О существовании линейного непрерывного левого обратного у оператора сужения на пространствах Фреше целых функций Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.983+517.5

О СУЩЕСТВОВАНИИ ЛИНЕИНОГО НЕПРЕРЫВНОГО ЛЕВОГО ОБРАТНОГО У ОПЕРАТОРА СУЖЕНИЯ НА ПРОСТРАНСТВАХ ФРЕШЕ ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ1

© 2013 г. А.В. Абанин, В.А. Варзиев

Абанин Александр Васильевич - доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой математического анализа, факультет математики, механики и компьютерных наук, Южный федеральный университет, ул. Мильчакова, 8а, г. Ростов н/Д, 344090; заведующий отделом математического анализа, Южный математический институт Владикавказского научного центра РАН, ул. Маркуса, 22, г. Владикавказ, 362027, е-mail: [email protected].

Abanin Alexander Vasilievich - Doctor of Physical and Mathematical Science, Professor, Head of Department of Mathematical Analysis, Faculty of Mathematics, Mechanics and Computer Sciences, Southern Federal University, Milchakov St., 8a, Rostov-on-Don, Russia, 344090; Head of Mathematical Analysis Division, Southern Institute of Mathematics of Vladikavkaz Scientific Center RAS, Marcus St., 22, Vladikavkaz, Russia, 362027, e-mail: [email protected].

Варзиев Владислав Аликович - младший научный сотрудник, отдел математического анализа, Южный математический институт Владикавказского научного центра РАН, ул. Маркуса, 22, г. Владикавказ, 362027, е-mail: varziev@smath т.

Varziev Vladislav Alikovich - Junior Scientific Researcher, Mathematical Analysis Division, Southern Institute of Mathematics of Vladikavkaz Scientific Center RAS, Marcus St., 22, Vladikavkaz, Russia, 362027, e-mail: varziev@smath. ru.

Рассматривается оператор сужения в пространствах Фреше целых функций. В качестве множества сужения берется последовательность нулей специальной целой функции L, составляющая минимальное достаточное множество для рассматриваемого пространства. Получены необходимые и достаточные условия существования линейного непрерывного левого обратного к оператору сужения. Они формулируются в терминах существования целой функции двух переменных с оценками роста, совпадающей на диагонали c L. Развита техника исследования, позволяющая избавляться от ряда ограничений, ранее использовавшихся в двойственном индуктивном случае.

Ключевые слова: пространство Фреше целых функций, достаточные множества, линейный непрерывный левый обратный.

We consider the restriction operator in Frechet spaces of entire functions. The set defining the restriction operator is the zero sequence of a special entire function L which is a minimal sufficient set for the space. We obtained some necessary and sufficient conditions under which the restriction operator has a linear continuous left inverse. They are stated in terms of the existence of an entire function of two variables which satisfies certain growth conditions and coincides with L on the diagonal. We develop a new technique which gives an opportunity to avoid some restrictions used before in the dual inductive case.

Keywords: Frechet spaces of entire functions, sufficient sets, linear continuous left inverse.

Весовые пространства Фреше целых функций вводятся следующим образом.

Каждый вес в комплексной плоскости С, т.е. непрерывная функция р: С ^ Я, порождает банахово пространство целых функций

\/ (

E(v)-.= \f е H (С):

:= sup-

■ < <х

zeC e

где Н(С) - пространство всех целых в C функций.

Говорят, что вес р подчинен весу у (р<у), если существует число Б такое, что р(7) < \у(г) + Б

для всех 7еС. Ясно, что если , то Е(р)

вложено непрерывно в Е(у).

Направленную влево по подчинению весовую последовательность Ф = (рп)"=1 (т.е. ..рп+1 <рп...<р1) принято называть проективной, поскольку по ней естественно образовать пространство Фреше

р(ф)=п:=1 Еррп).

