О существовании экстремальных квазиконформных в среднем отображений Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математические структуры и моделирование 2001, вып. 8, с. 22-27

УДК 517.53:517.947.42

О СУЩЕСТВОВАНИИ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ КВАЗИКОНФОРМНЫХ В СРЕДНЕМ ОТОБРАЖЕНИЙ

In this article proof existence of extremal mappings of circular domain that are quasi-conformal in the mean with free values on another component is presented.

Введение

Введем основные термины и определения. D, D* — ограниченные области в Д”; х = (ад,..., хп)—произвольная точка в Д„; dist(A,B) — евклидово расстояние между множествами А и В; (ПитЛ — диаметр множества А; тп(А) = |Л| — п-мерная мера Лебега множества А; Г (.4. В; D) — семейство кривых, соединяющих множества АиВв области I): М (Г (.4. И: D)) — //-.мерный модуль семейства кривых Г [1, гл.2]; f(x) = (/Да;), f2(x),..., fn{x)) — гомеоморфное отображение области D на область D*, /_1(у) — обратное отображение области D* на область

В точках дифференцируемости отображения f(x) определены величины: Vf(x) = f'{x) - матрица Якоби отображения }'{х) в точке х\ J(x,f) = det f'{x) - якобиан отображения f(x);

называется локальной внутренней характеристикой квазиконформности отображения у = f(x) в точке х, где J(x, /) ф 0; здесь обозначено

Ю.Ф. Стругов

D.

Величина

l{x,f) = mm\f{x)h\. ft =i

Обозначим J){x,f) - алгебраическое дополнение элемента ^ определителя J(x,f). Определим функционалы

D

D*

© 2001 Ю.Ф. Стругов

E-mail: [email protected] Омский государственный университет

Математические структуры и моделирование. 2001. Вып. 8.

23

T(Vf-,D,D*) = a

\Vf(x)\pdx

+ b

D D

где p ^ n, q ^ n, и коэффициенты

Я

2

dx,

| \D*\i

2rin\D*\n ’ “ 2п^|£>|^

Обозначим A4Ptq(D, D*) класс всех гомеоморфизмов f : D D*, таких, что / e ИД-D), /_1 e ИД-О*), на которых функционал F(V/) < oo, Класе всех гомеоморфных отображений, на которых 'Hr(f) < оо, обозначим A4q(D,D*).

Отображения этого класса дифференцируемы почти всюду, прямые и обратные отображения обладают ЛГ-свойством, для них справедливы классические формулы замены переменных и правило дифференцирования сложных функций.

1. Теоремы существования

Теорема 1. Пусть класс отображений A4Ptq(D, D*), | + | < -yzy, не пуст. Тогда в нем существует отображение /о : .D —>• D* такое, что

ЛV/o) < H^f)

для всех / Е M.pq(D, D*).

Доказательство. Пусть //,. к = 1,2,,,,, произвольная последовательность, минимизирующая функционал JE(V/) в классе M.p.q{D,D*). Тогда последовательность F(V/fe) ограничена сверху некоторой константой Л /(. В силу теоремы 2 [2, с, 167] для всех номеров т справедливы неравенства

\г>\— - -

Mfm) < (F^(Vr))^ + |D\-la^b^T(Vfm) < M < oo,

где M = M(n,p,q,\D\,\D*\, Mi) — некоторая постоянная величина. Известно, что из всякой бесконечной последовательности отображений fm : D —>• D* с равномерно ограниченным функционалом можно извлечь равномерно

внутри D сходящуюся подпоследовательность. При этом предельное отображение либо постоянно, либо является гомеоморфизмом области D на область D* ( [3, следствие 2,3,9, с,71]), принадлежащим классу A4q(D, D*). Выберем из минимизирующей последовательности сходящуюся подпоследовательность. Если эта минимизирующая подпоследовательность равномерно в I) сходится к гомеоморфизму /0 Е Mq(D, £>*), то по теореме 3 [2, с,174]

F(V/0) < lim F(V/m),

т—ьоо

и теорема в этом случае доказана.

Осталось показать, что минимизирующая последовательность не может сходиться к постоянному отображению. Действительно, пусть /т —>• с при т оо.

