О типичных уравнениях Льенара Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.925

В. Ш. Ройтенберг

О типичных уравнениях Льенара

Грубые уравнения Льенара типичны: множество таких уравнений содержит открытое и всюду плотное множество в банаховом пространстве уравнений Льенара.

Ключевые слова: уравнения Льенара, векторные поля на плоскости, грубые дифференциальные уравнения, типичные дифференциальные уравнения.

V. Sh. Roitenberg

On Generic Lienard Equations

Structurally stable Lienard equations are generic: a set of these equations contains an open and everywhere dense set in Banach space of Lienard equations.

Keywords: Lienard equations, vector fields on the plane, structurally stable differential equations, generic differential equations.

Принято считать, что дифференциальное уравнение, описывающее реальный процесс, должно быть грубым - топологическая структура фазового портрета не должна меняться при малых возмущениях уравнения [3]. Поскольку уравнения Льенара

1: x + f (x)x + g(x) = 0 (1)

важны для теории колебаний - им посвящено много работ (см. [4]), - то представляет интерес вопрос о «типичности» грубых уравнений Льенара.

Уравнение Льенара (1), где f, g е Cr [-d, d], r > 1, определяет автономную систему дифференциальных уравнений x = -y, y = f (x) y + g (x) и векторное поле - yd / dx + (f (x) y + g (x))d / dy на цилиндре D := [—d, d]x R. Мы будем отождествлять эти объекты. Множество таких уравнений Льенара обозначим Лr (D) . Введем в Лr (D) структуру банахова пространства с нормой

111r := ^rJffi]max{f "^g*)(x)}. (2)

Назовем уравнение 1 е Лг (D) грубым (относительно Лr (D)), если существует такое s > 0 , что для всех уравнений 1 е Л (D), для которых 1 — 1 < s, существует гомеоморфизм h : D ^ D, пе-

r

реводящий ориентированные траектории уравнения 1 в ориентированные траектории уравнения 1.

В точках z_ := (-d, 0) и z+ := (d, 0) векторное поле - yd / dx + (f (x) y + g (x))d / dy касается dD = {-d, d} x R, а в остальных точках dD оно трансверсально dD . Если ±g(±d) < 0, то траектория, проходящая через точку z±, состоит только из этой точки. Если ±g(±d) > 0, то траектория, проходящая через точку z±, содержит и дугу вида x = X(y), - Г) < y < Г).

Обозначим Z0 (D) множество уравнений 1 еЛг (D) со следующими свойствами: 1) все особые точки и замкнутые траектории гиперболические [5] и принадлежат (-d, d) x R; 2) нет траектории, проходящей через обе точки z+ и z_; 3) нет сепаратрис, идущих из седла в седло или проходящих через точки z±.

© Ройтенберг В. Ш., 2013

Теорема. 1) Множество Е0 (П) открыто и всюду плотно в Лг (П) . 2) Уравнения из Е0 (П) являются грубыми.

Доказательство теоремы. Пусть уравнение I е Лг (П)\ Е0(П) . Покажем, что в любой окрестности уравнения I в Лг (П) есть уравнение из Е0(П) . Так как в любой окрестности функции из Сг [—й, й] существует аналитическая функция, то без ограничения общности можно считать, что /

I -1

<s.

и g - аналитические функции. Зададим число г > 0 и найдем уравнение I е (П),

Рассмотрим двухпараметрическое семейство уравнений ¡/%} еЛг(П),

¡му(х,у) = — уд/дх + ((/(х) — /и)у + (g(х) — v)д/ду . Особые точки у ¡МУ имеют вид (х0,0) , где х0 -нули функции g(х) — V . По теореме Сарда [6] существует сколь угодно малое У0 > 0, при котором все нули х0 функции g(х) — v0 простые: g'(х0) Ф 0 ; при этом можно считать, что числа ±й нулями не являются. Тогда при достаточно малом ¡и0 > 0 для любого нуля х0 функции g(х) — v0 имеем /(х0) — /и0 Ф 0 . Будем считать, что / <г и v0 < г . Тогда / ^ — I <г. Так как характеристическое уравнение в особой точке (х0, 0) имеет вид Я2 — (/ (х0) — /и0) Я + g'(х0) = 0, то все особые точки у ¡/ гиперболические. При достаточно малом 5 > 0 для всех / таких, что / — /1 < 5, уравнение ¡и имеет те же особые точки, при этом они гиперболические и имеют тот же топологический тип,

