CC BY
29
УДК 517.968:519.6
О существовании и единственности решения одного сингулярного интегродифференциального уравнения
Э. Н. Замега (Самойлова)
Кафедра математического анализа и теории функций Российский университет дружбы народов ул. Миклухо-Маклая, д. 6, Москва, 117198, Россия
В работе приводятся достаточные условия существования и единственности решения сингулярного интегродифференциального уравнения ]-ш порядка в различных парах функциональных пространств с соответствующим теоретическим обоснованием. Также установлена скорость сходимости приближенного решения в зависимости от структурных свойств исходных данных.
Ключевые слова: сингулярное интегродифференциальное уравнение, функциональные пространства, теоремы существования и единственности, устойчивость решения.
1. Введение
В данной статье для уравнения
1
= + «(%(;) + = / (¿), -1 < 1 < 1, (1)
-1
с начальным условием
¥>(-1) = 0, (2) предлагаются доказательства теорем существования и единственности решения в парах функциональных пространств (С 1[-1,1]; С[—1,1]) и (^21[-1,1]; [— 1,1]). Здесь а(Ь),Ъ(Ь),$(£) — известные функции на сегменте [-1,1], а <р(р) — искомая функция, причём сингулярный интеграл понимается в смысле главного значения по Коши-Лебегу (см., например, [1-3]).
2. Предварительные результаты
Приведём ряд используемых далее функциональных пространств и нормы в них:
1) С[-1,1] = С — пространство всех непрерывных на [-1,1] функций с обычной нормой
II/Ус = шах |/(¿)|, / е С;
— 1 ^ С ^ 1
2) С 1[-1,1] = С1 — пространство непрерывно дифференцируемых функций, удовлетворяющих условию (2), норма в нём определяется следующим образом
с1 = ша5-, ^ е с 1;
—11
Статья поступила в редакцию 10 декабря 2010 г.
3) ¿2[—1,1] = ¿2 — пространство всех измеримых функций, интегрируемых по Лебегу в промежутке [-1,1], с нормой
|/(í)|2 dí> , f G L2;
4) W2¡ [—1,1] = W2¡ — пространство всех непрерывных на [—1,1] функций, удовлетворяющих условию (2), имеющих там первые обобщённые производные, квадратично суммируемые по Лебегу. При этом норма определяется по формуле
i
1 ^ 2
I2 I ,„ Л- w1
¡У(¿)|2 , ^ е
Все эти пространства являются полными (см., например, [1]). В дальнейшем существенным образом будут использованы следующие леммы:
Лемма 1. Для любой функции р е справедливо представление
1
,) = ^(+1)1„(1 - 0-/^он« - № -1 < .< 1. (3)
-1
Доказательство. В силу (2) для любой функции ^ е имеем
т
ч>(г) = /(№, г е [-1,1]. (4)
-1
Отсюда с учётом (2) последовательно находим
1 г 11
пБ (р; ¿) = 1 (еж = / т /:
1т 11
d Т
т - t J г J r J T—t
-1 -1 -1 £
1 1 1 -1
= 14>' (6 In d£ = ln(1 - t)f <p' (£)d£ -J ln |£ - t\<p' (£Ж = -i -i -i
i
= ln(l - %(+1) -J v' (£) ln |£ - i|de, t e [-1,1). -i
Таким образом, получили требуемое равенство. □
Аналогичное утверждение можно получить из известных результатов Ф.Д. Га-хова и Н.И. Мусхелишвили (см., например, [4,5]), но лишь для функций ^(i), имеющих непрерывные производные, удовлетворяющие условию Гёльдера с показателем 0 < ц ^ 1. Однако здесь, во-первых, функция p(t) из класса W2 и во-вторых, доказательство получено другим способом.
