CC BY
50
Математика
УДК 517.53
О ТОЧНОМ И ПРИБЛИЖЕННОМ РЕШЕНИИ ЗАДАЧИ ФАКТОРИЗАЦИИ ВИНЕРА-ХОПФА ДЛЯ МЕРОМОРФНЫХ МАТРИЦ-ФУНКЦИЙ
В.М. Адуков
Предложен алгоритм явного решения задачи факторизации Винера -Хопфа для мероморфных в многосвязной области матриц-функций. Для рациональных матриц-функций алгоритм реализован в системе Мар1е в виде двух пакетов программ, позволяющих вычислять частные индексы и факторизационные множители точно, когда это возможно, или приближенно. Вычислительные эксперименты показали, что, несмотря на неустойчивость задачи, алгоритм позволяет находить приближенное решение с высокой степенью точности.
1. Введение
Задача факторизации Винера - Хопфа (краевая задача Римана) - одна из важнейших задач анализа. Она находит многочисленные приложения в различных разделах математики, механики и математической физики. Широко известна определяющая роль, которую играет эта задача при решении систем сингулярных интегральных уравнений с ядром Коши [1] и систем уравнений Винера - Хопфа. Она является одним из существенных этапов при интегрировании нелинейных эволюционных уравнений методом обратной задачи рассеяния [2] и составляет основу для решения обратной задачи рассеяния для матричного дифференциального оператора. В топологии голоморфные векторные расслоения на сфере Римана классифицируются с помощью инвариантов краевой задачи Римана - частных индексов [3]. Уже традиционным является приложение краевой задачи Римана к проблемам механики сплошной среды [4]. В последнее время краевая задача Римана стала использоваться при исследовании асимптотики ортогональных многочленов и знаменателей диагональных аппроксимаций Паде [5].
Применение задачи факторизации Винера - Хопфа сдерживается отсутствием в матричном случае явных формул для факторизационных множителей и для важных целочисленных инвариантов задачи - частных индексов. Поэтому главной нерешенной проблемой в теории факторизации является отыскание случаев, когда задача решается эффективно или явно. Принято говорить, что задача решается эффективно, если существует алгоритм ее решения за конечное число шагов (заранее неизвестное, а определяемое в процессе вычислений). Под решением в замкнутой форме или в квадратурах понимается решение в виде формулы типа формулы Гахова в скалярном случае. Впрочем, термин «решение в замкнутой форме» часто используется как синоним явного в каком-нибудь смысле решения. В данной работе мы считаем, что задача факторизации решена явно, если она сведена к решению конечного числа конечных систем линейных алгебраических уравнений, матрицы которых выписываются в замкнутой форме (в квадратурах). Число таких систем также должно быть определено заранее.
Другая важная нерешенная проблема в этой области - это проблема приближенного решения задачи факторизации. Основная трудность здесь в том, что в общем случае частные индексы неустойчивы при малом возмущении, а факторизационные множители при этом не зависят непрерывно от возмущения. Необходимым и достаточным условием устойчивости задачи является условие Гохберга - Крейна - Боярского: разность между наибольшим и наименьшим частными индексами должна не превосходить 1. Все известные приближенные методы факторизации начинают с априорного предположения, что частные индексы устойчивы. Поскольку эффективных способов проверки условия Гохберга - Крейна - Боярского нет, то практическая ценность этих методов невелика. Задача приближенного решения в неустойчивом случае даже и не ставилась.
Цель данной работы - показать, что приближенное построение факторизации Винера - Хоп-фа и вычисление частных индексов в неустойчивом случае не является безнадежной задачей.
В качестве класса матриц-функций, на котором мы собираемся продемонстрировать это, был выбран класс мероморфных матриц-функций, довольно часто встречающийся в приложениях в механике. Для таких матриц-функций один из факторизационных множителей является рациональным, то есть определяется конечным числом параметров. Это позволило в работе [6] получить средствами линейной алгебры явное решение задачи факторизации Винера - Хопфа для мероморфных в односвязной области матриц-функций. Прежде всего мы перенесем результаты указанной работы на многосвязные области и предъявим алгоритм явного решения задачи факторизации в этом случае. Входными данными для нашего алгоритма является конечный набор степенных моментов факторизуемой матрицы-функции относительно границы области. Если моменты являются матрицами с элементами из поля Q(/'), то алгоритм можно реализовать программно средствами компьютерной алгебры и получить точное решение задачи. В качестве среды для такой реализации была выбрана система компьютерной математики Maple.
