О верхних оценках размерности Хаусдорфа отрицательно инвариантных множеств локальных коциклов Текст научной статьи по специальности «Математика»

О ВЕРХНИХ ОЦЕНКАХ РАЗМЕРНОСТИ ХАУСДОРФА ОТРИЦАТЕЛЬНО ИНВАРИАНТНЫХ МНОЖЕСТВ ЛОКАЛЬНЫХ КОЦИКЛОВ

Ф. Райтманн1, А. С. Слепухин2

1. С.-Петербургский государственный университет, д-р физ.-мат. наук, профессор, vreitmann@aol.com

2. С.-Петербургский государственный университет, аспирант, st_sandro@mail.ru

§ 1. Введение. Впервые общие верхние оценки размерности Хаусдорфа отрицательно инвариантных множеств и аттракторов конечномерных динамических систем были получены А. Дуади и Д. Оэстерле [1]. Г. А. Леонов и В. А. Бойченко [2, 3] впервые ввели функции ляпуновского типа в оценки размерности Хаусдорфа. Дальнейшее развитие эти подходы получили в [4-6]. Некоторые из результатов [1] были обобщены на бесконечномерные динамические системы (см. [7]).

Исследование неавтономных дифференциальных уравнений приводит к теории коциклов и их аттракторов [8, 9]. Используя понятие коцикла, можно расматривать случайные динамические системы и соотвествующие случайные аттракторы. Элементы теории оценки размерности Хаусдорфа случайных аттракторов были развиты в [10].

В настоящей работе формулируются две теоремы о верхних оценках размерности Хаусдорфа отрицательно инвариантных множеств локальных коциклов, включающих функции ляпуновского типа. Эти результаты можно считать обобщением оценок отрицательно инвариантных множеств или аттракторов автономных систем [1] на случай локальных коциклов.

§ 2. Локальные коциклы над базисным потоком. Одним из возможных инструментов исследования неавтономных дифференциальных уравнений является теория коциклов [8, 9]. Приведём некоторое развитие понятий этой теории.

Пусть (0, рв) —компактное полное метрическое пространство.

Базисным потоком на 0 называется пара ({а^ек, 0), где а : R х 0 ^ 0, (t, в) ^ аг(в) —непрерывное отображение, удовлетворяющее

1) а0(■) = id©,

2) at+s(■) = аг(■) о as(■), Vt, s G R.

Локальным коциклом на R+ над базисным потоком ({at}t£R, 0) назовём пару

( {pt(в, ■)} ве© , R” ), где ■) непрерывно задано на множестве

V te[0,e(e,-)) )

D = {(t, в, и) | (в,и) G 0 х R”, t G [0, в(в, и))},

[0, в(в, и)) — неотрицательная часть максимального промежутка существования отображения рt, проходящего через точку (в, и), и где р удовлетворяет условиям

1) р0(в, ■)= idK», Vв G 0,

© Ф.Райтманн, А.С.Слепухин, 2011

2) ^t+s(0,u) = </(°s(в),уа(0,и))У (9,u) e О x R”, V s e [0,ß(d,u)),

V t e [0,ß(as(e),^s (0,u))),t + s< ß(ß, u).

В дальнейшем запись (^,&) обозначает локальный коцикл \{^t(в, •)} ве<э , R”

V te[0,ß(e,-))

на R+ над базисным потоком ({^t}teR, О).

Если дано отображение в e О ^ Z(в) С R”, то Z = {Z(в)}дев назовём неавтономным множеством.

Неавтономное множество Z = {Z(в)}дев называется компактным, если для каждого в e О множество Z(в) С R” компактно.

Определение 1. Множество Z назовём отрицательно инвариантным для локального коцикла (р,а), если существует такое 0 < т < min ß(в,ь,), для которого

ueZ(d)

выполнено

(в,Z(в)) D Z(ат(в)) для всех в e О.

§ 3. Верхние оценки размерности Хаудорфа для локальных коциклов.

Перейдём к понятиям размерности Хаусдорфа, сингулярных чисел и функции сингулярных чисел.

Пусть (M, р) — метрическое пространство и Z С M — произвольное подмножество M. Предположим, что d ^ 0 и е > 0 — произвольные числа. Покроем Z не более чем счётным набором шаров Bri радиусов ri ^ е и определим

Ли(Z, d, е) := inf j^ rd | Ti < e,Z С У Br^,

где инфимум берётся по всем таким счётным е-покрытиям Z. При этом считается, что inf 0 = то.