1
2
1
Лемма 2. Справедливо равенство
1
|ln |r - i|| dr = 2. (5)
1
Доказательство. Отметим, что интеграл У |1п |г - ¿|| ёг = I является сим— 1
метричной непрерывной функцией относительно £ е [-1,1]. Сначала рассмотрим случай ^ е [0,1]. Представим интеграл I в виде суммы двух интегралов:
z 1
I = j| ln(i - r)|dr + f | ln(r - i)|dr, _1
для вычисления которых сделаем замену переменной i — г = а — в первом интеграле и г — t = s — во втором. Таким образом, получаем:
0 1 -t 1-t i+1 I = —J\lnajda + J j ln sjds = J j lnajda + J j lnajda = i+1 0 0 0
= 2 — 2t — (1 — i) ln(1 — i) + (1 + i) ln(1 + i) = f (i), 0 < ж < 1.
Найдём наибольшее значение функции f (¿) на промежутке [0,1] и [-1, 0]: /(0) = 2, /(1) = 21п 2, /'(£) = 1п(1 - I2). Пусть /'(¿) = 0. Тогда 1п(1 - ^) = 0 при £ = 0. Следовательно,
max I |ln |r - i|| dr = 2.
-i
Теперь найдём наибольшее значение функции f (i) в промежутке [—1, 0]. Имеем
i i max / Iln |т —ill dr = max / |ln |r + s|| dr,
-i -i
где s = — t. Переходя к новым переменным г = —a, dr = -da, получим
i i
max / Iln |т —i|| dr = max / |ln |r — i|| dr, -l^Oj ' ' o^t^ij
-i -i
т.е. пришли к предыдущему случаю, таким образом,
i
max f |ln |r - i|| dr = 2. -J
3. Теоремы существования и единственности решения
Приведём достаточные условия существования и единственности решения задачи (1)-(2) в парах функциональных пространств (С1 [-1,1];С [-1,1]) и
( W21 [-1,1];£2[-1,1]).
Теорема 1. Пусть a(t), f(t) G L2[-1,1] и b(t) G C, qi = ^Д {||a||L2 + ||&||с} < 1. Тогда задача (1)-(2) имеет единственное решение р* G W21 при любой правой части f(t) G L2 и
il fil r
i|P*Hw2 <
"*I|tv1 ^ i • 1 - qi
Доказательство. Представим задачу (1)—(2) в виде эквивалентного ей операторного уравнения
А<р = Gу + Тр = f(<p eWl,f gL2), (6)
где G'p = 'p'(t), Tip = a>p + btS'p.
Оператор G : W\ ^ Ь2 непрерывно обратим и является линейной изометрией, при этом
= llG-1y^ ^W1 = 1. (7)
'
Действительно, используя введённые выше нормы, имеем
1мк21 = \\с>р\\ь2 = ик = \\/\к
Из первого равенства получаем
•лИг
= 1, <р е W1,
\М1 ^ ^
тогда по определению нормы оператора:
sup К11L* = SUp WG Р"
V€W1,\\V\\W1 =1 \\\w1 V€W1,\\V\\ = 1
' 2
По предположению Сер = <р'(¿) = /(/ е <р е ^2) при условии (2). Функция представима в виде = С-1/ = J/(т)ёт, тогда из равенства \\С-1/
2
-1
1
\\/\\ь2 следует, что \\С = 1. Таким образом, получили равенство (7).
Поэтому уравнение (6) эквивалентно следующему операторному уравнению
К<р = <р + С-1Т<р = С-1/(<р, С-1/ е^1). (8)
С помощью соответствующих результатов работы [3] для оператора Т : ^ ¿2 и любых <р е последовательно находим
^2 ^ \\^|| ^2
\\Гр|| l2 = \\ар + &Sp|| l2 < \\ар||l2 + \\bSp||l2 < ||a||l2
+ \ \b\\c • \\ SP|b2 < \\ a||L2 • \\р||с + \\b\\c • \\S\|М2 • \\р\k. (9)
1
W}^L2
Представим функцию е в виде
1
¥>(*) = /¥>'(£Ж, t е [-1,1].