Пусть Л = (Ак ):=1 - последовательность попарно различных точек комплексной плоскости с \ Лк : при k^<ю. По весу ф образуем банахово пространство последовательностей комплексных чисел

'Исследование выполнено при финансовой поддержке Министерства образования и науки Российской Федерации, соглашения 14.А18.21.0356 «Теория функциональных пространств, операторов и уравнений в них» и 8210 «Синтетические методы изучения операторов и уравнений в функциональных пространствах», а также гранта ЮФУ «Весовые пространства бесконечно дифференцируемых и голоморфных функций. Общая теория и приложения».

V

z

Е(уЛ) = (ck)™=1 :| с | . := sup

С |

< да

а по проективной весовой последовательности Ф -пространство Фреше Р(Ф, Л) = ПГ=1 Е(<, Л) с топологией, заданной набором преднорм (| • | Л)"=1 .

Очевидно, что оператор сужения Ял : / ^ (/)) действует линейно и непрерывно из Р(Ф) в Р(Ф, Л).

С точки зрения приложений к абсолютно представляющим системам и смежным задачам значительный интерес представляет проблема существования у ЯЛ линейного непрерывного левого обратного (ЛНЛО). Нетрудно видеть, что необходимым условием существования у Ял ЛНЛО является то, что Л -достаточное множество (ДМ) для Р(Ф). В связи с этим напомним [1], что Л называется ДМ для Р(Ф), если топология, заданная набором преднорм (I • I !рп л)Г=1, совпадает с исходной топологией Р(Ф). В самом деле, если у оператора ЯЛ имеется ЛНЛО Тл : Р(Ф, Л) ^ Р(Ф), то Тл ((/ (Лк)) ;==!) = (Т о Я)/ = /. Использовав непрерывность Тл, имеем, что

УпЗшЗБ > 0:

sup

\f(z)\,^Jf(h)| (feР(ф))

,,Vn (z )

< D sup-

,Vm (Ак )

геС е к>1 е

а это равносильно достаточности множества Л для Р(Ф) [1, предложение 1.1]. Из [2, теорема 3] следует, что достаточность Л для Р(Ф) не обязательно влечет существование у ЯЛ ЛНЛО. Поэтому описание тех ДМ, для которых соответствующий оператор сужения имеет ЛНЛО, является нетривиальной задачей.

Наиболее удобными для исследования в приложениях являются ДМ минимального типа [1, 3]. В настоящей работе мы исследуем задачу о существовании ЛНЛО у операторов сужения, порожденных именно такими ДМ. В случае ДМ произвольного вида эта задача вряд ли может быть решена, хотя бы потому, что нет описания самих ДМ в терминах каких-либо характеристик, связывающих непосредственно (без привлечения пространства Р(Ф)) Ф и Л между собой.

В своем исследовании будем исходить из статьи С.Н. Мелихова [4], посвященной двойственной ситуации пространств индуктивного типа. Отметим, что отправной точкой для этой статьи послужили работы Ю.Ф. Коробейника и С.Н. Мелихова [5] о существовании линейного непрерывного правого обратного у оператора представления и А.В. Абанина [6] о минимальных слабо достаточных множествах.

Будем опираться на результаты из [1], посвященной ДМ минимального типа в пространствах Фреше, а также использовать обозначения из неё. При этом избавляемся от ряда технических ограничений статьи [4] или заменяем их более либеральными. Например, нам не придется ограничиваться, как [4], только пространствами целых функций конечного порядка.

Приведем точную постановку задачи, которую будем изучать.

Следуя [1], образуем пространство

Л да да

Р(Ф):= nUE(lv„ -ря).

n=1m=1

Л

Заметим, что всегда Р(Ф) с Р(Ф). Последовательность Л называется минимальной для Р(Ф), если в

Л

классе Р(Ф) имеется функция L , для которой точки Хк являются простыми нулями (при этом не исключается, что L имеет другие нули произвольной кратности).

