CC BY
5
УДК 514.76+517.93
О ТОЧЕЧНО-ТРАЕКТОРНЫХ ИЗОМОРФИЗМАХ КВАЗИГЕОДЕЗИЧЕСКИХ
ПОТОКОВ
В.А. И г о ш и н
(Нижегородский гос. ун-т им. Н.И.Лобачевского )
С помощью осуществленного автором в [1] (см. также [ 2], [ 3] и [ 4]) пуль-
веризационного моделирования найдены некоторые геометрические критерии точечно-траекторных изоморфизмов квазигеодезических потоков.
1. Пусть f = (М, - квазигеодезический поток (КП) на дифференцируемом многообразии М, (НИ) - КП на К,
л2 л' ' dt)
- соответствующие им координатные уравнения ( 1 < 1 , ] < n-1=dimM=dimN; здесь и далее все объекты - достаточное число раз дифференцируемые) .
Диффеоморфизм Ф:М=МхК_^Ы=КхК. в том и только в том случае является точечным квазиизоморфизмом КП f в КП h , если он же является проек-
• х
тивным изоморфизмом стандартных связностей Г^ (х,х) и Н р (у, у) КП f и
h, т.е. если выполнены условия :
• • •а
—а
Гру(х,х)-Грау(х,х) = х , (1)
— а ^
в которых Гру - Ф-поднятие связности Нру , 1 < а, Р, у < П ( см. [3] ) .
Определение. Квазиизоморфизм КП f в КП h назовем точеч-
но - траекторным ,_если он переводит слои расслоения - произведения (М,Рг,М) в слои (К,Рг,К) , т.е. если
Ф(х^) = (Ф(х)Дх^)) ,
где Ф:М^№х^у=Ф(х) - некоторый диффеоморфизм базовых многообразий, а
t = ^х t) -функция на М.
Предложение. Для всякого точечно-траекторного изоморфизма
Ф:М = М х Я ^ N = N х Я КП (М,^ в КП (К, h) его проекция - диффеоморфизм является траекторным изоморфизмом КП f и к
1 /о ^ дt
Замечание. Величины ф^ = 1 / 2—- и а = — по отношению к структуре
дх1 дt
многообразия М являются, соответственно, ковекторным полем и функцией ( зависящей от параметра t ) .
2 . Пусть теперь f и h - автономные КП 2-ой степени по "скорости":
г+в)(х)<1+А'(х),
< аг аг ^
Ь =- н-к(у)а^аУк- + в-Ы^ + А1 (у).
— а
Вычисляя коэффициенты поднятой связности Г ру, находим, в частности (см. также формулы (6) из [ 3] ):
Г-к = Нк1 -Ф ^-ФкВ#- -4ф фкА#1 , (3)
-1
Г 1п =-1 аВ##1 - 2аф , (4)
Г Пп = -а 2А#1 , (5)
Г пк = 2а-1[ф +Ф 1(В11 ф к + В^1 ф 1 + 4ф^ кА#1)] , (6)
Г пп =ф ^ + 4ф 1 ф + а-1ао , (7)
Г Пп = 2аф 1А#1 + а-1(д г а) , (8)
где значком # (диез) отмечены Ф - поднятия (с N на M) соответствующих объек-
^ ■ ~ ■ дф ■ м-
тов Н1к , В1 и А1; ф^к = -Н^ф 1 .
Условия (1) и (3) - (8) приводят к следующему критерию точечно-траекторного изоморфизма КП 2-й степени.
Теорема . Пусть f = (М, f ) и h=(N,h) - два КП 2-ой степени с координатными уравнениями (2). Изоморфизм Ф:М = М х Я ^ N = N х Я расслоений - произведений ^^г^) и (N,Pr,N) , т.е. диффеоморфизм вида
Ф(х, г) = (Ф(х), г(х, г)) тогда и только тогда будет точечно-траекторным изоморфизмом КП f и h в случае А = А1 д1 Ф 0 в каждой точке М, или при A=0 в случае линейной независимости аффиноров В1 и 81 в каждой точке М, когда:
Гк = н£ + к + ф к 81 + ф 1Вк + ф кВ1 + 4ф кА1 , ( 9)
В##1 = ав; + 4аф 1А1 + 2уп 81 , (10)
А#1 = а 2А1 , (11)
ф (1,к) = 2ф (1 ~~к) , (12)
= ф Д1 + 4ф 1 , (13)
а
ф 1А1 = , (14)
а
где а и у п - функции , а у и ф ^ - ковекторные поля на М (не зависящие от " времени " 1 ), запятая в (12) - символ ковариантной производной в связности Н^1 , скобки в (12) обозначают симметрирование. При этом:
эГ
чд у
а
/ -1 -' at
const ф 0 , = -1/2а-
ax1
Замечания. 1) В отличие от критериев траекторных изоморфизмов КП 2-й степени различных типов (например, типов А, Bj и B2 из [5] и [ б]; см. также [ 7]
и [8] ) теорема справедлива и для не типичных (особых) КП .