Очевидно, что для фикированных Z и d функция ли(Z,d,e) не убывает при убывающем е. Поэтому существует предел (который может быть бесконечным)

ЛИ(Z,d) := lim л#(Z,d^) = supл#(Z,d,е).

Е^О+О Е>0

Известно (например, [5]), что существует единственный dcr(Z) G [0, то] такой, что

\ 0 при d>dcr(Z);

Ли(Z,d) = < , ,

I то при d < dcr (Z).

Величина dim# Z := dcr (Z) называется размерностью Хаусдорфа множества Z. Далее, пусть L : R" —> R" —линейный оператор и а\(L) ^ ^ ап(Ь) —его син-

гулярные числа. То есть, сц{Ь) = \JXi(LTL), i = 1,..., п, где Л*(-) ^ ... ^ А„(-) ^ 0 обозначают собственные числа оператора (в данном случае — оператора LTL).

Пусть d G [0,n] —произвольное число. Его можно представить как d = do + s, где do G {0,1,. ..,n — 1} и s G (0,1]. Тогда положим

(L):=i al(L) ...ado (L)ado + l(L) при d G (0,n], d ^ 1 при d = 0.

Величина ша(Ь), определённая таким образом, называется функцией сингулярных чисел оператора Ь порядка і [5].

Теперь мы можем перейти к формулировке основного результата данной работы.

Пусть дан локальный коцикл (^, а), для которого отображения ^г(в, ■) : К" ^ К" суть C 1-гладкие для всех в G 0 и t G [0,ß(0, ■)).

Для дальнейшего потребуются следующие предположения.

(A1) Неавтономное множество Z = {Z(в)}9£© компактно и отрицательно инвариантно для локального коцикла (у>,а) с некоторым т > 0 в смысле определения 1.

(A2) Пусть д2^г(в,и) : К" ^ К" обозначает для произвольных точек (в, u) G 0 х К" и t G \0,ß(e, ■)) дифференциал функции у1(в,и) относительно и, который обладает следующими свойствами:

a) для любых е > 0 и 0 < t < min ß(e, и) функция

u£Z©9)

„„ и ^ \№{0,ъ)-<рг{в,и)-д2<рг{в,и){ь-и)\\

•teV'-i ") •— bUP И II

v,u £ Z(9) \\v — u\\

0< || V —U ^

ограничена на 0 и стремится к нулю при е ^ 0 для каждого фиксированного t;

b) для любых 0 < t < min ß(e,u) выполнено

9 £ © u £ Z(9)

sup sup \\д2^(в,и)\\ар < то,

9 £ ©u £ Z(9)

где ||L||0p обозначает норму оператора L.

Теорема 1. Пусть выполнены предположения A1 и A2 и следующие условия:

1) существует компактное множество К С К" такое, что

в е 0

2) существуют непрерывная ограниченная функция к : & х Мп ^ М+ и число ! € (0, и] такие, что выполнено

к(аТ(в),срТ(в,и)) вир ------------т-—г-----сиЛ(д2ср (в,и)) < I,

і) е 0хК

ж(и, и)

где т > 0 — число из условия А1.

Тогда ё1шя 2(в) ^ ! для каждого в € &.

Доказательство. Из предположения 2 теоремы следует, что существует число

0 < VI < 1 такое, что

эир 7 шЛ{д2^рт{в/а)) < г/1, Ув € 0. (1)

и е к к(в,и)

Для произвольного т € N введём обозначение

»р (2)

и е 2(в) к(в,и)

Очевидно, что для любого в G 0 можно сделать v(т, в) сколь угодно малым, выбрав достаточно большое m. Другими словами, для произвольного l > 0 найдётся такое достаточно большое то G N, что

Ут ^ т0, Ув G 0 0 < v(т, в) < l. (3)

Зафиксируем т ^ то (достаточно большое). В дальнейшем (см. §4) отображение р стоится на основании решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Поскольку это решение в условиях теоремы задано на компактном множестве

0 х К, оно продолжимо по t вправо. Поэтому в дальнейшем в доказательстве будем считать, что р на отрезке [0, тт] (для достаточно большого т) определено. Далее, используя цепное правило дифференцирования сложной функции, получим следующее равенство:

д2ртт(в, и) = д2рт (a(m-i)T(в),р(т-1)т(9,u)) •

• д2рт (a(m-2)T(в),р(т-2)т(в,и)) • ... • д2рт(в,и).