Полученное явное решение задачи факторизации позволило выяснить причину неустойчивости и выбрать средства борьбы с этим явлением. Для данного класса матриц-функций неустойчивость обусловлена неустойчивостью задачи нахождения ранга матрицы и решения системы однородных алгебраических уравнений. Хорошо зарекомендовавший себя в практических вычислениях метод борьбы с такой неустойчивостью - использование сингулярного разложения матриц. Применение данного разложения позволило реализовать алгоритм программно и в тех случаях, когда точное решение получить нельзя.
Вычислительные эксперименты показали, что приближенное решение с высокой степенью точности аппроксимирует точное решение.
2. Алгоритм явного решения задачи факторизации
Пусть Г - составной контур, состоящий из п +1 замкнутых гладких жордановых контуров Г0,...,Г„. Контуры Гу попарно не пересекаются и Г1,...,Г„ лежат внутри Г0 . Контур Г считается ориентированным в положительном направлении. Обозначим D+ ограниченную (л+1)-связную область с границей Г, D_ - открытое несвязное множество, являющееся дополнением D+Ur bC = CU {°°}. Считаем, что 0 е D+ .
Пусть a(t) - непрерывная и обратимая на контуре Г матрица-функция порядка р. Правой факторизацией Винера-Хопфа a(t) называется ее представление в виде
a(t) = r_(t)dr(t)r+(t), teT. (1)
Здесь r±(t) - непрерывные на Г матрицы-функции, аналитически продолжимые в D± и обратимые там, а
dr(0 = diag [/А ,...,tPp],
где рх,...,рр - целые числа, которые называются правыми частными индексами a{t). Их можно
считать упорядоченными по возрастанию: рх < ...< рр. Если все индексы равны нулю, то факто-
ризация называется канонической.
Аналогично определяется левая факторизация Винера - Хопфа:
a(t) = l+(t)dl(t)l_(t\ teT, (2)
2 Я
dt(t) = diag [п р ], \ >...>Лр - левые частные индексы a(t). Наш метод требует одновре-
менного рассмотрения правой и левой факторизаций.
Легко видеть, что Xy=i Р] = Xy=i = к> где
1 ”
к = indr det a(t) := — V [arg det a(t)\ r 2**=o
- индекс Коши скалярной функции det a(t). Здесь [arg det a(t)\ означает приращение arg det a(t) при однократном обходе кривой Гk в положительном направлении.
функцией краевой задачи Римана с матричным коэффициентом a(t), и наоборот, по любой канонической матрице-функции легко восстановить левую факторизацию Винера - Хопфа коэффициента a{t).
Известно, что факторизации Винера - Хопфа существуют для матриц-функций с гельдеров-скими коэффициентами [1]. Для мероморфных в области D+ матриц-функций для существования факторизации достаточно потребовать непрерывности их граничных значений.
Для того, чтобы задачу факторизации можно было решить средствами линейной алгебры требуется, чтобы один из факторизационных множителей был рациональной матрицей-функцией. Имеет место следующее очевидное
Предложение 1. Матрица-функция a(t) допускает правую (левую) факторизацию Винера -Хопфа, для которой множитель r_(t) (/_(0) является рациональной матрицей-функцией тогда и только тогда, когда a(t) мероморфно продолжается в многосвязную область D+.
Далее мы ограничимся только этим случаем. Более сложная ситуация, когда a(t) мероморфно продолжается в несвязное множество £>_ (т.е. является кусочно-мероморфной функцией) будет рассмотрена отдельно.
Факторизация Винера - Хопфа мероморфной матрицы-функции легко сводится к факторизации аналитической матрицы-функции. Пусть непрерывная и обратимая на контуре Г матрица-функция a{t) мероморфно продолжается в область D+ и имеет там в точках tu...,tn полюсы
кратностей кх,...,кп, соответственно. Введем матрицу-функцию a(t) = (?-/,)*' •■•(/-tn)k"a(t). Это, очевидно, непрерывная и обратимая на контуре Г матрица-функция, аналитически продол-жимая в D+. Обозначим к = indrdeta(t) = indrdeta(t) + Np, где N = kx +... + kn - число полюсов a(t) в области D+ с учетом их кратностей.
