CC BY
49
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Блох М. В., Оробинсткий А. В. К решению контактной задачи теплопроводности методом конечных элементов // Проблемы прочности. 1985. № 6. С. 7782.
2. Гнучий Ю. Б. К решению контактных задач теории теплопроводности // Проблемы прочности. 1983. № 1. С. 104-107.
3. Пыхалов А. А., Милов А. Е. Контактная задача статического и динамического анализа сборных рото-
ров турбомашин : моногр. Иркутск : ИрГТУ, 2007. 192 с.
4. Шлыков Ю. П., Ганин Е. А., Царевский С. Н. Контактное термическое сопротивление. М. : Энергия. 1977. 328 с.
5. Чайнов Н. Д., Заренбин В. Г., Иващенко Н. А. Тепломеханическая напряженность деталей двигателей. М. : Машиностроение. 1977. 154 с.
6. Юдаев Б. Н. Теплопередача : учеб. для вузов. 2-е изд., пепераб. и доп. М. : Высш. шк., 1981. 319 с. : ил.
УДК 519.142.1+512.643 .8 Евсевлеева Лариса Геннадьевна,
канд. хим. наук, доцент, зав. кафедрой «Высшая математика», Ангарская государственная техническая академия
тел. (3955) 51-29-50, e-mail: [email protected]
О ВЕРОЯТНОСТИ СВЯЗНОСТИ СЛУЧАЙНОГО ГРАФА
Evsevleeva L. G.
ON PROBABILITY OF RANDOM GRAPH CONNECTIVITY
Аннотация. Рассмотрены случайные графы. Исследуется поведение случайной величины £ - вершинной связности графа. Приводится явный вид распределения величины £, указываются условия сходимости к пуассоновскому распределению.
Ключевые слова: случайные графы, вероятность, вершинная связность.
Abstract. The author observes random graphs. The behavior of random graph quantity £ - point graph connectivity is examined. Explicit form of quantity distribution £ is given, convergence conditions to
Poisson distribution are specified.
Keywords: random graphs, probability, point connectivity.
Введение
Случайный граф Gm(t) из m вершин определим следующими условиями [1, 2]:
1) в начальный момент времени t = 0 все вершины изолированы;
2) с течением времени между вершинами случайным образом устанавливаются связи (ребра) таким образом, что любая появившаяся в ка-
кои-то момент времени связь в дальнейшем не исчезает;
3) событие, состоящее в установлении связи между любыми двумя вершинами, не зависит от таких же событий, относящихся ко всем другим парам вершин;
4) если между двумя какими-то вершинами к моменту времени 1 связь не установлена, то вероятность того, что она появится в малом интервале времени
(г, г+Аг), равна Аг+о(Аг).
Если отвлечься от эволюции графа От(г) во времени, то в каждый фиксированный момент времени г граф От(г) может быть определен так: От(г) есть подграф полного От из т вершин, полученный путем случайного удаления ребер в Gm, так что каждое ребро независимо от всех других
—г
удаляется с вероятностью д = е и остается с ве-
1 —г
роятностью р = 1 — е .
При изучении строения графа От(г) в [2] было показано, что при т^ж вероятность связности графа (когда эта вероятность отлична от нуля) асимптотически совпадает с вероятностью отсутствия в нем изолированных вершин.
Если От(г) - случайный граф, то все его количественные характеристики становятся случайными величинами, законы распределения которых однозначно определяются законом образования графа От(г). Фактически нет разницы, как измерять силу связности графа От(г) - с помощью вершинной или реберной связности [3]. Учитывая это, в дальнейшем будем говорить, просто о силе связности графа От(г), понимая под этим вершинную связность Е Пусть Е, согласно [3], обозначает наименьшее число вершин, удаление которых приводит к несвязному графу.
В настоящей работе приводится явный вид распределения величины Е , указываются условия сходимости к пуассоновскому распределению.
Асимптотическое поведение силы связности графа От(г)
Рассмотрим событие {Е = п}; если оно осуществляется, то это, в частности, означает следующее: в графе От(г) можно выделить п вершин, при удалении которых он распадется на некоторое число компонент. Определим через Pj вероятность того, что граф, образованный п фиксированными вершинами и соединяющими их ребрами, будет в момент времени г связным.
шшт
Если случайный граф образуется в соответствии с указанной схемой, то распределение вероятностей случайной величины Е имеет вид [4]:
ре=п}=л:_-; п р3.
(1)
3=0
Здесь Л:— - обобщенные числа Стирлинга 2-го рода. Эти числа удовлетворяют рекуррентной формуле
А = а::; + А:—1, : = п=,
причем полагают: Л: = 1, : = 1, да, Л: = 0 , если т < п или п < 0.
