О тестировании бесповторных функций Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.718

А. А. Вороненко

О ТЕСТИРОВАНИИ БЕСПОВТОРНЫХ ФУНКЦИЙ1

(кафедра математической кибернетики факультета ВМиК)

Рассмотрим для начала следующую задачу: требуется определить по значениям булевой функции на некоторых наборах, является ли она дизъюнкцией п переменных или же некоторой другой бесповторной функцией этих же переменных (построить проверяющий тест). Для заданного базиса булевых функций бесповторной называется функция, представимая формулой, в которой каждая переменная встречается не более одного раза. Используемые в настоящей работе понятия определены в учебниках [1, 2]. Большое количество сведений о различных свойствах бесповторных функций представлено в монографии [3].

Через обозначим базис всех функций, зависящих не более чем от I переменных. Бесповторные в функции будем называть /-бесповторными. Общая задача тестирования 2-бесповторных функций (их принято также просто называть бесповторными) была поставлена и решена на уровне порядка функции Шеннона в [4]. Для базиса Во = {&, V, -п} соответствующий результат получен в [5]. Ключевую роль в дальнейшем изложении будет играть функция ХСШДж!,..., х8) = (х\V.. .\/ж5)(ж7\/.. .\/ж7), равная нулю лишь на нулевом и единичном наборах.

Лемма 1. Функция Х0118(ж1,..., х8) не является I-бесповторной при I < е.

Доказательство. От противного. Предположим, что Х0118(ж1,..., х8) является /-бесповторной. Тогда справедливо представление

ХО^(Ж1,..., х8) = /СМх1),..., /т(хт)),

где 2 ^ т ^ I и каждая переменная Х{ входит ровно в один из наборов х-7. Так как т ^ I < в, то хотя бы один из наборов х-7 будет содержать не менее двух переменных. Не ограничивая общности рассуждений, будем считать, что этот набор — х1. Функция /(у1,---,ут) имеет две остаточных подфункции по первой переменной: /(0, у2, ■ ■ •, ут) и /(1> У2, ■ ■ ■, Ут)- Но среди остаточных функций /(/1 (сг1),/2(х2),...,/т(хт)) есть три различных: дизъюнкция оставшихся переменных при сг1 = О, дизъюнкция их отрицаний при сг1 = 1, и тождественная единица при остальных сг1. Полученное противоречие доказывает лемму.

Функции 1, х\ V ... V Х{_1 V £¿+1 V ... V хп и

V у х у

отличаются от х\ V • • • V хп ровно на одном наборе и для I ^ в являются /-бесповторными. Поэтому все наборы веса не более I входят в любой проверяющий тест для дизъюнкции.

Теорема 1. Множество наборов веса не более I является проверяющим тестом для дизъюнкции на множестве I-бесповторных функций.

Доказательство. От противного. Предположим, что существует /-бесповторная функция /(ж1,..., ж„), совпадающая с дизъюнкцией на всех наборах веса не более /, но отличная от нее. Пусть минимальный вес набора, на котором /(ж!,...,ж„) ф х\ V ... V хп, равен т (то > /). Не ограничивая общности, мы можем считать, что это набор с первыми то единицами. Тогда /(®1,..., хт, 0,..., 0) = Х011т(ж1,..., хт). Получено противоречие. С одной стороны, то > / и Х011т(ж1,..., хт) не является /-бесповторной функцией. С другой стороны, функция, полученная из /-бесповторной подстановкой констант на места переменных, очевидно, является /-бесповторной. Теорема доказана.

Заметим, что в этом тесте содержится ¿ ( ? ) = Г^(га') наборов.

¿=о V/

Следствие 1. Множество наборов веса не более I является единственным тупиковым тестом для дизъюнкции на множестве /-бесповторных функций.

1 Работа выполнена при поддержке РФФИ (коды проектов 04-01-00359, 06-01-00438, 06-01-00745).

Можно изучать задачу тестирования произвольной /-бесповторной функции, существенно зависящей от га переменных, на множестве /-бесповторных функций, зависящих от этих переменных произвольным образом.

Следствие 2. Для соответствующей функции Шеннона Г;(га) справедлива нижняя оценка

Следствие 3. Тест для дизъюнкции на множестве бесповторных функций в произвольном ба-

и для соответствующей функции Шеннона.

Важным свойством, позволяющим решать задачу тестирования именно булевых бесповторных функций, является лемма о бесповторной суперпозиции.

Л е м м а 2 (см., например, [1]). Пусть функции ..., хп) и д(у\,..., ут) существенно зависят

от всех переменных. Тогда и функция ,..., ж„_1, д{у\, ■ ■ ■, ут)) существенно зависит от всех переменных.

Вместо формульного представления бесповторных функций удобно рассматривать древесное: листьям ставятся в соответствие переменные, а внутренним вершинам — соответствующие подфункции. Далее для удобства вместо слов "вершина, помеченная символом о", будем говорить "вершина о". Входами и выходами вершины будем называть входы и выходы соответствующих функциональных элементов.