Если рх,—,р р,Лх,—,Х р ~ соответственно правые и левые частные индексы а((), а
/_(/), r_(t) - факторизационные множители этой матрицы-функции, то легко видеть, что индексы и факторизационные множители a(t) находятся по формулам
Итак, далее можно ограничиться случаем аналитической в D+ матрицы-функции a(t). Оказалось, что основные результаты работы [6] и их доказательства непосредственно переносятся на случай многосвязной области D+. По этой причине мы ограничимся переформулировкой необходимых нам утверждений, уделяя особое внимание вычислительной стороне дела.
Для аналитической в области D+ матрицы-функции a(t) факторы 7_{t), L(t) являются матричными многочленами от Г] и в условиях точных вычислений мы сможем найти их точно. Что же касается аналитических факторов r+(t), 1+ (/), то используемый нами конечный метод позволит найти конечное число их тейлоровских коэффициентов в точке z = 0. Далее эти коэффициенты могут быть использованы для приближения матриц-функций r+(t), l+(t).
Зададим v + 1 - число тейлоровских коэффициентов r+(t), l+(t), которые мы хотим найти. Далее выполняем следующие шаги.
1. Составим конечную последовательность степенных моментов Cj матрицы-функции a(t)~] относительно контура Г:
Ясно, что пара матриц-функций (/+(/), /_1 (t)dt'(/)) является канонической матрицей-
Р] =Pj~N> Aj =Aj-N, у =1,2,
1 2 пъ
3 ’а(/) у' = -у-2к,...,у.
Здесь интегрирование проводится по составному контуру Г = (^ Гл в положительном направлено
нии, т.е. в том направлении обхода, при котором область £>+ остается слева, и к - тёг с1е1 а(0 = Ир + к .
2. Найдем индексы и существенные многочлены данной последовательности (определения и доказательства используемых ниже утверждений см. в работах [6, 7]). Для этого из моментов с}
составим последовательность блочных теплицевых матриц
Тк =||с,_у|| 1=кМК-,у , -у-2к<к<у.
J=0,\,...,k+v+2к
3. Пусть (1к = <Шп кегТк и с/_к_2^_1 := 0, йу+х\={2у+ 2к+ 2)р. Составим разности
Ак = с1к — с1к_\, —V — 2к < к < V +1. При этом должны выполняться условия А_у_2^ = 0, Д„+1 = 2р {тест на регулярность последовательности) и последовательность Ак должна быть монотонно возрастающей:
О = Д_г_2*= ^ А_и_2г+1 < • • • < Д,, < Д„+1 = 2р.
(тест на монотонность).
4. Это означает, что существует 2р целых чисел р1,...,р2р (индексов последовательность<)
таких, что
'-у-гк
4+1
= Д
»\
= д
Мм
= О,
= I,
(3)
= д.<
\“2р+1 = "• = “У+1 = 2Р-
Если / -я строка в этих соотношениях отсутствует, то считаем, что р1 = рм . Для полученных из таблицы (3) индексов должно выполняться соотношение
2 Р
2>,=-2*г/>
»=1
{тест на сумму индексов).
5. После определения индексов перейдем к построению правых существенных многочленов данной последовательности моментов. Для этого нам понадобятся ядра кег Тк матриц Тк. Удобно перейти от пространств кег Тк к изоморфным им пространствам Ик производящих векторных
многочленов. Пусть А - блочная матрица с блоками из Срхр, имеющая блочные размеры {п +1) х {т +1). Разобьем столбец Я е кег А на т +1 блоков:
г, <= С'х1,
от
и определим производящий векторный (столбцовый) многочлен Щ) = г0 + + • • • + гт1т. Пусть
Ык - пространство производящих многочленов векторов из кегГА. Тогда Ык = {0} для
у-2к<к<рх \ =Ик+ Шк для к фр} , у = 1,...,2р; А^+1 = [л^ + ,+1. Здесь Я^.+|
- подпространство N , размерность которого совпадает с кратностью к} индекса р] .
Любые векторные многочлены Я^(г),...,К]+к_х{г), образующие базис дополнения Н^ +х,
будем называть правыми существенными многочленами последовательности, соответствующими индексу ц}, 1 <у <2р.
