O связи многомерных и одномерных констант Джексона в пространствах $l_{2}$ со степенными весами Текст научной статьи по специальности «Математика»

Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2012. Вып. 2. С. 114-123

= Математика

УДК 517.5

О связи многомерных и одномерных констант Джексона в пространствах Ь2 со степенными весами

Ха Тхи Минь Хуэ

Аннотация. Даются достаточные условия, при которых константа Джексона в пространстве ¿2 (К^) с обобщенным степенным весом совпадает с константой Джексона в пространстве ^(М^) со степенным весом.

Ключевые слова: евклидово пространство К^, полупрямая К+, пространство ¿2, наилучшее приближение, модуль непрерывности, константа Джексона.

Пусть й € М, — й-мерное действительное евклидово пространство

со скалярным произведением (х,у) и нормой \х\ = л/(х, х), а > 0, Ба = = {х € К : \х\ ^ а},

Ук (х)= П \(а,х)\Ща)

— обобщенный степенной вес, определяемый положительной подсистемой Я+ системы корней Я С и функцией к (а) : Я ^ М+, инвариантной относительно группы отражений С (Я), порожденной Я,

Ск = [ е ^2/2Ук (х) йх ■)жЛ

— интеграл Макдональда — Мета — Сельберга, й^к (х) = с-1ук (х) йх, ¿2,к М — гильбертово пространство комплексных измеримых по Лебегу на К функций f с конечной нормой

2,к - \ I . \^ (х)\2 й^к (х)

Гармонический анализ в пространстве ¿2,к (М^) осуществляется с помощью прямого и обратного преобразований Данкля

f(v)

f (x) ek (x, v)dßk (x), f (x)

f(v)ek (x,v)dßk (v),

где вк (х, у) — обобщенная экспонента, определяемая с помощью

дифференциально-разностных операторов Данкля, многие свойства которой

— величина наилучшего приближения целыми функциями экспоненциального сферического типа а > 0.

V (t, v) Є Cb(Rd x Rd), v (t, v) = V (v, t), V (t, v) > 0,v (0, v) = 0. (1)

В [2] доказано, что многомерная константа Джексона (3) при ф (Ь,у) = 1 —

— Ие вк ^,у) совпадает с одномерной константой Джексона в пространстве ¿2 на полупрямой М+ со степенным весом. Для каких других функций ф £ Ф это будет верно?

Пусть Ба-1 = {х £ : \х\ = 1} — единичная евклидова сфера в М^,

ак = fsd-1 Ук(х')Лх', Ь2,к (Ба-1^ — пространство комплексных измеримых по Лебегу на БЛ-1 функций / с конечной нормой

аналогичны свойствам экспоненты ei(x,y') (см. [1]).

Для функции f £ L2,k (Rd)

E° (f) 2, k = inf {Wf - 9W2, k : 9 £ L2, k (R) , supp g С Ba }

1/2

Будем говорить, что функция ф (I, у) : М^ х М^ ^ М принадлежит классу Ф, если для нее выполнены условия

Рассмотрим константу Джексона

f є L2,k (Rd)|

(3)

и скалярным произведением

¿2,к,к (Б1 1 х Б1 1) — пространство комплексных измеримых по Лебегу на Б1-1 х Б1-1 функций / с конечной нормой

2,2 = (а-2 I I \/(х',у')\2Ук(х')Ук(у')йх'йу'^\

и скалярным произведением

(/,д)2,2 = а-2 [ [ /(х',у')д(х',у')Ук(х')Ук(у')йх'йу'.

■1ял-1ял-1

Укажем в пространстве ¿2,к (Б1-1) важную ортонормированную систему ^-сферических гармоник [3]. Пусть е1 = (1, 0,..., 0),... ,ва = (0,..., 0,1) — стандартный ортонормированный базис в М1,

»3 / (х) = Цх + Е ) / (х) —^(х) , , =

3 авЯ+ ^ ’ '

— дифференциально-разностные операторы Данкля,

Дк / (х) = ^ °2/ (х)

3 = 1

— лапласиан Данкля, Р1 — пространство однородных многочленов степени п, п £ Z+ в М1,

Н1 = кетДкр|Р1

— пространство fc-сферических гармоник степени n, l(n,d) = dim =

г ■ л l(n,d)

= Cd+n-1 _ Cd-n-3, l(0,d) = 1, l(1,d) = d — его размерность, |Yj j n 1 —

действительный ортонормированный базис ИП в пространстве Ь2,к (Sd-1^.

, l(n,d)

Известно [3], что система У^=0 | образует полную ортонормированную

систему в пространстве Ь2,к (Б*-1). Тогда система

ГО ГО

ЦІ ЦІ і¥ПГт : і = і = 1,...,1(ш,ІЇ)}

п=0 т=0

будет образовывать полную ортонормированную систему в пространстве Ь2,к,к(Б*-1 х Б*-1).