2) Теорема имеет место для КП любой размерности ( > 1 ), в то время как в типичных траекторных случаях имеются ограничения: dim M>3 для КП типа А, dim M>2 для типов Bj и B2 [5] - [8]; единственное ограничение dim M>2
накладывается в теореме условием линейной независимости аффиноров B1 и
8 j 1 •
3) С помощью доказанной теоремы можно получить критерии инфинитези-мальных точечно - траекторных симметрий КП 2-й степени.
Библиографический список
1. Игошин В. А. Пульверизационное моделирование квазигеодезических потоков // ДАН СССР. 1991. Т. 320. № 3. С. 531 - 535.
2. Игошин В. А. Пульверизационное моделирование. I // Изв. вузов. Математика. 1992. № 6. С. 63 - 70.
3. Игошин В. А. Пульверизационное моделирование. II // Там же. 1994. № 10. С. 26
- 32.
4. Игошин В. А. Пульверизационное моделирование. Ш // Там же. 1995. № 5. С. 39 -
50.
5. Игошин В. А. О квазигеодезических потоках // Горьковск. ун-т. Горький, 1989. 67 с. Деп. в ВИНИТИ 18.01.90, № 392 - В90.
6. Игошин В. А. Гомоморфизмы квазигеодезических потоков 2-й степени // Изв. вузов. Математика. 1990. № 9. С. 14 -21.
7. Шапиро Я. Л. Пространства, включающие проективные системы кривых // Труды семин. по векторн. и тензорн. анализу. Вып. 6. М.: МГУ, 1948. С. 494 - 505.
8. Шапиро Я. Л., Игошин В. А., Яковлев Е. И. Морфизмы дифференциальных уравнений 2-го порядка и 2-й степени // Изв. вузов. Математика. 1984. № 4. С. 80-82.
V.A. I g o s h i n
ABOUT POINT-TRAJECTORY ISOMORPHISMS OF QUASIGEODESIC FLOWS
By means of pulverization (geodesic) modelling theory, which belong to the author, it is obtained some geometric criterions of point-trajectory isomorphisms of quasigeodes-ic flows.
УДК 514.75
НЕГОЛОНОМНАЯ ЛИНЕЙЧАТАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ГЕОМЕТРИЯ МНОГООБРАЗИЙ ФИГУР
В.В. К а й з е р
(Фридрих-Александр-Университет Эрлангена-Нюренберга)
Приводится математическое содержание письма В.С.Малаховскому от В.В.Кайзера о неголономных конгруэнциях и неголономных комплексах прямых в трехмерном проективном пространстве. Указана связь с дифференциальной геометрией многообразий фигур.
Посылаю Вам одну из своих заметок* по локальной дифференциальной геометрии гладких распределений (в русской литературе прижился термин - распределения касательных элементов) на грассмановом многообразии M всех прямых трехмерного проективного пространства. Поскольку dim M=4, возможны только двумерные и трехмерные нетривиальные распределения на этом многообразии. Первые я называю неголономными конгруэнциями, а вторые - неголономными комплексами. Терминология навеяна разумеется тем, что, как Вам безусловно хорошо известно, в случае интегрируемости такового распределения, через каждую прямую l из M проходит его единственное максимальное интегральное многообразие, представляющее собой двумерное или соответственно трехмерное подмногообразие грассманова многообразия, для которых уже, как известно, давно сложились наименования конгруэнций и комплексов. Мне известен ряд работ Литовских и Томских геометров по этой тематике. Первые из них трактуют неголономную линейчатую геометрию несколько иначе, чем это делаю я, а вторые основной упор делают на изучении только совокупности интегральных линейчатых поверхностей (регулюсов или в немецкой терминологии Regelfläche) или в терминологии В.В.Вагнера допустимых регулюсов (непонятно, почему следует считать недопустимыми неинтегральные кривые распределения?), эту совокупность томичи, следуя Инцингеру, называют пфаффовыми многообразиями. Я следую здесь скорее Ю.Г.Лумисте с его подходом к неголономной геометрии на однородных пространствах как к теории распределений на них.
Много основных понятий дифференциальной геометрии неголономных кон-груэнций и комплексов можно перенести на случай неинтегрируемых распределений на грассмановом многообразии. Думаю, что и это Вам также хорошо известно, так же как и то, что при переходе к неголономному случаю некоторые понятия "голономной" геометрии как бы раздваиваются или даже "размножают-
Будет опубликована в следующих выпусках.
