О вариационной постановке задач пороупругости в случае установившихся колебаний Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.3;534.134

О ВАРИАЦИОННОЙ ПОСТАНОВКЕ ЗАДАЧ ПОРОУПРУГОСТИ В СЛУЧАЕ УСТАНОВИВШИХСЯ КОЛЕБАНИЙ

© 2011 г. А.О. Ватульян, А.А. Ляпин

Южный федеральный университет, Southern Federal University,

ул. Мильчакова 8а, г. Ростов н/Д, 344090 Milchakov St., 8a, Rostov-on-Don, 344090

Представлена постановка задачи для ограниченного пороупругого тела с произвольной анизотропией для случая установившихся гармонических колебаний. Рассмотрены различные типы граничных условий, сформулированы условия механического нагружения; изучены случаи открытых и закрытых пор. С помощью метода неопределенных множителей Лагранжа реализован вывод вариационного принципа, аналогичного вариационному принципу Лагранжа. Сформулированы условия на материальные свойства среды, при которых возможна вариационная трактовка. На основе вариационной формулировки представлен вывод уравнений продольных и поперечных колебаний стержневых элементов, а также вывод естественных граничных условий для одномерных задач. На основе полученных уравнений движения исследовано решение модельной задачи об установившихся продольных колебаниях пористоупругой изотропной колонны и осуществлен расчет соответствующих амплитудно-частотных характеристик.

Ключевые слова: пороупругость, вариационная постановка, колебания.

Formulation of the problem for a limited poroelastic bodies with arbitrary anisotropy for the case of steady harmonic vibrations presented. Various types of boundary conditions considered, conditions of mechanical loading formulated, the cases of open and closed pores studied. Using the method of Lagrange multipliers implemented development of the variational principle similar to the variational principle of Lagrange. Conditions on the material properties of the medium, which allows variational interpretation, formulated. Based on the variational formulation derivation of the longitudinal and transverse vibrations of beam elements and the development of the natural boundary conditions for a one-dimensional problems presented. Based on the equations of motion solution of model problem of steady longitudinal vibrations of poroelastic isotropic columns studied and the calculation of the amplitude-frequency characteristics performed.

Keywords: poroelasticity, variational formulation, vibrations.

Математическое моделирование пористых насыщенных жидкостью сред привлекало внимание исследователей достаточно давно в связи с многочисленными приложениями в механике грунтов, сейсмике, динамике многофазных сред. Первые работы в этой области были посвящены исследованию процесса консолидации грунтов. Однако сложность в описании процессов взаимодействия фаз привела к тому, что общепринятой модели описания пористой, насыщенной жидкостью среды до сих пор нет; имеется несколько различных моделей, отличающихся учетом различных факторов [1, 2].

Исторически сформировалось 2 подхода к описанию механики насыщенных пористоупругих сред. Первый, основанный на аксиоме о несмешивающихся взаимопроникающих континуумах с внутренним взаимодействием, связан с именем П. Филлингера [3], второй приписывают К. Терцаги [4], который, основываясь на классической теории упругости, применил закон Дарси для описания фильтрации жидкости через упругую среду и ввел понятие эффективных напряжений.

Обобщая теорию Терцаги на случай трехмерных задач, М. Био развил теорию пористых сред, насыщенных жидкостью. Он ввел принцип, согласно которому уравнения, описывающие механику пористых сред, будут формально такими же, как и для упругих или вязкоуп-ругих систем при условии, что упругие коэффициенты заменены соответствующими операторами [5].

В связи с изучением сейсмологического эффекта Я.И. Френкель в [6] впервые рассмотрел теорию о распространении акустических волн в пористой, насыщенной жидкостью среде. В первых работах Био предполагалось, что среда однородна и изотропна [7, 8], но

в дальнейшем эта теория была развита для анизотропного упругого [9] и вязкоупругого [10] скелетов.