1
Тогда для любых £ е [-1,1] имеют место следующие оценки
1
\
1
\
1 1
\
■ « ^2|И|,у., <е е и^1. (10)
—1
Воспользовавшись оценками (10), получаем 1 1
¡Ш^г < и^ /(1 + № = 2М|^, Мк < ^, ^ е (11) —1 —1
Из соотношений (9)-(11) имеем
ЦГИ1 ь2 < N Ь2 ■ Н^Нс + И с ■ И Ь2 < ^ ■ {||а|| ь2 + и с}, р е
Отсюда, с учётом (7), находим неравенства
НС-1 т< цс—1Нь2^ т ■ ||т^ = ||тн^ ^ <
1
< {||а||ь2 + ЦЬ\\с} = Я1 < 1.
Следовательно, в уравнении (8) имеем ||С 1ТЦ^^^ ^ 91 < 1.
Поскольку пространство является полным линейным нормированным, то в силу последних неравенств можно применить малую теорему Банаха [1], тогда оператор К : ^ непрерывно обратим и
<
1 -ус-1 Т ^ 1 - 11
< 1.
В силу обратимости операторов С : ^ и К : ^ оператор А = ОК : ^ Ь2 также непрерывно обратим и
||Л" 1|ь2^ = ||К—1|ь2^ < ||К—^1 ■ ||£" 1|ь2^ < ^
<.
Таким образом, уравнение (1) однозначно разрешимо при любых f е Ь2 , а его решение = Л" 1/ е и
= р-7< р- 1|ь2^21
<
1 - 1
1
1
1
1
1
ь
2
Теорема 2. Пусть а(?) е Ь2[-1,1],Ь(?) е С,
(12 = — -\\6\\с ■ < 1.
К
Тогда задача (1)-(2) имеет единственное решение р>* е при любой правой части /(£) е и
И ^ < \\ПЬ2 ■ Т-Т^.
Получение результатов, аналогичных теоремам 1 и 2, в паре пространств ( С1 , С) требует выполнения более жёстких условий относительно коэффициентов уравнения (1). Это видно хотя бы из следующих двух теорем:
Теорема 3. Пусть а(Ь) е С и 6(£) е Ыра(0 < а < 1), а 6(+1) = 0. Если ^ = 2 {| |а|| с + Т ( \\ Ь\\с +\\Ь1 \ \ с)} < 1,
где 61(^) = 6(£) 1п(1 - ■£), то задача (1)-(2) имеет единственное решение р* е С1 при любой правой части ( ) е С и
\ \ Ч> \ \ с2 <
1 - дз
Теорема 4. Пусть a(t) £ С и b(t) £ Ыра(0 < а < 1), а Ь(+1) = 0. Если Q4 = 2( l l Ь||с + | lh 11 с)< 1,
то задача (1)-(2) имеет единственное решение р>* £ С1 при любой правой части f(t) £ С, причём
е1М1с
l l Р* 11 С <l l f l l С ■ f—.
1 — 44
Доказательство. Задача (1)—(2) эквивалентна следующему линейному операторному уравнению
z + TG-1z = f(z J £ С), (12)
где z(t) = p'(t) = Gp, Tip = aip + bSp.
Тогда уравнение (12) представимо в виде
z + TG-1z = z + aG-1z + bSG-1z = f(z, f £ С).
Полагая
1
Uz = z + aG-1z = z + aj , Vz = bSG-1 z,
-1
имеем Uz + Vz = f(z, f £ С).
Используя леммы 1 и 2 и условие теоремы, для любых t £ [-1,1] получаем
| V( Z]t)\ = |6(t)S(*;t)\ < |z(+1)|J|6l(t)yc +
1
Ic 1Л, л,.,. .„-^Мо..,1 11 с
1
+ ^-ll lcf \ In\r-i\\dr < ^ [ll 611 lc + -1
Оператор и непрерывно обратим как оператор Вольтерра второго рода в пространстве С и для обратного оператора справедлива оценка \\и-1 \\с^с ^ е2^с. Поэтому уравнение (12) эквивалентно следующему
Вх = г + и-1 Ух = и-7(г,и-1/ е С). (13)
Оценим -1 V\\ < -1\\с^с ■ \\У\\с ^ 94 < 1. В силу теоремы Банаха о сжатых отображениях, оператор В : С ^ С имеет ограниченный обратный и
\\В-1\Ыс < Г1- <
1 — (/4
Таким образом, уравнение (13) однозначно разрешимо при любых f е С и его решение удовлетворяет неравенству:
_2||а||„ || Л1 _
-1гг-1.