По неравенству Хорна ([5], Proposition 2.3.1, Chap. I) имеем

m

(d2pmT(в,и)) < П (d2pT (a(m-j)T(e),p(m-j)T(в,п)У) . (4)

j=1

Далее, учитывая (1) для аргументов вида (a(m 3)t(в),р(т 3)t(в,и)}, j = 1,...,т, и оценку (4), мы получаем

, m к (a(m-j)T(e),p(m-j)T(в, и))

ud{d2p {в,и)) < П^1 • ж(ст(т-3-+1)г(0))¥,(т-3-+1)г(0)и)) =

3 (5) т к(9, и)

= 1/7 ■ -------—--------------------------— ^ 1У(т, в).

1 ж(атт(в),ртт(в,и)) У ’

Из предположения A2 следует, что для любых £ > 0, в € 0 и фиксированного t = тт

\\pmt(e, v) - pmt(e, и) - d2pmt(в, u)(v - u)|| < Пе(тт, в\ - и\\ (6)

для Ув € 0, yv € Br(и), r ^ £, v,u € Z(в).

Поскольку r/£(t, в) ограничено, существует такое Z, что для любых £ > 0, в € 0 и фиксированных 0 < t < min в(в,и) выполняется г/£^,в) ^ Z. Тогда (6) можно

9 Е © u Е Z(9)

заменить на

\\pmt(в, v) - pmt(в, и) - д2рт\в, u)(v - u)\| < Z||v - u\\ (7)

для Ув € 0, yv € Br(и), r ^ £, v,u € Z(в).

Кроме того, раз г/£^,в) -------> 0, то за счёт выбора достаточно малого £ можно

£—^0

сделать Z сколь угодно малым. Далее, из (7) следует, что

pmT (в, Br (и)) С pmT (в, и) + d2pmT (в, u)Br (и) + Brz (и). (8)

Обозначим E := d2pmT(в,и)Вг(и). Легко показать (см. [5], Proposition 1.2.2, Chap. I), что E есть эллипсоид с полуосями длиной ai(E) = rai(d2pmT(9,u)), i =

l,...,n.

Как показано в (3), за счёт выбора достаточно большого m можно сделать v(m, в) сколь угодно малым, поэтому справедливо, что 3 v(m) : v(т,в) ^ v(m), Ув G 0. Очевидно, что выбирая достаточно большое m, v(m) также можно сделать сколь угодно малым.

Воспользуемся результатом из [5] (Lemma 1.3.1, Chap. I), где входными параметрами возьмём v = v (m), произвольное 6 выберем таким образом, что одновременно выполняется sup \\d2pmT(в,и)\\ ^ 6 и v(m) ^ 6d для достаточно большого m.

u е Z(e)

А сколь угодно малое Z выберем так, чтобы

('+ (^) с) Нт) < 1 (9)

выполнялось при фиксированных v(m) и 6, удовлетворяющих вышеуказанным ограничениям. Здесь l — то же, что ив (3).

Нетрудно проверить, что условия рассматриваемой леммы выполнены для параметров v' := rd v (m), 6' := r6, n' := rÇ. Тогда по этой лемме множество E + Brç (и) содержится в эллипсоиде E' таком, что

d0

i/s \ d

ud{£') < ^1 + J tj'J i/=[ 1 + ;/sMc) v{'m)rd < lrd. (10)

Здесь ud(£) обозначает d-мерную эллипсоидальную меру £, которая задаётся, как

Г ai(£)a2(£) ...a,d0 (£)ad0+i(£) при d> 0, d ^ 1 при d = 0,

где d = do + s, do G {0,1,...,n — 1}, s G (0,1], а ai(£) —длины полуосей E, упорядоченные, как ai ^ a,2 ^ ... ^ an > 0.

Далее, если {Brj (uj)} есть счётное покрытие Z(в) шарами с радиусами rj ^ е, то мы можем построить счётное покрытие pmT(в, Z(e)) эллипсоидами £j такими, что

M£j) < Г.