что и для I, v , и, кроме того

Mo,vo

-1

< г . Мы можем также считать, что для любой входящей (выходящей) сепаратрисы Ь0 седла поля I на окружности с центром в г0 достаточно малого радиуса для любого / , / — /1 <5 существует единственная точка s(/), непрерывно зависящая от /I, через которую проходит входящая (выходящая) сепаратриса Ц(¡и) седла поля ¡и , совпадающая при / = ¡и0 с Ь0. Будем называть Ц(¡и) продолжением по параметру / сепаратрисы Ь0.

Пусть векторное поле / , / — /0| <5 имеет сепаратрису, идущую из седла 2а в седло 2т. Обозначим ее Ц. Согласно [1] существует единственная последовательность сепаратрис Ь1, Ь2,..., Ьп такая, что при / е {1,...,п — 1} Ц идет из седла в седло, а Ьм является со -продолжением Ц с положительной стороны, и либо (А) все сепаратрисы в этой последовательности различны, а Ьп не является входящей сепаратрисой седла, либо (Б) Ьп = Ц и Ц = Ц и... и Ьп является или (Б1) предельным множеством для траекторий поля ¡и , или (Б2) граничным континуумом для ячейки из замкнутых траекторий.

Рассмотрим случай (А). Пусть сначала Цп с -предельна к узлу или фокусу или при возрастании времени трансверсально пересекает дП . При /> / для любой точки (х, у) е П, у Ф 0, угол поворота вектора / (х, у) к вектору ¡и (х, у) положителен. Отсюда следует, что при достаточно малых ¡и — / > 0 выходящая сепаратриса Ц (/) поля ¡и , являющаяся продолжением по параметру / сепаратрисы Ц седла 2а, также со -предельна к узлу или фокусу или трансверсально пересекает дП. Пусть со -предельное множество со(Ьп) - цикл или сепаратрисный контур. Тогда через точку, принадлежащую Ьп и достаточно близкую к со(Цп), можно провести замкнутую трансверсаль Г векторного поля ¡¡^ . По теореме Жордана Я 2\ г состоит из двух связных компонент. Точка и множество со(Ьп) принадлежат разным компонентам. Если ¡и — /> 0 и достаточно мало, то Г -

трансверсаль и для векторного поля / , а сепаратриса Ь1 (¡¡) также пересекает Г. Но тогда и множество О (Ь1 (¡¡)), если оно существует, также принадлежат разным компонентам и потому не

совпадают.

В случае (Б1) существует такая замкнутая трансверсаль Г векторного поля / , что пересекающие ее траектории предельны к Ь . При / , достаточно близких к /, кривая Г является трансверса-лью и для поля / . В случае (Б2) пусть Г - одна из замкнутых траекторий ячейки. По теореме Жор-

дана R 2\ г состоит из двух связных компонент С1 и С2. Континуум Ь принадлежит одной из них, для определенности С1. Так как при /> / угол поворота вектора /¡^^ (х, у) , у Ф 0 , к вектору /л у0 (х, У) положителен, то при достаточно малых / — / > 0 сепаратриса Ь1 (¡¡) либо не пересекает Г и тогда О -предельна к замкнутой траектории, либо пересекает Г и тогда ее возможное О -предельное множество принадлежит компоненте С2 и не совпадает с 2О .

Пусть по-прежнему Ь1 - сепаратриса, идущая из седла 2а в седло гО, а Ь1,Ь2,...,Ьк - теперь такая последовательность сепаратрис, что Ь1+1 является О -продолжением Ь{ с отрицательной стороны. Аналогично предыдущему доказывается, что при достаточно малых /— / > 0 сепаратриса Ь1 (/) не совпадает с входящей сепаратрисой седла .