|| z*lie = \\B-1U-1f II <
1 - 94
1
Поэтому задача (1)-(2) имеет единственное решение p*(t) = Jz* (т)dr = G 1(z*; t)
-1
и оно имеет первую непрерывную производную на t £ [-1,1]. □
Поскольку значительная часть доказательств теорем 1 и 4 аналогична соответствующим доказательствам теорем 2 и 3, то мы ограничимся, в основном, отличительными моментами. Приведём доказательства двух теорем: теоремы 1 и 4.
Теорема 5. Пусть вещественные функции a(t) и b(t) таковы, что |a(i)| > а = const > 0 и b(t) = const. Тогда задача (1)-(2) для любых f £ L2 имеет единственное решение р* £ W2.
Доказательство. Представим задачу (1)-(2) в виде эквивалентного ей линейного операторного уравнения Ар = f (p,f £ L2); здесь оператор А : L2 ^ L2 является неограниченным. Поэтому за область его определения возьмём множество всех непрерывно дифференцируемых функций, удовлетворяющих усло-
0
вию (2), т.е. D(A) = С1. Без ограничения общности, считаем, что a(t) ^ а > 0. Случай a(t) ^ —а < 0 рассматривается аналогично. Тогда для любых р £ D(A) находим
(Ay, ф) = (ф, ф) + (ар, р) + b(Sp, ф),
где
1 1
(ф,ф = f ф (t)p(t)dt = f <p(t)d<p(t)
11
> 0;
-1
1 1 1
„2 mjj \ „, Л„2/
(сир, ф) = У a(t)<p(t) ■ ^(i)di = Ja(t)<p2(t)dt > af <p2(t)dt = a\[p\\2 -1 -1 -1
Известно, что
1
(Sp,p) = jcp(t)S(p; t)dt = 0
1
для любой функции <p из L2 и тем более из D(A).
2
Итак, для любой функции р е О (А) С ¿2 выполняется равенство
( Ар,р) >а\\<р\\.
Отсюда находим а||р||2 < (Ар,р) < \\Ар|| ■ \\р||, р е О(А). Поэтому \\Ар|| > а|М1, ^ е О(А). Это условие, как известно [1], является необходимым и достаточным для существования левого ограниченного обратного оператора А-1 и
\\А-1\\ < 1 < то. ' а
Отсюда следует, что однородная задача, соответствующая (1)-(2), имеет только нулевое решение, а тогда неоднородная задача имеет единственное решение р* е ¿2 при любой правой части / е . Отсюда и из тождества р* (¿) = /(1) - а(1)р* (¿) - 6(£)5(р*; £), где а(£) е С, с учётом свойств сингулярного оператора 5 : ¿2 ^ ¿2 и условия теоремы находим р* (£) е ^, следовательно, р*^) е ^21. Теорема доказана. □
Теорема 5 допускает следующее обобщение
Теорема 6. Пусть вещественные функции а(£), , г), /(¿) такие, что |а(£)| > а и , г) = И(т, ¿) е Ьгра (по каждой из переменных). Тогда СИДУ
1
Ар = «/(г) + а(*М*) + ^ / ¿г = /(*), -1 < * < 1,
-1
при начальном условии (2) имеет единственное решение р* е при любой правой части / е Ь2.
4. Об устойчивости решения
Уравнению (4) поставим в соответствие уравнение вида
Аер = Ср + Т£р = /£(р еW21,Л ей), (14)
где Те = а£р + и /£ — некоторые аппроксимации оператора Т = ар + : ^ и соответственно правой части / е ¿2, причём е ^ 0(То = Т, /о = I, Ао = А).