Рассмотрим вопрос о возможности тестирования относительно бесповторной альтернативы в Собственно /-бесповторными назовем /-бесповторные функции, не являющиеся I — 1-бесповторными. Функции называются обобщенно-однотипными, если могут быть получены друг из друга при помощи операций замены переменных без отождествления и взятия отрицаний переменных и внешней функции. Если разрешено лишь взятие отрицаний, то соответствующие функции называются однотипными. Простым перебором по множеству всех функций трех переменных доказывается следующее утверждение.

Л е м м а 3. Существует всего пять попарно необобщенно-однотипных собственно 3-бесповтор-ных функций:

Для произвольной 3-бесповторной функции ... ,хп) кубом существенности переменных ж»,

х^, Хк назовем множество из восьми наборов, отличающихся лишь значениями этих переменных, на котором остаточная подфункция существенно зависит от каждой переменной. Множеством кубов существенности назовем произвольное множество наборов, содержащее кубы существенности для всех возможных троек переменных. Обращаем внимание, что куб существенности имеется не для всякой тройки переменных.

Переменные называются равноудаленными, если существует дерево, в котором последняя общая вершина на пути из корня в соответствующие листья для всех пар переменных совпадает. Отметим одно важное свойство.

Л е м м а 4. Для равноудаленных троек переменных имеется куб существенности и остаточные функции на кубах существенности однотипны.

Доказательство. Пусть равноудалены переменные Xi, х^, хЕсли подставить константы на место остальных переменных так, чтобы эти оставались существенными (а это можно сделать по лемме 2), то в трех вершинах над последней общей реализуются функции , ха-', . Если в последней общей вершине реализуется функция ф, то при этой константной подстановке в вершине получается ф(х°', ха-', х^к). В корне при этом реализуется функция ф'7 (х^', ха-', х^к ).

Лемма 5. Для трех переменных х\, Х2, г не существует куба существенности тогда и только тогда, когда существует четвертая переменная у такая, что на некоторых кубах существенности реализуются функции, однотипные с ¿{хх,у,г) и й{х2, у, г).

Доказательство. Среди всех 3-бесповторных функций только функция, обобщенно-однотипная с тернарным дискриминатором ¿(х, у, г) имеет следующее свойство: фиксация одной переменной (а именно у) делает фиктивной одну из двух других. Поэтому три переменные, фигурирующие в условии леммы, должны быть неравноудаленными и являться аргументами соответствующих подфункций дуального дискриминатора.

Т1{п) = Щп>).

зисе, содержащем V, -п, Х011/ имеет не менее

т(х, у, г) = ху V хг V уг, ¿(х, у, г) = ху V уг, п(х, у, г) = ху V хуг, у, г) = хуг V хуг V хуг, Х011з(ж, у, г).

Из леммы 5 вытекает важное следствие.

Лемма 6. Значения 3-бесповторной функции на множестве кубов существенности доказывают отсутствие кубов существенности для не входящих в это множество троек переменных.

Следующим важным объектом является каноническое дерево (к.д.). Среди всех древесных представлений к.д. должно удовлетворять следующим требованиям:

1) отрицания могут быть лишь вершинами, смежными с листьями;

2) внутренние вершины помечены одним из следующих символов: V, ф, © (вершины любой степени захода, которым соответствует конъюнкция, дизъюнкция, сумма по модулю 2 и ее отрицание) или (I, то, й^*, Х(Шз, Х(Шз, п, п* (только для вершин степени захода 3);

3) смежные вершины не могут быть помечены одинаковыми символами из множества {&, V, ф, ф}, а также символами ф, ф одновременно;

4) положительными считаются переменные без отрицаний, V, ф, функции трех переменных, имеющие больше половины единиц, функция с1 и медиана с двумя или тремя положительными входами. Все входы вершин ф, ф, а также вход у вершины й(х,у,г) должны быть положительными.

Заметим, что при определении равенства деревьев все три входа дуального дискриминатора считаются различными, а у элемента п равными считаются лишь входы ж и у.

Справедливо следующее утверждение.

Л е м м а 7. Дерево любой 3-бесповторной функции может быть преобразовано к каноническому.

Доказательство. Преобразования проводятся от листьев к корню. Любое корневое поддерево к.д. является к.д., поэтому когда построены канонические поддеревья, выбор функции в корне может привести лишь к инверсии этих поддеревьев по правилу 4.

Теперь мы докажем, что по множеству кубов существенности можно восстановить каноническое дерево.

Для каждой из пяти собственно 3-бесповторных функций построим гиперграф Сф, определяемый по правилу: тройка (х,у,г) является ребром Сф тогда и только тогда, когда на некотором кубе существенности реализуется функция, однотипная с ф(х,у,г). Гиперграф называется связным, если для любых двух вершин ж и у существует последовательность ребер, соседние элементы которой имеют общие вершины, первое из ребер содержит вершину ж, последнее — вершину у.