24

Ю.Ф. Стругов. Подготовка, научных публикаций в LaTeX2e

Так как последовательность отображений ограничена в пространстве W^(D), то ( [4, с,94]) для любой непрерывной функции <д финитной в области D

j сp(x)J(x,fm)dx -Д О

D

при m -У оо. Пусть Bn(a, г) - шар, замыкание которого содержится в D. Выберем финитную функцию <д такой, что 0 < у < 1. у(.г} = 1 для всех х е Bn(a, г). Тогда, применяя неравенство Гельдера, получим

сp(x)J(x,fm)dx

Из этого неравенства и равенства J (p(x)J(x,fm)dx = 0 следует, что

о

О < \Bn(f, r)| < / (p(x)dx <

D

(p(x)dx

J{x,fm)*

n+q

lim

m—)-oo

cp{x)dx D J(x, fm)r.

+oo.

Далее, применяя неравенство (5) из теоремы 2 ( [2, с, 167]), найдем сp{x)dx f dx « f Hj(x,fn

D

j(x, f„

<

D

<

D

J(x, f„

Таким образом, J-(Vfm) -Д оо, а это противоречит тому, что fm- минимизирующая последовательность. Следовательно, предельное отображение не может быть постоянным, и тем самым теорема доказана, ■

Пусть у - некоторый континуум из области I). ад* - континуум из области D*. Ниже будем предполагать, что в области D* найдется континуум д*, для которого класс отображений Mp,q(D\y, D*\y*) ф 0, Зафиксируем области D, D* и континуум д. Докажем, что существует континуум д* и гомеоморфное отображение /0 : D -д D* такое, что

Л V/o; D\д, D*\y*) = inf ^(V/; D\y, D*\y*).

7

Лемма 1. Пусть frn : D\y -д D*\ym - минимизирующая последовательность. Тогда из нее можно извлечь подпоследовательность, которая сходится равномерно в области D к некотором,у непрерывному отображению

/ : D\j —> Я", / £ Т'ДДЦ).

Доказательство. [5, лемма 1, с,69]

Математические структуры и моделирование. 2001. Вып. 8.

25

Лемма 2. Отображение / непостоянно.

Доказательство. Допустим, что / = с. Пусть U и V окрестности континуума у такие, что ( С О. V С U. Тогда U\V - компактное множество в области D\7, и на нем fm —Ь с при т —>• оо. Следовательно, diamym —>• 0 при т —>• оо, и поэтому меры Лебега |-D*Y)m| > 5 > 0 для всех номеров ///. Отсюда следует, что коэффициенты о, b (стоящие перед интегралами в функционалах JC(V/TO; D\7, D*\ym) и зависящие от номеров т ) равномерно ограничены сверху и отделены от нуля. Поэтому из равенства

f dx

iim ----------r = оо,

J J(x,fm)n

D\7

также как и в доказательстве теоремы 1, вытекает неограниченность последовательности функционалов D\7, D*\ym). Полученное противоречие доказывает лемму. ■

Лемма 3. liminf,,, х |£)\7т| = <1 > 0.

Доказательство. Так как отображение / непостоянно, поэтому из полу непрерывности интегралов Дирихле будем иметь

liminf / \Vfm\pdx> / \V f\pdx > 0.

Ш-4СО J J

D\7 £»\7

Отсюда и из ограниченности последовательности функционалов следует ограниченность сверху последовательности коэффициентов о = а(т) перед интегралами Дирихле. Из ограниченности последовательности коэффициентов следует утверждение леммы. ■

Из топологии известно, что из ограниченной последовательности континуумов ут можно выбрать подпоследовательность, которая в метрике Хауедорфа сходится к некоторому континууму 7*.

Лемма 4. Если х Е D\7, то f(x) Е D*\7*, причем у* С D* и diarn 7* > 0. Доказательство. Если f(x) Е 8D*, то по лемме 2.3.2 [3, с.64] отображение / постоянно, что противоречит лемме 2. Поэтому f(x) Е D*. Если dD* P|7as* ф 0, то найдется х Е D\7 такое, что f(x) Е 3D*, и поэтому отображение постоянно. Полученное противоречие доказывает, что 7* С D*. Если f(x) Е у* и diamy* > 0, то опять по лемме 2.3.2 из [3] получим, что отображение / постоянно. Если 7* есть точка, то выберем две точки a,b Е D\у такие, что /(о) Ф f(b). Обозначим через Е континуум, соединяющий в D\у точку о и у, F континуум, соединяющий точку b и у, причем континуумы выбираем неперееекающими-ся. Обозначим Г(Е, F; D\y) семейство всевозможных кривых, соединяющих в области D\у континуумы Е и F. Пусть Г*( образ семейства Г при отображении /„,. Тогда для модулей Л/(Г*() справедливы оценки