Введём новое обозначение: для любого компактного множества K С Rn положим Jh(Z, d, е) := inf ^2 иd(£j), где инфимум берётся по всем счётным покрытиям K j

эллипсоидами £^ такими, что ud(£j) ^ ed.

Из определений ли, Jh и неравенства (10) следует, что

Ли (vmT(в, Z(в)), d, l1/dе) < ¡ли(Z(в), d, е). (11)

В силу [5] (Lemma 2.1.1, Chap. I) для счётного покрытия компактного множества K эллипсоидами £j такими, что (ud(£j))1/d ^ е, имеет место следующая оценка: Лн (£j, d, л/do + 1 е) ^ 2rf°(¿¿о + 1 )d^2uJd(£j)- Следовательно

Лн (-К, d, V^o + le) ^2d°(do + l)d/2YJUd(£j)-

j

Откуда, переходя к inf, получаем

Лн (к, d, \/rdö~\-l£Sj ^ 2d° (do + l)d^2 лн(К, d,e). (12)

Применим (12) и затем (11) ко множеству K = pmT(9,Z(9)), получим

Лн {pmT(9,Z(9)),d, v4 + n1/de) <2d°(do + l)d/2№ (pmT(9,Z(9)),d,l1/de^ <

< 2d0(do + 1)а/21ли(Z(9),d,e).

Предположим, что ли(Z(9), d) ^ ло < ж, и перейдём в (13) к пределу при £ ^ 0; получим

Ли WmT(9, Z(9)), d) < 2d0 (do + lf%H(Z(9),d) < 2do (do + 1)d/2^o. (14)

Напомним, что l — произвольное (сколь угодно малое) положительное число и для него мы выбирали достаточно большое m, чтобы все рассуждения выполнялись. Следовательно, при достаточно большом m правая часть (14) может быть сделана сколь угодно малой. Значит, для каждого 9 € 0 доказано, что

если лИ(Z(9),d) < ж, то lim лИ(pmT(9,Z(9)),d)=0. (15)

£—^0

Далее, l — произвольное число, следовательно на него можно наложить ограничения У4ГП"/1/сг < 1 и 2d°(d0 + 1 )d/2i < 1. В таком случае

Лн^(9), d, е) ^ лн {z{9), d, do + 1 ll^de^ . (16)

В силу предположения 2 теоремы Z(9) С Z(ат (9)) С ... С Z(amT(9)). Тогда

лн{г{9),d, y/do + ll1/de) < лн(г(*тт(9)), d, v4 + 1 l1/de). (17)

По предположению A1 множество Z отрицательно инвариантно. Другими словами, Z(amT(9)) С pmT(9,Z(9)). Тогда

лн(г(*тт(9)), d, Vdo + l l1/d£) < Z{9)), d, Vdo + l ll/de). (18)

А из (13) следует, что

Лн{(ртт{9, Z{9)), d, v4 + 1 l1/d£) ^2do(d0 + l)d/2^H(Z(9),d,e). (19)

Собрав вместе (17), (18), (19) и (16) мы получим

лн{г{9), d, Vdo + l l1/d£) < 2d° (do + 1 )а/21лн(г(9), d, Vdo + l l1/d£), (20)

где множитель 2do (do + 1)d/2l строго меньше единицы за счёт выбора l.

Отсюда следует, что лн{2(9), d, у/ do + 1 ll/de) может быть равен только нулю для всех 9 € 0. Переходя к пределу при £ ^ 0, получаем ли(Z(9), d) =0, У9 € 0. Откуда по определению размерности Хаусдорфа следует, что dimH Z(9) ^ d, У9 € 0. Ш

§ 4. Верхние оценки размерности Хаусдорфа для локальных коциклов, порождённых дифференциальными уравнениями. Рассмотрим неавтономное обыкновенное дифференциальное уравнение

и = I (г,и), (21)

где I : М х М" ^ М" — Ск-гладкое (к ^ 2) векторное поле. Относительно векторного

поля (21) введём оболочку I, заданную как

П(Л = {/(• + *,•),* еК},

где замыкание берётся в компактно-открытой топологии. Известно, что Н(1) метри-зуема с некоторой метрикой р. В результате мы получаем полное метрическое пространство (Н(1), р), на котором базисный поток, называемый потоком Бебутова [11], задан отображением сдвига

(1,1) ^ а*(}) = /(' +г, ')

для любых г € М и I € Н(1).