В последние годы достаточно популярной и адекватной является модель, в которой переменные -смещения твердой фазы и давление в порах [9]. В то же время отметим, что набор точных решений краевых задач пороупругости весьма ограничен и описывается в основном задачами для слоя, одномерными структурами (колонны, балки). Вместе с тем для многих современных приложений модели пороупругости (горная механика, биомеханика) необходимо исследовать волновые процессы в неоднородных пористоуп-ругих структурах. В этой ситуации одним из эффективных вычислительных средств является метод конечных элементов, который опирается на соответствующую слабую постановку. Кроме того, для исследования модельных одномерных и двумерных задач необходима корректная формулировка граничных условий, которая может быть получена из некоторого вариационного принципа. В монографии [11] вариант такой постановки приведен при наличии некоторых ограничений на компоненты физических полей. В настоящей работе, аналогично задачам термоэлектро-упругости [12], представлен способ построения функционала, из стационарности которого вытекают уравнения колебаний и граничные условия для пористо-упругого тела.

Постановка задачи

Рассмотрим установившиеся колебания с частотой а пористой анизотропной среды, занимающей объем V , ограниченный поверхностью £ . Система уравнений для описания колебаний среды имеет вид [11]

с1кик,,- + р® Ч + / = ° (1)

-р-(КуР;)„, -'аАуии +®2(КуР/иг+ / = °.

Здесь ик, С*к1, Д, К у - компоненты вектора смещений среды, тензора упругих постоянных, тензора эффективных модулей Био, тензора проницаемости среды; р - давление жидкости в порах; Я - гидростатическая константа; ф - пористость среды; а -частота колебаний; /, / - массовые силы; р , -

общая плотность среды и плотность жидкости в порах соответственно.

Граничные условия задачи в случае открытых пор.

1. Рассматриваемая среда является однородной, тензоры Био и проницаемости - шаровые. Тогда Д = ад, К„ = кд, где а, к - константы.

Для выбора параметра а рассмотрим группу слагаемых из подынтегрального выражения в (4):

А/Р^,/ - ааАииФ + аа 2 {КуР/Щ )^ рр. (5)

С учетом свойств данной среды группа слагаемых (5) принимает вид

адурдии - оаааЗущ рдр + аа щ рдр . (6)

п

Тогда, полагая а = -

- ima + kpm

ражение (6) будет представлять собой полную вариа-

когда жидкость может свободно вытекать, могут быть цию. Полагая далее = -1, а = а протея с учетом

этого (4) и применяя формулу Гаусса-Остроградского,

окончательно получим вариационное уравнение дЬ=0,

представлены в виде (S = Su ^ Sa, S = Sp ^ Sq):

°«nj\Sa = qi, uk = 0, KvPjnL = q, p|s„ = °

(2)

причем (

L = J

В случае закрытых пор, когда жидкость не может вытекать из области, в граничных условиях изменится условие на части поверхности £р, которое имеет вид Кр п. = 0, при этом напряжения в среде определяются соотношением аи = С**к1ик, - Аг/р .

Построение вариационного принципа

)ункционал L представим в форме

1 г 1 2 2

-2 Cjkiukjui,j + aPua + fUi + ^Pm ui +

■ Ф1 P2 1, /

- 'aY~2+2 ,iPJ +

+ a

+ Jqtu,dS + а JqpdS.

dV +

2. Второй вариант вариационной постановки задачи возможен для однородного анизотропного материала при пренебрежении слагаемым а2(К^рщ) в уравне-

Для построения вариационной трактовки задачи нии (1) (или инерцшнными ототстга^ жидкости в ш-пос^пим следующим образом. Введем гонятае кине- рах). в этом случае параметр положим а = -—.