м( о <

pn(x)Hj(x, fm)dx < d(E, F) ” / Hj(x,fm)dx<M <00,

Db

D\7

26

Ю.Ф. Стругов. Подготовка, научных публикаций в LaTeX2e

где р(х) = d(E,F)-1- допустимая метрика для семейства кривых Г ( [6]), С другой стороны, lim^oo М(Г^) = оо [1], так как d(fm(E), fm(F)) -Д 0 при гп -Д

оо. Полученное противоречие доказывает невырожденность континуума у*. ■

Лемма 5. Если ад, ад G D\y,xi Ф ад, то /(ад) ф /(ад).

Доказательство. [5, лемма 4, с.70]. ■

Лемма 6. Пусть U D y*,U С D* - произвольная открытая окрестность континуума у*. Тогда из последовательности, обратных отображений /ф1 можно выбрать подпоследовательность, которая равномерно в D*\U сходится, к некотором,у непрерывному отображению h : D*\U -Д Rn,h е W^(D*\U), при этом, а) отображение h непостоянно; б) если, у е D*\U, то h(y)— внутренняя точка множества h(D*\U)] с) Если yi, У2 G D*\U, у\ Ф у2, то h{yi) Ф

НУ2). ■

Доказательство. Семейство обратных отображений, также как и в лемме 1, равномерно ограниченно и локально равностепенно непрерывно. Поэтому из нее можно извлечь сходящуюся подпоследовательность к непрерывному отображению h е W/, Так как h{f{x)) = х для любого х такого, что }'{х) 6 D*\U, то отображение h непостоянно. Действительно, выражение h(f(x))—x = (h(f(x)) — /™1(/(я'))) + (fm(f(x)) ~ /то1(/то(я'))); начиная с некоторого номера, определено и стремится к нулю. Утверждения б), с) доказываются аналогично леммам 4-5.■

Лемма 7. Предельное отображение / есть отображение области D\y на область D*\y*.

Доказательство. [5, лемма 6]. ■

Лемма 8. Отображение / является, г ом сом, орфизм ом, области D\y на область D*\y* . Причем / 6 W^{D\y), е W^(D*\у*).

Доказательство. [5, лемма 7]. ■

Лемма 9. Пусть fm : D\y -Д D*\y^- минимизирующая подпоследовательность из л,ем,мм 8. Тогда,

E(Vf-,D\y,D*\y*) < lim inf JC(V/TO; D\y, D*\y^).

m^-oc

Доказательство. [7, теорема, с.34], [2, теорема 3, с.174]. ■

Теорема 2. Существуют континуум у* С D* и гомеоморфизм /о : D\y -Д D*\у* такие, что

Л V/o; D\у, D*\y*) = inf D\y, D*\y*).

7

Доказательство. Из лемм 8,9, повторяя рассуждения доказательства теоремы [7], мы получим утверждение теоремы 2. ■

Математические структуры и моделирование. 2001. Вып. 8.

27

Литература

1. Сычев А.В. Модули и пространственные квазиконформные отображения. Новосибирск: Наука, 1983. С.152.

2. Стругов Ю.Ф. О существовании гомеоморфных решений систем уравнений эллиптического типа // Групповые и метрические свойства отображений. Межвузовский сборник научных трудов.Новосибирск, 1995. С. 164-180.

3. Стругов Ю.Ф. Квазиконформные в среднем, отображения, и экстремальные задачи. 4.1. - М.,1994.-153 с. Деи. в ВИНИТИ 05.12.94. N.2786 - В 94.

4. Решетник Ю.Г. Пространственные отображения с ограниченным искажением. Новосибирск: Наука, 1982. с.279.

5. Стругов Ю.Ф., Гарифуллина Е.В. О компактности семейств квазиконформных в среднем, отображений со свободными значениям,и, на границе // Омский научный вестник. 1999. N.8. С.68-71.

6. Стругов Ю.Ф., Сычев А.В. Различные классы, простра, нет венных отображений, квазиконформных в среднем, // Алгебра и математический анализ. Новосибирск, 1990. С.104-125.

7. Стругов Ю.Ф., Гарифуллина Е.В. О существовании экстремального отображения кольцевой области со свободными значениям,и, на одной, граничной, компоненте // Омский научный вестник. 1999. N.9. С.34-37.