Будем говорить, что для функции ф £ Ф выполнено условие (*), если для г, в £ М+, і' £ Б*-1 функция

a

lsd-1

не зависит от t'.

кЧ <р {r^sy1) vk (y')dy' = $v{r,s) (4)

Будем говорить, что функция ф (г, в) : М+ х М+ ^ М принадлежит классу Ф, если для нее выполнены условия

ф (г, в) £ СЬ(М+ х М+), ф (г, в) = ф (в, г), ф (г, в) ^ 0, ф (0, в) = 0.

Лемма 1. Если для функции ф £ Ф выполнено условие (*), то функция ф^ (4) принадлежит классу Ф.

Доказательство. Если ф £ Ф, то для всех г, в £ М+ функция ф(гЬ',ву') £ Ь2,к,к(Б1-1 х Б1-1) и для нее справедливо разложение в ряд

Условие (*) означает, что для п £ М, г = 1,... ,1(п,й) агЛ0(г, в) = 0 и

Согласно (5), функция ф^(г,в) симметрична относительно г и в. Остальные свойства класса Ф для функции ф^(г,в) очевидны. Лемма 1 доказана.

Пусть Л ^ —1/2, 3\(х) — функция Бесселя порядка Л, ]Л(х) = 2ЛГ(А +

ф(гЬ',ву') = ЕЕ Е Е апт(г,в)ум)ут(л

п=0 т=0 г=1 3=1

где коэффициенты Фурье

— непрерывные функции г, в. Так как

те те 1(п,1) 1(т,1)

ф(8у',г1') = ^^ ^2 ^2 аПт(в,г)уг(у')ут(ь') =

п=0 т=0 г=1 3=1

те те 1(п,д)

= Е Е Е Е атцвгуг,(у'у ю,

т=0 п=0 3=1 г=1

то равенство ф(гЬ', ву') = ф(ву', гЬ') в силу единственности разложения в ряд Фурье означает, что для всех п, т, г, ], г, в

(5)

те 1(п,д)

п=о г=1

+ 1)~р^ — нормированная функция Бесселя, ЬЛ = 2ЛГ(А + 1), Ь2,Л(М+)

— пространство комплексных измеримых по Лебегу на R+ функций f с конечной нормой ||f||2)a = (b-1 J0° \f (r)\2r2A+1dr)1/2,

f ^

f(s) = b-1 f (r)jA(rs)r2A+1 dr

Jo

— преобразование Ганкеля,

Ea (f )2,A = inf {If - gh,A : g e L2,a(R+), supp g С [0,a]}

— наилучшее приближение, для ф e Ф

/ Г— \ 1/2

(S,fh,A = sup (b-1 ^(r,s)\f(s)\2s2A+1 ds) (6)

O^r^S \ Jo /

— модуль непрерывности,

D (a, 5)2,.A = sup{ Efhx : f e L2,a(R+^ (7)

— константа Джексона в пространстве Ь2,л(

Для функции / £ Ь2,к (М1) и функции ф £ Ф, удовлетворяющей условию (*), определим еще один модуль непрерывности

^ (5,/)2,к = ( I фV (г, \у\) \1'(у)\2й^к(у)) . (8)

О^т^ё \Jжd /

Пусть Лк = й/2 — 1 + ^аек+ к(а), Ьг2а1 (М1) — подпространство Ь2,к (М1) радиальных функций, зависящих только от \ х\ .

Отметим, что

Ска-1 = а-1 ( е-1х\2/2Ук(х)йх =

те

= а-1 J е-т2/2г2Лк+1 J ук (х')йх'йг =

г те

= е~т2/2г2Лк+1йг = 2Лк Г(Ак + 1) = ЬЛк (9)

О

и согласно [4]

-1

/ ek (y,x)vk (x')dx' = jAk (\x\\y\). (10)

lsd-1

Лемма 2. Если для функции ф £ Ф выполнено условие (*), а функция ф^ определена в (4), то для любой / £ Ь™1 (М1) и модулей непрерывности (2), (6), (8)

(&, /')2.к = (^, /')2,к = (^, /)2,Лк .