Тогда выражение (4) принимает вид

J \f lkUk,iSui).. - CijkUk,iSui,j - (AijPSui)

+

—

+ AjßipUj , ) + f Sui + poj uiSui--1 -im^—pSp -

магически возможного поля. Под таким полем будем га

понимать совокупность гладких полей смещений и давление в порах, удовлетворяющие граничным условиям на частях поверхностей , £ . Далее рассмотрим

более общую постановку (1), (2). Умножим 1-е уравнение (1) на ди1, 2-е - на адр, сложим и проинтегрируем

по объему V; к полученному выражению прибавим -{Кг/р,гдр) + Кг/ридр / + /др-поверхностные интегралы, порожденные граничными +а ¡{^п, -ри^ +а2 р п -Ч= 0. условиями (2), умноженными на параметры ах и а2 соответственно. В результате имеем равенство I{с/и,),. - (А/р) + / +ра\)диг + (3)

im

R

+ а| - im — p - (KjPi) . - imAjui,j +

Ф2

v R \

+ m2 Uf ),j + f)SPdV +

+ а1 J\aijnj - qi)3uidS + а2 J\KijP,jni - qpPdS = °.

s„

Аналогично способу, описанному выше, применяя далее формулу Гаусса-Остроградского, получим вариационное уравнение дЬ=0, причем функционал Ь может быть представлен в виде

L = J

1 л* . ,, 1 2 2 - 2 Cvkiuk,iuij + AijPui,j + fiui +^Pa ui

+ а

P1

1

- im--+ — KiiP P + fP

R 2 2 'J^,ir,J

Преобразуем подынтегральное выражение в (3).

JlC ijkHk,i^ui) i - Cijkiuk,ij -\AijP^ui) . +AijP^ui,j +

V

+ f Sut + pa2uiSui -aim—— pSp-a^K^PiSjP) + + aK„p Sp , - a iaA:M: Sp + am2 \K„pf ut) Sp +

lJ -, ,j / J \ , j

+ a fSp\lV + a J(ay■ П - qi jSutdS + + a2 j(KijPJni -q)SpdS = 0. (4)

+ Jqtu,dS + a JqpdS = 0.

dV +

Построенное вариационное уравнение может быть использовано для построения корректных упрощенных теорий деформирования пористоупругих сред.

Применение вариационного принципа для изучения продольных и поперечных колебаний стержней

Выведем на основе полученного вариационного &Ч принципа для однородной анизотропной среды 2 крае-

Далее возможны 2 варианта изменения материальных вые задачи для продольных и изгибных колебаний свойств среды, при которых возможна вариационная стержня (колонны). Для этого рассмотрим консольно трактовка задачи. закрепленный стержень длины I с осью, ориентирован-

S

S

(7

q

S

а

S

S

а

q

ной вдоль оси x1 и поперечным сечением S. Введем гипотезы: щ (х, X)= Щ (X)- (X), Щ (X, X)= 4(Х),

р(Х, X3 ) = Хзр1 (X!) + р0 (X!) .

Будем считать, что поры закрыты, а силовое нагру-жение осуществляется на торце Xl = l; неизвестными являются 4 функции: щ (X), w(x), р (X), Ро (X).

Упростим выражение для функционала L с учетом введенных гипотез; он принимает вид

L = J

1 2 - — C^ (u\ F + JW ) + apau\ F - Jpw"+

о -

+ и^ + + ! ра2 (щО Е + Ы2 +w2 е) + (7)

Г . Ф1 (р0е+^рО)0 и, ,о „ ,о ,о\ + а - ы ^ + к/р/0 + Ер о'0 +^Р1|0)+

^ л О О

+ ЕРо + М1Р1 )]х + Рщ\X1=/ -+ Рз4x1=; ■

Здесь введены обозначения: | ^Лу = р ,

|д^Х^А' = М , | = Р3 , |/Л? = Е , |/з^- = Е ,

| /ЛБ = Е, | х3/ЛБ = М1 , С 1 = С[т . Варьируя функ-

X Б

ционал (7), интегрируя по частям и собирая слагаемые при одинаковых вариациях, получим

ЗЬ = | \Зи0 ((СпЕи0 ')'-(аЕРо У+ра1 Еий + Е)+

(8)

-ia — Fpü -(kFpо')'+ R

+ Spü ^ aFu0 '+a + Sw(- (CJ') ' '-(J) '' -(pa2 JW) '+pa2 Fw + F3)+ + I - Jw ' '+a

- ia— Jp - (Jp')' +Ml R

>dx3 -

-FCnu0 'Su0 j'0 +CnJw''Sw'j'0 -(CnJw'')'Sw j'0 +

+ aFp0Su0 j° -aJplSw'j° +(aJpl)'Sw j° +Jpa2w'Sw j° +

aFu0'+a

-ia — Fpo - (kFpо')'+F R

= 0.

