кода

Информационные разряды г W а V Контрольные разряды

Х5 х4 Хз Х2 Х1 Уз У2 У1

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 1 0 0 0 1 1 1 5 1 0 1

0 1 0 1 0 2 2 1 6 1 1 0

1 0 1 1 1 4 0 0 0 0 0 0

1 1 0 0 0 2 2 0 2 0 1 0

1 1 1 1 1 5 1 1 5 1 0 1

В зависимости от способа подсчета специального коэффициента а получаются RS(n, т)-коды с различными характеристиками по обнаружению искажений в информационных векторах. Минимумом общего числа необнаруживаемых ошибок обладают модифицированные коды с суммированием, в которых коэффициент

а вычисляется как линейная сумма

т

У

любых информационных разрядов (

т

У

целое снизу от тт) [10].

Рассмотрим вероятностные характеристики RS(n, т)-кодов, имеющих минимальное общее число необнаруживаемых ошибок.

В модифицированных кодах с суммированием не будут обнаруживаться только те искажения информационных векторов, которые позволят сохранить результирующий вес V информационного слова (рис. 2).

< 00000> + <000> <01 О О0> + <101>

<1011 1 > + <000> <11111> + <101>

Рис. 2 Примеры необнаруживаемых ошибок информационных векторов

3 Вероятностные свойства

модифицированных кодов Бергера

Будем полагать, что появление информационных векторов кодов равновероятно, а события искажения каждого информационного разряда независимы.

Вероятность возникновения необнаруживаемых искажений в информационных векторах разделимых кодов рассчитывается по формуле, предложенной в [12]:

Qrn (1 -P)“, О)

d^D d^D

где p - вероятность отсутствия искажения одного информационного разряда;

Pd - доля необнаруживаемых ошибок кратности d от общего числа ошибок той же кратности;

D - множество кратностей необнаруживаемых искажений.

С помощью специально разработанного программного обеспечения были рассчитаны величины Pd для RS(n, т)-кодов

Вопросы технической диагностики

133

для диапазона длин информационных векторов m = 3-20 (табл. 2).

Анализируя табл. 2, можно отметить такую закономерность: для большинства RS(n, m) и RS(n', m+1) кодов (m - нечетное), имеющих одинаковые модули (т. е. одинаковое количество контрольных разрядов) величины одинаковы. Для кода

Бергера, например, величины pd = const независимо от m [13].

В табл. 3 представлены результаты расчетов с использованием формулы (1) при различных значениях вероятности возникновения необнаруживаемого искажения в информационном разряде р.

Графики на рис. 3 и 4 при р = 0,8 и р = 0,9 наглядно дополняют результаты расчетов. На них же показаны зависимости величин вероятностей возникновения

необнаруживаемых искажений кратности d - величины Qd(m).

При р = 0,8 явно виден максимум величины Q(m): максимального значения 0,096766 указанная величина достигает для кода RS(19,15), затем начинает уменьшаться. Видно также, что с увеличением m меняется доминантное положение кратных ошибок. Например, при m = 3-17 наибольший вклад в величину Q(m) вносят необнаруживаемые ошибки кратности d = 2, затем, начиная с m = 18, больших значений вероятности достигают ошибки кратности d = 4. Функции Qd(m) имеют по одному максимуму, и с увеличением m начинают доминировать вероятности Qd(m) с большими кратностями d. Однако с увеличением m все величины Qd(m) приближаются к 0, что в общем случае доказано в работе [12].