Лемма 8. Гиперграф Сф связен тогда и только тогда, когда в корне к.д. лежит функция ф (или двойственная к ней).

Доказательство. Рассмотрим два случая. Пусть однотипная с ф функция лежит в корне. Тогда реализуемая деревом функция равна ^(х, у,г), где х, у, г — три непересекающися группы существенных переменных функции. Любая тройка переменных ж¿ 6 х, у^ 6 у, ^ 6 г является равноудаленной и по лемме 4 на ее кубе существенности реализуется однотипная с ф функция. При этом гиперграф Сф очевидно связен.

Если в корне лежит неоднотипная с ф функция в, то реализуемая функция имеет вид в(/\(х.1),... ... ,/5(хв)). При этом если не все три переменные ж, у, г принадлежат одному множеству х-7, любая зависящая от них остаточная функция неоднотипна с ф. Граф Сф в этом случае несвязен. Лемма доказана.

Более общим является следующий факт.

Лемма 9. Значения 3-бесповторной функции на множестве кубов существенности позволяют восстановить к.д. с точностью до отрицаний переменных и двойственности подфункций (хребет дерева).

Доказательство. Заметим, что информация в графах Сф позволяет восстановить множества переменных подфункций, реализуемых в корневых поддеревьях к.д., с точностью до симметрии однотипных с ф функций. Техника восстановления соответствующей информации в случае, когда в корне — 2-бесповторная функция, подробно изложена в [4]. Затем рассуждения повторяются для внутренних вершин от корня к листьям.

Лемма 10. Хребет к.д. и значения на множестве кубов существенности позволяют восстановить к. д.

Доказательство. Восстановление дерева проводится от листьев к корню. Если нам задана таблица значений функции да(у^1,..., угде д — одна из функций, встречающихся в вершине к.д., то мы можем найти неизвестные степени а с точностью до равенства функций. Наличие кубов существенности для любых равноудаленных переменных, а также процедура восстановления степеней

аргументов дизъюнкции и конъюнкции [4] позволяют восстановить функцию с точностью до отрицания. Подфункция, реализуемая в корне, не инвертируется, поэтому восстанавливается точно. Из лемм 9 и 10 вытекает основная теорема.

Теорема 2. Множество кубов существенности является тестом относительно бесповторной альтернативы для 3-бесповторных функций.

Из следствия 1 из теоремы 1 и теоремы 2 вытекает оценка функции Шеннона для длины теста. Теорема 3. Для га ^ 3 справедлива оценка

è <•(;)■

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Гаврилов Г. П., Сапоженко А. А. Сборник задач по дискретной математике. М.: Наука, 1992.

2. Яблонский C.B. Введение в дискретную математику. М.: Наука, 1986.

3. Избранные вопросы теории булевых функций / Под ред. C.B. Винокурова и H.A. Перязева. М.: Физматлит, 2001.

4. Вороненко A.A. О проверяющих тестах для бесповторных функций // Матем. вопросы киберн. 2002. Вып. 11. С. 163-176.

5. Вороненко A.A. О длине проверяющего теста для бесповторных функций в базисе {0,1,V, -.} // Дискр. матем. 2005. 17. Вып. 2. С. 139-143.

Поступила в редакцию 14.09.05

УДК 517.958:621.372.8

Исследование существования собственных волн в диэлектрических волноводах / Кондаков Д. В. // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15. Вычислительная математика и кибернетика. 2006. № 2. С. 5-9.

В работе рассматривается задача нахождения полей собственных электромагнитных волн и постоянных распространения в плоском диэлектрическом волноводе без потерь. Задача сведена к поиску собственных значений задачи Штурма-Лиувилля на оси в классе оо, сю) с ограниченным переменным потенциалом, принимающим постоянные значения на полубесконечных интервалах (—сю, 0) и (г!, сю). Доказаны теоремы существования для случаев постоянного и переменного потенциала на интервале (0,с?). Библиогр. 4.

УДК 519.6:533.9:517.9

Численное решение дифференциального уравнения пограничной функции / Филип-пычев Д. С. // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15. Вычислительная математика и кибернетика. 2006. № 2. С. 10-14.

Рассматривается численное решение дифференциального уравнения второго порядка, которое описывает поведение потенциала в узком приграничном слое. Было найдено общее аналитическое решение для "модифицированной" первой производной как функции новой независимой переменной. С использованием этого решения была построена разностная схема для численного решения. Построенный в работе численный алгоритм решения оказался пригодным как для решения задачи с дополнительным условием на бесконечности, так и для корректного решения задачи Коши. В последних разделах работы были рассмотрены асимптотические решения для пограничной функции и приведено их сравнение с численным решением. Табл. 2. Библиогр. 10.