Доказательство. Если f £ Lr2ajd (Rd), то согласно (9), (10) fk(y) = f f (\x\)ek(x, y)d^k(x) =

JRd

pro /* __________

= akc-l f (r)r2Xk+1a-f ek(y, rx')vk(x')dx'dr =

Jo Jsd-1

/ГО ^

f (r)j\k (r\y\)r2Xk+ldr = f(\y\), (И)

поэтому

/ \y\)\f(y)\2d^k(y)= / ^(r \y\)\f(\y\)\2d^k(y) =

J Rd J Rd

fro Г

= ckl Фv(r,s)\f(s)\2s2Xk+1 Vk (y')dy'ds =

Jo Jsd-1

f ro

= b— Jo ^(r,s)\f(s)\2 s2Xk+1ds-

Аналогично, если t = rt',y = sy', t',y' £ Sd-1, то согласно (9), (10), лемме 1

[ y(rt',sy')\i(y)\2d^k(y) = i y(rt',sy')\J(s)\2d^k(y) =

J Rd J Rd

ro

= ak c-1 \f(s)\2s2Xk+1a-4 <p(rt', sy')vk (y')dy'ds =

o sd-1

ro

= Ьхк Jo ^(r,s)\f(s)\2s2Xk+1ds-

Лемма 2 доказана.

Лемма 3. Если для функции ф £ Ф выполнено условие (*), а функция определена в (4), то для любой f £ L2,k (Rd)

iJV (^’ f ')2,k ^ (^’ f ')2,k ■

Доказательство. Согласно (2), (4), симметричности функций ф, ф^

^ (8,f)2,k = suP фv(r, \y\)\f(y)\2d^k(y) =

O^r^Sj Rd

= sup M\y\,r)\fm2d»k (y) =

O^r^SJ Rd

= sup a-1 / ф(у, rx>)vk(x')dx'\f(y)\2d^k(y) =

O^r^S JRd JSd-1

= sup a-1 / f(y)\2d^k(y)vk(x')dx' =

0<r<S J Sd-1 J Rd

= sup ak / / ф(п',y)\f(y)\ d^k(y)vk(x')dx' <

O^r^S J Sd-1 J Rd

< a-1 f ¡¿1(5, f )2,kvk(x')dx = ¡¿1(5, f )2>k■

■Jsd-1

Лемма 3 доказана.

С модулем непрерывности (8) связана константа Джексона

Eg(f ')2,k _ f £ j (Rd)

. lJV (5, f) 2,k

По лемме 3

Dv(a, S)2,k ^ Dy,(a, 5)2,k■ (13)

Теорема 1. Если для функции ф £ Ф выполнено условие (*), функция ф^ определена в (4), Xk = d/2 — 1 + k(a), a, 5 > 0, то для констант

Джексона (3), (7), (12)

D„(a, S)2tk = sup{ ^ "У І2’k : f Є L2^(Md^ . (12)

Dv(a, 5)2,k = Dy(a, 5)2,k = D^(a, 5)2,

Ak ’

Доказательство. Для функции р (Ь,у) = 1 — Ие вк(Ь, у) теорема 1 была доказана в [2]. Наше доказательство следует [2]. Если / (|ж|) Є Ь2ак (Мгі), то /(г) Є Ь2,Хк (М+) и согласно (9), (11)

El (f)2, к = \f(v)\2d^k (У) =

J\y\^i

оте

n-1

гте ^ г

= С-І \f(r)\2r2Ak+1 vk (y')dy'dr =

J і J Sd 1

тете

= c-1ak \f(r)\2r2Ak+1dr = b-1 \f(r)\2r2Ak+1dr

J l k J l

= El (f )2, Ak .

Отсюда и из леммы 3

D ( 5) Ei(f )2, k Ei(f )2, k

D^v(a, 5)2,Ak = sup —-j—— = sup

F r x ~ F ~ r x

f ЄЬ™^^) UP(5,J )2,k f ^b2ad{Rd) UJP(5,J )2,k

Применяя (13), получим

Dfv(a,5)2,Ak ^ Dv(a,5)2,k ^ Dv(a,5)2,k■

Остается доказать неравенство

Dv(a, 5)2,k ^ D^v (a, 5)2,Ak ■ (14)

Для любой / £ Ь2к(Мй) рассмотрим функцию

1/2

д(в) = ( а-1 \/(ву')\2Ук(уГ)(1у'\ , в > 0.

Так как в силу (9)

г те

\\д\\2, Лк = Ь- ^ \д(в)\2в2Лк+1йв =

те

-1а-1 I 32Лк+1 \/(ву')\2Ук (у')йу'йв =

Jsd-1

= ЬЛк ак I

2,к = \\/112,к,

то функция

1те

те

0(г) = Ь-1 ]0 д(в)1Лк(гв)в2Лк+1йв принадлежит Ь2,лк(М+) и С(в) = д(в). Тогда в силу (9), (11)

Еа(/)2,к = \/(у)\ й^к(у) =

■1\у\^д

/те Г

в2Лк+Ч \ ¡(вуг) \ 2Ук (у' )йу'йв =

Jsd-1

г оо

= Ь-11 в2Лк+1 \ О(в) \ 2йв = В1 (0)2,Лк, йр(5,/ )2,к = вир фр(г,в) \ Т(ву') \ 2й^к (у) =

О^т^^ Md

те

= вир с-1 ф^(г,в)в2Лк+1 \%вуг)\2Ук(у')йу'йв =

О^т^ё .)0 Jsd-1

С те __

= виР Ь-1 ф^(г,в)\0(в)\2в2Лк+1йв = Ш2^(5,0)2,Лк.