ТАБЛИЦА 2 Доли необнаруживаемых ошибок RS(n, m)-кодов

Код Pd

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

RS(5,3) 0,33333

RS(7,4) 0,16667 0,5

RS(8,5) 0,2 0,3

RS(9,6) 0,2 0,3 0

RS(10,7) 0,21429 0,271429 0,214286

RS(12,8) 0,21429 0,203571 0,133929 0,28125

RS(13,9) 0,22222 0,196429 0,14881 0,15625

RS(14,10) 0,22222 0,196429 0,14881 0,15625 0

RS(15,11) 0,22727 0,193182 0,152868 0,144886 0,120739

RS(16,12) 0,22727 0,193182 0,152868 0,144886 0,120739 0,257813

RS(17,13) 0,23077 0,191434 0,154429 0,142264 0,130026 0,138822

RS(18,14) 0,23077 0,191434 0,154429 0,142264 0,130026 0,138822 0

RS(19,15) 0,23333 0,190385 0,155157 0,14139 0,131884 0,130889 0,11849

RS(21,16) 0,23333 0,190385 0,155157 0,137462 0,122186 0,114528 0,097754 0,1964111

RS(22,17) 0,23529 0,189706 0,155543 0,137112 0,122693 0,113303 0,103504 0,103982

RS(23,18) 0,23529 0,189706 0,155543 0,137112 0,122693 0,113303 0,103504 0,103982 0

RS(24,19) 0,23684 0,189242 0,155766 0,136947 0,122879 0,112981 0,104412 0,099118 0,08792

RS(25,20) 0,23684 0,189242 0,155766 0,136947 0,122879 0,112981 0,104412 0,099118 0,08792 0,176559

134

Вопросы технической диагностики

ТАБЛИЦА 3 Вероятность возникновения необнаруживаемой ошибки

при различных p

Код Q(m)

p = 0,7 P = 0,8 P = 0,9 p = 0,99

RS(5,3) 0,063 0,032 0,009 0,000099

RS(7,4) 0,04815 0,0264 0,00815 0,000098015

RS(8,5) 0,070245 0,04288 0,014715 0,000194075

RS(9,6) 0,082688 0,05376 0,020048 0,000288223

RS( 10,7) 0,095228 0,066842 0,027266 0,000428038

RS( 12,8) 0,092602 0,072408 0,032824 0,000565025

RS( 13,9) 0,096179 0,080497 0,039734 0,000745888

RS( 14,10) 0,096889 0,085241 0,045259 0,000923133

RS(15,11) 0,09712 0,090012 0,051519 0,001142491

RS( 16,12) 0,096054 0,092539 0,056494 0,001357456

RS(17,13) 0,094777 0,094954 0,061917 0,001612859

RS(18,14) 0,09298 0,095917 0,066194 0,001863142

RS(19,15) 0,091151 0,096766 0,070736 0,002152254

RS(21,16) 0,088923 0,096681 0,074282 0,002435561

RS(22,17) 0,086904 0,096531 0,077979 0,00275615

RS(23,18) 0,084876 0,095825 0,080825 0,003070294

RS(24,19) 0,082929 0,095078 0,083752 0,003420232

RS(25,20) 0,081039 0,094007 0,085963 0,003763124

О 3

9 10 И 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Рис. 3 Зависимость Qd(m) от m приp = 0,8

Вопросы технической диагностики

135

Qdm\

7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Рис. 4 Зависимость Qd(m) от m приp = 0,9

Свойство 1. Вероятность появления необнаруживаемой ошибки четной кратности d при увеличении числа информационных разрядов кода с суммированием стремится к нулю:

lim Qm,d = °.

Свойство 2. Вероятность появления необнаруживаемой ошибки при увеличении числа информационных разрядов кода с суммированием стремится к нулю:

lim Qm = 0.

Из сравнения графиков на рис. 3 и 4 следует еще одно свойство модифицированных кодов с суммированием.

Свойство 3. При увеличении значения вероятности отсутствия искажения одного информационного разряда p максимум функции Q(m) смещается в сторону увеличения числа информационных разрядов m и уменьшается по величине.

На рис. 5 сравниваются вероятностные характеристики классического и модифицированного кодов Бергера. RS(n, m)-код в сравнении с S(n, mi-кодом почти в два раза эффективнее обнаруживает ошибки в информационных разрядах.

Если отдельно рассмотреть все величины Qm,d (см. формулу 1), то событие появления d искажений в m испытаниях будет являться случайной величиной, а величину Qm,d при заданном m, таким образом, можно рассматривать как распределение необнаруживаемых ошибок в коде RS(n, m). Из графиков на рис. 3 и 4 видно, что такие распределения не одинаковы при различных m.

Рассчитаем характеристики распределения необнаруживаемых ошибок в коде RS(n, m): математическое ожидание E[d], дисперсию Var[d] и среднеквадратичное отклонение a[d].

В общем случае значения E[X] и Var[X] случайной величины X можно найти по формулам [14]:

E [X ] = £ X,p,, (2)

i=1

где

S Рг = 1

i=1

Var[X] = E (X-E[X])2

=E

X2

W])2=Hx - EX])2 p„

(3)

i=1

<4 x W Var [X ].