Задачу о существовании ЛНЛО у оператора сужения Ял : Р(Ф) ^ Р(Ф, Л) будем исследовать для последовательностей Л, являющихся минимальными для пространства Р(Ф + у), где у - некоторая фиксированная локально ограниченная в C функция. Более того, будем предполагать, что в классе

Л

Р(Ф + у) имеется функция L , для которой точки Хк являются простыми нулями и других нулей у нее нет.

Л

Из принадлежности L классу Р(Ф + у) следует, что выполнено условие: (L1) Vn3m3D > 0:

log | L(z) |< 2<pn (z) + y(z) - сря (z) + D, z e C. Потребуем дополнительно, чтобы нашелся такой номер n0 , чтобы L обладала следующими двумя свойствами:

(L2) существует последовательность окружностей {z :| z |= гш }, гш t да , на которой выполняется оценка log | L(z) |> <n0 (z) + y(z), | z |= Гя,я = 1,2,...;

1

е^п0(лк>¥(Лк) <о0

(Ь3) 2 —

Наконец, для простоты изложения предположим, что Ф разделена логарифмом, т.е. УпЗшЗБ: <(г) + 1ОЕ(1+И)<<(г) + Б . Это условие обеспечивает инвариантность пространств Р(Ф) и Р(Ф + у) относительно умножения на независимую переменную и выполняется для всех пространств, используемых в приложениях.

Основной вопрос, изучаемый в настоящей работе, таков: при каких условиях на Ь, Ф и у оператор

сужения ЯЛ : Р(Ф) ^ Р(Ф, Л) имеет ЛНЛО? Ранее для конкретного случая Ф(г) = (Нс (г) - п 1о§(1+1 г | ))"=1, п е N и у(г) = НК (г), где О - ограниченная выпуклая область; К - выпуклый компакт в С , он исследован в двойственном случае для АПС экспонент в пространстве всех голоморфных в О функций полиномиального роста [2] (здесь Н и Н - опорные функции множеств О и К соответственно). Было фактически показано, что ЛНЛО у оператора Ял : Р(Ф + у) ^ Р(Ф, Л) существует тогда и только тогда, когда К отличен от точки (для точки у = 0). Отсюда, в частности, следует, что у минимальных ДМ для Р(( Нс (г) - п 1о§(1+1 г | ))"=1) соответствующий

да

оператор сужения не имеет ЛНЛО. Это обстоятельство оправдывает использование добавки у .

Работа разбита на три части, соответственно содержащие достаточные, необходимые и критериальные условия существования ЛНЛО у оператора сужения Ял : Р(Ф) ^ Р(Ф, Л) при указанных выше ограничениях на Ф, у и L. В обосновании результатов ограничимся схемами доказательств, обратив внимание лишь на наиболее принципиальные моменты, позволяющие нам избавиться от ограничений работы [4]. Приложениям полученных общих результатов к конкретным пространствам предполагается посвятить отдельную статью.

1. Достаточные условия существования ЛНЛО

В настоящем параграфе приводятся достаточные условия существования ЛНЛО у оператора сужения. Нам потребуется понятие согласованности последовательностей Л и Ф из [1].

Введем следующее множество последовательностей положительных чисел:

Г(Л, Ф) := {(г ):=1 : VnЭmЭD > 0 |

1п— < Рп (4) - Рт (к) + О, Vk е Щ .

Гк

:

Для ге Г(Л,Ф) положим ^ := еС :\Л-Лк \< г}.

к=1

Будем говорить, что Л и Ф согласованы, если имеется хотя бы одна последовательность Г е Г(Л, Ф), для которой множество С \ С/ достаточно для Р(Ф) .

Основной результат параграфа содержится в следующей теореме.

Теорема 1. Предположим, что последовательности Л и Ф согласованы и существует целая в С2 функция 0(г, Л) , для которой

0(2,7) = L(z) (7 е С) (1)

и

VПmЗD:

\ 0(2,Л)|< БеР1 (2)+у(Л)+р (Л)-Рт(Л) (2,Ле С). (2)

Тогда оператор Т , определенный по правилу

(Тс)(2) := £ ) с, , 2 е С ,

к=1 Ь\Лк)(2 -Л)

с = (Ск ):=1 е Р(Ф, Л), (3)

является ЛНЛО для оператора сужения ЯЛ : Р(Ф) ^ Р(Ф, Л).