2. Об изгибных колебаниях (неизвестные функции

w, р) - (CJ')' '-(aJp)' '-(pa2 Jw ')'+pa2 Fw + F3 = 0,

/2

- Jw ' '+a

2

- ia — Jp - (Jkpl')' +Mj R

= 0.

Приравнивая нулю коэффициенты при соответствующих вариациях во внеинтегральных слагаемых в (8), получим соответствующие граничные условия для различных задач. Для 1:

(9)

(10)

(С11о'-аРо Е) 1=1 = ^=0 = 0'

Ро1 ч=, = 0' Ро1 Х1=0 = 0 Для 2:

((С„ /4 ")-(а/р1)'-ра2 /4 'Ц = Р3, 4 = 41 = 0, р 1 , = 0, р 1 = 0,

1x1=0 1x1=0 ' г1 1x1=, ' г1 1x1=0 '

(С114 ' ,-аР1 | х =, = М.

Граничные условия (9) отвечают задаче о продольных колебаниях стержня, (10) - об изгибных.

Расчет амплитудно-частотных характеристик (АЧХ) пороупругого стержня при продольных колебаниях

В качестве примера рассмотрим задачу о продольных колебаниях стержня с постоянными характеристиками, жестко защемленного на левом конце и нагруженного нормальной нагрузкой на правом (массовые силы отсутствуют). Соответствующая краевая задача имеет вид

CUo'ap0 '+pa щ = 0,

- ia<—— Sp0 - kSp0' '+u0'' (kpfa2 - iaa)= 0,

(11)

(12)

+ a(kFp0'Sp0 j0 +kJp 1S j0) +

+ Р1ЗЩ0 IХ3 =, -МЗ IХ3=, +Р3ЗР0 IХ3 =, = ^

где Е - площадь поперечного сечения стержня; / -момент инерции стержня относительно нейтральной оси. Приравнивая к нулю выражения при независимых вариациях, получим 2 несвязанные задачи.

1. О продольных колебаниях (неизвестные функции

Щ>, Р0) (СцРи^У-(аЕр0)'+ра2 Еи 0 + Е1 = 0,

Х1=0 = 0, (С»и0 '-аР0) Х1=, = /0,

кр, = 0, кр, = 0.

х1=0 х1=,

Представим расчеты для следующих значений параметров: ^ = 5^109 Па, Л=109 Па, а=0,5, р= 1468 кг/м3,

рf = 1000 кг/м3, Ф = 0,3 , к = 10-10 м4/Н-с. Несложный анализ задачи свидетельствует о том, что при различных слагаемых в уравнениях (11) стоят коэффициенты, порядки которых сильно разнятся. Необходимо правильно обезразмерить задачу. Для этого

введем безразмерные величины: и = —, I = —, £ = Х ,

Рк I

I

7i =■

a • Ä

C„

C, • C • R

Ä c11 •C0 • r , _ /c1L , =a2

у =— • C0 •0 d =

70 k • R ' d0

k

-a • C0 • l k • Ä0

ICn p

pH

C11

c 2

d1 = pf D •

С учетом введенных параметров система (11) и граничные условия (12) принимают вид:

д 2U dt 2rr А

—T-7i — + К U = 0,

д^2 д^

д 2t

. + iK7nt + -— iiKdn - к2d ) = 0.

д^2 '

ЛТ Т f 0

—(0) = 0, — (1) - 71t(1) = Р., Р, = j^,

си

(13)

0

0

Решение системы (13) будем искать в виде

и = 2 А/-*1 , г = 2 В/в

Характеристические показатели Ят определяются из характеристического уравнения 4-й степени

Я + Я(к2 + ¡к/0 + гкйй -к2йх)+ гкъу0 = 0 , а связь между коэффициентами А и В находится из 2-го

/-ПЧ о л Ят(гкЛ°-к2йх) уравнения системы (13): Вт = Ат ту -^.