Анализ цепочки пространств +1 с помощью теста на обратимость матрицы Ад (см. [6], теорема 3.1; [7], теорема 4.1) позволяет определить 2р правых существенных многочленов Кх(г),...,Я2р(г).
Из правых векторных (столбцовых) существенных многочленов составим матрицу
К(0 = (ад...Лгр(0)
и ее подматрицы
к,(о=(ад...*//)), к2(0=(/гр+1(0...Д2р(0).
6. Правые существенные многочлены Кх((),...,Кр(0, ДЛЯ которых свободные члены
Кх(0),...,Яр(0) равны нулевым столбцам, мы будем называть факторизационными. Для данной
последовательности моментов факторизационные существенные многочлены всегда существуют и в процессе построения системы многочленов /г1(/),...,Л2р(0 мы будем добиваться выполнения
этого условия (тест на существование факторизационных существенных многочленов)
7. Для построения факторизации Винера - Хопфа, помимо правых существенных многочленов, требуются левые, которые могут быть определены аналогичным образом из анализа левых ядер последовательности матриц Тк . Однако, для приближенного построения факторизации нам
потребуются специальные левые существенные многочлены от Гх, которые строятся по правым многочленам с помощью процедуры согласования существенных многочленов. Опишем эту процедуру.
V
Пусть с(0 = ^ с^} - производящая функция последовательности моментов с},
^у-2 к
*/(0=<^
РгР
Тогда с(0Щ0 допускает следующее разложение
с(0Щ0 = а-(^(0-/,'+,^ + (0,
где /?+ (I), аг_(0 - матричные многочлены от /, ( 1, соответственно, однозначно определяемые данным разложением. Составим теперь матричный многочлен
( ЩО "1
в.(0 =
размером 2р х 2р . Он является унимодулярным матричным многочленом, т.е. имеет постоянный отличный от нуля определитель (тест на унимодулярность).
Из последних р столбцов матричного многочлена В”1 (О составим матричный многочлен Ь+(0 от / размером 2р х р и построим матричный многочлен Ь(0 = *1,+1^(01'+(0 от Г1. Строки Ц(/)>••• ,^2Р(О этого многочлена и образуют левые существенные многочлены, согласованные с данными правыми существенными многочленами Кх(1),...,Я2р(().
Из левых существенных многочленов сформируем две матрицы
/. / ч\ А(0
ь,(0 = , 4(0 =
Аналогичный смысл имеют обозначения Ц (/), Ь2(0 ,
Алгоритм явного построения факторизации завершен. Теперь мы готовы сформулировать основной результат о явном решении факторизационных задач (1), (2) для мероморфных в многосвязной области D+ матриц-функций.
Теорема 1. Пусть матрица-функция a(t) непрерывна и обратима на составном контуре Г и мероморфно продолжается в многосвязную область Z)+. Пусть a(t) имеет полюсы в точках tx,...,tneD+ кратностей ku...,kn, соответственно. Обозначим к = indrdeta(t) + Np, где N = kx + ...+kn - число полюсов a(t) в области D+ с учетом их кратностей. Составим из моментов матрицы-функции о”1 (t) =-----------^— относительно контура Г последователь-
(/-/,)' ...{t-t„fn
ность c_v_2g,c_v_2r+\..;cv, где у>0 и
1 г t~J~xa~x{t)dt
2т^
Тогда эта последовательность регулярна и обладает факторизационными существенными многочленами.
Пусть /л1,...,р2р - индексы, а Л,(0^2Р(0 - любые согласованные факторизационные существенные многочлены данной последовательности.
Тогда правые ри...,рр и левые Л\,...,Лр частные индексы и факторизационные множители матрицы-функции а(/) находятся по формулам:
р;=М;+2к- И, Л, = -мр+; -N,j=: 1 ,...,р,
=7-----оГ-7-----ш = -----------------------^ ь2(0-
(/-/1Г •••('-*„)" Ц-ЧГ -«-(„Г
В условиях точных вычислений аналитические в £)+ множители г+ (/), /+(/) могут быть восстановлены по формулам:
г+ (0 = (/>_"' (0а(0, К(0 = «(ОС1 (О^Г1 (О-
В условиях приближенных вычислений мы можем следующим образом найти тейлоровские многочлены степени у для аналитических множителей г+ (?), /+(/)•'
г+ (0 = 1+(О + и О = К2(0 + 0(Л+1).