(4)

136

Вопросы технической диагностики

Рис. 5 Зависимости величин Q(m) от m для классических и модифицированных кодов Бергера при p = 0,9

Однако в нашем случае

П

Z Pi * ^

i=1

поскольку рассматриваются только необнаруживаемые ошибки.

С использованием условной вероятности [14] (условная вероятность события A при заданном H) можно перейти к рассмотрению распределения вероятностей возникновения необнаруживаемых ошибок информационных разрядов:

P {A | H }= PH}. (5)

1 j P {H}

а формула (3) записывается следующим образом:

m,m—1

Var[k]=£(k, — E[k])2(Qm,k)i. (7)

i=2

К примеру, для .R£(12,8) кода при p = 0,9 расчет величин E[d], Var[d] и o[d] будет таким.

Перечислим вероятности возникновения необнаруживаемых ошибок кратностей d = 2,4,6,8: Q82 = 0,031886; Q84 = = 0,0009349; Q8,6 = 0,00000304; Q8,8 =

= 0,00000000281. Q8 = 0,032824. Используя (5), получаем:

Здесь P{A | H} - вероятность появления необнаруживаемой ошибки при возникновении искажения на выходе блока основной логики (обозначим вероятность данного события Q'md ). Событию АН соответствует величина Qm,d, событию Н - Qm. Тогда формула (2) принимает вид:

m ,m—1

E [k]=Z k (Qm,k), (6)

i=2

m,m— 1

где Z(Qm,k )i=1,

i=2

Q8,2

Q8,4

Q8,6

Q8,8

Q82

Qs

Q84

Qs

Q86

Qs

Q*

Qs

0,031886

0,032824

0,971424258;

0,0009349

0,032824

= 0,028483119;

0,00000304

0,032824

= 0,00000925377;

0,00000000281

0,032824

0,00000000857.

Используя найденные значения Q8 d ,

получим математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратичное отклонение распределения необнаруживаемых ошибок в коде .R£(12,8):

137

Вопросы технической диагностики

E [d ] = Q8,2 • 2 + Q8,4 • 4 + Q8,6 • 6 + • 8 =

= 0,971424258 • 2 + 0,028483119•4 + +0,00000925377•6+ +0,00000000857•8 = 2,05683658.

Var [d] = Q',2 •(2 - E [d])2 + Q8,4 •(4 - E [d])2 +

+ Q8,6 •(-E[d])2 + Q8,8 •(-E[d])8 =

= 0,971424258 •( - 2,05683658)2 +

+ 0,028483119 •( - 2,05683658)2 + +0,00000925377 •( 6 - 2,05683658)2 +

+ 0,00000000857 •( - 2,05683658)2 =

= 0,00313809 + 0,10754896 +

+ 0,00014388 + 0,0000003027 = 0,11083123.

g[ X ] = V0,11083123 = 0,33291324.

В табл. 4 приведены результаты расчетов характеристик распределений для некоторых RS(n, да)-кодов.

ТАБЛИЦА 4 Характеристики распределений необнаруживаемых искажений при p = 0,9

Код E[d] Var[d] a[d]

RS(5,3) 2 0 0

RS(7,4) 2,01227 0,024389 0,156171

RS(8,5) 2,018349 0,036361 0,190685

RS(9,6) 2,036364 0,071405 0,267217

RS(10,7) 2,050998 0,099791 0,315897

RS(12,8) 2,057337 0,112129 0,334856

RS(13,9) 2,074481 0,145257 0,381126

RS(14,10) 2,098692 0,191298 0,437376

RS(15,11) 2,121629 0,235021 0,48479

RS(16,12) 2,151093 0,290187 0,53869

RS(17,13) 2,179583 0,343713 0,586271

RS(18,14) 2,214149 0,407394 0,638275

RS(19,15) 2,247964 0,469961 0,685537

RS(21,16) 2,287437 0,541406 0,735803

RS(22,17) 2,326342 0,612205 0,782435

RS(23,18) 2,370544 0,690855 0,831177

RS(24,19) 2,414315 0,769149 0,877012

RS(25,20) 2,463027 0,854248 0,924255

Из табл. 4 следует, что при p = 0,9 для первых RS(n, т)-кодов наиболее вероятными ошибками являются ошибки кратности d = 2. При меньших значениях p характеристики E[d], Var[d] и o[d] увеличиваются, т. е. диапазон наиболее вероятных искажений расширяется.