Ят + К

Далее коэффициенты А/ определяются из граничных условий (14), для которых получим систему линей-

Л<(

ных уравнений £ A = 0, Ё A, Л е'

j=i

j=i

1кйп -к d Л + к

= R,

6 A?j(iKd0-к2d) п 6 л Л2{{к}0-к2dj)

ё1 j Л2 + iKYo

= 0, Ё A

j=1 Л j + iKYo

'-еЛ = 0.

На рисунке представлены АЧХ задач для пороуп-ругого стержня, причем точками обозначена АЧХ рассматриваемой задачи, черным цветом - чисто упругой задачи, которая получается, если положить параметр Био а = 0.

400 -

300 -

200 -

100-

оН

U, Ua

1 (И*»

0 1 2 3 4 5

АЧХ пороупругого стержня: О - ||| ;--|UB|

Нетрудно установить, что АЧХ для пороупругого стержня ограничена при наличии диссипирующего механизма, а также что ее собственные частоты смещены влево.

Таким образом, для задач пороупругости построен функционал, из стационарности которого вытекает постановка краевой задачи пороупругости, что позволяет строить корректные упрощенные модели.

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант №10-01-00194-а), ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009 - 2013 гг. (госконтракт П596) и частичной поддержке Южного математического института (г. Владикавказ).

Литература

1. Городецкая Н.С. Волны в пористо-упругих насыщенных жидкостью средах // Акуст. вестн. 2007. Т. 10, № 2. С. 43 - 63.

2. Cowin S.C, Nunziato J.W. Linear elastic materials with voids // J. Elasticity. 1983. Vol. 13, № 2. P. 125 - 147.

3. Fillunger P. Der Auftrieb von Talsperren, Teil I-III // Osterr. Wochenschrift fur den offentlicen Baudients. 1913.

B. 7. S. 510 - 532.

4. Terzaghi K. Von Die Berechnung der Durchlassigkeit des Tones aus dem Verlauf der hydromechanischen Spannungserscheinungen // Sitzungsber. Akad. Wissensch. Math. Naturwiss. Klasse. 1923. B. 132. S. 125 - 128.

5. Био М.А. Механика деформирования и распространения акустических волн в пористой среде // Механика : период. сб. переводов иностр. ст. 1963. Т. 6, № 82.

C. 103 - 134.

6. Френкель Я.И. К теории сейсмических и сейсмоэлек-трических явлений во влажной почве // Изв. АН СССР. Сер. географ. и геофиз. 1944. Т. 8, № 4. С. 133 - 149.

7. Biot M.A. Theory of propagation of elastic waves in fluid-saturated porous solid. Part I. Low frequency range // J. Acoust. Soc. Amer. 1956. Vol. 28, № 2. P. 168 - 178.

8. Biot M.A. Theory of propagation of elastic waves in fluid-saturated porous solid. Part II. Higher frequency range // J. Acoust. Soc. Amer. 1956. Vol. 28, № 2. P. 179 - 191.

9. Био М.А. Теория упругости и консолидации анизотропной проистой среды // Механика : период. сб. переводов иностр. ст. 1957. Т. 1, № 35. С. 140 - 147.

10. Био М.А. Обобщенная теория распространения акустических волн в диссипативных пористых средах // Там же. 1963. Т. 6, № 82. С. 135 - 155.

11. Маслов Л.Б. Математическое моделирование колебаний пороупругих систем. Иваново, 2010. 264 с.

12. Ватульян А.О., Ковалева В.В. Вариационный принцип термо-электроупругости и его применение в задаче о колебаниях тонкостенного элемента // Прикладная механика и техническая физика. 2002. Т. 43, № 1. С. 1 96 - 201.

Поступила в редакцию

25 марта 2011 г.

4

4