Предложенный алгоритм может быть реализован точно средствами компьютерной алгебры, если матричные моменты су имеют элементы из поля (2(г). В противном случае для численной
реализации алгоритма, помимо стандартных процедур типа вычисления индекса Коши и нахождения контурных интегралов, требуется отыскание ранга блочных теплицевых матриц и решение систем однородных уравнений с такими матрицами. Сложность этих операций в их неустойчивости. В настоящее время единственным методом решения этих задач, хорошо зарекомендовавших себя в практических вычислениях, является метод сингулярного разложения матриц. Операция согласования существенных многочленов требует обращения унимодулярного матричного многочлена. Эта процедура сводится к обращению постоянной матрицы и последующего нахождения коэффициентов унимодулярного матричного многочлена по рекуррентным формулам с помощью операций сложения и умножения матриц.
В качестве среды для первоначальной программной реализации предложенного алгоритма была выбрана система компьютерной математики Мар1е, имеющая достаточно удобный для наших целей пакет 1лпеагА1§еЬга.
Созданы два пакета программ Еха^РасШпгайоп и АрргохРа^опгайоп, оформленные в виде процедур.
3. Описание пакета ExactFactorization
Процедура ExactFactorization предназначена для точного построения факторизации Винера -Хопфа с помощью операций точной арифметики. Это налагает следующие ограничения на a(t).
1. Элементы матрицы-функции a(t) являются рациональными функциями с коэффициентами из поля Q(/).
2. Контур Г состоит из попарно непересекающихся окружностей Yj: \z-Zj\=Rj,j = 0,...,n. Окружности Г,,...,Г„ лежат внутри Г0 .
3. Полюсы a(t) и нули deta (/) в области D+ принадлежат Q(/).
Эти условия проверяются процедурой и при их нарушении выдается сообщение о невозможности точного построения факторизации. В ходе выполнения процедуры проводятся описанные в алгоритме тесты, позволяющие контролировать правильность вычислений. После нахождения факторизационных множителей проводится проверка их аналитичности и обратимости в соответствующих областях. Если правые (левые) частные индексы a(t) равны между собой, то строится единственная правая (левая) факторизация, нормированная условием г_(оо) = 1р (/_(«>) = /,).
Перед обращением к процедуре следует подключить пакет LinearAlgebra. Процедуре ExactFactorization передаются следующие параметры: квадратная матрица a, элементы которой
(*о V
должны быть рациональными функциями от переменной t; матрица zR= : : и число
t0eD+ . (В теореме 1 предполагается, что 0 е D+ . В процедуре это условие не является обязательным. В ней используются формулы, полученные из формул данной теоремы заменой t на t-t0.). Приведем пример обращения к процедуре ExactFactorization.
>with(LinearAlgebra): A:=Matrix([[(2*t+6)/t2 ,(t-l)/((t-2)*(t+99/100)2 )],[l/t2 ,(t-l)/(t*(t+l))]]): zR:=Matrix([[0,3.1 ], [-1,1 /5], [2,1 /5]]):
>ExactFactorization(A,zR,0);
Процедура ExactFactorization возвращает шесть матриц порядка р - множителей в правой и левой факторизаций Винера - Хопфа рациональной матрицы-функции a . Их имена: exactrminus, dr, exactrplus, exactlplus, dl, exactlminus.
4. Описание пакета ApproxFactorization
В случае, когда точное построение факторизации невозможно, процедура ApproxFactorization позволяет найти приближенное решение задачи. Ограничения 1-2 действуют и здесь. Связано это не с требованиями метода, а только с неразработанностью соответствующего программного обеспечения. В дальнейшем эти ограничения предполагается снять. Помимо параметров a, zR, t0, процедуре ApproxFactorization передаются еще два параметра: v и precision. Здесь v +1 -число необходимых тейлоровских коэффициентов аналитических факторов r+(t) и /+ (?), precision - число необходимых десятичных разрядов в результате. Промежуточные вычисления проводятся с двойной точностью. Факторизационные множители r_(t), l_(t) находятся по тому же алгоритму, что и в случае точных вычислений. Оказалось, что тейлоровские многочлены дают не очень хорошее приближение множителей r+(t) и /+(0. По этой причине по известным тейлоровским коэффициентам элементов данных матриц находятся диагональные аппроксимации Па-де типа [у] этих элементов. Поскольку элементы матрицы-функции а являются рациональными функциями, то их аппроксимации Паде при достаточно больших v совпадают с данными функциями. К сожалению, степени числителя и знаменателя рациональных дробей нам неизвест-
ны, поэтому число v приходится подбирать экспериментально. Стандартная процедура Maple, вычисляющая аппроксимации Паде, оказалась не пригодной для наших целей. Поэтому была разработана собственная программа, основанная на работе [8]. При приближенном построении факторизации осуществляется тот же комплекс проверок, что и при точном решении.