4 Заключение

В данной статье раскрываются особенности модифицированных кодов с суммированием по обнаружению ошибок в информационных векторах. Установленные вероятностные свойства модифицированных кодов с суммированием по обнаружению ошибок в схемах функционального контроля позволяют на практике упростить задачу сравнения характеристик с характеристиками других кодов, а также дают возможность оценивать надежность и контролепригодность логических схем.

Библиографический список

1. Mohanram K. Lowering Power Consumption in Concurrent Checkers via Input Ordering / K. Mohanram, N. A. Touba // IEEE Transactions on Very Large Scale Integration (VLSI) Systems. -Vol. 12. - No. 11. - Nov., 2004. - Pp. 12341243.

2. Zeng C. Finite state machine synthesis with concurrent error detection / C. Zeng, N. Saxena, E. J. McCluskey // Int. Test Conf., Atlantic City, NJ. - 1999. - Pp. 672-679.

3. Jha N. K. Design and Synthesis of Self Checking VLSI Circuits / N. K. Jha, S. Wang // IEEE Trans. Computer-Aided Design. - Vol. 12, Jun. 1993. - No. 6. - Pp. 878-887.

4. Goessel M. Error Detection Circuits / M. Goessel, S. Graf. - London : McGraw-Hill, 1994. - 261 p.

5. Piestrak S. J. Design of self-testing checkers for unidirectional error detecting codes / Wroclaw: Oficyna Wydawnicza Politechniki Wroclavskiej. - 1995. - 111 p. - ISBN 03249786.

6. Dutta A. Synthesis of Non-Intrusive Concurrent Error Detection Using an Even Error Detecting Function / A. Dutta, N. A. Touba // IEEE International Test Conference (TC), 2005. -Pp.1059-1066.

138

Вопросы технической диагностики

7. Lala P. K. Self-checking and Fault-tolerant Digital Design // P. K. Lala. University of Arkansas, 2001. - 216 p. - ISBN 0124343708.

8. Блюдов А. А. Модифицированный код с суммированием для организации контроля комбинационных схем / А. А. Блюдов,

B. В. Сапожников, Вл. В. Сапожников // Автоматика и телемеханика. - 2012 - № 1. -

C. 169-177. - ISSN 0005-2310;

Blyudov A. A. A modified summation code for organizing control of combinatorial circuits / A. A. Blyudov, V. V. Sapozhnikov, and Vl. V. Sapozhnikov // Automation and Remote Control. - 2012. - Vol. 73. - Issue 1. - Pp. 153160.

9. Properties of code with summation for logical circuit test organization / A. Blyudov,

D. Efanov, V. Sapozhnikov, and Vl. Sapozhnikov // Proc. of 10th IEEE East-West Design&Test Symposium (EWDTS'2012), Kharkov, Ukraine, September 14-17, 2012. - Pp. 114-117.

10. Построение модифицированного кода Бергера с минимальным числом необнаруживаемых ошибок информационных разрядов / А.А. Блюдов, Д. В. Ефанов, В. В. Сапожников, Вл. В. Сапожников // Электронное моделирование. - 2012. - Том 34. - № 6. - С. 17-29.

11. Berger J. M. A note on error detection codes for asymmetric channels / J. M. Berger // Information and Control. - 1961. - Vol. 4. - Issue 1. - Pp. 68-73.

12. Сапожников В. В. Вероятностные свойства кода с суммированием в схемах функционального контроля / В. В. Сапожников, Вл. В. Сапожников, Д. В. Ефанов // Автоматика и телемеханика железных дорог России. Техника, технология, сертификация : Сб. науч. трудов. - СПб. : ПГУПС, 2011. -С. 3-13. - ISBN 978-5-7641-0030-2.

13. Ефанов Д. В. О свойствах кода с суммированием в схемах функционального контроля / Д. В. Ефанов, В. В. Сапожников, Вл. В. Сапожников // Автоматика и телемеханика. - 2010. - № 6. - С. 155-162. - ISSN 0005-2310;

Efanov D. V. On Summation Code Properties In Functional Control Circuits / D. V. Efanov, V. V. Sapozhnikov, Vl. V. Sapozhnikov // Automation and Remote Control. - 2010. - Vol. 71. - Issue 6. - Pp.1117-1123.

14. Вентцель Е. С. Теория вероятностей

Е. С. Вентцель. - М. : Наука, 1969. - 576 с.

Больше всего кандидатов наук на кафедре «Автоматика и телемеханика на железных дорогах» подготовил профессор А. С. Переборов - 42.