Справедлива следующая
Теорема 7. Пусть а(£), /(¿) е ¿2, Ь(£) е С; и пусть выполнены условия: \\а -а^ < е; \\&- Ъе\\с < е; \\/- Мк < ^
Если существует непрерывный оператор А-1 : ^ то найдётся такое £0 > 0, что для всех е е (0, е0] задача (14), (2) имеет единственное решение р* е Ш2 . При е ^ 0 приближенное решение р*£ = А-1 /£ ^ р* в W2 со скоростью
\\р* =0(е).
Доказательство. Для любой функции р е имеем
\\Ар - Ае<р\\Ь2 = \\Тр - Те<р\\Ь2 = \\(а - а£)р + (Ь - Ье)Б<р\\^ < \\(а - ае)<р\\ь^ + + \\(& - Ъ£)Бр\\Ь2 < \\а-а£\\Ь2 -М| с + \\6-Ь£\\с ■ ¿2 < \\а-а^■ \М| + + \\6 - Ь£\\с ■ N1¿2 < ■ И^ + ■ И^ = 2^2еИ^.
Таким образом, для всех е > 0, начиная с некоторого, выполнено неравенство qе = 2л/2е||Л-1 \\ щг < 1. Тогда (см., например, [1]) следует, что суще-
\ \ ^-1 \ \
ствует оператор Л-1 : Ь2 ^ и \ \ Л-1 \ \ < --. Отсюда, поступая так-
1 Яе
же, как и при доказательстве теоремы 1 гл. 1 книги [6], находим \ \ р* — р* \ \ ^ [ \\ / — /е \ \ Ь2 + Яе \\ / \\ Ь2] = 0(£) ^ 0, при £ ^ 0. П
1 — Яе
Заметим, что на практике в качестве функций ае(¿), Ье(¿), /е(¿) используются полиномы и (или) сплайны, обладающие определёнными аппроксимирующими свойствами, зависящими от структурных свойств исходных функций а(£), &(£), f (¿).
Литература
1. Канторович Л. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ в нормированных пространствах. — М.: Физматгиз, 199. — 684 с. [КстЬотоугоН Ь. V., АкИоу С. Р. РипксюпаУтЬу] апа^ V погш1гоуапп1ЬкЬ ргоз^апз^акЬ. — М.: Fizmatgiz, 199. — 684 8.]
2. Михлин С. Г. Сингулярные интегральные уравнения. — Наука, 1948. — 29 с. [МгкНИп Б. С. В^ШуатШе integraljnihe uravneniya. — Майка, 1948. — 29 8.]
3. Самойлова Э. Н. Методы решений сингулярных интегродифференциаль-ных уравнений на разомкнутых контурах. — Казань, 2004. — 114 с. [ватоу^оуа ЕЬ. N. Metodih ге8Ьешу| 8ingulyarnihkh integrodifferencialjnihkh uravneniyj па razoшknutihkh konturakh. — К^а^, 2004. — 114 8.]
4. Гахов Ф. Д. Кевые задачи. — М.: Наука, 1977. — 68 с. [СакНоу Е. Б. Kevihe zadachi. — М.: Ма^а, 1977. — 68 8.]
5. Мусхелишвили Н. И. Сингулярные интегральные уравнения. — М., 1968. — 512 с. [МивкНвНвНуИл N. I. Singulyarnihe integraljnihe uravneniya. — М., 1968. — 512 8.]
6. Габдулхаев Б. Г. Оптимальные аппроксимации решений линейных задач. — Казань: КГУ, 1980. — 232 с. [СаЬс1и1кЬаву В. С. Ор^ша^^ approksimacii reshemyj НадурШ^ zadach. — Kazanj: КСи, 1980. — 232 8.]
UDC 517.968:519.6
On Existence and Uniqueness of a Solution to a Singular Integrodifferential Equation E. N. Zamega
Department of Mathematical Analysis and Theory of Functions Peoples' Friendship University of Russia Miklukho-Maklaya str., 6, Moscow, 117198, Russia
We presented sufficient conditions of existence and uniqueness of solutions of the singular integrodifferential equation of first order in various couples of function spaces, giving corresponding motivation. The rate of convergence for the approximate solution depending on structural properties is also established.
Key words and phrases: singular integrodifferential equation, functional spaces, theorems of existence and uniqueness, stability of the solution.