Процедура ApproxFactorization возвращает 8 матриц: approxrminus, dr, approxrplus, approx-Iplus, dl, approxlminus, nevyazkaR, nevyazkaL. Матрицы
nevyazkaR :=a- approxrminus • dr • approxrplus', nevyazkaL := a-approxlplus • dl • approxlminus используются для контроля вычислений.
Пример обращения к процедуре:
>with(LinearAlgebra): A:=Matrix([[(2*t+6)/t2 ,(t-l)/((t-2)*(t+99/100)2 )],[1/12 ,(t-l)/(t*(t+l))]]): zR:=Matrix([[0,3.1],[-l,l/5],[2,l/5]]):
>nu:=10:precision:=10:
>ApproxFactorization( A, zR,0,nu, precision);
5. Результаты вычислительного эксперимента
Приведем результаты работы процедур Еха^Раситгайоп, АрргохРас1:опга1:юп для матрицы-функции
а (/) =
2/ + 6
/-1
(/-2)(/ + ^)2
/-1 /(/ + 1)
в области £>+, ограниченной окружностями |г|<3,1, |г +11<, \г-2\<^. Процедура Арргох-
Расіогігаіїоп будет возвращать факторизацию с 10 десятичными разрядами. Для сокращения записи незначащие нули удалены.
ЕхасіРасилігаїїіоп дает правую факторизацию с равными частными индексами:
а(/) =
Г/ + 3 / -24 'I / (\ t \ 0 / 2 8(31250/3 -4350/2-94397/ -58806) (/ - 2)(100/ + 99)2(/ +1)
1 t-4 0 1 0 V 10000/4 + 29800/3 -35399/2 -113999/-58806
1 It t J \ t) (/ - 2)(100/ + 99)2 (/ +1)
Факторизация является устойчивой и строится единственным образом, поскольку множитель г_(/) пронормирован условием г_ (со) = /2.
Правая факторизация, построенная процедурой АрргохРасймчгайоп с той же нормировкой, имеет вид
a(t) =
f (3,0+t) -24,0 ^ \lt oN Ґ 2,0 -47,04479999 - 75,5176/ - 3,480000004/2 + 25,0/3)"
t / -1,9602 - 4,9401/ - 2,9999/2 + 0,9799999998/3 + /4
0,5 (-4,0 + /) 0 1 It \ 0 V -5,8806-11,3999/ - 3,5399/2 + 2,98/3 + /4)
t \ t У -1,9602-4,9401/-2,9999/2 + 0,98/3 +/4 J
Имеется невязка порядка 10 в коэффициентах числителя и знаменателя элемента (г+(/)),2 . Остальные элементы приближенных факторизационных множителей совпадают с соответствующими элементами точных факторизационных множителей в пределах заданной точности вычисления.
Левая факторизация является неустойчивой. Результаты построения точной левой факторизации даны ниже (множитель /+(/) приведен поэлементно):
/+ -388129401/
11 ~ 338131901(/-2)(/ + 99/100)2 ’
-12378957030000/4 -37945915451900/3 +41230847985497/2 + 141118872246297/ + 72795694710618
£(0 =
3713687109(/ - 2)(100/ + 99Г
,+ /4Ч -388129401 . 1+/л -/(1035768802 + 422649401/).