Предполагается, что Н(1) компактна. Для этого, например, достаточно вместе с гладкостью по и почти периодичности I(г,и) из (21) относительно г.

Введём отображение «взятия значения» I : 0 х М" ^ М", заданное как

(в, и) € 0 х М" ^ в(0,и).

В частности, для в = I € Н^) и и € М"

¡(г, и) = I (0,и).

Откуда следует, что

I (&*а ),и) = I (г, и)

для всех г € М и и € М".

Используя отображение I, можно системе (21) поставить в соответствие семейство векторных полей

й = I (а* (в),и), (22)

где в € На) —произвольно. Исходная система (21) входит в (22) как частный случай.

Используя, например, почти периодичность по г отображения (г, и) ^ I(г, и) и сделанные выше предположения можно показать существование для (22) локального

коцикла {р*(в, •)} веЩ!) , М" над базисным потоком ({а1}ьек, Н!)) (см. [8]), где

V *е [0,в(в,-)) )

р* задаётся через оператор решения системы (22), а [0,в(в,и)) —неотрицательная часть максимального промежутка существования решения, проходящего через точку (в, и) € 0 х М".

Для точки (во,ио) € 0 х М" обозначим через т(г,ио) решение вариационного уравнения вдоль траектории коцикла через точку (во,ио), т. е. уравнения

™ = д2 I(а* (во),р*(во ,ио))^ (23)

с начальным условием 1м(0,1Мо) = ,шо € М". Тогда

д2Р* (во,ио)щ = 'ш(г,'шо) для 0 < г < в (во, ио).

Пусть \1(0,и) ^ \2(0,и) ^ ■■■ ^ Хп(0,и) —упорядоченные собственные числа матрицы 1/2 д2 / (0, и) + д2/(0, и)т .

Теорема 2. Пусть для локального коцикла (р,а), порождённого дифференциальным уравнением (21) над потоком Бебутова, выполнены предположение А1 и следующее условия:

1) условие 1 теоремы 1 с множеством К;

2) существуют непрерывная функция V : 0 х Мп ^ М, имеющая производные -¿¡¿У(а*(в), р*(в, ио)) вдоль данной траектории, и число <1 € (0, п], записанное как с! = ¿о + в, где ¿о € {0,1,...,п — 1} и в € (0,1], такие что

^1(а (0),Р (0,ио) + ... + (а (0), Р (0,ио)) + в^й0+1(а (0), р (0,ио))+

+ ^У{а\в),р\в,и0))

для всех 0 € 0 и ио € К, где т > 0 — число из условия А1.

Тогда ё1шя 2(0) ^ ! для всех 0 € 0.

§ 5. Верхняя ценка размерности Хаусдорфа отрицательно инвариантного множества неавтономной системы Рёсслера. Рассмотрим неавтономную систему Рёсслера (см. [12])

' х = —у — г,

У = х, (24)

г= —Ь(Ь)г + а(Ь)(у — у2),

где а,Ь : М ^ М+ — функции, имеющие вид

а(Ь) = ао + а-1(Ь), Ь(Ь) = Ьо + Ь^Ь).

Здесь ао и Ьо —положительные константы, а^(■) и Ь\(■) — С1 -гладкие функции, удовлетворяющие неравенствам

|а1 (Ь)| < еао, |Ь1(Ь)| < еЬо (25)

для всех Ь € М, где £ € (0,1) — малый параметр. Предположим также, что существует £ > 0 такое, что

1Ъ(Ь)1 < ££ (26)

для всех Ь € М, и что оболочка Н(/), где в качестве / взята правая часть (24), компактна. Для этого достаточно, чтобы а и Ь были почти периодическими.

Вместо (24) рассмотрим семейство систем типа (22)

х= —у — г,

У = х, (27)

г = —Ьв(Ь)г + ав (Ь)(у — у2),

Т

где для краткости мы пишем

ад (t) = а(а* (в)) и Ьд (t) = Ь(а* (в)).

Поскольку система (24) имеет все свойства системы (21), она порождает локальный коцикл {р*'(в, • )} деH(f) , М" над базисным потоком ({&t}tеR, H(f)), где

V te [0,ß(g,u)) J

[0,ß(e,u)) —неотрицательная часть максимального промежутка существования решения (27), проходящего через точку (в, и) € 0 х М". Предположим, что для этого коцикла существует компактное множество Z = {Z(в)}деH(f), которое удовлетворяет условию 1 теоремы 1 с компактным К, и что существует такое время 0 < т < min ß(e,u), что Z отрицательно инвариантно для локального коцикла д е H(f) u е Z(g)

в смысле определения 1.