Доказательство. Зафиксируем произвольное п е N. В силу согласованности Л и Ф существует

последовательность г = (г):1 из Г(Л,Ф), для которой множество С \ С/ достаточно для Р(Ф). Поэтому для п е N имеются такие щ е N и С , что

< ^ ^ (fер<ф) >

Воспользовавшись (2), найдем т еЩ и О так, чтобы

\0(г Л )|<£)еРп1(2)+У(Лк)+Рп1(Лк)-Рт(Лк) ^

(2 е С , к е N).

Из условий (1), (2) и [7, лемма 2.3] следует, что Е(2):= 0(2,Л-Л) еР(Ф) при всех к еN. Поэтому к этим функциям применимо неравенство (4). Далее по определению Г(Л, Ф) имеются такие

] е N и О > 0, что

— < D eVm<Л<Л) (k e N).

Yk m

(6)

Без ограничения общности можно считать, что п > п0, где п0 - номер, фигурирующий в условиях (L2) и (Ь3). Тогда найдется постоянная , для которой

9>m<z) < Фпп <z) + Dm (z e С ).

(7)

Применив оценку (4) к функциям Ек и использовав последовательно неравенства (5), (6) и (7), получим для любой последовательности с е Р(Ф, Л)

||Тс|| рСМ |Ск1 -

к=1" к|Рп\ь\Лк )|

Рпо (Лк )+у(Л) П : е 0

< СО Б е п | с \. £е-.

11 т 1 V ^ | П//1 ч |

'к=1 \ L (Лк )\

Остается воспользоваться условием (L3), чтобы сделать отсюда нужный вывод о непрерывности оператора Т.

Для проверки того, что Т в самом деле является левым обратным к Я , воспользуемся леммой 2 из [1], примененной к весовой последовательности Ф + у. В соответствии с ней для любой функции Е из Р(Ф + у) справедливо представление Е (Лк )Ь(Л)

F <Л) = £-

(ЛеС).

(8)

к=1 ь ' (Л)(2 -Лк)

Рассмотрим произвольную функцию / е Р(Ф). Из условия (2) следует, что при любом фиксированном 2 е С функция 0(2, Л)/(Л) принадлежит Р(Ф + у). Применив к ней представление (8), получим

0( 2,Лк )

L< z)<T <Ra <f)))< z) = L<z)£

k=1 L'<4 )< z -Лк )

f Л)=

L<z)

GzA )f Л) = G<z, z)f <z) = L<z)f <z).

(4)

= £-

к=1 Ь' (Лк )(2 -Лк ) Отсюда следует, что (Т о Ял)/ = / для любой функции / е Р(Ф), т.е. Т в самом деле является ЛНЛО для Ял.

Замечание. Приведенное выше доказательство непрерывности оператора Т существенно отличается от работы [4] (см. доказательство импликации (ш) ^ (//)). В ней за счет жестких условий медленного изменения весов в единичных кружках (см. исходные предположения в [4, п. 1.1]) эта часть была тривиальной и следовала из элементарного использования принципа максимума модуля для оценки норм функций 0(2,Л )Л2 -Л ) .

2. Необходимые условия существования ЛНЛО

Рассмотрим вопрос о необходимых условиях существования ЛНЛО. Как и выше, предполагаем, что Ф, у , Л и Ь удовлетворяют всем предварительным условиям, изложенным во введении.