Таким образом, если имеются значения параметра / , / — ¡¡0| <5, при которых существует траектория поля /¡^ , идущая из седла 2а в седло гО, то они изолированы. Поскольку число пар сёдел конечно, то существует такой интервал (/, ¡и) ^ (¡¡0 — 5, ¡¡0 + 5), что для любого / из него векторное поле /л (х, у) не имеет сепаратрис, идущих из седла в седло.

Пусть при некотором / е (/, ¡и) векторное поле / имеет выходящую (входящую) сепаратрису Ь0 седла , проходящую через одну из точек г± . Тогда найдется интервал (/, / ) ^ (¡¡, ¡и), где // = / (/ = /), для значений параметра / , из которого сепаратриса Ь(/) пересекается с дБ в единственной точке, причем трансверсально. Если при некотором / е (/, /) уравнение /и имеет сепаратрису, проходящую через одну из точек , то аналогично получаем, что найдется интервал (/2, / ) ^ (/, /), где /л2 = / (/ = /), для значений параметра / , из которого у уравнения /и есть, по крайней мере, две сепаратрисы, пересекающиеся с дБ в единственной точке, причем трансверсально. Повторяя описанную процедуру не более чем 4 N раз, где N - число седел уравнения /, получим интервал (/, / ) ^ (/ — 5, ¡¡0 + 5) для значений / , из которого у уравнения /и все сепаратрисы не идут из седла в седло и не проходят через точки г± . При необходимости уменьшив интервал (¡_, ¡+), мы можем также добиться того, чтобы у /¡^, /ле (/ , ¡+), не было траектории, проходящей через обе точки .

Выберем ¡¡Л е (/ , ¡+) . Рассмотрим поведение траекторий уравнения // «на бесконечности». На множествах \—й, й ] х (0, да) и \—й, й ] х (—да, 0) траектории задаются уравнением йу / йх = —(/(х) — ¡и) — (g(х) — у0 ) / у. Сделав в нем замену 2 = 1/ у, получим уравнение й2 / йх = (/(х) — ¡и)22 + (g(х) — у0)г3. При некотором д > 0 для любого е \—д, 0) (е (0, д]) это уравнение имеет решение Z (х, г0), х е\—й, й], удовлетворяющее начальному условию Z(—й, г0) = г0, причем Z(х, г0) < 0 (Z(х, г0) > 0). График решения является незамкнутой траекто-

рией уравнения ¡/ . Таким образом, все замкнутые траектории уравнения ¡/ лежат в компактном множестве {(х, у) :1/ 2(х, —д) < у < 1/ 2 (х, д), х е [—ё, й]} .

Так как аналитическое векторное поле ¡- имеет только гиперболические особые точки и не имеет сепаратрис, идущих из седла в седло, то число его замкнутых траекторий конечно. Пусть Ь -замкнутая траектория периода т, х = ср(1), у = ц/(1) - ее уравнения. На трансверсали к Ц выберем координату и так, чтобы точка пересечения трансверсали с Ц имела координату и = 0 . Пусть и а Р(и, /) - функция последования по траекториям векторного поля ¡и на трансверсали. По формуле (36) из [2, с. 391] получаем

['/^ м

Э«'- 1

г,'^ л—1 Г I / 2/ чт

р; (0, ¡л) = а 1 | е- ,

где А > 0 . Поэтому р(0, ¡л) > 0 . Из пунктов 32.4 и 18.4 книги [2] теперь следует, что существует интервал ( Д /л + с) ^ (/и—, /+ ), для любого числа / из которого все замкнутые траектории векторного поля ¡и являются гиперболическими. Если Ц проходит через точку г+ или , для определенности пусть через , то в качестве трансверсали к Ц можно выбрать отрезок прямой у = 0 с координатой и = й — х . Тогда при малом с точка и = 0 не будет неподвижной для Р(, /) , то есть через точки и замкнутые траектории ¡и не проходят. Таким образом, при / е ( /л, /л + 5)

¡ еЕ0 (П) и ¡ — ¡ < г , что нам и требовалось.