Заметим, что согласно [5] производящая функция для чисел Л: 1 имеет вид:
Лп (г) = £ л:г: = г" П (1 — д/ )—1,
3=0
(2)
г * д3 \ 3 = 0, п. Предположим, что вероятности рj и ду, участвующие в распределении (1), меняются вместе с п: ру=р]-"), % = д](п>=1-р]-"). Тогда это распределение можно записать в виде [2]:
п—1
Р{Е = п}=Р{Е п = т} = А—-1 П рп). (3)
3=0
Утверждение. Если случайный граф От(г) формируется по вышеуказанной схеме, то для того что бы при п^<х> в момент времени г^0
п п
Р{Е= п} ^—е~—, 0 < —<да, п!
необходимо и достаточно:
п—1
тах д(п) ^ 0 и V д(п) ^ — .
0<3 <п—1 3 ^ 3
3 =0
Доказательство построим на применении теоремы о непрерывности производящих функций [4].
Производящая функция распределения (3), согласно (2), запишется:
& 1 — д(п)
п I I J3
■ — д(И)г
з=0 1 дз '
(4)
Рп о) = £ Р{Е = П}п =П
п=0 3=0 1
Прологарифмируем (4):
1п Рп (г) = |>(1 — д3)) — |> (1 — д{" )г). (5)
3=0
3=0
При тахд3п) ^ 0 и любом 0 < г < 1 [6]:
0<3<п—1
1п (^ дп) ь —дп)+о (дп))
и
1п(1 — д^п)г—д(п)г + о(д^п)) . Следовательно,
(6)
да
Современные технологии. Механика и машиностроение
ш
ln Pn (t) = £<
r(n)
j=0
f n—1
V j=
,(n )
(7)
Учитывая условия утверждения у q" ^ X, имеем:
j=0
ln P" (t) ^ X(t — 1), (8)
или
P(t) ^ limPn (t) = eX(t—1). (9)
В (9) правая часть есть производящая функция Пуассона [4], то есть
да in
У е-X —= е-X+Xi. (10)
7~0 n!
Согласно теореме о непрерывности производящих функций [3], имеем, что стремление производящей функции распределения (4) к производящей функции распределения Пуассона обеспечивает стремление распределения (1) к распределению Пуассона.
В заключение приведем некоторые качественные соображения о структуре графа Gm(t). В полном графе Gm каждая вершина связана с другими m-1 ребрами. В графе Gm(t) часть этих ребер удаляется. Число этих ребер случайно и распределено по биномиальному закону с параметрами т-1 и p = 1 - e-t. Если т и t меняются таким образом, что m—<x и t—>0, то в пределе число ребер, примыкающих к данной точке или, что то же, число вершин, непосредственно с ней связанных, распределено по закону Пуассона с параметром X. Каждая из этих «соседних» точек в свою очередь связана со случайным числом вершин, распределенных опять-таки, по закону Пуассона и т. д. Ясно, что в графе Gm(t) все эти вершины принадле-
жат одной компоненте. Таким образом, в первом приближении, отправляясь от любой вершины, можно представлять себе, что содержащая ее компонента образована «потомками» одной частицы -вершины - в ветвящемся процессе Гальтона -Ватсона [7]. При X <1 среднее число потомков одной частицы меньше единицы и с вероятностью 1 процесс вырождается. При этом можно ожидать, что все компоненты будут деревьями с небольшими числами вершин. Если X > 1, то ветвящийся процесс с положительной вероятностью не вырождается. В графе От(() невырожденности процесса, начинающегося с некоторой вершины, должен отвечать тот факт, что эта вершина принадлежит «большой» компоненте. Поэтому при X > 1 следует ожидать появления «больших» компонент или одной большой компоненты.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Колчин В. Ф. Случайные графы. М. : ФИЗМАТЛИТ, 2004. 256 с.
2. Евсевлеева Л. Г., Кузьмин О. В.Случайные графы в изучении химических реакций в условиях потока // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. 2010. № 3 (27). С. 175-179.
3. Харари Ф. Теория графов. М. : Мир, 1973. 293 с.
4. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. М. : Мир, 1984. Т. 1. 528 с.
4. Кузьмин О. В. Комбинаторные методы моделирования дискретных распределений. Иркутск. : Изд-во Иркут. гос. ун-та. 2006. 138 с.
5. Де Брейн Н. Г. Асимптотические методы в анализе. М. : Мир, 1987. 245 с.
6. Кузьмин О. В. Обобщенные пирамиды Паскаля и их приложения. Новосибирск : Наука, 2000. 289 с.
n—1