0<т<ё к Уо

Таким образом, для любой / £ Ь2,к(М1) существует функция О £ Ь2 Лк (М+) такая, что

Ед (/)2,к = Ед (0)2,Лк

/')2,к (5, 0)2,Лк

Это доказывает неравенство (14). Теорема 1 доказана.

Рассмотрим пример применения теоремы 1. Модуль непрерывности определим с помощью произвольной последовательности комплексных чисел

м = {Цз}звЪ, \ Цз\ < ж. (15)

з^Ь зеъ

Пусть

V* =

1ег

1ег

ф(Ь,у) = ^ изек(вЬ, у), Ь, у £ М1

(16)

зеЪ

Лемма 4. Функция ф (16) принадлежит классу Ф и для нее выполнено условие (*).

Доказательство. Свойства

ф (Ь, у) £ Сь(Ма х М1), ф (Ь, у) = ф (у, Ь) ,ф (0,у) =0 вытекают из свойств обобщенной экспоненты [1]:

ек (Ь, у) £ Сь(Ма х М1), ек (Ь, у) = ек (у, Ь), ек (0, у) = 1, \ек (Ь, у) \ ^ 1, абсолютной сходимости ряда

2\ из \ < \ Ц1+з

зеЪ зеЪ 1ег

<

и равенства

£■

зег

1ег

\1е%

0.

Покажем, что ф(Ь, у) ^ 0. Воспользуемся интегральным представлением обобщенной экспоненты [5]:

ек(х,у)=[ е%<(”у)йЦХ(0,

где цХ — вероятностная борелевская мера, носитель которой лежит в выпуклой оболочке со({дх : д £ О(Я)}) орбиты х относительно группы О (Я). Пользуясь им, получим

2

ф(Ь,у)= Е^е

(£) =

зег

гз($,у)

зег

Итак, ф £ Ф. Остается установить свойство (*). Оно вытекает из (10)

1

/ ф(гЬ',ву')Ук(у')йу' = V и*]Лк (в\Ь\ \у\) = ф

/ Sd-1 *-/

зег

Ф.

(17)

Лемма 4 доказана. Пусть

Ом(°, 5)2,к = вир

Ед (/)2,к ШV(5, /)2,к

: / £ Ь

2,к(

),

и

2

2

з

~Р

Dm(a,5)2,xk = sup { Ед(. )f’Xk : f £ L2,xk(R+)\ ,

(0,J)2,Xk )

где M, ф, ф^ определены в (15), (16), (17) соответственно.

Из теоремы 1 вытекает утверждение.

Теорема 2. Для любой последовательности M (15), a > 0, 5 > 0, Xk = = d/2 — 1 + k(a)

DM(a, 5)2,k = DM(a, 5)2,Xk ■

Список литературы

1. Rosier M. Dunkl Operators: Theory and Applications // Lecture Notes in Math. 2002. V.1817. P.93-135.

2. Иванов А.В. Некоторые экстремальные задачи для целых функций в весовых пространствах // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2010. Вып.3. С.26-44.

3. Dunkl C.F., Xu Y. Orthogonal Polynomials of Several Variables. Cambridge Univ. Press. 2001.

4. Xu Y. Dunkl operators: Funk-Hecke formula for orthogonal polynomials on spheres and on balls // Bull. London Math. Soc. 2000. V.32. P.447-457.

5. Rosier M. A positivity radial product formula or the Dunkl kernel // Trans. Amer. Math. Soc. 2003. V.355. P.2413-2438.

Ха Тхи Минь Хуэ ([email protected]), аспирант, кафедра прикладной математики и информатики, Тульский государственный университет.

About the connection of multi-dimensional and one-dimensional Jackson constants in Z2-spaces with power weights

Ha Thi Minh Hue

Abstract. Sufficient conditions, under which Jackson constant in L2(Rd)-space with generalized power weight coincides with Jackson constant in L2(R+)-space with power weight, are given.

Keywords: Euclidean space Rd, half-line R+, L2-space, best approximation, module of continuity, Jackson constant.

Ha Thi Min Hue ([email protected]), postgraduate student, department of applied mathematics and computer science, Tula State University.

Поступила 10.06.2012