Для того чтобы оценить сверху размерность Хаусдорфа множества Z с помощью теоремы 2, нужно проверить неравенство

Ai ©(i, X, у, z) + А2 fl(t, X, у, z) + sA3 e{t, X, у, z) + -l-Vg(t, x, y,z) < 0 (28)

dt

для всех t € [0, т], (x,y, z) € К и в € H(f), в котором

Ак,д(t,x,y,z) = Xk(at(в),фг(e,x,y,z)), k = 1, 2, 3,

суть собственные числа симметризованной матрицы Якоби правой части (27), взятые в порядке убывания Xi,g ^ А2,д ^ Аз,д, и

Vg(t, x, y,z) = V(at (в), (в, x, y, z))

есть функция ляпуновского типа, заданная для (x, y,z) € К, в € H(f) и t € [0, т] как

V(at(e),x,z) := ^(1 - s)£(z -bg(t)x), (29)

где £ — варьируемый параметр.

Вычислим собственные значения Ак,д и производную jj^Vg и подставим их в (28). Прямые вычисления, использование неравенств (25), (26) и теорема 2 в итоге дают оценку

dimH Z{9) <3-------------------, 2(1~£)6° ------ (30)

(1 + е)Ьо + \J(ао + 2Ьо)2 + Щ + 1 + е • С

для всех в € H(f), где C — положительное число, которое может быть получено из параметров ао,Ьо,е,£ нашей системы и которое ограничено для всех малых е > 0.

Очевидно, что если вернёмся к автономной системе Рёсслера, т. е. устремим е ^ 0, мы получим уже известную (см. [5]) оценку размерности Хаусдорфа компактного отрицательно инвариантного множества К системы Рёсслера:

dinig К ^ 3----------° --- (31)

Ьо + у (ао + 2Ьо) + Ь2 + 1

1. Duady A., Oesterlé J. Dimension de Hausdorff des Attracteurs // Comptes Rendus de l’Académie des Sciences. Serie A. 1980. N 290. P. 1135-1138.

2. Леонов Г. А. Об оценках хаусдорфовой размерности аттракторов // Вестник ЛГУ. Сер. 1. 1991. Вып. 3. С. 41-44.

3. Leonov G. A., Boichenko V. A. Lyapunov’s direct method in the estimation of the Hausdorff dimension of attractors // Acta Applicandae Mathematica. 1992. Vol. 26. P. 1-60.

4. Леонов Г. А. Формулы ляпуновской размерности аттракторов Хенона и Лоренца // Алгебра и анализ. 2001. T. 13. №3. С. 155-170.

5. Boichenko V. A., Leonov G. A., Reitmann V. Dimension Theory for Ordinary Differential Equations. Wiesbaden: Vieweg-Teubner Verlag, 2005.

6. Leonov G. A. Strange Attractors and Classical Stability Theory. Saint-Petersburg: St. Petersburg University Press, 2008.

7. Temam R. Infinite-Domensional Systems in Mechanics and Physics. New York; Berlin: Springer, 1988.

8. Wakeman D. R. An application of topological dynamics to obtain a new invariance property for nonautonomous ordinary differential equations // Journal of Differential Equations. 1975. Vol. 17. N2. P. 259-295.

9. Kloeden P. E., Schmalfuß B. Nonautonomous systems, cocycle attractors and variable time-step discretization // Numerical Algorithms. 1997. Vol. 14. N1-3. P. 141-152.

10. Crauel H., Flandoli F. Hausdorff dimension of invariant sets for random dynamical systems // Journal of Dynamics and Differential Equations. 1998. Vol. 10. P. 449-474.

11. Бебутов М. В. О динамических системах в пространстве непрерывных функций // Бюллетень механико-математического факультета МГУ. 1941. №5. С. 1-52.

12. Rössler O. E. Different types of chaos in two simple differential equations // Zeitschrift fur Naturforschung A. 1976. Vol. 31. P. 1664-1670.

Статья поступила в редакцию 16 июня 2011 г.