^21 СО — „01 т 1 пт/, ГГ’ ‘22СО — -
338131901(^ + 1)
14854748436(/ +1)
«/,(/) =
1 о о 1
^338131901(422649401/2 -1440022604/-2475791406) -338131901(/-1)'
/-(0 =
960927435411727806/ -6
388129401/
0
Результат работы процедуры АрргохРасШпгайоп имеет вид:
+ -8,239809212/
*11 СО —
-1,9602-2,9799/-0,02/2 +/3 ’
&(') =
-0,03948949953-0,1070269633/-0,02962103967/2 +0,09464152569/3 +0,006715216054/4 -0,5291543514 - 0,804421514/- 0,005398983281/2 + 0,2699491641/3
/+ -8,239809212 + -0,07982426467-0,0153 231296/ + 0,1954868349/2
12 1 + / ’ 22 0,7071067812 + 0,7071067812/
( ^
I 1 0
4(0 =
Vе к
\ / /
^ 2,697536622/2 - 0,3328069794/ -1,222862691 -(0,1213620333/ - 0,1213620333)^
80,39924907
В этом случае факторизация строится неединственным образом, что затрудняет сравнение полученных факторизаций. Для проверки определим матрицу
ОХ 0 =
0,5572283851
-0,4461364273/2 -0,04370296751/-0,1835834430Л
-13,39987485
Легко видеть, что для любой левой факторизации Винера - Хопфа a(t) = l+(t)di(t)l_(t) представление a(t) = (l+(t)Q+(t))dl(t)(Q_(t)l_(t)) - также левая факторизация a(t). Здесь
Q+(t) = dt(t)QZl (t)dfl (t). Если взять множитель Г(/) из точной факторизации a(t), то
-0,1213620333(/-1)4
' 2,697536622/2 - 0,3328069794/ -1,222862691
Qjom=
80,39924910
0
ч /
Сравнивая эту матрицу-функцию с множителем /_(/) из приближенной факторизации мы видим, что ошибка имеется только в последнем 10 десятичном разряде элемента (/_(0)г1 • Найдем теперь множитель /+(/)£?+(/) и сравним с /+(/) из приближенной факторизации:
П(*Ш0 =
' 82398,09211/ 3505,901787/3 -1097,28214/2 - 3964,708081/-1462,849483+ 248,7585421/4 4
(/ — 2)(100/ + 99)
-8,239809211 t + 1
(100/+ 99) (/-2)
0,2764601332/2 - 0,0216701lilt - 0,1128885577 / +1
Здесь также имеется ошибка только в последних десятичных разрядах.
Вычислительные эксперименты, проведенные с другими рациональными матрицами-функциями также подтверждают вывод о том, что алгоритм дает высокую степень точности даже в неустойчивых случаях.
Работа выполнена при поддержке РФФИ-Урал, грант № 07-01-96010.
Литература
1. Векуа, Н.П. Системы сингулярных интегральных уравнений / Н.П. Векуа. - М.: Наука, 1970.-380 с.
2. Захаров, В.Е. Интегрирование нелинейных уравнений математической физики методом обратной задачи рассеяния. II / В.Е. Захаров, А.Б. Шабат // Функц. анализ и его прил. - 1979. --Т. 13, вып. 3.-С. 13-22.
3. Лайтерер, Ю. Голоморфные векторные расслоения и принцип Ока - Грауэрта / Ю. Лайте-рер // Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. - М.: ВИНИТИ, 1986, С. 75-121.
4. Толоконников, Л.А. Метод граничных представлений в двумерных задачах механики / Л.А. Толоконников, В.Б. Пеньков. - Тула: Изд. ТВАИУ, 1997. - 378 с.
5. Суетин, С.П. Аппроксимации Паде и эффективное аналитическое продолжение степенного ряда / С.П. Суетин // Успехи мат. наук. - 2002. - Т. 57, вып. 1. - С. 45-142.
6. Адуков, В.М. Факторизация Винера - Хопфа мероморфных матриц-функций / В.М. Аду-ков // Алгебра и анализ. - 1992. - Т.4, вып. 1. - С. 54-74.
7. Adukov, V.M. Generalized inversion of block Toeplitz matrices / V.M. Adukov // Linear Algebra Appl. - 1998.- V. 274.- P. 85-124.
8. Адуков, В.М. Задача аппроксимации Паде как краевая задача Римана / В.М. Адуков // Becui НАН Беларусь Сер. Ф!зжа-матэм. навук. - 2004. - №4. - С. 55-61.
Поступила в редакцию 14 января 2008 г.