Открытость Е0 (П) очевидна.

Доказательство грубости уравнений ¡ еЕ0 (П) аналогично доказательству достаточных условий грубости на плоскости [2].

Замечание 1. Если уравнение 1 е Лг (П) является грубым, то из пункта 1) теоремы легко следует, что оно имеет только гиперболические особые точки, конечное число замкнутых траекторий, являющихся или аттрактором, или репеллером, и не имеет сепаратрис, идущих из седла в седло или проходящих через точки . Неизвестно, будут ли замкнутые траектории гиперболическими.

Замечание 2. В работе автора [7] изучались уравнения Льенара с 1-периодическими коэффициентами /(х) и g(х) и соответствующие векторные поля на цилиндре П := Я / Z х Я . Утверждение

теоремы остается верным и для этого случая, если Лг (П) - банахово пространство таких уравнений с нормой, заданной равенством (2) при ё = 1/2, а Е0 (П) - множество уравнений со следующими свойствами: 1) все особые точки и замкнутые траектории - гиперболические; 2) нет сепаратрис, идущих из седла в седло; 3) I /(х)ёх Ф 0 .

0

Библиографический список

1. Андронов, А. А. Качественная теория динамических систем второго порядка [Текст] / А. А. Андронов [и др.]. - М. : Наука, 1966.

2. Андронов, А. А. Теория бифуркаций динамических систем на плоскости [Текст] / А. А. Андронов [и др.]. - М. : Наука, 1967.

3. Андронов, А. А. Теория колебаний [Текст] / А. А. Андронов, А. А. Витт, С. Э. Хайкин. - М. : Наука, 1981.

4. Рейссиг, Р. Качественная теория нелинейных дифференциальных уравнений [Текст] / Р. Рейссиг, Г. Сан-соне, Р. Конти. - М. : Наука, 1974.

5. Палис, Ж. Геометрическая теория динамических систем : Введение [Текст] / Ж. Палис, В. ди Мелу. - М. : Мир, 1986.

6. Хирш, М. Дифференциальная топология [Текст] / М. Хирш. - Мир, 1979.

7. Ройтенберг, В. Ш. Об уравнениях Льенара на окружности [Текст] / В. Ш. Ройтенберг // Труды Х международных Колмогоровских чтений : сб. статей. - Ярославль : Изд-во ЯГПУ, 2012.- С. 83-85.

Bibliograficheskiy spisok

1. Andronov, A. A. Kachestvennaya teoriya dinamicheskih sistem vtorogo poryadka [Tekst] / A. A. Andronov [i dr.]. - M. : Nauka, 1966.

2. Andronov, A. A. Teoriya bifurkatsiy dinamicheskih sistem na ploskosti [Tekst] / A. A. Andronov [i dr.]. - M. : Nauka, 1967.

3. Andronov, A. A. Teoriya kolebaniy [Tekst] / A. A. Andronov, A. A. Vitt, S. E. Haykin. - M. : Nauka, 1981.

4. Reyssig, R. Kachestvennaya teoriya nelineyny'h differentsial'ny'h uravneniy [Tekst] / R. Reyssig, G. San-sone, R. Konti. - M. : Nauka, 1974.

5. Palis, Zh. Geometricheskaya teoriya dinamicheskih sistem : Vvedeniye [Tekst] / Zh. Palis, V. di Melu. - M. : Mir, 1986.

6. Hirsh, M. Differentsial'naya topologiya [Tekst] / M. Hirsh. - Mir, 1979.

7. Roytenberg, V. Sh. Ob uravneniyah L'yenara na okruzhnosti [Tekst] / V. Sh. Roytenberg // Trudy X mezhduna-rodny'h Kolmogorovskih chteniy : sb. statey. - Yaroslavl' : Izd-vo YAGPU, 2012.- S. 83-85.