Допустим, что оператор сужения Я : Р(Ф) ^ Р(Ф, Л) имеет ЛНЛО Т: Р(Ф, Л) ^ Р(Ф). Так как орты е^ принадлежат Р(Ф, Л), то Т(ек) =: / е Р(Ф) (к е N). При этом из непрерывности Т: Р(Ф, Л) ^ Р(Ф) следует, что для всякого п е N существуют такие т е N и В > 0 , что

ЯЧ ^ Bne

Vm (Ak )

Из разделенности Ф логарифмом следует, что орты (ек образуют базис в пространстве Р(Ф, Л) с естественным видом представления элементов

да

с = 2 скек , (ск)Г=1 е Р(Ф,Л) . (9)

к=1

Применив к представлению (9) с с = ЯЛ (/) (/ е Р(Ф)) оператор Т , заключаем, что справедлива

Лемма 1. Любая функция / е Р(Ф) представляется в виде

f (z) = 2 f A)fk (z) (z e С ),

(10)

причем ряд сходится к / в пространстве Р(Ф).

Следующая лемма является усилением леммы 1.7 из [4].

Лемма 2. Пусть О - область в С и Е - нетривиальное линейное подпространство в Н (О) , замкнутое относительно операций умножения на независимую переменную и деления на мономы, т.е. / (г) е Е ^ г/(г) е Е;

и f (z) e E , f(A) = 0 ^

f (z) z — A

eE,Ae G .

Так как Лк (к е N) являются простыми нулями функции Ь , то функции Ь (Л) = Ь(Л)/(Л-Л) (к е N) целые.

Верна следующая лемма.

Лемма 3. Для любой функции / е Р(Ф) ряд

2 4 (A)( z—A )f A f (z)

(11)

сходится в С х С, его сумма ^(г, Л) является целой

функцией в С2, причем при каждом фиксированном Л е С она принадлежит Р(Ф) (как функция от г ).

Схема доказательства. Из оценки | Ь (Л) |<| Ь(Л) |, справедливой при | Л - Л |> 1, и раз-деленности Ф логарифмом легко следует, что ряд

2 Lk (A)ckek (c = (ck e Р(Ф, Л))

(12)

сходится в Р(Ф, Л) равномерно по Л на произвольном компакте в С.

Применив к нему линейный непрерывный оператор Т: Р(Ф, Л) ^ Р(Ф) , получим ряд

2 Lk (A)Ckfk (z),

(13)

сходящийся в Р(Ф) при любом с = (ск е Р(Ф, Л). Более того, так как ряд (12) сходится в Р(Ф, Л) равномерно по Л на каждом компакте из С , то и ряд (13) сходится в Р(Ф) равномерно по Л на компактах из С . Отсюда следует, что его сумма является целой функцией в С х С и принадлежит Р(Ф) при каждом фиксированном Л е С.

Применив вышесказанное к с = (/(\))да=1 с произвольной функцией / е Р(Ф), получим, что ряд

2 Lk (A)f A )fk (z)

(14)

Тогда следующие 2 условия для линейного оператора Ь : Е ^ Н(О) эквивалентны:

(/') Ь перестановочен с оператором М: / е Е ^ г/(г) умножения на независимую переменную, т.е. (Ь оМ)(/) = (М оЬ)(/) (/ е Е).

(//) Ь является оператором умножения на некоторую фиксированную функцию а е Н(О) .

Замечание. В [4] рассматривались весовые пространства Е целых функций индуктивного типа и накладывались достаточно жесткие ограничения на веса, при которых выполнялись условия замкнутости пространств относительно операций умножения на независимую переменную и деления на полиномы, и еще дополнительное условие, которое обеспечивало существование для любой фиксированной точки из С функции из Е , не обращающейся в ней в нуль. На самом деле нетрудно проверить, что лемма 3 справедлива для любых линейных подпространств в Н (О), а последнее условие следует из замкнутости пространства относительно деления на полиномы.

сходится к целой в С х С функции.

Из свойства инвариантности пространства Р(Ф) относительно умножения на независимую следует, что г/(г) е Р(Ф) для всех / е Р(Ф). Тогда

Я(г/ (г)) = (Лк/ (Лк)) Г=1 е Р(Ф, Л). Откуда следует сходимость ряда

2 Lk (A)Ak f (Ak )fk (z)

(15)

к целой в С х С функции.

Тогда и ряд (11), являющийся разностью ряда (14), предварительно умноженного на г , и ряда (15), сходится к целой в Сг х С функции. Ясно, что его сумма принадлежит Р(Ф) при любом фиксированном Л е С. Лемма доказана.

Замечание. В [4] сходимость ряда (11) проверяется непосредственно. Это связано с тем, что изначально в этой работе накладывалось ограничительное требование конечности порядка функции Ь. Это позволяло использовать мажорирующий сходящийся ряд вида 1

да 2-г, где р - порядок функции Ь . Таким

к=>1+| Лк |Р+

да

k= 1

k= 1

да

k=1

да

k=1

k= 1

k= 1

образом, примененный нами метод доказательства леммы 4 является новым.

Образуем семейство операторов Тг (/)(Л) =

да

= 2 Ьк (Л)(г - Лк )/(Лк )/ (г) (г е С ), действующих

к = 1

по лемме 4 из Р(Ф) в Н (С) .

Следующая лемма доказывается способом, аналогичным предложенному в работе [4].

Лемма 4. Оператор Т2: Р(Ф) ^Н(С) перестановочен с оператором М(/) := Л/(Л), / е Р(Ф), умножения на независимую переменную, т.е. (Т о М)(/) = (М о Тг )(/) .

Из лемм 2, 3 и 4 следует, что сумма ряда (11) имеет вид О(г,Л)/(Л), где О(г,Л) - целая функция в

С2, которая при каждом фиксированном ЛеС принадлежит Р(Ф) как функция от г .

Таким образом, имеет место формула

G(z,A)f(A) = 2 Lk (A)(z — Ak )f(Ak )fk (z)

(16)

(/ е Р(Ф)).

Мы хотим доказать, что функция О удовлетворяет условию (1) и, при некоторых дополнительных ограничениях, оценке (2).

Выполнение (1) проверяется достаточно просто. Из (16) следует, что

G( z,Ak )= L\Ak)(z — Ak )fk (z).

(17)

Из формулы (10), учитывая (17), имеем для любой функции f e Р(Ф)

да

L( z)f (z) = 2 L( z)f (Ak )fk (z) =

k=1

= 2-

L(z)

-G(z, Ak )f (Ak ) .

к=1 Ь ' (Лк )(г -Лк ) По [1, лемма 2] ряд, стоящий в правой части последнего равенства, сходится в Р(Ф + у) к функции О(г, г)/(г). Таким образом, Ь(г)/(г) = О(г, г)/(г) для любой функции / е Р(Ф), откуда и следует (1).

Теперь обсудим условия выполнения условия (2). Начнем со следующего замечания. При | Л-Л |> 1

Ь(Л) '

имеет место оценка | L (A) |=

A — A,

<|L(A)|.

указаны простые условия каноничности проективных последовательностей).

Лемма 5. Предположим, что выполнено условие (19) и весовая последовательность Ф является канонической. Тогда функция О(Л, г) из формулы (16) удовлетворяет условию (2).

Доказательство данной леммы опирается на полученное выше представление (16), достаточно громоздко технически и в значительной мере подобно доказательству [1, теорема 1]. Поэтому мы его опускаем.

Теперь мы можем сформулировать основной результат текущего раздела.

Теорема 2. Предположим, что у оператора сужения имеется ЛНЛО. Пусть Ф, у, Л и Ь удовлетворяют всем предварительным условиям, изложенным в первом параграфе, и дополнительно известно, что выполнено условие (19) и последовательность Ф является канонической. Тогда имеется такая целая в С х С функция О(г, Л), которая удовлетворяет условиям (1) и (2).

3. Критерий существования ЛНЛО

Объединив результаты двух предыдущих параграфов, приходим к следующему критерию существования ЛНЛО у оператора сужения в весовых пространствах целых функций.

Теорема 3. Пусть Ф, у, Л и Ь удовлетворяют всем предварительным условиям, изложенным во введении. Предположим, что дополнительно известно, что Л и Ф согласованы; Ф - каноническая последовательность и выполнено условие (19). Тогда следующие условия эквивалентны:

(/) оператор сужения ЯЛ : Р(Ф) ^ Р(Ф, Л) имеет ЛНЛО;

(//) имеется такая целая в Ся х С функция О(г, Л), которая удовлетворяет условиям О(г, г) = Ь(г) и УЗтЗБ > 0:

| О(г, Л) |< Бер>(г)+у(Л)+р(Л)-рт(Л) ( л,г е С).

Кроме того, если имеется функция О(г, Л) такая, как в (/'/'), то оператор Т, определенный по правилу

(Tc)(z) := 2-

G(z,Ak) _ ,

А тогда в силу условия (Ь1), которому удовлетворяет Ь , при тех же Л УпЗтЗБ > 0:

| Ь (Л) |< Бе 2р (Л)+у(Л)-рт(Л). (18)

При этом т е N и Б зависят только от п е N и не зависят ни от Л , ни от к . Мы потребуем, чтобы эта оценка распространялась и в кружки | Л - Лк |< 1. А именно допустим, что УпЗтЗБ > 0 :

| Ь (Л)|< Бе2рп (Л)+у(Л)-Рт (Л) (Ле С, к = 1,2,...). (19) Ниже мы укажем простые достаточные условия, при которых (19) выполняется.

Нам также потребуется понятие каноничности весовой последовательности Ф, введенное в [8] (там же

Ck , z e С, c = (Ck)I=1 e Р(Ф, Л), оператора сужения

й Ь(Лк )(Л - Лк) является ЛНЛО для Ял : Р(Ф) ^ Р(Ф, Л).

В заключение приведем простые достаточные условия выполнения (19). Ими являются следующие ограничения на последовательность Ф и функцию у :

УпЗтЗБ > 0: supрm(г + К) < шГсрп (г + К) + Б;

К|<1 |К|<

УпЗтЗБ > 0:

тах у(г + К) < 2 + К) + Рп (г) - Рт (г) + Б,

где г пробегает всю комплексную плоскость. Доказательство того, что они влекут (19), стандартно и основано на использовании принципа максимума модуля голоморфных функций для продолжения оценки (18) с окружностей | Л-Л |= 1 в их внутренности.

k=1

Литература

1. Абанин А.В., Варзиев В.А. Достаточные множества в весовых пространствах Фреше целых функций // Сиб. мат. журн. 2013. Т. 54, № 4.

2. Варзиев В.А., Мелихов С.Н. О коэффициентах рядов экспонент для аналитических функций полиномиального роста // Владикавк. мат. журн. 2011. Т. 13, вып. 4. С. 18 - 27.

3. Абанин А.В., Варзиев В.А. Представляющие системы экспонент в пространствах голоморфных функций заданного роста вблизи границы // Владикавк. мат. журн. 2012. Т. 14, вып. 4. С. 5 - 9.

4. Мелихов С.Н. О левом обратном к оператору сужения на весовых пространствах целых функций // Алгебра и анализ. 2002. Т. 14, вып. 1. С. 99 - 133.

Поступила в редакцию

5. Коробейник Ю.Ф., Мелихов С.Н. Линейный непрерывный правый обратный для оператора представления и приложения к операторам свертки приложения к операторам свертки // Сиб. мат. журн. 1993. Т. 34, вып. 1. С. 70 - 84.

6. Абанин А.В. Слабо достаточные множества и абсолютно представляющие системы: дис. ... д-ра физ.-мат. наук. Ростов н/Д, 1995. 268 с.

7. Abanin A.V., Pham Trong Tien. Painlev'e null sets, dimension and compact embeddings of weighted holomorphic spaces // Studia Math. 2012. Vol. 213. P. 169 - 187.

8. Abanin A.V., Pham Trong Tien. Continuation of holomor-phic functions with growth conditions and some of its applications // Studia Math. 2010. Vol. 200. P. 279 - 295.

24 апреля 2013 г.